By ilikeafrica in arXiv — 19 Nov 2025

Sur un generalisation del notion de

이 논문은 자유 합성 가환 대수에 대한 일반화로, 자유 합성 이론의 기본 구성 요소를 제공하는 새로운 개념을 도입한다. 자유 합성은 두 가지 유형으로 나뉘는데, 하나는 정가군에 대한 연산이며, 다른 하나는 순서 없는 집합에 대한 연산이다. 이 논문에서는 대수학에서 발생할 수 있는 문제를 해결하기 위해, 자유 합성 이론을 일반화하고자 한다.

이 논문의 목표는 자유 가군과 연관된 여러 가지 개념을 일반화하는 것이다. 이 논문은 두 가지 주요 개념을 소개한다. 첫 번째 개념은 자유 대수에 대한 유한 순서의 연산이다. 두 번째 개념은 자유 가군에서 정의되는 한정付き 자유 합성이다.

논문은 다음과 같은 방법으로 시작한다.まず, 유한 순서의 연산에 대해 논해본다. 이 연산을 통해, 자유 대수와 자유 가군 간의 관계를 밝힐 수 있다. 그 다음, 자유 합성에 대해 논해본다. 이는 두 개의 자유 대수를 합성하는 것을 의미한다. 이러한 합성을 통해, 자유 가군의 요소를 제거하여 새로운 요소들을 생성할 수 있다.

논문은 또한 한정付き 자유 합성에 대해 논해본다. 이 연산을 통해, 자유 가군에서 원래 요소가 없애지고, 새로운 요소들이 생성된다. 이러한 연산은 자유 합성의 일반화로 여겨진다.

이 논문의 결과는 다음과 같다. 첫째, 유한 순서의 연산과 한정付き 자유 합성이 자유 대수와 자유 가군 간의 관계를 밝히는 데 사용될 수 있다. 둘째, 이러한 연산을 통해, 자유 가군에서 원래 요소가 없애지고, 새로운 요소들이 생성되는데, 이는 자유 합성 이론의 기본 구성 요소를 제공한다.

이 논문의 결론은 다음과 같다. 자유 합성 이론은 자유 가군과 연관된 여러 가지 개념을 다룬다. 이 논문에서는 이러한 개념을 일반화하고자 하였다. 결과적으로, 유한 순서의 연산과 한정付き 자유 합성이 자유 대수와 자유 가군 간의 관계를 밝히는 데 사용될 수 있다. 또한, 이러한 연산은 자유 합성 이론의 기본 구성 요소를 제공한다.

이 논문의 제한점은 다음과 같다. 첫째, 이 논문은 자유 합성 이론에 대한 일반화를 다룬다. 따라서, 이 논문의 결과를 다른 대수학적 구조로 확장하는 것은 어려울 수 있다. 둘째, 이 논문에서는 유한 순서의 연산과 한정付き 자유 합성을 사용하여, 자유 가군에서 원래 요소가 없애지고 새로운 요소들이 생성된다. 하지만, 이러한 연산은 자유 합성 이론의 기본 구성 요소를 제공하는 데 제한적이다.

이 논문의 향후 연구 방향은 다음과 같다. 첫째, 유한 순서의 연산과 한정付き 자유 합성을 사용하여, 다른 대수학적 구조를 다룰 수 있는 방법을 찾는 것이 좋다. 둘째, 이러한 연산을 통해, 자유 가군에서 원래 요소가 없애지고 새로운 요소들이 생성되는 것을 연구할 수 있다.

Sur un generalisation del notion de

arXiv:math/9306203v1 [math.GR] 16 Jun 1993Sur un generalisation del notion deproducto libere amalgamate de grupposJohn R. StallingsIntroductionIn [1], io ha studite lo que occurre in le circumstantia que un gruppo G ha unsubensemble P tal que tote elemento de G es representabile unicamente per unverbo reducite in P . Il eveni que tal G es multo como un producto libere.Que occurre quando le representation per verbo reducite es unic solmente mod-ulo le sorta de equivalentia que interveni in le theoria del productos libere amal-gamate?

In iste articulo, io determina le structura internal del subensemble P (iolos appella “pregruppos”), e prova, sequente le methodo de van der Waerden, quesu gruppo universal ha le proprietate desiderate. Multe interessante exemplos poteesser trovate; tote semble simile aliquanto al productos libere amalgamate; sed il esnulle simple maniera de construer los omne ex ordinari tal productos.1.

Deﬁnition e enunciation del theorema1.1. Deﬁnition.

Un pregruppo consiste de:(a) Un ensemble P . (b) Un elemento de P , denotate per 1 .

(e) Un function D →P , denotate per (x, y) 7→xy .Tal que le cinque axiomes sequente sia ver:(1) Pro tote x ∈P es que (1, x) , (x, 1) ∈D e que 1x = x1 = x . (2) Pro tote x ∈P es que (x, x−1) , (x−1, x) ∈D e quexx−1 = x−1x = 1 .

(3) Pro tote x, y ∈P , si (x, y) ∈D , alora (y−1, x−1) ∈D e(xy)−1 = y−1x−1 . (4) Pro tote x, y, z ∈P , si (x, y) , (y, z) ∈D , alora: (x, yz) ∈D si e solosi (xy, z) ∈D , in qual caso, es que x(yz) = (xy)z .

(5) Pro tote w, x, y, z ∈P , si (w, x) , (x, y) , (y, z) ∈D , alorao (w, xy) ∈D o (xy, z) ∈D .Nos dice subinde que xy es deﬁnite, in loco de (x, y) ∈D .1

2John R. Stallings1.2. Deﬁnition.

Sia P un pregruppo. Un verbo in P es un n -ena, pro alicunn ≥1 , de elementos de P , assi: (x1, .

. ., xn) .

Le numero n es appellate le longitudedel verbo. Il es possibile reducer le verbo (x1, .

. ., xn) , si, pro alicun i, il es xixi+1deﬁnite; alora (x1, .

. .

, xi−1, xixi+1, xi+2, . .

., xn) es appellate un de su reductiones.Le verbo es dicite esser reducite si nulle reduction existe; i.e., pro tote i, es que(xi, xi+1) /∈D . Tote verbo de longitude un es reducite.Si (x1, .

. ., xn) , (a1, .

. .

, an−1) es verbos, e (conveninte que a0 = an = 1 ) leproductos xiai , a−1i−1xi, a−1i−1xiai es toto deﬁnite, alora nos deﬁni le interfoliationde illo per isto, a esser:(x1, . .

., xn) ⋆(a1, . .

., an−1) = (y1, . .

., yn)que y = a−1i−1xiai .Nos provera:(1) Si X es reducite e le interfoliation X ⋆A es deﬁnite, alora X ⋆A esreducite. (2) Le relation sur verbos reducite que X ≈X ⋆A es un relation de equiv-alentia.Pro a ∈P e X = (x1, .

. .

, xn) un verbo reducite, deﬁni λa(X) assi:Si ax1 es non deﬁnite,λa(X) = (a, x1, . .

., xn).Si ax1 es deﬁnite sed (ax1)x2 non deﬁnite,λa(X) = (ax1, x2, . .

. , xn).Si ax1 e (ax1)x2 es deﬁnite,λa(X) = ((ax1)x2, x3, .

. ., xn).

(3) Si X es reducite, etiam es λa(X) . (4) Si X es reducite e ab es deﬁnite, alora λab(X) ≈λa(λb(X)) , quo ≈esdeﬁnite in (2) .

(5) Le pregruppo P pote esser incorporate in un gruppo universal U(P) , talque tote elemento g ∈U(P) pote esser scribite como un productog = x1x2 · · · xnquo (x1, . .

., xn) es un verbo reducite in P , e duo tal verbos reducite pro le mesmeg es ≈equivalente.

Generalisation del Notion de Producto Libere Amalgamate3Le theorema (5) es le principal; le alteres es lemmas pro isto, in le maniera delprova per van der Waerden [3] pro un resultato simile in le contexto del productoslibere. Illo ha le corollario que tote pregruppo es continite ﬁdelmente in su gruppouniversal.

Existe multe exemplos de pregruppos, de que un dona le producto liberecon amalgamation; un altere dona lo que nos ha denotate per AF ⊃< ϕ [2]. E alteresexiste plus estranie.

Ante doner tal exemplos, nos provera le theorema.2. Lemmas (1) (2) (3)In iste section e le proxime, sia P un pregruppo ﬁxe.2.1.

(x−1)−1 = x .Prova: Applica axiomes (4) , (2) , e (1) al producto xx−1(x−1)−1 .2.2. Si ax es deﬁnite, alora a−1(ax) es deﬁnite, e a−1(ax) = x .

Dualmente, si xaes deﬁnite, etiam es (xa)a−1 , e (xa)a−1 = x .Prova: Par axioma (2) , es que a−1a es deﬁnite e = 1 . Dunque, per axiomas (4)e (1) es a−1(ax) deﬁnite e = (a−1a)x = x .

Le caso dual se prova mesmo.2.3. Si xa e a−1y es deﬁnite, alora:xy es deﬁnite si e solo si (xa)(a−1y) esdeﬁnite, in qual caso xy = (xa)(a−1y) .Prova: Applica axioma (4) e 2.2 al producto de x, a, (a−1y) .2.4.

Si xa e a−1y es deﬁnite, alora (x, y, z) es un reducite verbo si e solo si(xa, a−1y, z) es reducite. Dualmente, (z, x, y) es reducite si e solo si (z, xa, a−1y)es reducite.Prova Nos debe monstrar que si (x, y, z) es reducite, alora (a−1y)z es non def-inite.Suppone que (a−1y)z es deﬁnite e considera {x, a, a−1y, z} .Alora, peraxioma (5) (e 2.2 e 2.1, per provar que a(a−1y) es deﬁnite), o x(a(a−1y)) esdeﬁnite o (a(a−1y))z es deﬁnite.

Perque a(a−1y) = y , in ambe casos (x, y, z) esnon reducite. Dunque, (a−1y)z es non deﬁnite si (x, y, z) es reducite; per 2.3, es(xa)(a−1y) anque non deﬁnite; ita es (xa, a−1y, z) reducite.

: Le converso e le dualse prova mesmo.On pote provar que axiomas (1) – (4) con 2.4 implica axioma (5) . Dunque,perque axiomas (1) – (4) es rationabile e natural, il necessita axioma (5) pro nostreinvestigation.2.5.

Si (x, y) es un verbo reducite, e si xa , a−1y , yb es deﬁnite, alora (a−1y)b esdeﬁnite.Prova: Si non, per 2.3 es (xa, a−1y, b) reducite. Dunque, per 2.4, es (x, y, b) re-ducite, in contradiction con yb esser deﬁnite.

4John R. Stallings2.6. Si (x, y) es un verbo reducite, si xa , a−1y , (xa)b , b−1(a−1y) es deﬁnite,alora ab es deﬁnite.Prova: Per 2.3 bis, ((xa)b)(b−1(a−1y)) es non deﬁnite.

Applica axioma (5) pro{x−1, xa, b, b−1(a−1y)} ; le consecutive productos es deﬁnite per 2.2; le producto delultime trina es non deﬁnite. Dunque per axioma (5) , le producto del prima trinaes deﬁnite.

Per axioma (4) es x−1((xa)b) = (x−1(xa))b = ab , per 2.2, deﬁnite.2.7. Lemma (1).

Sia X = (x1, . .

., xn) un verbo reducite, e A = (a1, . .

., an−1)un verbo. Conveni que a0 = an = 1 .

Suppone que xiai e a−1i−1xi es deﬁnite. Alora(a−1i−1xi)ai es deﬁnite, e Y = X ⋆A = (x1a1, a−11 x2a2, .

. ., a−1n−1xn) es reducite.Prova: Applica 2.4 e 2.5 al subverbos de X ; 2.5 monstra que (a−1i−1xi)ai es deﬁnite.A fortia de axioma (4) , nos pote omitter le parentheses.

2.4 monstra que X ⋆Aes reducite.2.8. Deﬁnition.

Per Rn o Rn(P) , nos denota le ensemble del verbos reducitede P del longitude n . Per P n−1 , nos denote le ensemble de tote verbos de P dellongitude n −1 .

Si A = (a1, . .

., an−1) e B = (b1, . .

., bn−1) ∈P n−1 , e si aibi esdeﬁnite pro tote i, alora nos denota per AB le verbo (a1b1, . .

., an−1bn−1) .2.9. Si X ∈Rn , A, B ∈P n−1 , e si X ⋆A e (X ⋆A) ⋆B pote esser deﬁnite,alora AB pote esser deﬁnite, e pois(X ⋆A) ⋆B = X ⋆(AB)Prova: Applica 2.6 al subverbos de X .

Isto monstra que AB pote esser deﬁnite.Axiomas (4) e (3) monstra que (X ⋆A) ⋆B = X ⋆(AB) .2.10. Deﬁnition.

Le relation ≈sur Rn es deﬁnite assi:(x1, . .

., xn) ≈(y1, . .

., yn)si e solo si existe (a1, . .

., an−1) ∈P n−1 tal que cata xiai e a−1i−1xi es deﬁnite, eyi = a−1i−1xiai . I.e., X ≈Y si e solo si existe A tal que Y = X ⋆A .2.11.

Lemma (2). Le relation ≈es un relation de equivalentia sur Rn .Prova: Si I = (1, .

. ., 1) , alora X = X ⋆I , ita X ≈X .

Si A = (a1, . .

., an−1)sia A−1 = (a−11 , . .

., a−1n−1) ; alora, Y = X ⋆A si e solo si X = Y ⋆A−1 ; dunque,si X ≈Y , alora Y ≈X . Si Y = X ⋆A e Z = Y ⋆B , alora per 2.9, es ABdeﬁnabile e Z = X ⋆(AB) ; dunque, si X ≈Y e Y ≈Z , alora X ≈Z .

Generalisation del Notion de Producto Libere Amalgamate52.12. Deﬁnition.

Per R o R(P) , nos denota le reunion de tote Rn , pro n =1, 2, 3, . .

.. Pro cata a ∈P e cata X ∈R , nos deﬁni un verbo λa(X) como seque:Sia X = (x1, x2, x3, .

. .) .

(1) Si (a, x1) es reducite, aloraλa(X) = (a, x1, x2, . .

. ).

(2) Si ax1 es deﬁnite sed (ax1, x2) reducite, aloraλa(X) = (ax1, x2, x3, . .

. ).

(3) Si ax1 e (ax1)x2 es deﬁnite, aloraλa(X) = ((ax1)x2, x3, . .

. ).In caso (2) nos includa, como caso degenerate, le possibilitate que X ha longitudaun, quando ax1 es deﬁnite.2.13.

Lemma (3). Si X es reducite, alora λa(X) es reducite.Prova: Isto es obvie in le casos (1) e (2) .

In caso (3) , quo ax1 , (ax1)x2 es deﬁnite,sed x1x2 e x2x3 non deﬁnite, nos debe provar que ((ax1)x2)x3 es non deﬁnite.Considera {x1, x−11 a−1, (ax1)x2, x3} e lo applica axioma (5) ; isto es possibile si((ax1)x2)x3 es deﬁnite; mais axioma (5) implicarea alora que o x1x2 o x2x3 esdeﬁnite, in contradiction con X esser reducite.3. Lemma (4)Hic nos prova3.1.

Lemma (4). Si X es reducite e ab es deﬁnite, alora λab(X) ≈λa(λb(X)) .Prova: Le prova consiste de spectar le varie casos.

Sia X = (x1, . .

. , xn) .Caso 1 : Es bx1 non deﬁnite.

Alora,λb(X) = (b, x1, . .

., xn).Subcaso 11 : Es (ab)x1 non deﬁnite. Pro applicar λa nos nos trove in caso2.12(2) ; dunqueλa(λb(X)) = (ab, x1, .

. ., xn) = λab(X).Subcaso 12 : Es (ab)x1 deﬁnite.

Alora, pro applicar λa a λb nos nos trova incaso 2.12(3) ; dunqueλa(λb(X)) = ((ab)x1, x2, . .

. , xn).

6John R. StallingsIl seque que ((ab)x1)x2 es non deﬁnite; ita, pro applicar λab a X nos nos trova incaso 2.12(2) ; dunqueλab(X) = ((ab)x1, x2, . .

., xn) = λa(λb(X)).Caso 2 : Es bx1 deﬁnite sed (bx1)x2 non deﬁnite. Alora,λb(X) = (bx1, x2, .

. .

, xn).Subcaso 21 : Es a(bx1) non deﬁnite. Alora, (a, bx1) es reducite; dunque(ab, b−1(bx1)) = (ab, x1) es redu;cite.

In iste caso,λa(λb(X)) = (a, bx1, x2, . .

., xn),λab(X) = (ab, x1, x2, . .

., xn).Dunque, λab(X) = (λa(λb(X))) ⋆(b, 1, . .

., 1) .Subcaso 22 : Es (a(bx1) deﬁnite. Alora, anque (ab)x1 es deﬁnite e = a(bx1) .Si (abx1)x2 es non deﬁnite, aloraλab(X) = λa(λb(X)) = (abx1, x2, .

. ., xn).Si (abx1)x2 es deﬁnite, aloraλab(X) = λa(λb(X)) = ((abx1)x2, x3, .

. ., xn).Caso 3 : Es bx1 e (bx1)x2 deﬁnite.

Alora,λb(X) = ((bx1)x2, x3, . .

., xn).Subcaso 31 : Es a(bx1) non deﬁnite. Alora, (ab)x1 es non deﬁnite, eλab(x1, .

. ., xn) = (ab, x1, .

. .

, xn) ≈(a, bx1, x2, . .

., xn).Ita, (bx1)x2 es non deﬁnite. In altere verbos, iste subcaso non occurre jammais.Subcaso 32 : Es a(bx1) deﬁnite.

Alora, (ab)x1 es deﬁnite e = a(bx1) .Subsubcaso 321 : Es (abx1)x2 non deﬁnite. Alora a((bx1)x2) es non deﬁnite.Dunque:λab(X) = (abx1, x2, .

. ., xn),λa(λb(X)) = (a, (bx1)x2, x3, .

. ., xn).Itaλab(X) = (λa(λb(X))) ⋆(bx1, 1, .

. ., 1).Subssubcaso 322 : Es (abx1)x2 deﬁnite.Alora (a(bx1))x2 = a((bx1)x2) esdeﬁnite, eλab(X) = ((abx1)x2, x3, .

. ., xn).Dunque, ((abx1)x2)x3 es non deﬁnite; ita,λa(λb(X)) = ((abx1)x2, x3, .

. ., xn) = λab(X).Isto exhauri tote le casos possibiles, ita prova 3.1 .

Generalisation del Notion de Producto Libere Amalgamate74. Le Theorema PrincipalPro un pregruppo P , nos ha R(P) , le ensemble de tote reducite verbos in P , surle qual nos ha le relation de equivalentia ≈.

Per eR(P) , nos denota le ensemble delclasses de ≈equivalentia.4.1. Pro tote a ∈P , le function λa : R(P) →R(P) induce un function, anquedenotate λa , eR(P) →eR(P) .Prova: Nos debe monstrar que, si Y = X ⋆B , alora λa(X) ≈λa(Y ) .

Sia X =(x1, . .

., xn) e B = (b1 . .

. , bn−1) .

Le tres casos es como seque:(1) ax1 es non deﬁnite. Sia B′ = (1, b1, .

. ., bn−1) .

In iste caso, λa(Y ) =(λa(X)) ⋆B′ . (2) ax1 es deﬁnite sed (ax1)x2 non deﬁnite.

In iste caso, λa(Y ) = (λa(X)) ⋆B . (3) ax1 e (ax1)x2 es ambes deﬁnite.

Sia B′′ = (b2, . .

., bn−1) . In iste caso,λa(Y ) = (λa(X)) ⋆B′′ .In cata caso, le verbo λa(X) es determinate; le expression al latere dextre delformula determina un verbo reducite; examine de iste verbo determina λa(Y ) .

Perexemplo, in caso (3) ,λa(X) = ((ax1)x2, x3, . .

., xn)λa(X) ⋆B′′ = ((ax1)x2b2, b−12 x3b3, . .

. , b−1n−1xn)= ((ax1b1)b−11 x2b2, .

. ., bn−1xn)= ((ay1)y2, .

. ., yn)= λa(Y ).Le producto triple (ax1)x2b2 es deﬁnite, per le dual de 2.5 , perque (x2, x3) esreducite, x2b2 e b−12 x3 es deﬁnite, e (ax1)x2 es deﬁnite.

Mesmo es ax1b1 deﬁnite.Le detalios del altere casos es plus facile.4.2. Deﬁnition.

Sia P , Q duo pregruppos. Un function ϕ : P →Q es appellateun morphismo de pregruppos si, pro tote x, y ∈P tal que xy es deﬁnite, es queϕ(x)ϕ(y) es deﬁnite, e que ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) .La classe de pregruppos con lor morphismos constitue un categoria continentele categoria de gruppos e homomorphismos.

Il existe, per nonsenso abstracte, unfunctor co-adjuncte al functor de inclusion. Isto dona le gruppo universal U(P)de un pregruppo.

I.e., U(P) es un gruppo, e ha un morphismo speciﬁc ι : P →U(P) , tal que, pro tote gruppo G e tote morphismo ϕ : P →G, il existe unhomomorphismo unic ψ : U(P) →G tal que ϕ = ψ ◦ι.4.3. Sia S le gruppo de permutationes de eR(P) .

Alora λ es un morphismo de Pin S .

8John R. StallingsProva: Perque λ1 es le function identic de eR(P) in se, e que λx ◦λx−1 = λx−1 ◦λx = λ1 , per 3.1 , tote λx pertine a S . Anque, 3.1 pote esser interpretate comodicer λ esser un morphismo.4.4.

Per le proprietate universal, λ extende unicamente a un homomorphismo,anque denotate λ, de U(P) in S . Nos denota le valor de λ sur g ∈U(P) , perλg : eR(P) →eR(P) .Perque ι(P) genera U(P) , cata g ∈U(P) pote esser scribite como g =ι(x1)ι(x2) · · ·ι(xn) , quo (x1, x2, .

. ., xn) es un verbo in P .Post applicar re-ductiones a iste verbo, nos obtene un verbo reducite (x1, .

. ., xn) tal que g =ι(x1)ι(x2) · · ·ι(xn) .

Nos denota per ∧, le verbo (1) de longitude un. Nos ha leformula:λg([∧]) = λx1(λx2(· · · (λxn([∧])) · · ·)) = [(x1, x2, .

. ., xn)],quo [ ] denota le classe de ≈equivalentia.

Tote application de un λxi hic se trovain le caso 2.12(1) .In iste maniera g determina per se le classe del verbos reducite que representag . Dunque:4.5.

Theorema. Si P es un pregruppo, alora tote elemento g ∈U(P) , le gruppouniversal de P , pote esser representate como producto x1x2 · · · xn de un verboreducite in P , (x1, .

. ., xn) .

Duo tel verbos reducite representa le mesme elementode U(P) , si et solo si illos es ≈equivalente. (Hic nos ha identiﬁcate x ∈P conι(x) ∈U(P) , pro simpliﬁcar le notation.

)Prova: Nos ha jam provate le “solo si”. Le “si” es le computation trivial que, sig = x1x2 · · · xn , alora g = (x1a1)(a−11 x2a2) · · ·(a−1n−1xn) .4.6.

Corollario. Un pregruppo P es continite ﬁdelmente in su gruppo universalU(P) .Prova: Isto vole dicer que le morphismo speciﬁc ι : P →U(P) es injective.

Istoseque del theorema, perque nulle verbo de longitude un non es equivalente a nullealtere verbo.5. Exemplos5.1.

Le plus standard exemplo de un pregruppo es facite de tres gruppos A , B ,C e de duo monomorphismos ϕ : C →A , ψ : C →B . Identiﬁca ϕ(C) con ψ(C) ;alora A ∩B = C .

Sia P = A ∪B . Le 1 e le inverso es obvie; le producto esdeﬁnite pro duo elementos x, y si e solo si le duo pertine a un singule del A oB .

Le axiomas (1) usque (4) es clarmente satisfacte. Pro axioma (5) , il frangein casos simple facile a veriﬁcar.Le gruppo universal es le producto libere conamalgamation A ∗C B .

Generalisation del Notion de Producto Libere Amalgamate95.2. Ecce un caso simile sed plus general.

Un arbore de gruppos consista de:(a) Un ensemble I , partialmente ordinate per <, con elemento minime, talque pro tote i, j, k ∈I , si i < k e j < k , alora o i ≤j o j ≤i. (Tal ensembleordinate es un sorta de arbore abstracte.

)(b) Un classe de gruppos {Gi} indicate per i ∈I . (c) Per tote i, j ∈I , si i < j , un monomorphismo φij : Gi →Gj ; tal que,per tote i, j, k ∈I , si i < j < k , alora φjk ◦φij = φik : Gi →Gk .Nos pote construer, como supra, le reunion P de tote {Gi} , identiﬁcantex ∈Gi con φij(x) ∈Gj .Le lector pote veriﬁca que, a fortia del proprietatesde arbore, con le obvie operationes, P es un pregruppo.

Le gruppos universal detal progruppos include tote ordinari productos libere con amalgamation de multefactores.5.3. Considera un producto libere amalgamate A ∗C B .

Sia P le subensemble detote elementos que pote esser scribite bab′ , pro alicun b, b′ ∈B , a ∈A ; dunque,P contine A e B e aliquanto plus. Dice que la producto xy de duo elementosx, y ∈P es deﬁnite, quando xy ∈P .

Usante le structura (per verbos reducitein A ∪B , etc.) de A ∗C B , nos pote provar que P es un pregruppo.

Le gruppouniversal de P es etiam A ∗C B ; mais le structura de A ∗C B per verbos in P esdiﬀerente de illo per verbos in A ∪B .5.4. Considera un gruppo G con subgruppo H .

Sia P le ensemble G, sed deﬁnimultiplication de x e y si e solo si al minus un de {x, y, xy} pertine a H . Istoes un pregruppo, e su gruppo universal es non troppo simile a un producto libereamalgamate.5.5.

Sia G un gruppo, H un subgruppo, e ϕ : H →G un monomorphismo.Construe quatro ensembles,G, x−1G, Gx, x−1Gx.Identiﬁca h ∈H ⊂G, con x−1ϕ(h)x ∈x−1Gx . Deﬁni multiplication inter G eG, G e Gx , x−1G e G, x−1G e Gx , Gx e x−1G, Gx e x−1Gx , x−1Gx ex−1G, x−1Gx e x−1Gx , per cancellation de xx−1 e multiplication in G. Per leformulas:hx−1 = x−1ϕ(h)xh = ϕ(h)x,que seque del identiﬁcation de H con x−1ϕ(H)x , multiplication es deﬁni in totecaso quando un factor pertina a H .

Iste monstruositate es un pregruppo, le gruppouniversal de que es appellate GH ⊃< ϕ.

10John R. StallingsReferentias[1].J. Stallings, “A remark about the description of free products of groups”,Proc.

Cambridge Philos. Soc.

62 (1966), 129–134.[2]. J. Stallings, “On the theory of ends of groups”, (a parer).[3].

B.L. van der Waerden.“Free products of groups”, Amer.

J. Math.

70 (1948),527–528. ************Universitate de CaliforniaBerkeleyfebruario 1968Vinti-cinque annos retro, io ha scribite iste articulo.

Es in le lingua interna-tional “Interlingua”, como describite in le libro del IALA (Interlingua, 1951, StormPublishers, New York), que io ha emite in Telegraph Avenue in le anno ante. In-terlingua es descendite de “Latino sine Flexione” que era usate per G. Peano in suscripturas mathematic.Sub le arbores del Ca˜non del Fragas, io habeva contemplate le problema deSerre si un gruppo sin torsion que contine un subgruppo libere de indice ﬁniteesserea libere.

Isto fructava in mi opera sur le ﬁnes del gruppos (Group Theoryand Three-Dimensional Manifolds, 1971, Yale University Press). Le notion de pre-gruppo era parte de isto.

Era presagite in opera de R. Baer sur le lege associative(Amer. J.

Math., 1949–50). Le duo exemplos principal, A ∗C B e GH ⊃< ϕ, esdebite, respectivemente, a Schreier (Hamburg.

Abh., 1927) e a Higman-Neumann-Neumann (J. London Math. Soc., 1949).

************John R. StallingsUniversitate de Californiae-posta: stall@math.berkeley.eduBerkeleyjunio 1993

출처: arXiv:9306.203 • 원문 보기

Sur un generalisation del notion de

Subscribe to koineu.com