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Sur les op´erateurs factorisables par OH

arXiv:math/9212206v1 [math.FA] 4 Dec 1992Sur les op´erateurs factorisables par OHpar Gilles PisierNote pr´esent´ee parR´esum´e. Soient H, K deux espaces de Hilbert.

Soient E ⊂B(H) et F ⊂B(K) deuxespaces de Banach d’op´erateurs, au sens de [1,2]. On ´etudie les op´erateurs u : E →F quiadmettent une factorisation E →OH →F avec des applications compl`etement born´ees `atravers l’espace de Hilbert d’op´erateurs OH que nous avons introduit et ´etudi´e dans unenote pr´ec´edente.

Nous donnons une caract´erisation de ces op´erateurs qui permet de faire uneth´eorie enti`erement analogue au cas des op´erateurs entre espaces de Banach qui se factorisentpar un Hilbert.English Abstract. Let H, K be Hilbert spaces.

Let E ⊂B(H) and F ⊂B(K) beoperator spaces in the sense of [1,2]. We study the operators u : E →F which admit afactorization E →OH →F with completely bounded maps through the operator Hilbertspace OH which we have introduced and studied in a recent note.

We give a characterizationof these operators which allows to develop a theory entirely analogous to that of operatorsbetween Banach spaces which can be factored through a Hilbert space.Abridged English version. In this note we continue the study of the operator Hilbertspace OH introduced in our previous note [6].

Let E, F be two operator spaces in the senseof [1,2]. We can assume E ⊂B(H) and F ⊂B(K) for some Hilbert spaces H and K. Wewill denote by H ⊗K the Hilbertian tensor product.

We denote by E ⊗min F the minimal(or spatial) tensor product in B(H ⊗K). We consider the space Γoh(E, F) of all operatorsu : E →F for which there are an index set I and completely bounded (in short c.b.) mapsA : OH(I) →F and B : E →OH(I) such that u = AB.

In that case, we say that ufactors through OH. We denote by γoh(u) the infimum of ∥A∥cb ∥B∥cb over all possible suchfactorizations.

If v ∈E ⊗F we denote by γoh(v) the above norm for the associated operatorfrom E∗to F (or from F ∗to E). Note that u factors through OH iffits adjoint u∗also doesand γoh(u) = γoh(u∗).

If F is the antidual E∗(i.e. the dual with the conjugate complex

multiplication) equipped with its operator space structure in the sense of [1,2] we say that amap u : E →E∗is positive if the associated sesquilinear form is positive i.e. if u(x)(x) ≥0for all x in E.THEOREM 1.

If u : E →E∗is positive and completely bounded, then u ∈Γoh(E, E∗)and γoh(u) = ∥u∥cb. Moreover, every map u in Γoh(E, E∗) can be written as u1 −u2 +i(u3 −u4) with u1, ..., u4 positive and such that γoh(uj) ≤γoh(u) for all j = 1, ..., 4.Remark.

Contrary to the Banach space case where Grothendieck’s theorem says thatevery bounded map u : C →C∗factors through ℓ2, it is not true that every c.b. mapu : B(H) →B(H)∗factors through OH.Definition.

Let E be an operator space and let F be a Banach space. An operatoru : E →F will be called (2, oh)-summing if there is a constant C such that for all finitesequences (xi) in E we have(X∥u(xi)∥2)1/2 ≤CXxi ⊗xi1/2E⊗minE .We denote by π2,oh(u) the smallest constant C for which this holds.

(Similar but differentspaces have already been considered in [1,3].) There is of course an analogue of the “Pietschfactorization” (cf.

e.g. [7]) for these operators, but the main point is that they provide aconvenient description of the dual tensor norm to the norm γoh, in “complete” analogy withthe Banach space case, as follows.THEOREM 2.

Let E, F be operator spaces and let C > 0 be a constant. The followingproperties of a map u : E →F are equivalent.

(i) u ∈Γoh(E, F) and γoh(u) ≤C. (ii) For all v : F →ℓ2 such that π2,oh(v) ≤1 the composition vu can be factorizedas vu = AB with B : E →OH completely bounded and A : OH →ℓ2 Hilbert Schmidtsatisfying ∥A∥HS ∥B∥cb ≤C.From the preceding it is easy to deduce a description of the tensor norm γ∗oh which isdual to the norm γoh, exactly as in the Banach space case, as follows.COROLLARY 3.

Let E1, E2 be two operator spaces. Assume (to simplify the statement)E2 reflexive.

For any operator u from E1 to E2 letγ∗oh(u) = sup{| < u, v > ||v ∈E1 ⊗E∗2, γoh(v) ≤1}.2

We have thenγ∗oh(u) = inf{π2,oh(B)π2,oh(A∗)}where the infimum runs over all possible factorizations of u of the form u = AB withoperators B : E1 →ℓ2 and A : ℓ2 →E2 such that B and A∗are (2, oh)−summing.Actually, a more general class of tensor norms which we called “γ-norms” in [7] can betreated in very much the same way as above for γoh. These results allow the developmentof a theory of type and cotype or of a “local theory” (see e.g.

[7] for all this) in the categoryof operator spaces.I am very grateful to David Blecher and Vern Paulsen for stimulating conversations onthe subject of this note and the preceding one [6].Cette note fait suite `a la note pr´ec´edente [6] et annonce les r´esultats d’un article `aparatre.Nous renvoyons `a [1,2] pour la th´eorie des espaces d’op´erateurs et `a notre travail [6]pour tout ce qui concerne l’espace OH (resp. OH(I)) qui est l’analogue de ℓ2 (resp.

ℓ2(I))dans la cat´egorie des espaces d’op´erateurs.Soient H, K deux Hilbert, E ⊂B(H), F ⊂B(K) deux sous-espaces ferm´es. On noteraE ⊗min F le produit tensoriel compl´et´e pour la norme induite par l’espace B(H ⊗K) desop´erateurs born´es sur le produit tensoriel hilbertien H ⊗K.

Nous renvoyons `a [1] ou [2] pourla d´efinition du dual E∗d’un espace d’op´erateur E ainsi que pour la notion d’applicationcompl`etement born´ee.Nous dirons qu’un op´erateur u : E →F se factorise par OH s’il existe un ensemble Iet des applications compl`etement born´ees B : E →OH(I) et A : OH(I) →F telles queu = AB. On pose γoh(u) = inf{∥A∥cb ∥B∥cb} o`u l’infimum porte sur toutes les factorisationspossibles de u.

On notera Γoh(E, F) l’espace des applications u : E →F qui se factorisentpar OH. C’est un espace de Banach quand on le munit de la norme γoh.

Nous noteronsE∗(resp. E∗) le dual (resp.

l’antidual) de E au sens des espaces d’op´erateurs (cf. [1,2]),de sorte qu’une application lin´eaire u : E →E∗correspond `a une application sesquilin´eairesur E × E. Nous dirons que u : E →E∗est positive si la forme sesquilin´eaire associ´ee estpositive, i.e.

si u(x)(x) ≥0∀x ∈E.3

THEOREME 1. Soit E ⊂B(H).

Soit u : E →E∗. (i) Si u est positive alors u ∈γoh(E, E∗) et γoh(u) = ∥u∥cb.

(ii) Toute application u ∈Γoh(E, E∗) peut s’´ecrire u1−u2+i(u3−u4) avec u1, u2, u3, u4positives de E dans E∗et telles que∀j = 1, ..., 4∥u∥cb = γoh(uj) ≤γoh(u).Ce th´eor`eme signifie que l’espace Γoh(E, E∗) coincide avec l’ensemble des combinaisonslin´eaires d’applications positives compl`etement born´ees de E dans E∗.Parmi les propri´et´es ´el´ementaires des op´erateurs appartenant `a Γoh(E, F), citons lessuivantes : toute ultraproduit d’applications ui avec ui ∈Γoh(Ei, Fi) etsupi∈Iγoh(ui) < ∞se factorise par OH et l’op´erateur u r´esultant de l’ultraproduit v´erifie γoh(u) ≤supi∈I γoh(ui).La borne inf´erieure dans la d´efinition de γoh(u) est atteinte. De plus, si E1 ⊂E et F1 ⊂Fsont des sous-espaces ferm´es et si on note q : E →E/E1 et j : F1 →F les morphismescanoniques alors on a pour tout u : E/E1 →F1γoh(u) = γoh(juq).D´efinition.

Soit E un espace d’op´erateurs et F un espace de Banach. Nous dirons qu’unop´erateur u : E →F entre espaces d’op´erateurs est (2, oh)-sommant s’il existe une constanteC telle que∀n∀xi ∈E(X∥u(xi)∥2)1/2 ≤CXxi ⊗xi1/2E⊗minE .On rappelle que l’on a (voir [6])Xxi ⊗xi1/2E⊗minE =Xxi ⊗TiE⊗minOHo`u (Ti) est une base orthonormale fix´ee quelconque de l’espace OH.

On notera π2,oh(u)la plus petite constante C v´erifiant cette propri´et´e et Π2,oh(E, F) l’espaces des op´erateurs(2, oh)-sommants de E dans F. C’est un espace de Banach muni de la norme π2,oh. Cet espaceest stable par composition `a droite (resp.

`a gauche) par des applications compl`etementborn´ees (resp. born´ees).

D’autres espaces du mˆeme genre (mais diff´erents) ont d´ej`a ´et´econsid´er´es dans [1] et [3].4

THEOREME 2. Soient E, F deux espaces d’op´erateurs.

Soit C une constante positive.Les propri´et´es suivantes d’un op´erateur u : E →F sont ´equivalentes :(i) u ∈Γoh(E, F) et γoh(u) ≤C. (ii) Pour tout op´erateur v ∈Π2,oh(F, ℓ2) l’op´erateur (vu)∗: ℓ2 →E∗admet unefactorisation par OH de la forme (vu)∗= wV avec V : ℓ2 →OH de Hilbert Schmidtet w : OH →E∗compl`etement born´e tels que∥V ∥HS ∥w∥cb ≤Cπ2,oh(v).Le th´eor`eme pr´ec´edent permet de donner (voir ci-dessous) une description de la normeduale de la norme γoh enti`erement analogue au cas des normes γ2 et γ∗2 dans le cadre desespaces de Banach (voir par exemple [7]).Soient E1, E2 deux espaces d’op´erateurs.

Pour tout v ∈(E1 ⊗min E2)∗on note I(v)la norme de v dans le dual de E1 ⊗min E2. C’est l’analogue de la norme int´egrale pour lesespaces d’op´erateurs.

La th´eorie des op´erateurs ”int´egraux” (et des op´erateurs ”nucl´eaires”)dans ce nouveau cadre est faite dans [4].PROPOSITION 3. Soit E un espace d’op´erateurs.

Un op´erateur u : E →ℓ2 est(2, oh)−sommant avec π2,oh(u) ≤1 si et seulement si il existe v ∈(E ⊗min E)∗avec I(v) ≤1tel que pour tout x dans E on a v(x ⊗x) ∈IR et∥u(x)∥2 ≤v(x ⊗x).En fait on peut placer ces r´esultats dans un cadre beaucoup plus large, celui des γ-normes d´ej`a ´etudi´es dans [8]. Dans le reste de cette note nous esquissons cette th´eorie (quenous d´evelopperons dans une publication ult´erieure) dans le style des id´ees originales de [5].Soit E un espace de Banach.On notera B+(E) l’ensemble des ´el´ements positifs de E ⊗E, c’est-`a-dire l’ensemble des´el´ements qui d´efinissent une forme sesquilin´eaire de rang fini σ(E∗, E)-continue et positivesur E∗×E∗.

On note que B+(E)−B+(E) peut ˆetre identifi´e au sous-espace de E ⊗E form´edes tenseurs sym´etriques.Soit γ : B+(E) →IR+ une application additive positivement homog`ene et telle que0 ≤u ≤v implique 0 ≤γ(u) ≤γ(v). Nous appellerons “poids” une telle application γ. Nous5

dirons que le poids γ est raisonnable s’il existe deux constantes c > 0 et C telles que pourtout x dans E on ac ∥x∥2 ≤γ(x ⊗x) ≤C ∥x∥2 .Tout poids homog`ene γ donn´e sur B+(E) ⊂E ⊗E peut ˆetre prolong´e sur E ⊗E en posant∀u ∈E ⊗Eγ(u) = inf{γ(Xxi ⊗xi)1/2γ(Xyi ⊗yi)1/2}o`u l’infimum porte sur toutes les repr´esentationsu =nX1xi ⊗yi,xi ∈E,yi ∈E.Si γ est raisonnable, ce prolongement d´efinit une norme sur E ⊗E. Plus g´en´eralement, soitE1, E2 deux espaces de Banach et soit γ1, γ2 deux poids raisonnables respectivement surB+(E1) et B+(E2).

On peut poser pour u = Pn1 xi ⊗yi ∈E1 ⊗E2(1)γ(u) = inf{γ1(Xxi ⊗xi)1/2γ2(Xyi ⊗yi)1/2}o`u l’infimum porte sur toutes les repr´esentations possibles de u. On v´erifie alors ais´ementque γ est une norme sur E1 ⊗E2.

On notera E1 ˆ⊗γE2 l’espace compl´et´e associ´e. On peutmontrer que la norme duale de γ est essentiellement du mˆeme type.

Plus pr´ecis´ement, on aTHEOREME 4. Soient E1, E2 deux espaces de dimension finies munis de poids raisonnablesγ1 sur B+(E1) et γ2 sur B+(E2).

On notera γ1 (resp. γ2) la norme ´etendant γ1 sur E1 ⊗E1(resp.

E2 ⊗E2) et γ∗1 (resp. γ∗2) la norme duale sur E∗1 ⊗E∗1 (resp.

E∗2 ⊗E∗2). Soit γ la normeassoci´ee sur E1⊗E2 comme en (1) ci-dessus.

Alors sa norme duale γ∗coincide avec la normeassoci´ee comme en (1) ci-dessus avec les normes γ∗1 et γ∗2, c’est-`a-dire que pour tout v dansE∗1 ⊗E∗2 on aγ∗(v) = inf{γ∗1(Xξi ⊗ξi)1/2γ∗2(Xη1 ⊗ηi)1/2}o`u l’infimum porte sur toutes les repr´esentations possibles de la forme v = Pn1 ξi ⊗ηi avecξi ∈E∗1, ηi ∈E∗2.On peut voir le th´eor`eme 2 comme un cas particulier du th´eor`eme 4, en prenant γ1 et γ2´egales `a la norme du produit tensoriel minimal (=spatial). On notera que l’on peut d´eduiredu th´eor`eme 2 (ou du th´eor`eme 4) une description de la norme tensorielle γ∗oh comme suit.Soient E1, E2 deux espaces d’op´erateurs.

Pour tout u ∈E1 ⊗E2 posonsγ∗oh(u) = sup{| < u, v > ||v ∈E∗1 ⊗E∗2, γoh(v) ≤1}.6

Soit E un espace d’op´erateurs arbitraire et soient u, v ∈(E ⊗min E)∗on note u ≤v si u et vsont sym´etriques et si u(x, x) ≤v(x, x) pour tout x dans E. Comme d’habitude un ´el´ementde E ⊗E peut aussi ˆetre consid´er´e comme un ´el´ement de (E∗⊗min E∗)∗. On peut alors poser∀u ∈E ⊗min Eavecu ≥0α(u) = inf{I(v)|v ∈(E∗⊗min E∗)∗,u ≤v}.On a alorsCOROLLAIRE 5.

Soient E1, E2 deux espaces d’op´erateurs. Pour tout u ∈E1 ⊗E2 on aγ∗oh(u) = inf{α(Xxi ⊗xi)1/2α(Xyi ⊗yi)1/2}o`u l’infimum porte sur toutes les repr´esentations u = Pn1 xi ⊗yi,xi ∈E1,yi ∈E2.Parmi les cons´equences notons que pour tout u ∈E1 ⊗E2 on a γ∗oh(u) ≥γoh(u).

Deplus, si E2 est suppos´e r´eflexif (pour simplifier l’´enonc´e) on aγ∗oh(u) = inf{π2,oh(B)π2,oh(A∗)}o`u l’infimum porte sur toutes les repr´esentations possibles de u de la forme u = AB avecB : E∗1 →ℓ2 et A : ℓ2 →E2 tels que B et A∗sont (2, oh)−sommants. Enfin pour toutop´erateur v : E1 →OH on a π2,oh(v) ≥∥v∥cb.Signalons qu’on peut montrer en suivant des id´ees bien connues que, si la norme γ estcomme en (1), l’application canonique de E1 ˆ⊗γE2 dans le produit tensoriel injectif E1∨⊗E2est toujours injective quels que soient les espaces de Banach E1 et E2.Les id´ees pr´ec´edentes permettent de d´evelopper des notions d’espace d’op´erateurs detype 2 ou de cotype 2.

Soit E un espace d’op´erateurs, F un espace de Banach et u : F →Eun op´erateur. On notera Π∗2,oh(F, E) la classe des op´erateurs w : F →E admettant unefactorisation de la forme F →OH →E avec A : OH →E compl`etement born´e etB : F →OH tel que pour une base orthonorm´ee (Tn) de OH on a P ∥B∗(Tn)∥2 < ∞.On posera π∗2,oh(w) = inf{∥A∥cb (P ∥B∗(Tn)∥2)1/2} o`u l’infimum porte sur toutes lesfactorisations possibles de w.Soit E un espace d’op´erateur et F un espace de Banach.

On posera pour v ∈E ⊗Fd2,oh(v) = inf{Xxi ⊗xi1/2(X∥yi∥2)1/2}7

o`u l’infimum porte sur toutes les repr´esentationsv =nX1xi ⊗yi,xi ∈E,yi ∈F.Soit E ˆ⊗d2,ohF le compl´et´e associ´e. Il est facile de v´erifier (en suivant des id´ees bien connuesdes sp´ecialistes des espaces de Banach) que (E ˆ⊗d2,ohF)∗s’identifie isom´etriquement `al’espace Π2,oh(E, F ∗).

De mani`ere ´equivalente si l’on associe `a v ∈E ⊗F un op´erateur˜v : F ∗→E, on voit ais´ement qued2,oh(v) = inf{∥A∥cb (X∥B∗Tn∥2)1/2}o`u l’infimum porte sur toutes les factorisations ˜v = AB avec B : F ∗→OH, A : OH →E eto`u (Tn) est une base orthonormale fix´ee de OH. Soit alors E ⊂B(H) un espace d’op´erateurs.Soit (ei) la base canonique de ℓ2.

Soit x = (xi) une suite finie dans E, on note ux = P xi⊗eil’op´erateur de E∗dans ℓ2 d´efini par ux(ξ) = P ξ(xi)ei. Soit (gi) une suite de variablesal´eatoires gaussiennes ind´ependantes standard sur un espace de probabilit´e (Ω, A, P).

Onnotera L2(E) l’espace L2(Ω, A, P; E).Nous dirons qu’un espace d’op´erateurs E est de OH-type 2 (resp. OH-cotype 2) s’ilexiste une constante C telle que pour toute suite finie (xi) dans E on aXgixiL2(E) ≤Cπ2,oh(Xxi ⊗ei).

(resp.d2,oh(Xxi ⊗ei) ≤CXgixiL2(E)).On peut v´erifier par exemple (voir [6] pour des d´efinitions pr´ecises) que l’espace R∩C est deOH-type 2 et que R + C est de OH-cotype 2. On obtient alors ais´ement l’analogue pour lesespaces d’op´erateurs d’une s´erie de th´eor`emes classiques en “th´eorie locale” des espaces deBanach.

Par exemple, on peut ´etendre un th´eor`eme de Kwapie´n (voir [7]) : tout op´erateurborn´e d’un espace E de OH-type 2 dans un espace F de OH-cotype 2 se factorise par OH(et a fortiori est compl`etement born´e).Notons qu’un espace de OH-type 2 (resp. OH-cotype 2) est a fortiori de type 2 (cotype2) au sens usuel puisque pour tout ´el´ement Pn1 xi ⊗yi de E ⊗F les op´erateurs associ´esu : E∗→F et u∗: F ∗→E v´erifient π2,oh(u) ≤π2(u) et π2(u∗) ≤d2,oh(P xi ⊗yi).Je remercie David Blecher et Vern Paulsen pour des conversations stimulantes sur lesujet de cette note et de la note pr´ec´edente [6].8

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출처: arXiv:9212.206 • 원문 보기