Riemannian foliations on CROSSes

📝 Abstract

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본 논문은 단순 연결된 비구형 CROSS(Compact Rank One Symmetric Space) — 복소 사영공간 ( \mathbb{C}P^{n} ), 사원 사영공간 ( \mathbb{H}P^{n} ), 그리고 오쿤 사영평면 ( \mathbb{O}P^{2} ) — 위에 존재할 수 있는 모든 비자명한 리만 포엽을 완전히 분류한다.
주요 결과는 다음과 같다.

1. **( \mathbb{C}P^{2m+1} ) (차원 (4m+2))**에서는 비자명한 리만 포엽이 존재한다면, 그것은 반드시 표준 트위스터(쌍곡선) 사영 ( T:\mathbb{C}P^{2m+1}\to\mathbb{H}P^{m} ) 의 섬유에 의해 주어진 단순(fiber) 포엽이다.

2. ( \mathbb{H}P^{n} )와 ( \mathbb{O}P^{2} ) 에서는 어떠한 비자명한 리만 포엽도 존재하지 않는다.

이러한 결론은 기존에 구형 (S^{n}) 에 대한 리만 포엽 분류(

💡 Deep Analysis

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📄 Full Content

라만 구면 위의 리만 계통을 분류하는 문제는 생각보다 오래 걸렸다. 여러 사람들의 여러 논문에 걸쳐서야 비로소 완전한 해답이 제시되었다([Ran85], [GG88], [Wil01], [LW16]). 특히 [LW16]에서는 위상 구면 위의 리만 계통을 완전히 해결하였다.

정리 1.1 ([LW16])

(S^{n})와 위상 동형인 리만 다양체 ((M,g)) 위에 차원 (k)인 리만 계통 (\mathcal F)가 있다고 하자.
(0<k<n)이면 다음 중 하나가 반드시 성립한다.

1. (n=2\ell+1) ((\ell\in\mathbb N_{>0})), (k=1)이며, 계통은 등거리 흐름에 의해 주어진다(리만 계량을 바꾸어도 동일하게 만들 수 있다).
2. (n=4\ell+3) ((\ell\in\mathbb N_{>0})), (k=3)이며, 일반적인 잎은 (S^{3}) 혹은 (\mathbb{RP}^{3})와 미분동형이다.
3. (n=15), (k=7)이며 (\mathcal F)는 단순하다. 즉 ((M,g)\to (B,g_{B}))인 리만 서브머전션의 섬유들로 이루어져 있고, ((B,g_{B}))는 위상 동형인 (S^{8}), 섬유는 위상 동형인 (S^{7})이다.

위 세 경우는 모두 실제로 발생한다.

본 논문에서는 남은 단순 연결된 CROSS(즉 (\mathbb{C}P^{n},\ \mathbb{H}P^{n},\ \mathbb{O}P^{2})) 위의 리만 계통을 완전히 분류한다.

정리 A

(0<k<\dim M)인 차원 (k)의 리만 계통 ((M,\mathcal F))가 존재하고, ((M,g))가 단순 연결된 비구형 CROSS와 위상 동형이라고 하자. 그러면

1. (M)은 (\mathbb{C}P^{2m+1}) ((m\in\mathbb N_{>0}))와 위상 동형이며, 계통은 트위스터 번들
   [ T:\mathbb{C}P^{2m+1}\longrightarrow \mathbb{H}P^{m},\qquad [x_{0}:\dots:x_{2m+1}]\mapsto [x_{0}+x_{1}j:\dots:x_{2m}+x_{2m+1}j] ] 의 섬유들에 의해 주어진다(표준 메트릭을 사용한다면 위 서브머전션은 위 번들과 동형이다).

2. (\mathbb{H}P^{n}) 혹은 (\mathbb{O}P^{2})와 위상 동형인 다양체 위에는 비자명한 리만 계통이 존재하지 않는다.

1. 기본 설정

(M)을 (\mathbb{C}P^{n})와 위상 동형인 리만 다양체라 하고, 위상 동형사상 (f:M\to\mathbb{C}P^{n})를 잡는다.
표준 호프 섬유 [ H_{n}:S^{2n+1}\longrightarrow \mathbb{C}P^{n} ] 를 (f)를 통해 끌어올리면 [ H_{n}:f^{}(S^{2n+1})\longrightarrow M ] 이라는 “호프‑유사” principal (S^{1})-번들이 얻어진다. 여기서 (f^{}(S^{2n+1}))는 (S^{2n+1})와 위상 동형이며, 우리는 이 번들에 (S^{1})-작용을 등거리로 만드는 계량을 선택하고, (H_{n})을 리만 서브머전션으로 만든다.

이제 차원 (k) ((0<k<2n))인 리만 계통 ((M,\mathcal F))가 존재한다고 가정한다.
(H_{n}^{-1}(\mathcal F))를 (\mathcal F)의 끌어올린 계통이라 두면, ([LW16])에서 얻은 분류 결과를 바로 적용할 수 있다.

[ L_{p}= \text{잎 } \mathcal F \text{ 의 }p\text{-점 통과 잎},\qquad L_{q}= \text{끈어올린 잎 } H_{n}^{-1}(\mathcal F) \text{ 의 }q\text{-점 통과 잎} ] ((q\in H_{n}^{-1}(p))).

정리 1.1에 의해 (\dim L_{q}=3) 혹은 (7)이며, 따라서 (\dim L_{p}=2) 혹은 (6)이다. 아래에서는 두 경우를 각각 다룬다.

2. 차원 3인 섬유(잎) 경우

([LW16])에 따르면, 이 경우 일반적인 잎은 (S^{3}) 혹은 (\mathbb{RP}^{3})와 미분동형이다. 따라서 모든 잎 (L)는 (S^{3})에 의해 유한히 커버되며, (\pi_{1}(L))는 유한군이다.

또한 3‑차원 계통은 차원 (4m+3)인 구면 위에서만 나타날 수 있다([LW16]). 따라서 [ n=2m+1\qquad (m\in\mathbb N_{>0}). ]

2.1. 잎이 (S^{3})인 경우

(H_{n})의 제한은 [ S^{1}\longrightarrow L\longrightarrow L ] 이라는 principal (S^{1})-번들을 만든다.
(L\simeq S^{3})이면 긴 정확열에 의해 (L)는 단순 연결이며, 따라서 (L)는 위상적으로 (S^{2})와 동형이다(섬유가 닫히고 단순 연결이므로).

2.2. 잎이 (\mathbb{RP}^{3})인 경우

(L)가 비자명하게 (S^{3})에 의해 커버될 때도 동일한 긴 정확열을 적용한다. [ \pi_{2}(L)\cong\ker(\varphi)\neq0 ] 이므로 (\pi_{2}(L)\neq0)인 2‑차원 폐다양체는 오직 (S^{2})와 (\mathbb{RP}^{2})뿐이다.
(S^{1}\to L\to L)가 방향가능하므로 Gysin exact sequence를 살펴보면 [ H^{2}(L;\mathbb Z)=\mathbb Z ] 가 되어야 하므로 (L)는 결국 (S^{2})와 위상 동형이다.

2.3. 단순성

모든 잎이 단순 연결이므로 ([Esc82])의 정리 2.2에 의해 잎공간 (B:=M/\mathcal F)는 리만 다양체이며, [ \pi:M\longrightarrow B,\qquad p\mapsto L_{p} ] 는 리만 서브머전션이 된다. 즉 (\mathcal F)는 단순이다.

위와 같은 단순 계통을 (f^{}(S^{4m+3}))에 끌어올리면 역시 단순 계통이 된다.
(f^{}(S^{4m+3}))는 위상 구면이므로 ([Bro63])의 정리 5.1에 의해 그 섬유는 반드시 (S^{3})와 동형이며, 따라서 원래의 (\mathcal F)는 [ \mathbb{C}P^{2m+1}\xrightarrow{;T;}\mathbb{H}P^{m} ] 와 동형인 트위스터 번들의 섬유들에 의해 주어진다.

3. 차원 7인 섬유 경우

정리 1.1에 따르면 이 경우는 오직 [ 2n+1=15\quad\Longrightarrow\quad n=7 ] 일 때만 가능하다. 위와 같은 끌어올림 과정을 거치면

• 잎 (L)는 위상적으로 (S^{7})이며,
• (S^{1}\to S^{7}\to L)는 fibration이고 (\dim L=6)이다.

(\pi_{1}(L)=0)이므로 ([Esc82])에 의해 잎공간 (B)는 리만 다양체이고 (\mathcal F)는 단순이다. 정리 1.1에 의해 (B)는 위상 구면 (S^{8})와 동형이다.

3.1. 위상적 모순

(M)의 전체 Pontryagin 클래스는 [ p(T M)=1+8c^{2}+28c^{4}+56c^{6}\in H^{}(M;\mathbb Z),\qquad H^{}(M;\mathbb Z)\cong\mathbb Z[c]/(c^{4}) ] 이다([Nov65], [MS74]).

반면 서브머전션 (\pi:M\to B)에 의해 [ T M = H\oplus V,\qquad p(T M)=p(H)\cup p(V) ] 이며, (B\cong S^{8})는 안정적으로 평행가능하므로 (p(H)=1).
(V)는 차원 6이므로 (p(V)=1+a c^{2}) ((a\in\mathbb Z)). 따라서 [ p(T M)=1+a c^{2} ] 이어야 하는데, 앞서 얻은 (p(T M)=1+8c^{2}+28c^{4}+56c^{6})와 모순이다.
따라서 차원 7인 섬유를 갖는 비자명한 리만 계통은 존재하지 않는다.

4. (\mathbb{C}P^{2m+1})에 대한 구체적 설명

(M)이 표준 메트릭을 갖는 (\mathbb{C}P^{2m+1})와 등거리(동형)라면, 위에서 얻은 결과는 다음과 같이 구체화된다.

1. 표준 복소 호프 섬유
   [ H_{2m+1}:S^{4m+3}\longrightarrow \mathbb{C}P^{2m+1} ] 를 끌어올리면 ((S^{4m+3},\mathcal F))라는 리만 계통을 얻게 된다.

2. ([GG88])에 따르면, 차원 3인 계통은 동질이며, 이는 어떤 표현 [ \tau:Sp(1)\longrightarrow O(4m+4) ] 에 의해 주어진다. 위에서 보였듯이 (\mathcal F)는 단순이므로 (\tau)는 자유 작용이다.
   자유 작용의 분류에 따라 (\tau)는 대각 삽입 [ Sp(1)\hookrightarrow Sp(m+1)\hookrightarrow O(4m+4) ] 와 동형이다.

3. 따라서 존재하는 등거리 동형사상 [ \varphi:S^{4m+3}\longrightarrow S^{4m+3} ] 가 있어, (\varphi)는 (Sp(1))-궤적을 표준 복소 호프 섬유의 궤적으로 보낸다.
   이 (\varphi)는 결국 [ \psi:\mathbb{C}P^{2m+1}\longrightarrow \mathbb{C}P^{2m+1} ] 라는 등거리 동형을 유도하고, 아래의 교환 사각형을 만족한다.

[ \begin{array}{ccc} S^{4m+3} & \xrightarrow{;\varphi;} & S^{4m+3}\[4pt] \downarrow H_{2m+1} & & \downarrow H_{2m+1}\[4pt] \mathbb{C}P^{2m+1} & \xrightarrow{;\psi;} & \mathbb{C}P^{2m+1} \end{array} ]

결국 (\mathcal F)는 트위스터 번들 [ T:\mathbb{C}P^{2m+1}\longrightarrow \mathbb{H}P^{m} ] 의 섬유들에 의해 주어진다.

5. (\mathbb{H}P^{n})와 (\mathbb{O}P^{2})에 대한 비존재 결과

5.1. (\mathbb{H}P^{n}) 경우

(f:M\to\mathbb{H}P^{n})를 위상 동형이라 하고, quaternionic 호프 섬유 [ H_{n}:S^{4n+3}\longrightarrow \mathbb{H}P^{n} ] 를 끌어올리면 [ H_{n}:f^{*}(S^{4n+3})\longrightarrow M ] 가 된다. 앞과 동일하게 끌어올린 계통을 살피면 정리 1.1에 의해 [ 4n+3=15\quad\Longrightarrow\quad n=3,\qquad L_{q}\cong S^{7},\ \dim L_{p}=4. ]

트위스터 번들 [ T:\mathbb{C}P^{7}\longrightarrow \mathbb{H}P^{3} ] 를 이용하면, 위와 같은 방법으로 차원 6인 계통이 (\mathbb{C}P^{7}) 위에 존재해야 한다는 모순을 얻는다(섹션 2.2에서 증명한 바와 동일). 따라서 (\mathbb{H}P^{n}) 위에는 비자명한 리만 계통이 존재하지 않는다.

5.2. (\mathbb{O}P^{2}) 경우

(\mathbb{O}P^{2})의 정합동동류(cohomology)와 스티펠‑와이너트 클래스는 [ H^{*}(M;\mathbb Z_{2})\cong \mathbb Z_{2}[c]/(c^{3}),\qquad w(T M)=1+c+c^{2} ] 이다([MS74]).

만일 차원 (k) ((0<k<16))인 계통이 존재한다면, 위와 같은 분해 [ T M = H\oplus V,\qquad w(T M)=w(H)\cup w(V) ] 가 가능해야 한다. 그러나 (H)와 (V)의 차원은 모두 16보다 작아야 하므로, 두 클래스의 곱이 (1+c+c^{2})가 되도록 할 수 없다는 간단한 대수적 모순이 발생한다. 따라서 (\mathbb{O}P^{2}) 위에는 어떠한 비자명한 계통도 존재하지 않는다.

6. 동형동류(CROSS)와 동류동형(CROSS) 사이의 일반화 가능성

위의 논증은 위상 동형뿐 아니라 동형동류(homotopy equivalence)에도 어느 정도 적용될 수 있다.

• (f:M\to\mathbb{C}P^{n})가 동형동류이면, 끌어올린 사상 [ F:f^{*}(S^{2n+1})\longrightarrow S^{2n+1} ] 역시 동형동류가 된다. 일반화된 포인케 추측에 의해 이는 실제 위상 동형이며, 앞서 사용한 ([LW16])의 결과를 그대로 적용할 수 있다. 따라서 (n)은 홀수이고 (\dim L=2) 혹은 (6)이며, 두 번째 경우는 오직 (n=7)에서만 가능하다.

• (f:M\to\mathbb{H}P^{n})가 동형동류이면 위와 같은 논법으로 (n=3)이고 (\dim L=4)임을 얻는다.

• (\mathbb{C}P^{2n+1})에 대해서는 (\dim L=2) 경우는 위와 같이 완전히 제어되지만, 현재로서는 (\dim L=6)인 경우를 배제하지 못한다. 따라서 동형동류 수준에서의 완전한 분류는 아직 남아 있다.

• (\mathbb{O}P^{2})에 대해서는 스티펠‑와이너트 클래스가 동형동류 불변량이므로, 위의 비존재 논증은 그대로 적용되어 동형동류인 경우에도 비자명한 계통이 없음을 알 수 있다.

7. 결론

• (\mathbb{C}P^{2m+1}) 위에서는 모든 비자명한 리만 계통이 트위스터 번들
  [ T:\mathbb{C}P^{2m+1}\to\mathbb{H}P^{m} ] 의 섬유들에 의해 주어진다.

• (\mathbb{H}P^{n}) 와 (\mathbb{O}P^{2}) 위에는 어떠한 비자명한 리만 계통도 존재하지 않는다.

• 위 결과는 위상 동형뿐 아니라, (\mathbb{O}P^{2})에 대해서는 동형동류까지도 포함한다. (\mathbb{C}P^{2n+1})와 (\mathbb{H}P^{n})에 대한 동형동류 수준의 완전한 분류는 아직 남아 있는 과제이다.

이상은 “Riemannian foliations on CROSSes”에 대한 최신 연구 결과를 한국어로 번역·정리한 내용이다.