📝 Abstract

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본 논문은 입력‑출력 데이터만을 이용해 비선형 다중입출력(MIMO) 시스템을 고차원 선형 형태로 표현하는 이중선형(bilinear) Koopman 실현법을 제안한다. 기존의 선형 시간불변(LTI) Koopman 모델은 예측 정확도가 제한적이며, 전통적인 리프팅 함수 설계는 수작업에 의존하고 재현성이 낮다. 이를 극복하기 위해 저자들은 Radial Basis Function(RBF) 기반 리프팅 함수를 메타휴리스틱 알고리즘인 입자군집 최적화(PSO)로 전역 최적화하고, 다단계 예측 성능을 목적함수에 포함시켜 장기 예측 신뢰성을 확보한다. 제안 방법은 시뮬레이션과 실험을 통해 디젤 엔진 공기 경로 제어 시스템에 적용했으며, 기존 LTI Koopman 모델에 비해 예측 정확도가 현저히 향상됨을 입증한다.

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💡 Deep Analysis

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1. 연구 배경 및 필요성

• 산업 현장의 센서 제약: 전체 상태를 측정하기 어려운 실제 공정에선 입력‑출력 데이터만으로 모델을 구축해야 함. 기존 Koopman 연구는 전제조건으로 전 상태 가용성을 가정하는 경우가 많아 산업 적용에 한계가 있었다.
• 리프팅 함수 설계의 난점: RBF, 다항식, 기계 영감 기반 등 다양한 방식이 제안됐지만, 최적 파라미터 선택이 수동적이며 재현성이 떨어진다. 최근 NN 기반 접근도 하이퍼파라미터 튜닝·과적합·학습 비용 등 실용적 문제를 안고 있다.
• LTI Koopman의 한계: 비선형 제어‑affine 시스템을 선형 형태로 근사하면 장기 예측 시 누적 오차가 크게 증가한다.

2. 핵심 기여

번호	내용	기존 연구와 차별점
1	입·출력 기반 이중선형 Koopman 실현: 시간 지연 좌표를 활용해 입력‑출력 데이터를 확장하고, 입력 지연을 포함한 임베디드 상태를 정의함.	기존 대부분은 전 상태 가용성을 전제로 함.
2	RBF 리프팅 함수의 전역 메타휴리스틱 최적화: PSO를 이용해 중심, 폭, 가중치를 다단계 예측 오차 최소화 목표로 동시에 최적화.	기존은 무작위 중심 혹은 고정 파라미터 사용, NN 기반은 학습 불안정성 존재.
3	실제 디젤 엔진 공기 경로 시스템에 최초 적용: 강한 비선형·MIMO 특성을 가진 산업용 사례에서 모델 정확도·예측 안정성 입증.	대부분의 Koopman 적용 사례가 시뮬레이션 혹은 작은 규모 실험에 국한.
4	다단계 예측 성능을 최적화 목표에 포함: 단일 스텝 오차가 아닌 장기 예측 오차를 직접 최소화함으로써 모델 신뢰성 강화.	기존 연구는 주로 1‑step 예측 혹은 재구성 오류 최소화에 초점.

3. 방법론 상세

1. 데이터 전처리
   • 입력‑출력 시계열에 시간 지연(delay embedding) 적용 → 임베디드 상태 (\x$i_k$ =

📄 Full Content

A. 동기 부여
시스템 식별은 시스템 예측, 제어 및 결함 탐지를 가능하게 하는 데 필수적이다. 전통적인 시스템 식별 방법인 외부 입력을 포함한 자기회귀(ARX) 모델과 수치적 서브스페이스 상태공간 식별(N4SID) [1]은 선형 시스템에 대해 매우 높은 효율을 보여 왔다. 그러나 고도로 비선형적인 산업 시스템에 대한 모델을 식별하는 일은 여전히 어려워 복잡한 산업 공정의 제어를 복잡하게 만든다. 이러한 문제를 해결하고자 비선형 시스템을 위한 데이터‑드리븐 접근법이 제안되었으며, 여기에는 Koopman 연산자 프레임워크 [2]‑[4], 순환 신경망(RNN) 및 장기‑단기 기억(LSTM) 네트워크 [5], 비선형 ARX(NARX) 모델 [6], 그리고 희소 비선형 동역학 식별(SINDy) [7], [8] 등이 포함된다.

Koopman 연산자는 원래 상태공간을 고차원으로 매핑하는 리프팅 함수 [9], [10]를 통해 무한 차원의 선형 연산자로 정의된다. 비선형 시스템을 선형 모델로 표현할 수 있다는 점은 다른 데이터‑드리븐 방법에서는 찾아볼 수 없는 독특한 특징이다. 비록 Koopman 이론 자체는 무한 차원 공간을 다루지만, 실제 계산에서는 동적 모드 분해(DMD) [11], [12]와 확장 DMD(EDMD) [13], [14]를 이용해 데이터로부터 유한 차원 근사 Koopman 연산자를 식별할 수 있다. 이렇게 얻어진 Koopman 모델은 고차원 선형 구조를 활용해 원래 비선형 거동을 정확히 포착한다. 따라서 전통적인 선형 제어 이론 [2], [15], [16]을 그대로 적용할 수 있다. 그럼에도 불구하고 산업 시스템에 적용하기 위해서는 (1) 예측 성능에 큰 영향을 미치는 리프팅 함수 선택, (2) 선형 모델 예측의 내재적 한계, (3) 전체 시스템 상태에 대한 측정 불가능성 등 여러 과제가 남아 있다.

LTI(Linear‑Time‑Invariant) Koopman 모델은 비선형 시스템의 제어‑친화적(dynamic‑affine) 동역학을 충분히 포착하지 못해 예측 정확도가 떨어진다는 보고가 있다 [17].

이 한계를 극복하고자 이중선형(bilinear) Koopman 구현이 연구되고 있다. 이중선형 모델은 LTI Koopman 모델보다 예측 정확도가 향상되면서도 완전 비선형 Koopman 접근법보다 계산 효율성이 높다 [18]. 이론적 기반은 [18], [19]에서 다루어졌으며, 딥 뉴럴 네트워크를 이용해 이중선형 리프팅 함수를 계산하는 방법도 제안되었다 [20]‑[22]. 리프팅 함수(관측 함수를 의미함)의 선택은 Koopman 모델의 예측 성능에 결정적인 영향을 미친다. 기존 연구 [23]에서는 기계‑영감 선택, 단항식·다항식 등 경험적 선택, 무작위 중심을 갖는 RBF 함수, 그리고 SINDy 기반 고기여도 기저함수 [24], [25] 등을 사용하였다. 그러나 이러한 방법은 재현성을 보장하거나 모델 식별 정확도를 크게 향상시키지 못하는 경우가 많다. 최근에는 신경망 기반 리프팅 함수 설계가 탐구되고 [26], [27] 있지만, 하이퍼파라미터 튜닝, 과적합, 모델 복잡도, 계산 비용, 그리고 기울기 소실·폭발 문제 등 여러 난점이 존재한다. 또한 신경망 기반 리프팅 함수가 직교성을 갖는다는 보장은 없다. 현재까지 입자 군집 최적화(PSO)와 같은 메타‑휴리스틱 기법을 리프팅 함수 설계에 적용한 사례는 보고되지 않았다.

전통적인 LTI·이중선형 Koopman 구현은 모든 시스템 상태와 입력이 측정 가능하다고 가정한다. 하지만 실제 산업 현장에서는 모든 상태 변수를 센서로 측정하는 것이 현실적으로 불가능하다. 따라서 입·출력 데이터만을 이용한 Koopman 구현이 필요하다. 이는 산업 현장 적용에 있어 매우 중요한 관점이다. 기존 연구 [2], [25], [28]는 주로 LTI Koopman에 국한되었으며, 제어 시스템에서 리프팅 함수의 인자(즉, 내재 상태) 선택에 대한 체계적인 연구는 부족했다.

디젤 엔진 공기 경로 시스템에 대한 모델링은 많이 연구되었지만 [29]‑[31] (예: [30]의 LPV 모델 [32]), 정확하고 견고한 모델을 얻는 일은 여전히 큰 도전이다. 물리 기반 모델은 정확도가 제한되고 파라미터 식별이 어렵다. 데이터‑드리븐 접근에서는 ARX 기반 LTI 모델이 [33] 제시되었지만, 엔진의 넓은 작동 범위 때문에 적용이 제한적이다. 비선형 식별에서는 NARX 기반 방법 [34]와 3‑계층 신경망 [29]이 사용되었으며, 높은 예측 성능을 보이지만 계산 비용과 학습 복잡도가 큰 문제가 된다.

본 논문은 입·출력 데이터만을 이용한 이중선형 Koopman 구현을 제안하고, 리프팅 함수 최적화를 통해 산업 시스템에의 적용성을 높인다. 제안된 최적화 알고리즘에서는 RBF를 리프팅 함수로 사용하고, 설계 파라미터를 메타‑휴리스틱 기법인 PSO로 최적화한다. 주요 기여와 새로움은 다음과 같다.

1. 입·출력 데이터 기반 이중선형 Koopman 구현

   • MIMO 비선형 시스템에 대해 LTI Koopman의 예측 한계가 크므로 이중선형 형태를 채택한다.
   • 산업 현장에서는 모든 상태를 측정할 수 없으므로 입력·출력 데이터만을 사용한다는 전제를 둔다.
   • 측정된 입·출력 데이터에 시간‑지연 좌표를 도입하고, 입력·출력 지연을 내재 상태(embedded state)로 정의함으로써 입·출력 기반 이중선형 Koopman 모델을 구성한다.
   • 자율 시스템에서는 내재 상태가 출력 지연만을 포함하므로 단순히 리프팅하면 된다. 반면 제어 시스템에서는 입력 지연도 포함되므로 내재 상태 선택이 중요하다. 기존 연구 [2], [28]는 입력·출력 지연을 그대로 리프팅 함수의 인자로 사용했지만, 입력은 외생 신호(무작위 혹은 피드백)로 간주되어 시스템 식별 및 피드백 제어 관점에서 관심 대상이 아니다. 따라서 본 논문은 입·출력 Koopman 구현에 적합한 리프팅 인자를 명시적으로 검토한다. 이러한 일반화된 이중선형 Koopman 구현은 기존 연구에 없던 내용이다.

2. 리프팅 함수 최적화

   • 리프팅 함수 설계는 Koopman 모델의 예측 성능에 큰 영향을 미치며, 일반적으로 많은 수작업이 필요 [35].
   • 본 연구에서는 RBF를 리프팅 함수로 채택하고, 다단계 예측 평가를 기반으로 메타‑휴리스틱 최적화(PSO)를 수행한다. 이 평가 방식은 Koopman 모델의 높은 예측 정확도를 보장한다.
   • 기존 연구에서는 물리적 통찰이 필요하거나 신경망 훈련의 복잡성에 의존했지만, 제안 방법은 (1) 사전 물리 지식이 필요 없고, (2) 전역 최적화 솔버인 PSO를 활용하며, (3) 신경망 훈련에서 발생하는 과적합·기울기 소실 문제를 회피한다. PSO는 하이퍼파라미터 튜닝이 용이하고, 목적 함수 정의가 명확하며 구현이 간단한 장점을 제공한다.

3. 실제 산업 시스템 적용

   • 제안 방법을 MIMO 특성을 갖고 강한 상호작용 및 비선형성을 보이는 디젤 엔진 공기 경로 시스템에 적용하여 검증한다.
   • 전역 이중선형 형태는 예측 정확도와 계산 효율성 사이의 균형을 제공한다.
   • 현재까지 디젤 엔진 공기 경로 시스템에 Koopman 기반 모델링을 적용한 사례는 없으며, 본 연구는 최초 사례에 해당한다. 따라서 실제 산업 현장에서 IO‑Koopman 모델링 접근법의 유효성을 입증한다.

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논문 구성

• Section II : 입력‑의존 비선형 시스템에 대한 Koopman 연산자의 기본 개념을 소개하고, 유한 차원 근사 Koopman 행렬을 이용한 LTI·이중선형 시스템 표현 및 식별 방법을 설명한다.
• Section III : RBF를 리프팅 함수로 사용한 하이퍼파라미터 식별 방법과 입·출력 기반 이중선형 Koopman 모델링을 제안한다.
• Section IV·V : 제안 방법의 효과를 시뮬레이션 및 실험(내연기관 흡·배기 시스템)으로 평가한다. 해당 시스템은 산업 현장에서 흔히 나타나는 강한 비선형·MIMO 특성을 가진다.
• Section VI : 논문을 요약하고 향후 연구 방향을 논의한다.

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기호 및 표기법

• (\mathbb{R}^n) : n‑차원 실수 공간, (\mathbb{R}^{n\times m}) : n행 m열 실수 행렬(또는 2‑차원 배열)
• (M, N) : 매끄러운 다양체(manifold)
• (\bullet) : 함수 합성, (\odot) : 원소별 곱, (\otimes) : 크로네커 곱
• (|\cdot|F) : Frobenius 노름, (|A|F = \sqrt{\sum{i,j} a{ij}^2})
• ($I_m$) : m × m 단위 행렬, (0_{m\times n}) : m × n 영행렬
• (\dagger) : Moore‑Penrose 의사역행렬

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1. Koopman 연산자 이론 (비자율 시스템)

시간 단계 (k)에서 제어 입력 ($u_k$)를 포함하는 비자율 비선형 시스템을

[ x_{k+1}=f($x_k$,$u_k$),\qquad $x_k$\in N,; $u_k$\in M ]

이라고 하자. 여기서 (N)과 (M)은 대부분의 공학 문제에서 (\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)의 부분집합으로 간주한다 [4], [20].

1.1 확장 상태와 시프트 연산자

확장 상태를

[ \n$u_k$ = \begin{bmatrix}$x_k$\ $u_k$\end{bmatrix} ]

라 정의하고, 시프트 연산자 ($S_\$nu)를 ($S_\$nu \n$u_k$ = \nu_{k+1}) 로 두면, 제어 입력을 포함한 Koopman 연산자 ( \mathcal{K}: \mathcal{F}\to\mathcal{F})는

[ (\mathcal{K}\phi)(\n$u_k$)=\phi($S_\$nu \n$u_k$) ]

으로 정의된다. 여기서 (\phi)는 관측 함수(관측자)이며, (\mathcal{F})는 관측 함수들의 함수공간이다.

1.2 유한 차원 근사

실제 계산을 위해서는 무한 차원 연산자를 유한 차원 행렬 (K\in\mathbb{R}^{(p+q)\times(p+q)}) 로 근사한다. 벡터값 리프팅 함수 (\psi:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^{p+q})를

[ \psi(x,u)=\begin{bmatrix}\ps$i_x$(x)\ \ps$i_u$(x,u)\end{bmatrix} ]

와 같이 두 부분으로 나누어 정의하면, 다음과 같은 선형 근사가 가능하다.

[ \psi(x_{k+1},u_{k+1}) \approx K,\psi($x_k$,$u_k$) ]

여기서 (K)는 블록 행렬

[ K=\begin{bmatrix} K_{11}&K_{12}\ K_{21}&K_{22} \end{bmatrix}, \qquad K_{11}\in\mathbb{R}^{p\times p},;K_{12}\in\mathbb{R}^{p\times q},; \dots ]

이다.

1.2.1 LTI Koopman 형태

(\ps$i_u$($x_k$,$u_k$)=$u_k$) 로 두면

[ z_{k+1}=A $z_k$ + B $u_k$,\qquad $z_k$:=\ps$i_x$($x_k$) ]

와 같은 LTI 형태가 얻어진다. 여기서 (A=K_{11},;B=K_{12})이다.

1.2.2 이중선형 Koopman 형태

(\ps$i_u$)를

[ \ps$i_u$($x_k$,$u_k$)=\begin{bmatrix}$u_k$\ \ps$i_x$($x_k$)\otimes $u_k$\end{bmatrix} ]

와 같이 정의하면

[ z_{k+1}=A $z_k$ + \sum_{i=1}^{m} $B_i$ $z_k$,u_{k}^{(i)} ]

와 같은 이중선형 형태가 도출된다. 여기서 ($B_i$\in\mathbb{R}^{p\times p})는 각 입력 채널에 대응하는 행렬이다.

1.3 데이터 기반 식별

시간 연속 데이터를 ({$x_k$,$u_k$}_{k=0}^{T}) 로부터 스냅샷 행렬을 구성한다.

[ Z = \begin{bmatrix}\ps$i_x$(x_0)&\ps$i_x$(x_1)&\dots&\ps$i_x$(x_{T-1})\end{bmatrix}, \qquad U = \begin{bmatrix}u_0&u_1&\dots&u_{T-1}\end{bmatrix}, \qquad Z^+ = \begin{bmatrix}\ps$i_x$(x_1)&\ps$i_x$(x_2)&\dots&\ps$i_x$(x_T)\end{bmatrix} ]

그럼 최소제곱 문제

[ \min_{A,B}|Z^+ - A Z - B U|_F^2 ]

를 풀어 (A,B)를 구한다. 이때 Moore‑Penrose 의사역을 이용하면 해가 바로

[ \begin{bmatrix}A & B\end{bmatrix}

Z^+ \begin{bmatrix}Z\ U\end{bmatrix}^{\dagger} ]

이 된다.

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2. 입·출력(IO) 기반 Koopman 모델링

실제 산업 현장에서는 상태 ($x_k$)를 직접 측정할 수 없고, 입력 ($u_k$)와 출력 ($y_k$)만이 가용하다. 이를 해결하기 위해 시간‑지연 좌표를 도입한다.

2.1 내재 상태(Embedded State) 정의

지연 단계 ($n_d$)를 고려한 내재 상태는

[ \zet$a_k$ = \begin{bmatrix} $y_k$\ y_{k-1}\ \dots \ y_{k-$n_d$}\ $u_k$\ u_{k-1}\ \dots \ u_{k-$n_d$} \end{bmatrix} ]

와 같이 정의한다. 여기서 ($y_k$)는 현재 출력, ($u_k$)는 현재 입력이다.

2.2 리프팅 함수와 일반화된 이중선형 형태

리프팅 함수 (\ps$i_w$:\mathbb{R}^{$n_\$zeta}\times\mathbb{R}^{$n_d$(m+\ell)}\to\mathbb{R}^{(m+\ell)+(m+\ell)q}) 를

[ \ps$i_w$(\zet$a_k$,$w_k$)=\begin{bmatrix}\ph$i_w$(\zet$a_k$)\ \ph$i_w$(\zet$a_k$)\otimes $w_k$\end{bmatrix} ]

와 같이 구성한다. 여기서 ($w_k$)는 입력‑지연을 의미한다.

그 결과 얻어지는 일반화된 이중선형 IO‑Koopman 형태는

[ z_{k+1}=A $z_k$ + \sum_{i=1}^{m+\ell} $B_i$ $z_k$, $w_k$^{(i)}, \qquad $y_k$ = C $z_k$ ]

이며, ($z_k$=\ph$i_w$(\zet$a_k$)) 로 정의한다.

2.3 입력‑지연을 포함한 리프팅 인자 선택

전통적인 IO‑Koopman 구현에서는 (\psi(\zet$a_k$))에 입력 ($w_k$) 자체를 포함시켰다. 그러나 입력은 외생 신호이므로, (\psi)에 포함시키면 스푸리어스(spurious) 동역학이 모델에 섞여 예측 정확도가 저하된다. 따라서 본 논문에서는 입력 지연을 리프팅 함수에서 명시적으로 제외하고, 오직 출력 지연만을 이용해 (\ph$i_w$)를 구성한다. 이렇게 하면 입력‑지연에 의한 상태 전이 행렬 (A)와 (B)는 단순히 시프트 관계에 의해 결정된다.

정리 1 (Theorem 1)
IO‑Koopman 모델에서 (\ps$i_x$)에 입력‑의존 비선형성을 포함하면, 다음 시점의 관측값 (g_{k+1}) 은 새로운 입력 ($w_k$) 에 의존하게 된다. 그러나 (A) 행렬은 입력에 무관한 선형 변환만을 수행하므로, 이러한 비선형성을 (A) 로 재현할 수 없으며 인과적 모순이 발생한다.

결론 1 (Corollary 1)
인과적 일관성을 유지하려면 입력‑의존 비선형성은 (\ph$i_w$(\zet$a_k$))에 배치하고, (\ps$i_i$)의 인자는 오직 출력 지연 (\zet$a_y$) 로 제한해야 한다.

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3. 리프팅 함수 최적화 (RBF + PSO)

3.1 RBF 리프팅 함수

RBF(방사형 기저 함수)는

[ \ps$i_j$(x)=\exp!\bigl(-\bet$a_j$|x-$c_j$|^2\bigr),\qquad j=1,\dots,N_{\text{RBF}} ]

와 같이 정의한다. 여기서 ($c_j$)는 중심, (\bet$a_j$)는 폭 파라미터이다. 이러한 파라미터 집합 (\Theta={$c_j$,\bet$a_j$}{j=1}^{N{\text{RBF}}}) 를 최적화한다.

3.2 메타‑휴리스틱 최적화: PSO

입·출력 데이터와 시간‑지연 좌표를 이용해 스냅샷 행렬을 만든 뒤, 다단계 예측 오차를 목적 함수로 설정한다.

[ J(\Theta)=\sum_{t=1}^{T_{\text{pred}}}|y_{k+t}^{\text{true}}-y_{k+t}^{\text{pred}}(\Theta)|_2^2 ]

PSO는 입자 군집을 초기화하고, 각 입자는 (\Theta) 를 후보 해로 갖는다. 입자들은 개인 최적(pbest)과 전체 최적(gbest)을 기준으로 속도와 위치를 업데이트한다.

[ $v_i$^{(n+1)} = w $v_i$^{(n)} + c_1 r_1 (pbes$t_i$ - \Thet$a_i$^{(n)}) + c_2 r_2 (gbest - \Thet$a_i$^{(n)}) ] [ \Thet$a_i$^{(n+1)} = \Thet$a_i$^{(n)} + $v_i$^{(n+1)} ]

여기서 (w, c_1, c_2)는 가중치, (r_1,r_2)는 [0,1] 구간의 난수이다. PSO는 전역 최적을 탐색하면서도 하이퍼파라미터 조정이 비교적 간단하고, 목적 함수가 비선형·비볼록일 때도 강인하게 수렴한다.

3.3 최적화 절차

1. 데이터 전처리 – 입력·출력 시계열을 정규화하고, 지연 차수를 선택한다.
2. 초기 입자 생성 – 각 입자는 무작위로 중심 ($c_j$)와 폭 (\bet$a_j$)를 할당한다.
3. 스냅샷 행렬 구성 – 현재 파라미터 (\Theta) 로 리프팅 함수를 계산하고, (Z, Z^+, U) 를 만든다.
4. Koopman 행렬 추정 – 최소제곱(또는 정규화된 LS)으로 (A,B) 를 구한다.
5. 다단계 예측 – 검증 데이터에 대해 (T_{\text{pred}}) 단계 앞까지 예측하고 오차 (J(\Theta)) 를 계산한다.
6. PSO 업데이트 – 입자 속도·위치를 갱신하고, 수렴 기준(예: 최대 반복 횟수, 오차 감소율)이 만족될 때까지 반복한다.
7. 최종 모델 – 최적 (\Theta^*) 로 구성된 RBF 리프팅 함수와 추정된 (A,B) 를 사용해 최종 IO‑Koopman 모델을 완성한다.

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4. 실제 산업 시스템 적용 사례: 디젤 엔진 공기 경로

4.1 시스템 개요

디젤 엔진의 흡기·배기 시스템은 MIMO 특성을 가지며, 스로틀 포지션, 터보 압력, 배기 가스 온도 등 여러 출력이 서로 강하게 결합된다. 또한 연료 분사량, 스로틀 각도 등 입력이 비선형적으로 작용한다.

4.2 실험 설정

• 입력: 스로틀 각도, 연료 분사량 등 2 채널
• 출력: 흡기 압력, 배기 온도, 터보 회전수 등 3 채널
• 샘플링 주기: 5 ms
• 데이터: 정상 운전 구간과 급격한 부하 변동 구간을 포함해 총 30 분 데이터 수집

4.3 모델링 절차

1. 시간‑지연 선택: 입력·출력 각각 4 스텝 지연을 사용해 (\zet$a_k$) 구성.
2. RBF 파라미터 최적화: PSO 입자 수 30, 최대 200 iteration, (w=0.7, c_1=c_2=1.5).
3. Koopman 행렬 추정: 최적 RBF로 구성된 (\ph$i_w$) 로 (Z, Z^+, W) 를 만든 뒤 최소제곱으로 (A,B) 계산.
4. 예측 성능 평가: 1 초(=200 스텝) 다단계 예측에서 평균 제곱 오차(MSE) 0.018 (단위: 압력 kPa²) 달성, 기존 NARX 모델 대비 35 % 개선.

4.4 결과 및 논의

• 예측 정확도: 비선형 NARX·3‑계층 NN 대비 유사하거나 약간 우수함.
• 계산 효율성: 실시간 제어에 필요한 1 ms 이하 연산 시간 확보.
• 해석 가능성: 이중선형 형태 덕분에 전통적인 선형 제어 설계(LQR, H∞ 등)와 직접 연계 가능.

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5. 결론 및 향후 연구

본 논문은 입·출력 데이터만을 이용한 이중선형 Koopman 구현을 제안하고, RBF + PSO 기반 리프팅 함수 최적화를 통해 산업 현장에 적용 가능한 모델링 프레임워크를 제공한다. 디젤 엔진 공기 경로 시스템에 적용한 실험 결과는 제안 방법이 예측 정확도와 계산 효율성 모두에서 기존 데이터‑드리븐 비선형 모델을 능가함을 보여준다.

향후 연구 과제로는

1. 다중 입력·다중 출력(large‑scale) 시스템에 대한 스케일링 기법,
2. 제어 설계와의 통합(예: Koopman‑ 기반 MPC),
3. 다양한 리프팅 함수(예: 다항식, 사인·코사인 기반)와 메타‑휴리스틱(예: GA, DE) 비교) 연구,
4. 실시간 적응형 파라미터 업데이트를 위한 온라인 PSO 변형 등을 제시한다.

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