Gradient Networks for Universal Magnetic Modeling of Synchronous Machines

📝 Abstract

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본 논문은 포화 현상과 공간 고조파를 포함한 동기 전동기의 비선형 자기 특성을 물리‑정보 신경망(Physics‑Informed Neural Network, PINN)으로 모델링하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 핵심 아이디어는 그라디언트 네트워크(Gradient Network) 를 직접 전동기 기본 방정식에 삽입하여, 자기장 에너지의 그래디언트(전류·토크) 를 학습함으로써 에너지 보존(상호성)과 단조성(monotonicity)을 본질적으로 만족하도록 하는 것이다.

• 보편적 근사성: 임의의 물리적으로 허용 가능한 자기장 에너지 함수를 근사 가능.
• 데이터 효율성: 제한된 학습 데이터(실험·FEM)만으로도 높은 정확도 확보.
• 물리적 일관성: 에너지 균형 자동 보장, 매끄러운 출력, 안정적인 역변환(전류↔플럭스링크) 제공.
• 실험 검증: 5.6 kW 영구자석 동기 저항형 전동기(PMSynRM) 데이터를 이용해 기존 LUT·블랙박스 NN 대비 우수한 성능 입증.

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💡 Deep Analysis

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1. 연구 배경 및 필요성

• 전동기 제어·추정에 필수적인 고정밀 자기 모델은 포화와 고조파를 정확히 반영해야 한다. 기존 접근법(분석식, LUT, 블랙박스 NN)은 각각 표현력 제한, 차원 저주, 데이터·메모리 요구량 등의 문제를 안고 있다.
• PINN과 Hamiltonian NN은 물리적 제약을 도입해 데이터 효율성을 높였지만, 수치 미분에 의존하는 구조는 학습 안정성을 저해한다.

2. 핵심 기여

구분	내용	의의
그라디언트 네트워크 설계	에너지 함수 (W(\ps$i_s$,\theta)) 를 직접 모델링하지 않고, 그라디언트 (g(x)=\nabla W(x)) 를 신경망으로 학습. Jacobian이 대칭·양의 준정부호 보장.	물리 법칙(에너지 보존·상호성)을 구조적으로 만족, 수치 미분 불필요.
단조성·볼록성 보장	Monotone Gradient Network 와 μ‑strong convexity 를 위한 선형 항 (A_0) 도입.	전류‑플럭스링크 간 일대일 대응 확보 → 안정적인 모델 역변환 및 최적 경로 생성 가능.
공간 고조파 처리	Fourier Feature(사인·코사인) 를 입력에 결합, 고조파에 대한 주기성 유지.	고조파가 존재하는 실제 전동기에서도 매끄러운 출력과 물리적 일관성 유지.
활성화 함수 연구	Softplus·Squareplus(전류), Algebraic Sigmoid·p‑norm(플럭스링크) 등 다양한 활성화 함수 비교·제안.	포화 특성에 맞는 비선형성을 효율적으로 구현, 연산 비용 절감.
실험 검증	측정 데이터와 FEM 시뮬레이션을 이용해 5.6 kW PMSynRM 모델링. 학습 데이터 10 % 수준에서도 RMS 오류 < 1 % 달성.	데이터 효율성 및 일반화 능력 입증, 기존 LUT·NN 대비 메모리·연산량 절감.

3. 강점

1. 물리적 일관성: 에너지 함수의 그래디언트 형태를 직접 학습함으로써, 토크와 전류가 자동으로 에너지 보존 관계를 만족한다. 이는 제어 설계 시 안정성 분석에 큰 장점.
2. 보편적 근사 능력: 이론적으로 모든 단조 보존 벡터 필드를 근사 가능하므로, 복잡한 교차 포화·각도 의존성까지 포괄.
3. 데이터 효율성: FEM·실험 데이터 몇 백 개만으로도 높은 정확도 확보, 실시간 시스템 식별에 적합.
4. 역변환 가능: 볼록성 보장으로 전류↔플럭스링크 양방향 매핑이 가능, 전동기 설계·최적화에 활용 가능.
5. 연산 효율: p‑norm·Squareplus 등 경량 활성화 함수 사용으로 GPU/임베디드 구현 시 연산 부하 감소.

4. 한계 및 개선점

항목	내용	제언
학습 안정성	큰 파라미터(β)값에 따라 활성화 함수가 포화되며, 초기화가 민감할 수 있음.	β에 대한 정규화·스케줄링 기법 도입.
고차원 확장	현재 2‑D(𝜓_d,𝜓_q)·각도 입력에 초점. 다상(3‑phase)·다축(다중 포트) 시스템으로 확장 시 차원 저주 가능성.	차원 축소(오토인코더)·다중 스케일 그라디언트 네트워크 설계.
실시간 적용	모델 추론 속도는 LUT 대비 빠르지만, 고해상도 Fourier Feature와 다수 hidden unit 사용 시 실시간 제어(>10 kHz)에서 부하.	하드웨어 친화적 구조(양자화·프루닝)와 FPGA/ASIC 구현 검증 필요.
물리적 파라미터 해석	네트워크 가중치가 직접적인 물리량(자성·투과율)과 연결되지 않음.	가중치 → 물리 파라미터 매핑을 위한 사후 분석 기법 개발.
검증 범위	단일 5.6 kW PMSynRM에 대한 실험만 수행. 다양한 전동기(인덕션, 유도, 고전압)에서 일반화 여부 미확인.	다른 전동기 토폴로지·전압 등급에 대한 추가 실험 필요.

5. 향후 연구 방향

1. 멀티‑물리 연계: 열·기계·전기 결합 모델에 그라디언트 네트워크를 확장하여 전동기 열화·진동 예측에 활용.
2. 온라인 적응: 실시간 데이터 스트림을 이용한 연속 학습(continual learning) 프레임워크 구축, 파라미터 드리프트 보정.
3. 제어 통합: 모델 기반 예측 제어(MPC)와 직접 결합, 미분 가능한 구조를 이용해 최적 제어 입력을 자동 미분으로 계산.
4. 표준화 및 툴킷: 오픈소스 Gradient‑Magnetics 라이브러리 제공, 전동기 설계·제어 엔지니어가 손쉽게 적용 가능하도록 API 설계.

6. 종합 평가

본 논문은 그라디언트 네트워크라는 최신 딥러닝 이론을 전동기 자기 모델링에 성공적으로 적용함으로써, 물리적 일관성, 데이터 효율성, 모델 역변환 가능성이라는 세 가지 핵심 요구사항을 동시에 만족한다. 특히 볼록성·단조성 보장이라는 수학적 구조적 제약을 통해 기존 블랙박스 NN이 갖는 “물리 불일치” 문제를 근본적으로 해결하였다. 실험 결과는 제한된 데이터에서도 높은 정확도를 보여, 실제 산업 현장에서의 적용 가능성을 크게 높인다. 다만, 실시간 구현과 다양한 전동기 토폴로지에 대한 검증이 추가된다면, 이 접근법은 전동기 설계·제어 분야의 새로운 표준이 될 잠재력을 충분히 가지고 있다.

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📄 Full Content

동적 전기기계 모델링에 관한 한국어 번역 (2000자 이상)

동기 전기기계의 전동, 추정, 모니터링 및 구동기의 설계·최적화에 있어 동적 모델은 필수적이다. 기계 모델링에서 가장 난이도가 높은 부분은 자기 모델이며, 이는 플럭스 연계(ψ), 전류(i), 로터 각(θ), 전자기 토크(T) 사이의 관계를 마그네토스태틱(정자기) 조건 하에 기술한다[1],[2]. 전력 밀도가 높은 최신 전기기계에서는 자기 포화 현상이 크게 나타나므로 모델에 반드시 포함시켜야 한다. 또한, 설계·최적화 단계에서 시간 영역 시뮬레이션을 수행하기 위해서는 공간 고조파를 포함한 고정밀 모델이 요구된다.

비선형 자기 특성은 분석 함수[3]–[7], 룩업 테이블[8]–[13], 혹은 신경망[14]–[17]을 이용해 모델링한다. 이러한 모델은 유한 요소법(FEM) 데이터[18], 실험실 측정값[19], 혹은 자동 식별 루틴[20]을 기반으로 특성화된다. 분석 모델은 정확도가 제한적이며, 공간 고조파나 다상 기계와 같이 차원이 늘어날 경우 확장이 어렵다. 룩업 테이블은 2차원에서는 효율적이지만 차원이 증가하면 차원의 저주와 높은 메모리 요구, 선형 보간 시 비부드러운 출력 문제가 발생한다. 블랙박스 신경망은 고차원 복잡 함수를 근사할 수 있고 룩업 테이블보다 메모리 요구가 적지만, 대규모 데이터셋이 필요하고 외삽 능력이 제한되며 에너지 균형 보장이 어렵다.

이러한 블랙박스 신경망의 한계를 극복하기 위해 **물리‑인포메드 신경망(Physics‑Informed Neural Networks, PINN)**이 데이터와 물리 법칙을 결합한다[21]–[24]. 특히 해밀토니안 신경망(Hamiltonian Neural Networks)[23],[24]은 전기기계가 포트‑해밀토니안 시스템[25]이며, 자기장 에너지가 해밀토니안으로 작용한다는 점에서 유용하다. 기본 물리 원리[1],[2]에 따르면 전류 벡터와 전자기 토크는 각각 플럭스 연계 벡터와 로터 각에 대한 에너지 함수의 기울기(gradient)이다.

해밀토니안 신경망은 해밀토니안을 신경망으로 모델링하고, 수치 미분을 통해 기울기를 얻는다. 이는 블랙박스 네트워크에 비해 데이터 효율성과 물리 일관성을 향상시키지만, 스칼라 신경망을 미분해 기울기를 얻는 과정에서 여전히 수치적 어려움이 존재한다[26].

최근 제안된 그라디언트 네트워크(Gradient Networks)[26]는 보존적인 벡터장을 직접 모델링함으로써 스칼라 네트워크를 미분할 필요 없이 모든 보존 벡터장을 보편적으로 근사한다. 이 접근법은 에너지 보존·상호성 같은 물리 법칙을 자동으로 만족시키면서 데이터 효율성과 일반화 성능을 동시에 개선한다.

본 논문에서는 동기 전기기계에 대한 물리‑인포메드 자기 모델링 프레임워크를 제안한다. 기본 전기‑기계 동역학[1],[2]과 그라디언트 네트워크[26]를 결합하여, **정류 전류(iₛ)**와 **전자기 토크(Tₑ)**를 **스칼라 에너지 함수 W(ψₛ, θₘ)**의 기울기로 직접 모델링한다. 이렇게 하면 설계 단계부터 물리적 일관성이 보장된다. 또한 단조(모노톤) 그라디언트 네트워크를 사용해 에너지 함수가 **볼록(convex)**하도록 강제함으로써, 플럭스 연계와 전류 사이의 유일하고 가역적인 관계를 확보한다. 공간 고조파를 포착하기 위해 푸리에(Fourier) 피처[27]를 도입했으며, 이는 보존적인 필드 구조를 유지하면서 고조파 성분을 효과적으로 학습한다. 결과적으로 교차 포화(cross‑saturation)와 각도 의존성 등을 포함한 복잡한 자기 거동을 보편적으로 근사할 수 있다. 또한 활성화 함수들을 비교하고, 일반적으로 사용되는 소프트맥스(softmax) 대신 𝑝‑노름 그라디언트 활성화를 제안한다.

논문의 구성

• Section II: 물리 기반 기계 모델을 리뷰한다.
• Section III: 제안하는 그라디언트 네트워크 구조를 상세히 설명한다.
• Section IV: 5.6 kW 영구자석(PM) 동기 저항기계(PMSRM)에서 측정 및 FEM 데이터셋을 이용해 모델을 검증한다. 제한된 학습 데이터에도 불구하고 높은 정확도와 물리 일관성을 보임을 확인한다.
• Section V: 결론을 제시한다.

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기호 및 표기법

• 스칼라는 이탤릭(𝑥)으로, 열벡터는 굵은 소문자(𝑥), 행렬은 굵은 대문자(𝐀)로 표기한다.
• 모든 양은 퍼-unit(p.u.) 기준이며, 별도 명시가 없을 경우 기본값을 사용한다.
• ψₛₛ = [ψ_α, ψ_β]ᵀ : 고정자 플럭스 연계 벡터
• iₛₛ = [i_α, i_β]ᵀ : 고정자 전류 벡터
• uₛₛ = [u_α, u_β]ᵀ : 고정자 전압 벡터
• Rₛ : 고정자 저항
• θₘ : 고정자 좌표계에 대한 로터 d‑축 전기각
• ωₘ : 로터 전기 속도

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1. 손실 없는 자기 시스템

손실(보존) 없는 자기 시스템을 가정하면, 자기 거동은 필드 에너지 함수 Wₛ(ψₛₛ, θₘ) 로 완전히 기술된다. 따라서 고정자 전류와 전자기 토크는 다음과 같이 표현된다[1],[2]

[ i_{s} = \frac{\partial W_{s}}{\partial \psi_{s}}, \qquad T_{e} = -\frac{\partial W_{s}}{\partial \theta_{m}} ]

여기서 퍼‑unit 값을 사용한다. 토크 식에 마이너스 부호가 붙는 이유는 양의 기계 출력을 기계 밖으로 정의하기 때문이다. 즉, 전류와 (음의) 토크는 에너지 함수의 기울기를 이루는 것이다.

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2. 로터(dq) 좌표계로의 변환

로터 d‑축을 기준으로 회전하는 dq 좌표계에서 모델을 표현하면 보다 직관적이다. 좌표 변환은 행렬 지수(exp) 형태로

[ \begin{bmatrix}\psi_{d}\ \psi_{q}\end{bmatrix} = \exp!\bigl(J\theta_{m}\bigr), \begin{bmatrix}\psi_{\alpha}\ \psi_{\beta}\end{bmatrix}, \qquad J = \begin{bmatrix}0 & -1\ 1 & 0\end{bmatrix} ]

와 같이 쓸 수 있다. 여기서 ψₛ = [ψ_d, ψ_q]ᵀ 를 예시로 들었으며, 다른 벡터도 동일하게 변환한다.

2‑1. 모델 구조

(3)의 변환을 적용하면 상태 방정식(1)은 dq 좌표계에서

[ \dot{\psi}{d}= -R{s}i_{d}+u_{d}-\omega_{m}\psi_{q},\qquad \dot{\psi}{q}= -R{s}i_{q}+u_{q}+\omega_{m}\psi_{d} ]

와 같이 된다. 여기서 iₛ = [$i_d$, $i_q$]ᵀ, uₛ = [$u_d$, $u_q$]ᵀ 이다. 필드 에너지 함수는 W(ψₛ, θₘ)=Wₛ(ψₛₛ, θₘ) 로 표현된다. 좌표 변환과 체인 룰(부록 A)을 적용하면 자기 모델(2)은

[ i_{s}= \frac{\partial W}{\partial \psi_{s}},\qquad T_{e}= -\frac{\partial W}{\partial \theta_{m}} ]

와 같이 된다.

보존적인 자기 시스템에서는 전류 지도 iₛ(ψₛ, θₘ) 가 단조(monotone) 하다[1]. 수학적으로는 증분 역인덕턴스 행렬

[ \Gamma_{s}= \frac{\partial i_{s}}{\partial \psi_{s}} ]

가 양정(positive‑definite) 임을 의미한다. 이는 ψₛ에 대해 엄격히 볼록(convex) 인 에너지 함수 W(ψₛ, θₘ)와 동치이다. 반면 θₘ에 대한 의존성은 일반적으로 비단조이며 주기적이다(회전 대칭성 때문).

2‑2. 공간 고조파가 없는 q‑축 대칭

공간 고조파를 무시하고 d‑축을 영구자석(PM) 플럭스와 일치시킨 경우, 필드 에너지는 q‑축 플럭스 연계에 대해 짝대칭(even) 이다. 즉

[ W(\psi_{d},\psi_{q}) = W(\psi_{d},-\psi_{q}) ]

을 만족한다. 여기서 행렬 C는 q‑축 플럭스 연계를 반전시킨다. 이 대칭을 강제하기 위해 대칭화된 에너지 함수

[ \tilde{W}(\psi_{s}) = \frac{1}{2}\bigl[W(\psi_{d},\psi_{q}) + W(\psi_{d},-\psi_{q})\bigr] ]

를 정의한다. (6)의 대칭 조건은 이 정의에 의해 자동으로 만족한다. 대칭화된 에너지는 보존 구조와 볼록성을 모두 유지한다(볼록 함수의 반사·평균은 볼록함).

공간 고조파를 제외하고 (7) 을 사용하면 자기 모델(5)은

[ i_{d}= \frac{\partial \tilde{W}}{\partial \psi_{d}},\qquad i_{q}= \frac{\partial \tilde{W}}{\partial \psi_{q}} ]

와 같이 단순화된다. 이 모델은 q‑축 대칭을 보장한다. 즉

[ i_{d}(\psi_{d},-\psi_{q}) = i_{d}(\psi_{d},\psi_{q}),\quad i_{q}(\psi_{d},-\psi_{q}) = -i_{q}(\psi_{d},\psi_{q}) ]

가 성립한다. 따라서 모든 ψ_d 에 대해 $i_q$(ψ_d, 0)=0 이다. 공간 고조파를 포함하면 에너지는 θₘ에 의존하고 전류·토크는 θₘ에 대해 주기적이 되지만, q‑축 대칭은 더 이상 강제되지 않는다.

2‑3. 코에너지 기반 듀얼 모델

대안으로 코에너지(co‑energy) 기반 듀얼 모델 ψₛ(iₛ, θₘ) 를 정의할 수 있다. 에너지 W와 코에너지 W′는 레전드르 변환(Legendre transform) 으로 연결된다

[ W’ (i_{s},\theta_{m}) = i_{s}^{\top}\psi_{s} - W(\psi_{s},\theta_{m}) ]

이 관계를 이용하면 듀얼 모델은

[ \psi_{s}= \frac{\partial W’}{\partial i_{s}},\qquad T_{e}= \frac{\partial W’}{\partial \theta_{m}} ]

가 된다(토크 식의 부호가 양수가 됨에 유의).

에너지 기반 모델(5)과 코에너지 기반 듀얼 모델(9) 중 어느 것을 사용할지는 응용 목적에 따라 결정된다. 전류 지도 iₛ(ψₛ, θₘ) 가 필요하면 에너지 기반을, 플럭스 연계 지도 ψₛ(iₛ, θₘ) 가 필요하면 듀얼 모델을 선택한다. 엄격한 볼록성 덕분에 두 지도는 가역(invertible) 하다.

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3. 그라디언트 네트워크

3‑1. 구조

그라디언트 네트워크는 모든 단조 보존 벡터장을 보편적으로 근사한다[26]. 그림 2에 나타낸 바와 같이 N개의 은닉 유닛을 갖는 구조는

[ g(x)=b_{0}+A_{0},x + A^{\top}\sigma!\bigl(Wx+b\bigr) ]

와 같이 표현된다. 여기서

• (x\in\mathbb{R}^{N}) : 입력(전처리된) 벡터
• (W\in\mathbb{R}^{N\times N}) : 은닉 가중치 행렬
• (b\in\mathbb{R}^{N}) : 은닉 편향
• (\sigma(z)) : 활성화 벡터 (각 성분은 스칼라 함수)
• (A_{0}) : 대칭 양정(positive‑semidefinite) 행렬, 출력 선형 항을 담당
• (b_{0}) : 출력 편향

활성화 함수 (\sigma) 의 야코비안(J_{\sigma}=∂\sigma/∂z) 은 대칭이며 양정이어야 한다. 요소별(원소별) 활성화 (\sigma(z)=[\sigma_{1}(z_{1}),\dots,\sigma_{N}(z_{N})]^{\top}) 를 사용하면 각 (\sigma_{i}) 가 비감소(monotone non‑decreasing) 하면 조건을 만족한다.

이 네트워크는 본질적으로 보존(conservative) 이며, 야코비안 (J_{g}=∂g/∂x) 가 대칭이다(부록 B). 또한 (J_{g}) 가 양정이므로 단조(monotone) 하다. 따라서 볼록 스칼라 함수 (W(x)) 가 존재해

[ g(x)=\bigl[∂W(x)/∂x\bigr]^{\top} ]

를 만족한다. 중요한 점은 (W(x)) 를 명시적으로 모델링할 필요가 없다는 것이며, 이것이 그라디언트 네트워크 구조의 핵심 장점이다.

3‑2. 요소별 활성화 함수

요소별 활성화는 구현이 간단하고 연산 비용이 낮다. 하지만 모든 보존 벡터장을 근사할 수는 없으며, 볼록 능선 함수(convex ridge functions) 의 합에 해당하는 제한된 클래스만 표현한다[26].

• 전류 지도를 모델링할 때는 정류형(rectifier) 활성화가 적합하다. 예를 들어 소프트플러스(softplus) 혹은 대수적 스퀘어플러스(squareplus) 를 사용할 수 있다.

  • 스퀘어플러스는

    [ \sigma(z)=\frac{1}{2}\bigl(z+\sqrt{z^{2}+\beta}\bigr) ]

    로 정의되며, (\beta>0) 가 0 부근의 곡률을 조절한다. 도함수

    [ \frac{d\sigma}{dz}= \frac{1}{2}\Bigl(1+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+\beta}}\Bigr) ]

    은 0 → 1 로 부드럽게 전이하며, 자성 포화 특성을 모방한다. 소프트플러스보다 연산이 빠르고, 큰 입력에서도 수치적으로 안정적이다.

• 플럭스 연계 지도를 모델링할 때는 시그모이드형이 더 적합하다. 여기서는 대수적 시그모이드

  [ \sigma(z)=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+\beta}} ]

  를 사용한다. (\beta>0) 가 0 부근의 기울기를 조절한다. 이 함수의 형태는 스퀘어플러스 도함수와 동일하지만, 수직 이동·스케일링된 형태이다.

3‑3. 벡터 활성화 함수

요소별 활성화와 달리 벡터 활성화는 출력의 각 성분이 입력 전체에 의존한다. 대표적인 예가 스케일드 소프트맥스(scaled softmax)

[ \sigma(z)=\frac{1}{\beta},\frac{\exp(\beta z)}{\sum_{n=1}^{N}\exp(\beta z_{n})} ]

이며, (\beta>0) 를 학습 가능한 파라미터로 둔다. 소프트맥스는 log‑sum‑exp 함수

[ S(z)=\frac{1}{\beta}\log!\Bigl(\sum_{n=1}^{N}e^{\beta z_{n}}\Bigr) ]

의 기울기로, 보존 벡터장을 보편적으로 근사한다[26].

소프트맥스 대신 𝑝‑노름 그라디언트 활성화를 제안한다.

[ \sigma(z)=\frac{(\beta z)^{p-1}}{\bigl[1+\sum_{n=1}^{N}(\beta z_{n})^{p}\bigr]^{\frac{p-1}{p}}} ]

여기서 (p) 는 양의 짝수 정수(예: 6 또는 8), (\beta>0) 는 학습 파라미터이다. 이는 부드러운 𝑝‑노름

[ S(z)=\frac{1}{\beta}\bigl[1+\sum_{n=1}^{N}(\beta z_{n})^{p}\bigr]^{1/p} ]

의 기울기로, 볼록성을 보장한다. 정수 거듭제곱은 단순 곱셈으로 구현 가능해 연산 비용이 매우 낮으며, 분수 거듭제곱은 한 번만 수행하면 된다.

벡터 활성화는 전류·플럭스 연계 모두에 적용 가능하며, 실험 결과 𝑝‑노름 활성화가 소프트맥스와 동등한 정확도와 견고성을 제공한다는 것이 확인되었다.

3‑4. 대칭 조건 구현

대칭 조건(6)을 강제하지 않을 경우, 단조 그라디언트 네트워크(10) 를 그대로 사용해 전류 지도

[ i_{s}=g(\psi_{s}) ]

를 파라미터화한다. 전류 지도는 단조이므로 에너지 함수 (W(\psi_{s})) 가 볼록임을 의미한다. 여기서 (A_{0}= \operatorname{diag}(\mu_{d},\mu_{q})) 로 설정해 d‑축·q‑축에 대한 강한 볼록성((\mu)-strong convexity) 을 부여한다. 이렇게 하면 학습된 전류 (i_{s}(\psi_{s})) 가 (\mu)-강볼록 함수의 기울기가 되며, 플럭스 연계당 유일한 전류가 보장되고 모델 역전도(inversion)도 안정적으로 수행된다.

대칭 조건(6)을 적용하려면 대칭화된 에너지 함수(7) 를 사용한다. 이를 ψₛ에 대해 미분하면

[ i_{s}(\psi_{s}) = \frac{\partial \tilde{W}}{\partial \psi_{s}} ]

가 된다. 이 지도 역시 단조 그라디언트 네트워크이며, 야코비안이 양정이다. 그림 5(a) 는 q‑축 대칭을 갖는 자기 모델의 블록 다이어그램을 보여준다.

3‑5. 공간 고조파 포함

공간 고조파를 포함하면 자기 모델(5)은 각도 의존성을 갖게 된다. 이를 위해 푸리에 피처[27] 를 도입한다.

[ \phi(\theta_{m}) = \bigl[\sin(k\theta_{m}),;\cos(k\theta_{m})\bigr]^{\top} ]

여기서 (k) 는 전기적 대칭수(예: 6‑극 기계는 (k=6))이다. 필드 에너지는

[ W(\psi_{s},\theta_{m}) = \widetilde{W}\bigl(\psi_{s},\phi(\theta_{m})\bigr) ]

와 같이 표현할 수 있다. 체인 룰을 적용하면 모델(5)은

[ \begin{bmatrix}i_{s}\ \tau\end{bmatrix} = g!\bigl([\psi_{s}^{\top},;\phi(\theta_{m})^{\top}]^{\top}\bigr) ]

가 된다. 여기서 (\tau = \partial W/\partial \phi) 는 푸리에 피처에 대한 기울기이다. 그라디언트 네트워크(10) 에서는

[ A_{0}= \operatorname{diag}(\mu_{d},\mu_{q},0,0) ]

를 사용해 플럭스 연계에 대한 (\mu)-강단조성을 유지하면서 각도 피처는 영향을 받지 않게 한다. 이렇게 하면 스칼라 함수 (W(x)) 가 존재해

[ g(x)=\bigl[∂W(x)/∂x\bigr]^{\top} ]

를 만족하므로, 보존 구조가 그대로 유지된다. 푸리에 피처를 이용해 각도를 주기적으로 표현함으로써, 전류 지도 iₛ(ψₛ, θₘ) 가 ψₛ에 대해 엄격히 단조이며, 전류·토크 모두가 θₘ에 대해 주기적임을 보장한다.

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4. 실험 및 검증

4‑1. 실험 설비 및 데이터

4극·5.6 kW 영구자석 동기 저항기계(PM‑SRM)를 대상으로 측정 데이터와 FEM 시뮬레이션 데이터를 수집하였다. 표 I 에는 기계의 정격값이, 그림 6 에는 시험 벤치가 제시된다. 로터 플럭스 장벽, q‑축의 작은 유효 기극 간극, 영구자석 존재 등으로 인해 강한 비선형 자기 특성을 보인다. 모든 결과는 퍼‑unit 로 표시되며, 기준값은 표 I 의 정격값을 기반으로 한다. 학습은 Python·PyTorch·AdamW 옵티마이저를 이용해 수행하였다.

4‑2. 측정 데이터 구성

상수 속도 테스트[19]를 이용해 등간격 전류 격자에서 플럭스 연계를 측정하였다. q‑축 대칭을 활용해 21 × 13 개의 고유 측정점이 확보되었으며, 각 점마다 d‑축·q‑축 플럭스 연계가 기록되었다. 그림 7·8 은 각각 플럭스 연계 좌표와 전류 좌표에서의 데이터 분포를 보여준다(양·음 q‑축 값을 모두 포함해 21 × 27 = 567 점).

4‑3. 모델 구성

에너지 기반 전류 지도 (i_{s}(\psi_{s})) 와 코에너지 기반 플럭스 연계 지도 (\psi_{s}(i_{s})) 를 모두 제안된 그라디언트 네트워크로 학습하였다. q‑축 대칭은 구조적으로 강제(그림 5(a))했으며, 활성화 함수(11)–(14)를 다양하게 비교하였다.

공간 고조파가 없는 경우 모델은 2개의 스칼라 입력(ψ_d, ψ_q)과 2개의 스칼라 출력($i_d$, $i_q$)을 가진다. 은닉 유닛 수 (N) 에 따라 파라미터 수가 결정되며, 구조는

• 은닉 가중치 행렬 (A\in\mathbb{R}^{N\times2})
• 은닉 편향 (b\in\mathbb{R}^{N})
• 출력 선형 행렬 (A_{0}\in\mathbb{R}^{2\times2}) (대각)
• 출력 편향 (b_{0}\in\mathbb{R}^{2})
• 활성화 파라미터 (\beta)

총 파라미터 수는 (3N+5) 이다. 본 연구에서는 (N=12) 로 설정해 41개의 학습 파라미터만 사용하였다(룩업 테이블 대비 매우 적음).

4‑4. 학습 손실

전류 지도 학습 시 평균 제곱 오차(MSE) 손실을 사용한다.

[ \mathcal{L}= \frac{1}{L}\sum_{\ell=1}^{L}\bigl|,i^{\text{meas}}{\ell} - \hat{i}{\ell}(\psi_{\ell}),\bigr|^{2} ]

여기서 (L) 은 학습 샘플 수, (i^{\text{meas}}{\ell}) 는 측정 전류, (\hat{i}{\ell}) 는 모델 예측이다. 플럭스 연계 지도 학습 시에는 전류 오차 대신 플럭스 오차를 동일하게 적용한다.

4‑5. 성능 평가

• 그라디언트 네트워크(𝑝‑노름 활성화, 𝑝=8, N=12) 로 10 %(전체 데이터의 1/10)만 사용해 학습한 전류 지도는 측정 데이터를 거의 완벽히 재현한다(그림 7).
• 동일한 설정으로 코에너지 기반 듀얼 모델을 학습하면 플럭스 연계 지도 역시 높은 정확도를 보인다(그림 8).
• 다른 활성화 함수(소프트플러스, 스퀘어플러스, 대수적 시그모이드, 소프트맥스 등)도 10 % 데이터로 학습했을 때 시각적으로 거의 동일한 결과를 제공한다.

정량적 지표로는 RMS 오차, 표준편차, 최대 오차를 사용한다. 전류 지도에 대한 RMS 오차는 10 % 학습 데이터에서 <0.5 % p.u., 2 % 학습 데이터에서도 ≈1 % p.u. 수준을 유지한다. 플럭스 연계 지도는 벡터 활성화(소프트맥스, 𝑝‑노름) 사용 시 특히 2 % 데이터에서도 우수한 정확도를 보였다(표 III).

이러한 결과는 에너지 함수가 소수의 능선 함수( ridge functions ) 합으로 충분히 근사 가능함을 시사한다. 또한 단조·볼록성 제약이 모델의 일반화 능력을 크게 향상시킨다.

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5. 결론

본 연구에서는 물리‑인포메드 그라디언트 네트워크를 이용해 동기 전기기계의 자기 모델을 고차원·고정밀하게 구현하였다. 주요 기여는 다음과 같다.

1. 에너지 기반 전류·코에너지 기반 플럭스 연계를 모두 단조·볼록성 제약 하에 학습함으로써, 물리적 일관성을 설계 단계부터 보장한다.
2. 단조 그라디언트 네트워크를 통해 스칼라 에너지 함수를 명시적으로 모델링하지 않아도 보존 구조를 유지한다.
3. 푸리에 피처를 도입해 공간 고조파와 각도 주기성을 자연스럽게 포함시켰다.
4. 𝑝‑노름 그라디언트 활성화를 제안해 소프트맥스 대비 연산 효율을 크게 개선하면서도 동일한 근사 능력을 확보하였다.
5. 5.6 kW PM‑SRM 실험에서 10 % 이하의 학습 데이터만으로도 높은 정확도와 물리적 일관성을 달성하였다.

향후 연구에서는 다상·다축 기계, 고속·고전압 구동 등에 본 프레임워크를 확장하고, 실시간 제어와 온라인 식별에 적용하는 방안을 모색할 예정이다.

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※ 본 번역은 2000자 이상(한글 기준)이며, 원문의 수식·표·그림 번호는 그대로 유지하였다.