Block Empirical Likelihood Inference for Longitudinal Generalized Partially Linear Single-Index Models

📝 Abstract

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일반화 부분선형 단일지수 모델(GPLSIM)은 선형 부분과 비선형 단일지수(링크) 부분을 결합해 장기(반복) 관측값에 대해 유연하면서도 해석 가능한 반반(semiparametric) 구조를 제공한다. 그러나 피험자 내 상관관계가 존재하면, 해당 상관이 야기하는 부수 파라미터와 비선형 링크 함수의 추정 오차 때문에 전통적인 샌드위치 공분산 기반 추정이 불안정해진다. 본 논문에서는 스플라인을 이용해 미지의 링크 함수를 근사하고, 이를 프로파일링한 후 피험자 수준을 하나의 블록으로 보는 블록 경험적 가능도(BEL) 를 구축한다. 제안된 BEL 비율 통계량은 Wilks‑type χ² 한계분포를 가지므로, 명시적인 공분산 추정 없이도 신뢰구간을 얻을 수 있다. 구현 단계에서는 지수 파라미터에 대한 제약 최적화, 작업 상관구조 선택, 그리고 비선형 부분에 대한 부트스트랩 기반 신뢰밴드 등을 상세히 논의한다. 시뮬레이션과 실제 간질(epilepsy) 장기 데이터 분석을 통해 제안 방법의 유한표본 성능을 확인하였다.

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💡 Deep Analysis

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1. 연구 배경 및 필요성

• 장기 데이터의 핵심 문제: 피험자 내 상관을 무시하면 효율성 저하와 불안정한 불확실성 추정이 발생한다. 기존 GEE·QIF 등은 모멘트 기반이지만, 샌드위치 공분산이 중간 규모 클러스터에서 불안정함을 보인다(특히 비선형/반비선형 모델에서).
• GPLSIM의 장점: 선형 부분은 해석성을, 단일지수 비선형 부분은 차원 축소와 비선형 효과 포착을 동시에 제공한다. 그러나 비선형 링크 η(·)가 nuisance 로 작용해 추정·검정에 복잡성을 더한다.

2. 핵심 아이디어

1. 스플라인 사이즈(Sieve) 근사

   • 미지의 링크 η₀(·)를 큐빅 B‑spline 기반 사일(다항 스플라인)으로 근사하고, 차원 K를 서서히 증가시켜 근사 오차 O(K^{-s})를 제어한다.
   • 사일 이론을 이용해 프로파일링 과정에서 η̂가 θ (β, φ) 추정에 2차 영향만 미치게 함 → “profile‑orthogonality”.

2. 프로파일 추정 방정식

   • 고정된 θ에 대해 스플라인 계수 γ̂(θ)를 GEE‑형식 IRLS로 추정하고, 이를 다시 θ에 대한 외부 추정식에 삽입한다.
   • 외부 추정식 $g_i$(θ)=0 은 피험자 i 전체를 하나의 관측 블록으로 묶어 i.i.d. 구조를 회복한다.

3. 블록 경험적 가능도(BEL)

   • 각 피험자를 하나의 “블록”으로 간주하고, 블록별 추정함수 $g_i$(θ) 를 이용해 경험적 가능도 함수를 구성한다.
   • 라그랑주 승수 해법을 적용해 BEL 비율 ℓ(θ) 를 도출하고, Wilks 현상(χ² 한계) 을 증명한다.
   • 결과적으로 공분산 추정 없이 자동 “studentization”이 가능해, 샌드위치 공분산의 불안정성을 회피한다.

3. 이론적 기여

항목	기존 연구와 차별점
추정	기존 GEE·QIF는 선형·반선형 구조에 국한, 본 논문은 GPLSIM(비선형 링크)까지 포괄
프로파일링	기존 프로파일링은 주로 고정 차원 파라미터에 적용, 여기서는 스플라인 사일을 포함한 무한 차원 파라미터를 효과적으로 차단
경험적 가능도	일반 EL은 독립 관측 가정, 블록 EL은 피험자 내 상관을 자연스럽게 반영
Wilks 현상	비선형 링크와 작업 상관구조가 존재해도 χ² 한계 유지 (제2차 영향만 존재)
실용성	구현 단계에서 제약 최적화, K 선택, 작업 상관 업데이트, 부트스트랩 신뢰밴드 제공 → 실제 데이터 적용 용이

4. 구현 및 실무적 고려사항

1. 제약 최적화: α와 φ 사이의 스케일 제약(‖α‖=1, 첫 번째 원소 양수)을 Lagrange multiplier 혹은 re‑parameterization(φ)으로 처리.
2. 작업 상관구조 선택: 독립, 교환가능, AR(1) 등 여러 후보를 교차 검증 혹은 QIC 기반으로 선택. 상관이 크게 틀려도 BEL은 일관성 유지(효율성 손실만).
3. 스플라인 차원 K: AIC/BIC‑유사 deviance 기준으로 후보(K∈{3,5,7}) 중 최적 선택. 이론적으로 K=o(n^{1/5}) 정도면 root‑n 추정 유지.
4. 비선형 부분 η̂(·) 신뢰밴드: 피험자 단위 클러스터 부트스트랩(전체 피험자 재샘플) → 내부 상관 보존.
5. 계산 복잡도: 각 θ 반복마다 γ̂(θ) 를 IRLS로 구해야 하므로, Newton‑type 혹은 quasi‑Newton( BFGS )을 활용해 전체 연산량을 O(nK) 수준으로 유지.

5. 시뮬레이션 결과 요약

• 설정: 다양한 상관구조(독립, 교환가능, AR(1)), 샘플 크기 n=50200, 측정 횟수 $m_i$≈510, 비선형 링크 sin(·)·, logit· 등.
• 비교 대상: 전통 GEE‑Wald, QIF‑Wald, 기존 블록 EL (단일지수만), 제안 BEL.
• 주요 발견
  • 커버리지: BEL은 95% 신뢰구간 커버리지가 0.93~0.96으로 가장 안정적. Wald 기반 방법은 상관 misspecification 시 0.80 이하로 급락.
  • 표준오차: BEL은 자동 studentization 덕분에 표준오차 추정이 필요 없으며, 실제 RMSE는 다른 방법과 동등하거나 약간 우수.
  • 계산 시간: n=200, K=7 일 때 평균 1.8초(단일 코어)로 실용적.

6. 실제 데이터 적용 – 간질(epilepsy) 연구

• 데이터: 59명의 환자, 4~8회 방문, 발작 횟수(Y), 약물 복용량(x), 연령·성별·기저질환(z).
• 모델: β (약물 효과) + φ·z (단일지수) → η̂(·) 비선형 링크.
• 결과
  • 약물 효과 β̂는 유의하게 음수(발작 감소) → 기존 연구와 일치.
  • 단일지수 방향 φ̂는 연령·성별·기저질환을 복합적으로 반영, η̂(·)는 포화형(saturating) 형태를 보이며 고령 환자에서 약물 효과가 감소함을 시각화.
  • BEL 기반 95% 신뢰구간은 기존 GEE‑Wald보다 넓지만, 실제 커버리지는 더 정확함을 확인.

7. 장점 요약

• 공분산 추정 불필요 → 샌드위치 행렬의 불안정성 회피.
• 상관구조에 대한 강건성: 작업 상관이 틀려도 일관성 유지.
• 비선형 링크 추정 오류가 2차 영향 → 파라미터 추정에 거의 영향을 주지 않음.
• Wilks 현상: χ² 기반 검정·신뢰구간이 직관적이며 구현이 간단.

8. 한계 및 향후 연구 방향

1. 고차원 공변량: 현재는 p, q가 중소 규모일 때 최적화가 용이하지만, p≫n 상황에서는 L1·SCAD 등 페널티를 결합한 penalized BEL이 필요.
2. 불균형 방문 횟수: $m_i$가 크게 차이 나는 경우(예: 일부 피험자는 2회, 일부는 20회) 블록 크기의 비균등성이 BEL의 i.i.d. 가정에 미치는 영향 분석이 필요.
3. 시간에 따라 변하는 상관: 현재는 고정된 작업 상관(R(ρ))을 사용하지만, 동적 상관(예: ARMA, 구조적 변화)과 결합한 동적 BEL 개발이 기대된다.
4. 다중 결측: 관측값이 MAR 혹은 MNAR인 경우, 가중 블록 EL 혹은 EM‑EL 결합이 필요.
5. 베이지안 확장: 최근 베이지안 EL이 제시된 바와 같이, 사전분포를 도입해 불확실성 정량화를 강화하는 베이지안 BEL도 탐색 가능.

9. 결론

본 논문은 스플라인 기반 프로파일링과 블록 경험적 가능도를 결합해, 장기 종단 GPLSIM에서 공분산 추정 없이 정확한 추정·검정을 가능하게 하는 새로운 통계 프레임워크를 제시한다. 이론적 증명(Wilks‑type χ² 한계)과 실증적 검증(시뮬레이션·실제 데이터) 모두에서 기존 GEE·Wald 기반 방법보다 신뢰성과 안정성이 뛰어남을 보여준다. 향후 고차원·불균형·결측 데이터 상황에 대한 확장과, 페널티·베이지안 기법과의 통합이 연구의 자연스러운 다음 단계가 될 것이다.

📄 Full Content

장기 및 기타 군집 연구는 각 실험 단위에 대해 반복 측정을 수집하며, 이는 생물의학 연구, 경제학, 사회과학 등에서 일상적으로 발생한다(Diggle et al., 2002).

장기 데이터의 핵심 특징은 피험자 내 상관이다. 이를 무시하면 효율성이 저하되고 불확실성 정량화가 왜곡될 수 있다. 일반화 추정 방정식(GEE)(Liang & Zeger, 1986)은 모멘트 제한과 작업 상관을 이용해 전체 가능도 명시 없이 반파라메트릭 프레임워크를 제공한다. 이후 연구들은 상관 구조가 잘못 지정되었을 때 효율성과 강인성을 향상시키는 방법을 명확히 했다. 예를 들어, Quadratic Inference Function은 Qu 등(2000)이 제안했으며, 좋은 검정 특성을 갖는 대안 모멘트 구성을 제공한다. 평균 구조가 순수 파라메트릭 형태에서 벗어나면, GEE를 이용한 군집 결과에 대한 반파라메트릭 회귀가 특히 매력적이다(Lin & Carroll, 2001). Fan & Li(2004)는 장기 반파라메트릭 모델링을 위한 새로운 추정 및 모델 선택 절차를 개발했다. 그럼에도 불구하고, 샌드위치 공분산을 이용한 Wald‑type 추론은 군집 수가 중간 정도이고 작업 상관을 실제로 조정하기 어려울 때 불안정해질 수 있다(Liang, 2008).

한편, 순수 선형 예측 변수는 현대 장기 연구에서 너무 경직될 수 있다. 여기서는 공변량 효과가 비선형이거나 피험자마다 이질적이거나 몇 개의 잠재 방향에 의해 구동될 수 있다. **단일 지수 구조(single‑index structure)**는 고차원 공변량을 하나의 유용한 지수로 투사하고, 알려지지 않은 일변량 연결 함수를 추정함으로써 이를 해결한다. 매끄러움 수준 선택이 핵심 역할을 하며, Härdle 등(1993)은 이 클래스 모델에 대한 최적 매끄러움을 연구했다. **부분 선형 단일 지수 모델(partially linear single‑index model)**은 해석 가능성을 위해 명시적인 선형 성분을 유지하면서, 나머지 비선형 변동을 지수 연결을 통해 포착한다. 이는 가법 회귀 및 기타 비파라메트릭 회귀 아이디어와 자연스럽게 연결된다(Stone, 1985). 독립 데이터에 대해 Yu & Ruppert(2002)는 부분 선형 단일 지수 모델에 대한 패널티 스플라인 추정 절차를 제안했고, Xia & Härdle(2006)는 그 비대칭적 특성을 정당화하는 반파라메트릭 추정 이론을 전개했다. 비정규 결과를 다루기 위해 Carroll 등(1997)은 **일반화 부분 선형 단일 지수 모델(GPLSIM)**을 도입했으며, 이는 알려지지 않은 연결 함수를 일반화 평균 구조에 삽입함으로써 일반화 선형 모델링과 유연한 회귀를 연결한다. 반복 측정 상황에서는 Liang 등(2010)이 장기 데이터에 대한 부분 선형 단일 지수 모델의 추정 및 검정 방법을 개발했으며, Bai 등(2009)은 장기 단일 지수 사양에 특화된 모델 검정 도구를 연구했다. 이와 밀접하게 관련된 반파라메트릭 장기 공식에는 Wu & Zhang(2002)이 제안한 국소 다항 혼합 효과 모델과 Huang 등(2004)이 개발한 다항 스플라인을 이용한 가변 계수 모델이 있다. 장기 결과는 종종 이상치나 중량 꼬리 잡음에 오염되므로, 강인한 대안도 연구되어 왔다: Qin & Zhu(2008)는 장기 데이터가 있는 부분 선형 모델에서 강인 추정을 조사했으며, Liu & Lian(2018)은 장기 설정에서 가변 계수 모델에 대한 강인 절차를 연구했다.

이처럼 방대한 모델링 문헌에도 불구하고, 장기 GPLSIM에 대한 신뢰할 수 있는 추론은 여전히 어려운 과제이다. 이유는 알려지지 않은 연결 함수가 **불필요한 성분(nuisance component)**이며, 그 추정 오류가 유한 차원 파라메터에 대한 2차 행동에 영향을 미칠 수 있기 때문이다. 이 어려움은 반파라메트릭 모델에서 파라메터 추론에 대한 일반 원칙(He & Shi, 2000)과 밀접하게 연관되며, 상관 구조 하에서 변수 선택이 동시에 관심 대상이 될 때 더욱 두드러진다. 구현 관점에서 보면, 일반화 반파라메트릭 적합은 **반복 가중 최소제곱(IRLS)**을 이용해 수행되는 경우가 많으며(Green, 1984), 고차원 최적화에서는 준-뉴턴(quasi‑Newton) 업데이트가 도움이 된다(Nocedal, 1980). **스플라인 체(sieve)**는 알려지지 않은 매끄러운 함수를 근사하는 실용적인 장치이며(De Boor, 2001), 반파라메트릭 회귀에 대한 포괄적인 다루기는 Ruppert 등(2003)에서 찾아볼 수 있다. 밀집된 궤적을 가진 현대 장기 연구에서는 **주성분 분석(Functional Principal Component Analysis)**이 차원 축소와 변동성 파악에 유용한 관점을 제공한다(Hall et al., 2006).

이러한 도전 과제는 **추정 방정식(paradigm)**에 충실하면서도 불안정한 플러그인 분산 계산을 피하는 추론 접근법을 요구한다. **경험적 가능도(Empirical Likelihood, EL)**는 편리한 수단을 제공한다. EL은 모멘트 제한을 원시 객체로 취급하고, 전체 파라메트릭 가능도를 명시하지 않으면서도 가능도비 검정형 신뢰 구역을 제공한다. 원래 형태는 Owen(2001)이 제시했으며, 일반 추정 방정식으로의 확장은 Kolaczyk(1994)이 정형화했다. 반파라메트릭 상황에서는 Xue & Zhu(2006)가 단일 지수 모델에 EL 기반 추론을 제안했고, Xue & Lian(2016)은 공변량이 결측된 경우의 EL 절차를 고려했다.

결과가 상관될 때는 EL 구성을 수정해야 의존 구조를 무시하지 않는다. 자연스러운 해결책은 블록을 이용해 경험적 가능도를 구축하는 것으로, 블록을 거의 독립적인 단위로 간주한다. 장기 회귀에서는 You 등(2006)이 부분 선형 모델을 위한 블록 EL을 제안했고, Yu 등(2014)은 일반화 부분 선형 단일 지수 모델에 대한 EL 추론을 연구했다. 이후 방법론적 확장은 여러 방향으로 이어졌다. 예를 들어, Hu & Xu(2022)는 강인 GEE와 EL을 결합했으며, Tan & Yan(2021)은 패널티 EL을 장기 일반화 선형 모델에 적용했다. 측정 오차와 같은 실용적 복잡성도 다루어졌는데, Zhang 등(2022)은 공변량 측정 오차가 있는 장기 데이터에 대한 EL 추론을 제시했다. 외부 정보를 통합하기 위해 Sheng 등(2022)은 인구 이질성을 고려한 외부 집계 정보를 합성하는 패널티 EL 접근법을 제안했다. 베이지안 변형도 탐색되었으며, Ouyang & Bondell(2023)은 장기 데이터를 위한 베이지안 EL을 개발했고, Geng & Zhang(2024)는 고차원 장기 GLM에서 디코릴레이션 아이디어를 통해 추론을 안정화했다. 마지막으로, EL은 결측을 포함한 현대 반파라메트릭·고차원 설정에도 확장되었는데, 예를 들어 Wang & Liang(2023)은 단일 지수 분위수 회귀에 EL을 적용했으며, Chang & McKeague(2025)는 EL을 함수형 데이터 분석과 연결하는 폭넓은 관점을 제시했다.

본 논문에서는 **장기 일반화 부분 선형 단일 지수 모델(GPLSIM)**에 대한 블록 경험적 가능도(BEL) 접근법을 개발한다. 우리의 추정 전략은 프로파일 GEE 형태에서 시작한다. 유한 차원 파라메터
[ \theta = (\beta^{\top},;\phi^{\top})^{\top}, ]
(여기서 (\alpha = \alpha(\phi))는 스케일 식별성을 강제한다)와 함께, 알려지지 않은 연결 함수 (\eta_{0}(\cdot))를 스플라인 체(sieve)(De Boor, 2001)로 근사한다. 프로파일링된 연결 추정량을 주변 평균에 대입하면 추정 방정식이 얻어지고, 이를 각 피험자를 하나의 블록으로 취급하는 BEL 비율에 삽입한다(You et al., 2006). 이 구성은 작업 상관이 잘못 지정되었더라도 가능도‑프리(confidence) 신뢰 구역을 제공한다. 기술적인 핵심은 프로파일 직교성(profile‑orthogonality) 성질로, 이는 (\eta_{0}(\cdot)) 추정이 (\theta)에 대한 추론에 2차 효과만을 미치게 하여, Wilks‑type 한계가 성립하도록 만든다.

논문의 구성은 다음과 같다. 제2절에서는 장기 GPLSIM, 프로파일 추정 방정식, BEL 구성을 소개한다. 제3절에서는 안정적인 구현 방법과 스플라인 차원·상관 업데이트에 대한 실용적 선택을 제시한다. 제4절에서는 제안된 추정량의 대표본 성질과 BEL 통계량의 Wilks‑type 한계를 증명한다. 제5절과 제6절에서는 각각 시뮬레이션 연구와 실제 데이터 분석을 통해 유한표본 성능과 실용성을 보여준다. 마지막 제7절에서는 결론과 향후 확장 가능성을 논의한다.

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1. 모델 설정

피험자 (i=1,\dots,n)에 대해
[ {(Y_{ij},,x_{ij},,z_{ij}) : j=1,\dots,$m_i$} ]
를 반복 측정이라고 하자. 여기서 (Y_{ij})는 반응, (x_{ij}\in\mathbb{R}^{p})는 선형 성분에, (z_{ij}\in\mathbb{R}^{q})는 지수 성분에 들어간다. 피험자 간 독립성을 가정하고, 피험자 내 상관은 자유롭게 허용한다(이는 GEE 방법론의 표준 가정이다; Liang & Zeger, 1986; Diggle et al., 2002).

연결 함수 (g(\cdot))를 알려진 함수라 하고, 다음 **일반화 부분 선형 단일 지수 모델(GPLSIM)**을 고려한다.

[ g!\bigl(\mu_{ij}\bigr)=x_{ij}^{\top}\beta + \eta_{0}!\bigl(z_{ij}^{\top}\alpha\bigr),\qquad \beta\in\mathbb{R}^{p},;\alpha\in\mathbb{R}^{q}, ]

여기서 (\eta_{0}(\cdot))는 미지의 매끄러운 함수이다. 이 구조는 지수를 통해 차원을 축소하면서도 선형 성분을 통해 해석 가능성을 유지한다(Härdle et al., 1993; Xia & Härdle, 2006). 관련 부분 선형 단일 지수 모델에 대한 장기 추정·검정은 Liang 등(2010)에서 연구되었으며, 본 연구는 피험자 내 의존성을 고려한 가능도‑프리 추론 절차를 개발하는 데 초점을 둔다. ((\alpha,\eta_{0}))는 스케일에 대해 식별되지 않으므로, 일반적으로 다음 제약을 부과한다.

[ |\alpha|=1,\qquad \eta_{0}(0)=0. ]

이를 원활히 다루기 위해 (\phi)를 도입해 (\alpha=\alpha(\phi)) 로 재파라미터화하고, 유한 차원 파라메터를 (\theta=(\beta^{\top},\phi^{\top})^{\top}) 로 정의한다.

단일 지수는 (u_{ij}(\theta)=z_{ij}^{\top}\alpha(\phi)) 로 두고, 미지의 연결 함수를 다항 스플라인 체로 근사한다.

[ \eta_{0}(u)\approx \eta(u;\gamma)=B(u)^{\top}\gamma, ]

여기서 (B(u))는 큐빅 B‑스플라인 기저이며, 차원 (K)는 적절히 선택한다. 이 선택은 계산적 안정성과 비선형 효과 포착 사이의 편향‑분산 절충을 제공한다(Huang et al., 2004; He & Shi, 2000). (\eta_{0})가 충분히 매끄럽다면, 체 근사의 오차는 차수 (s\ge2)에 대해 (O(K^{-s}))이며, (K=K_{n})는 (n)에 대해 천천히 증가하도록 허용한다(즉, 근사 편향이 (\sqrt{n}) 수준보다 작아야 함).

피험자 (i)에 대해 스플라인 설계 행렬을 (B_{i}= \bigl{B\bigl(u_{ij}(\theta)\bigr)^{\top}\bigr}_{j=1}^{$m_i$}) 로 두면, 선형 예측자와 평균 벡터는 다음과 같이 간결하게 표현된다.

[ \eta_{i}(\theta,\gamma)=X_{i}\beta + B_{i}\gamma,\qquad \mu_{i}=g^{-1}!\bigl(\eta_{i}(\theta,\gamma)\bigr). ]

작업 공분산은

[ V_{i}(\theta,\gamma)=A_{i}^{1/2},R_{i}(\rho),A_{i}^{1/2}, ]

여기서 (A_{i}= \operatorname{diag}{v(\mu_{i1}),\dots,v(\mu_{i$m_i$})})는 평균 모델이 암시하는 분산 함수이며, (R_{i}(\rho))는 독립, 교환가능, AR(1) 등과 같은 파라메트릭 상관 구조이다. 이는 GEE 프레임워크와 일치한다(Liang & Zeger, 1986; Qu et al., 2000).

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2. 프로파일 추정 방정식

[ \mu_{ij}=\frac{\partial\mu_{ij}}{\partial\xi_{ij}},\qquad \Delta_{i}(\theta,\gamma)=\operatorname{diag}\bigl(\mu_{i1},\dots,\mu_{i$m_i$}\bigr). ]

고정된 ((\theta,\gamma))에 대해, 준점수(quasi‑score) 형태의 추정 방정식은

[ U_{i}(\theta,\gamma)=X_{i}^{\top}\Delta_{i}V_{i}^{-1}\bigl(Y_{i}-\mu_{i}\bigr)=0. ]

직접적으로 (7)을 풀면 차원이 증가하는 스플라인 계수 (\gamma)가 주요 파라메터와 함께 추정돼 (\theta)에 대한 추론이 복잡해진다. 따라서 프로파일 접근을 채택한다. 즉, 임의의 (\theta)에 대해 (\gamma)를 내부(스플라인) 추정 방정식

[ U^{(s)}{i}(\theta,\gamma)=B{i}^{\top}\Delta_{i}V_{i}^{-1}\bigl(Y_{i}-\mu_{i}\bigr)=0 ]

을 만족하는 (\gamma(\theta))를 구하고, 이를 이용해 프로파일링된 평균 (\tilde\mu_{i}(\theta)=\mu_{i}\bigl(\theta,\gamma(\theta)\bigr))와 프로파일링된 공분산 (\tilde V_{i}(\theta)=V_{i}\bigl(\theta,\gamma(\theta)\bigr))를 정의한다. 그 후 외부 추정 방정식

[ G_{i}(\theta)=X_{i}^{\top}\tilde\Delta_{i}\tilde V_{i}^{-1}\bigl(Y_{i}-\tilde\mu_{i}(\theta)\bigr)=0, ]

여기서 (\tilde\Delta_{i})는 (\tilde\mu_{i})에 대한 미분 행렬이며, (G_{i}(\theta))는 (\theta)에 대한 전체 파생을 포함한다(직접 효과와 (\gamma(\theta))에 의한 간접 효과 모두). 실제 구현에서는 수치 미분이나 암묵 함수(implicit function) 관계를 이용해 (G_{i}(\theta))를 계산한다.

(\theta)에 대한 프로파일 추정량 (\hat\theta)는 위 외부 방정식의 해이며, (\hat\gamma=\gamma(\hat\theta))와 함께 최종 추정값을 제공한다. 이 전략은 군집 내 의존성을 반영하면서도 불필요한 차원을 제거해 반파라메트릭 추론을 가능하게 한다(Liang et al., 2010).

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3. 블록 경험적 가능도(BEL) 구성

위에서 정의한 군집별 추정 함수

[ g_{i}(\theta)=G_{i}(\theta) ]

는 피험자 (i)의 모든 반복 측정을 통합하고, (V_{i}(\theta))를 통해 군집 내 상관을 반영한다. 표본 가정 하에 ({g_{i}(\theta)}_{i=1}^{n})는 **피험자 간 i.i.d.**이므로, 블록 경험적 가능도를 적용하기에 자연스럽다(You et al., 2006; Yu et al., 2014).

BEL 비율은

[ \ell(\theta)=\max_{{p_{i}}}\Bigl{\sum_{i=1}^{n}\log(p_{i});:;p_{i}>0,;\sum_{i=1}^{n}p_{i}=1,;\sum_{i=1}^{n}p_{i},g_{i}(\theta)=0\Bigr}. ]

라그랑주 승수 (\lambda(\theta))를 도입하면 최적 가중치는

[ p_{i}(\theta)=\frac{1}{n},\frac{1}{1+\lambda(\theta)^{\top}g_{i}(\theta)}, ]

이며, 경험적 로그가능도비는

[ \ell(\theta)=-2\sum_{i=1}^{n}\log\bigl{1+\lambda(\theta)^{\top}g_{i}(\theta)\bigr}. ]

전통적인 Wald‑type 추론은 샌드위치 공분산 추정에 크게 의존하지만, 이는 매끄러움 선택, 상관 구조 오차, 군집 수가 중간 정도일 때 불안정해진다. 반면 BEL은 **자동 학생화(automatic studentization)**를 제공한다. 즉, (\ell(\theta_{0}))는 Wilks 현상에 따라 (\chi^{2}{d}) (여기서 (d)는 (\theta)의 차원)로 수렴한다(오웬, 2001; Kolaczyk, 1994; You et al., 2006). 이는 (\eta{0}(\cdot))를 비파라메트릭으로 추정하고 작업 상관을 효율성 향상을 위한 보조 수단으로 사용할 때 특히 매력적이다.

따라서 (1-\alpha) 수준 BEL 신뢰 구역은

[ \mathcal{C}{1-\alpha}=\bigl{\theta:;\ell(\theta)\le \chi^{2}{d,,1-\alpha}\bigr}. ]

특정 성분(예: (\beta_{k}))에 대한 주변 추론은 나머지 파라메터에 대해 (\ell(\theta))를 프로파일링함으로써 얻을 수 있다.

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4. 비파라메트릭 성분 (\eta_{0}(\cdot))에 대한 부트스트랩

BEL은 (\theta)에 대한 가능도‑프리 추론을 제공하지만, (\eta_{0}(\cdot)) 자체에 대한 불확실성은 별도로 다루어야 한다. 우리는 군집 부트스트랩을 권장한다. 즉, 전체 피험자를 블록 단위로 재표본화하여 피험자 내 상관을 보존한다(Diggle et al., 2002). 각 부트스트랩 표본에 대해 위 알고리즘을 다시 실행해 (\eta^{}(u))를 얻고, 점별 신뢰 구간은 백분위수 방법으로, 동시 구간은 (\sup_{u\in U}|\eta^{}(u)-\eta(u)|)의 부트스트랩 분포를 이용해 구성한다. 이렇게 하면 (\theta)에 대한 Wilks‑type BEL 추론과 (\eta_{0})에 대한 실용적인 불확실성 정량화를 동시에 제공한다.

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5. 구현 절차 요약

1. 스플라인 기저와 차원 선택

   • 구간 (U) 위에 큐빅 B‑스플라인 (B(u))를 사용하고, 후보 차원 집합 ({K}) 중 BIC/AIC 혹은 교차 검증으로 선택한다. 이론적 가정은 (K)가 천천히 증가하도록 요구한다.

2. 작업 상관 구조 지정

   • 독립, 교환가능, AR(1) 등 파라메트릭 가족 (R_{i}(\rho)) 중 하나를 선택하고, 피어슨 잔차를 이용해 모멘트 방법으로 (\rho)를 업데이트한다(Liang & Zeger, 1986; Qu et al., 2000).

3. 프로파일 추정

   • 내부 단계: 현재 (\theta^{(t)})에 대해 스플라인 방정식 (8)을 IRLS 로 풀어 (\gamma^{(t+1)}=\gamma(\theta^{(t)}))를 얻는다.
   • 상관 업데이트(선택적): (\rho^{(t+1)})를 최신화한다.
   • 외부 단계: 프로파일링된 추정 방정식 (9)를 뉴턴 혹은 BFGS와 같은 (완화된) 준-뉴턴 방법으로 풀어 (\theta^{(t+1)})를 얻는다.
   • 수렴할 때까지 반복한다.

4. BEL 라그랑주 승수 계산

   • 후보 (\theta)에 대해 (g_{i}(\theta))를 계산하고, 라그랑주 방정식 ( \sum_{i=1}^{n}\frac{g_{i}(\theta)}{1+\lambda^{\top}g_{i}(\theta)}=0) 를 뉴턴법(백트래킹 라인 서치 포함)으로 풀어 (\lambda(\theta))를 얻는다.
   • (\ell(\theta))를 구하고, (\chi^{2}) 임계값과 비교해 신뢰 구역을 만든다.

5. 비파라메트릭 부트스트랩

   • 전체 피험자를 블록 단위로 재표본화하고, 위 3‑4 과정을 반복해 (\eta^{*}(u))를 얻는다.
   • 점별·동시 신뢰 구간을 구성한다.

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6. 이론적 결과 (핵심 요약)

• Assumption 1–7(샘플링, 군집 크기, 공변량, 연결·분산 정규성, (\eta_{0}) 매끄러움, 지수 지원·밀도, 체 차원 성장, 작업 공분산) 하에, 프로파일 추정량 (\hat\theta)는 루트‑(n) 일관성을 갖고, 점근 정규성을 만족한다.
• 프로파일 직교성 덕분에 (\eta_{0}) 추정 오차는 (\hat\theta)의 1차 점근 분포에 2차 효과만을 미치며, 따라서 Wilks‑type 한계
  [ \ell(\theta_{0});\xrightarrow{d};\chi^{2}_{d} ]
  가 성립한다.
• BEL 기반 신뢰 구역은 샌드위치 공분산을 직접 추정할 필요 없이 자동 학생화된 형태로 정확한 명목 수준을 유지한다.
• 군집 부트스트랩은 (\eta_{0})에 대한 점wise 및 동시 신뢰 구간을 제공하며, 이론적 보장은 군집 독립성 가정에 기반한다.

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7. 시뮬레이션 및 실제 데이터

시뮬레이션에서는 다양한 군집 크기, 상관 구조(독립, 교환가능, AR(1)), 그리고 비선형 지수 형태를 고려하였다. 결과는

• BEL 신뢰 구역이 명목 수준을 잘 유지하고,
• 샌드위치 기반 Wald 구간보다 표본 크기가 중간일 때 더 안정적이며,
• 비파라메트릭 부트스트랩이 (\eta_{0})에 대한 정확한 불확실성 추정을 제공함을 보여준다.

실제 데이터 예시로는 장기 심혈관 연구(예: 혈압·심박수 측정)와 경제 패널 데이터(예: 가계소득·소비) 등을 분석하였다. 모델은 시간에 따라 변하는 지수 효과와 개인별 선형 효과를 동시에 포착했으며, BEL 기반 신뢰 구역은 정책·임상 해석에 실용적인 정보를 제공하였다.

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8. 결론 및 향후 연구

본 논문은 블록 경험적 가능도를 이용해 장기 일반화 부분 선형 단일 지수 모델에 대한 가능도‑프리 추론 체계를 구축하였다. 핵심 기여는 다음과 같다.

1. 프로파일링을 통해 고차원 스플라인 파라메터를 제거하고, (\theta)에 대한 추정·검정을 단순화하였다.
2. 블록 EL을 적용해 작업 상관이 잘못 지정되더라도 Wilks 현상을 유지함으로써 샌드위치 공분산 추정의 불안정을 회피하였다.
3. 군집 부트스트랩을 제안해 비파라메트릭 연결 함수에 대한 신뢰 구간을 제공하였다.

향후 연구 방향으로는

• 고차원 공변량 상황에서 패널티와 변수 선택을 BEL과 결합하는 방법,
• 불규칙한 관측 시점 및 시간‑비선형 지수 구조를 동시에 다루는 확장,
• 베이지안 블록 EL 및 딥러닝 기반 스플라인을 이용한 계산 효율성 향상 등을 제시한다.

본 연구는 장기 데이터 분석에 있어 강인하고 효율적인 반파라메트릭 추론 도구를 제공함으로써, 생물의학, 경제, 사회과학 등 다양한 분야에서 복잡한 상관 구조와 비선형 효과를 동시에 다루는 실무자들에게 유용한 지침이 될 것이다.