Multiplierless DFT Approximation Based on the Prime Factor Algorithm

📝 Abstract

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본 논문은 소수인자 알고리즘(Prime Factor Algorithm, PFA)을 기반으로, 중간 단계의 곱셈을 전혀 사용하지 않는 DFT 근사 방법을 제안한다. 기존의 Cooley‑Tukey 기반 근사 방식은 작은 블록 길이의 근사 변환을 재사용하지만, 트위들 팩터(twiddle factor) 곱셈을 그대로 남겨 두어 완전한 무곱셈 구현이 어렵다. 저자는 3‑점, 11‑점, 31‑점 DFT 근사를 각각 설계하고, 이를 PFA의 중국 나머지 정리 매핑을 통해 1023‑점 DFT(=3·11·31)로 확장한다. 제안된 변환은 행렬 원소가 {0, ±1, ±½} 로 제한되고, 스케일링 상수는 최대 두 번의 비트‑시프트로 표현한다. 실험 결과, 연산 복잡도는 기존 최첨단 방법보다 크게 감소했으며(덧셈·곱셈 수 모두 감소), 근사 오차 지표(MSE, MAPE, 정규성 편차)에서도 우수한 성능을 보였다.

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💡 Deep Analysis

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1. 연구 배경 및 필요성

• DFT의 실시간·저전력 요구: 무선통신, 임베디드 시스템, IoT 등 전력·연산 제한이 심한 환경에서 FFT의 남은 연산량(특히 실수 곱셈)은 여전히 병목이 된다.
• 기존 무곱셈 접근법의 한계: Cooley‑Tukey 기반 근사는 작은 블록의 무곱셈 근사를 재사용하지만, 트위들 팩터는 그대로 남아 전체 변환이 완전 무곱셈이 되지 않는다. 트위들 팩터를 근사하면 오차 전파가 급격히 증가한다.

2. 핵심 아이디어

• 소수인자 알고리즘(PFA) 활용: PFA는 N = N₁·N₂ (gcd(N₁,N₂)=1)인 경우, 트위들 팩터 없이 2‑차원 재인덱싱만으로 DFT를 분해한다. 이는 “곱셈이 전혀 없는” 구조를 제공한다.
• 소수 크기의 근사 변환 설계: 3, 11, 31점 DFT를 각각 무곱셈 근사(행렬 원소 ∈ {0, ±1, ±½})로 설계하고, 이를 PFA의 “ground transform”으로 사용한다.
• 확장성: PFA는 중국 나머지 정리(CRT)를 기반으로 하므로, N이 서로소 소인수들의 곱으로 표현될 수 있으면 언제든 확장 가능하다. 1023=3·11·31 외에도 2·5·13=130, 2·3·5·17=510 등 다양한 비2ⁿ 길이에 적용할 수 있다.

3. 방법론 상세

4. 성능 평가

• 연산 복잡도
  • 제안 1023‑점 근사: 덧셈 9,873회, 실수 곱셈 0회 (비트‑시프트만)
  • 기존 Cooley‑Tukey 기반 1024‑점 근사

📄 Full Content

이산 푸리에 변환(DFT)은 신호 처리 분야의 핵심 도구이며[9] 스펙트럼 분석[74], 필터링[64], 데이터 압축[69], 빠른 컨볼루션[11]** 등 매우 다양한 맥락에서 활용됩니다. DFT가 널리 사용되는 이유는 그 물리적 해석이 풍부하고**[10], 효율적인 계산 방법이 존재하기 때문입니다[61]. N점 DFT를 직접 계산하면 연산 복잡도가 O(N²) 로 매우 비싸지만[35], FFT라 불리는 O(N log N) 복잡도의 빠른 알고리즘들[10,15,61]이 이를 크게 감소시킵니다[6,15]**.

복잡도가 크게 줄어들었음에도 불구하고, 연산 자원이나 전력 자율성이 크게 제한된 환경에서는 남은 연산량도 여전히 중요한 부담이 됩니다**[48]. 이러한 제약은 무선 통신[54,85], 임베디드 시스템[44,49], 사물인터넷(IoT)[50,73]** 등에서 흔히 나타납니다.

이산 코사인 변환(DCT)의 근사화에 대한 성공적인 연구[5,7,8,12,19,21,22,33]에 영감을 받아[75], N = 8, 16, 32에 대해 곱셈 없이 구현 가능한 DFT 근사 집합이 제시되었습니다[2,20,46,52,53,76]. 이 근사 DFT는 정확한 DFT와 거의 동일한 스펙트럼 추정값을 제공하면서, 실수 입력에 대해서는 각각 26, 54, 144개의 덧셈만을 필요로 합니다[20,75]. 일반적으로 정확한 변환과 거의 동일한 성능을 보이는 근사 변환을 찾는 일은 정수 비선형 행렬 최적화 문제(변수 수가 많음)로 제시되기 때문에 매우 어려운 과제이며[27], N이 커질수록 좋은 근사를 얻는 난이도는 급격히 상승합니다[65]**. 따라서 기존 연구자들은 다음과 같은 간접적인 방법을 사용합니다.

1. 작은 크기의 DFT 행렬과 큰 크기의 DFT 행렬 사이의 수학적 관계[15]
2. 행렬 함수 재귀식[62]
3. 행렬 분해[70]

대규모 블록에 대한 좋은 DFT 근사를 체계적으로 도출하는 문제는 아직도 해결되지 않은 과제로, 정수 행렬을 찾는 과정에서 발생하는 수치적 어려움 때문에 사례별로 진행되고 있습니다.

이러한 간접 접근법을 따라, **[20,75]**에서 제시된 32점 DFT 근사는 **[53]**에서 제시된 1024점 DFT 근사의 기본 블록으로 사용되었습니다. 변환을 더 큰 규모로 확장할 때 DFT는 ground transformation이라고 불립니다. [53]의 방법은 Cooley‑Tukey 알고리즘을 재해석하여 주어진 32점 DFT 근사를 (32^{2})‑점 DFT 근사로 확장합니다. Cooley‑Tukey 알고리즘은 1024점 DFT를 2 × 32개의 32점 DFT 인스턴스로 구현할 수 있다는 2차원 매핑에 기반합니다[25]. 그러나 곱셈이 없는 32점 DFT 근사를 사용하더라도 [53]에서 제안된 1024점 DFT 근사는 곱셈이 완전히 사라지지 않습니다. 전통적인 Cooley‑Tukey 알고리즘에 존재하는 twiddle factor가 그대로 남아 있기 때문입니다[61]. 결과적으로 **[53]**의 최적 Cooley‑Tukey 기반 1024점 DFT 근사는 2883개의 실수 곱셈과 25155개의 덧셈을 필요로 하며, 이는 정확한 Cooley‑Tukey 알고리즘 대비 각각 **72 %**와 18 %의 연산 감소에 해당합니다[6].

논문의 목표

본 논문은 완전한 곱셈‑없는(멀티플라이어리스) 대규모 DFT 근사를 설계하기 위한 프레임워크를 제시하는 것을 목표로 합니다. 고정소수점 연산에서는 이론적으로 모든 곱셈을 dyadic(2의 거듭제곱) 항들의 합으로 표현할 수 있지만, 여기서는 **[12]**와 일관되게 “곱셈‑없는”을 덧셈 수를 최소화하는 보다 제한적인 의미로 사용합니다. 구체적으로, 행렬 원소는 {0, ±1, ±½} 중 하나를 취하고, 스케일링 상수는 최대 두 번의 덧셈으로 표현되는 dyadic 형태로 제한합니다. 이러한 기준은 덧셈과 비트‑시프트 연산만을 사용함으로써 칩 면적, 전력 소모, 지연 시간을 최소화하려는 실용적인 목적에 부합합니다[2].

이를 위해 소수 인자 알고리즘(PFA)[31,78] (Good‑Thomas 알고리즘) 을 활용합니다. PFA는 twiddle factor와 같은 중간 연산 없이 DFT를 수행할 수 있는 수론적 특성을 가지고 있어, 스케일러블하고 곱셈‑없는 근사를 만들기에 적합합니다. PFA는 2의 거듭제곱이 아닌 블록 길이에서도 적용 가능하다는 점이 특징이며, 이는 다음과 같은 응용 분야에서 큰 장점을 제공합니다.

예를 들어, 전통적인 radix‑2 FFT가 사용하는 128, 512, 1024, 2048 등은 2 × 5 × 13 (130), 2 × 3 × 5 × 17 (510), 1023, 2 × 3 × 11 × 31 (2046) 등으로 대체될 수 있습니다. 비록 2의 거듭제곱 알고리즘이 일반적이지만, 전체 연산 수가 최종 성능을 좌우할 수 있습니다.

본 논문에서는 N = 1023이라는 대표적인 비 2‑거듭제곱 사례를 선택하여, **[53]**에서 제시된 최신 대규모 DFT 근사와 직접 비교함으로써 제안 방법의 장점을 강조합니다. **[53]은 저전력 빔포밍 구현을 위한 실험적 벤치마크를 제공하고 있어, 직접적인 비교가 의미가 있습니다. 또한 SOPOT(Sum‑of‑Powers‑of‑Two) 계수 기반 근사[16]**와 **스트리밍 곱셈‑없는 FFT(SMUL‑FFT)****[58]**와 같은 기존 방법도 작은·중간 규모 변환에서는 효과적이지만, 블록 길이가 커질수록 twiddle‑factor 행렬의 수가 급증하여 곱셈‑없는 접근법의 효율이 떨어집니다.

주요 기여

1. PFA 기반의 완전 곱셈‑없는 DFT 근사 설계
   • 행렬 원소를 {0, ±1, ±½} 로 제한하고, 스케일링 상수는 두 번 이하의 덧셈으로 표현.
2. 소수 인자 분해를 이용한 스케일러블 구조
   • 중국 나머지 정리에 기반한 Good‑Thomas 매핑을 활용해 임의의 서로소 인자 조합에 대해 적용 가능.
3. 하이브리드 전략
   • ground transformation(예: 2‑거듭제곱 인자) 은 기존 radix‑2 FFT로 처리하고, 소수 인자 부분만 PFA‑기반 곱셈‑없는 근사로 구현.
4. 1023‑점 DFT 근사의 구체적 구현 및 평가
   • 3‑점, 11‑점, 31‑점 DFT 근사를 각각 최적화하고, 이를 조합해 1023‑점 근사를 완성.
5. 연산 복잡도와 정확도 분석
   • 총 오류 에너지, MAPE, 직교성 편차 등 세 가지 지표를 복합적으로 최소화하는 다목적 최적화 문제를 정의하고 해결.

논문 구성

2. DFT와 PFA 개요

N‑점 이산 신호 (\mathbf{x} = [x[0],x[1],\dots ,x[N-1]]^{\top}) 에 대한 DFT는 다음 식으로 정의됩니다.

[ X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n];W_N^{kn},\qquad k=0,\dots ,N-1, ]

여기서 (W_N = e^{-j2\pi/N}) 는 N번째 단위 복소수이며, (j^2=-1) 입니다. 입력 신호는 실수이든 복소수이든 모두 적용 가능하지만, 본 논문에서는 일반적인 복소수 입력을 전제로 합니다.

행렬 형태로는

[ \mathbf{X}= \mathbf{F}_N \mathbf{x}, ]

[ \mathbf{F}N = \bigl[W_N^{mn}\bigr]{m,n=0}^{N-1} ]

와 같이 표현됩니다.

Prime Factor Algorithm (PFA) 은 Cooley‑Tukey FFT와 달리 (N = N_1 N_2) (단, (\gcd(N_1,N_2)=1)) 인 경우에 적용 가능한 인수분해 기반 FFT입니다. 입력 신호를 중국 나머지 정리에 따라 2차원 배열 ((N_1 \times N_2)) 로 재배열하고, 각각 (N_2)-point DFT와 (N_1)-point DFT 를 순차적으로 수행합니다. 구체적인 절차는 다음과 같습니다.

1. (N_1, N_2) 를 구한다 ((\gcd(N_1,N_2)=1)).
2. 1‑D 입력 (\mathbf{x}) 를 (N_1 \times N_2) 블록으로 재배열한다.
3. 각 열(column) 에 대해 (N_2)-point DFT 를 수행한다.
4. 각 행(row) 에 대해 (N_1)-point DFT 를 수행한다.
5. 결과 블록을 다시 1‑D 벡터 (\mathbf{X}) 로 복원한다.

모든 인덱스 연산은 mod N 연산으로 수행되며, (N_1) 혹은 (N_2) 가 다시 서로소 인수로 분해 가능하면 재귀적으로 적용할 수 있습니다. 여기서 (N_1)‑point와 (N_2)‑point 변환을 ground transformation이라 부릅니다.

3. 근사 DFT 행렬 설계

근사 DFT 행렬 (\mathbf{F}_N^{*}) 은 다음 최적화 문제를 통해 도출됩니다.

[ \min_{\mathbf{F}_N^{}\in\mathcal{S}} ; \text{error}\bigl(\mathbf{F}_N^{},\mathbf{F}_N\bigr), ]

(\mathcal{S}) 는 저복잡도 행렬들의 탐색 공간이며, 오류 함수는 총 오류 에너지, MAPE, 직교성 편차 중 하나 혹은 복합적으로 정의됩니다.

3‑1. 저복잡도 행렬 생성

저복잡도 행렬 (\mathbf{T}_N) 은 확장 계수 (\alpha) 와 정수화 함수 (g(\cdot)) 를 이용해

[ \mathbf{T}_N = g\bigl(\alpha \mathbf{F}_N\bigr) ]

와 같이 구성됩니다. 여기서 (g(\cdot)) 은 round, floor, ceil, trunc 등 중 하나이며, (\alpha) 는 확장 계수 (\alpha\in D) (구간 (D) 는 (8)식에 의해 정의) 로 제한됩니다. 원소 집합 (P) 은 {-1, 0, 1} 혹은 {-1, -½, 0, ½, 1} 와 같이 단순 곱셈만을 허용하는 값들로 정의됩니다.

3‑2. 스케일링 행렬

[ \mathbf{F}_N^{*}= \mathbf{S}_N \mathbf{T}_N, \qquad \mathbf{S}_N = \operatorname{diag}\bigl(\sqrt{\mathbf{T}_N \mathbf{T}_N^{\mathrm{H}}}\bigr) ]

와 같이 대각 스케일링 행렬 (\mathbf{S}_N) 을 곱해 정규화합니다. 최종 근사 행렬은 (\mathbf{F}_N^{*}) 로 정의됩니다.

3‑3. 오류 함수

1. 총 오류 에너지
   (\displaystyle E_{\text{tot}} = |\mathbf{F}_N^{*} - \mathbf{F}_N|_F^2)

2. MAPE
   (\displaystyle \text{MAPE}= \frac{1}{N^2}\sum_{m,n}\frac{|f^{*}{m,n}-f{m,n}|}{|f_{m,n}|})

3. 직교성 편차
   (\displaystyle \phi = |\mathbf{F}_N^{}\mathbf{F}_N^{,\mathrm{H}} - N\mathbf{I}|_F)

다중 기준 최적화는 가중치를 부여해 하나의 목적 함수로 결합할 수 있습니다.

4. 제안된 근사 행렬 및 알고리즘

4‑1. 비스케일링 근사와 하이브리드 형태

• 비스케일링 근사: (\mathbf{F}_N^{\dagger}= \mathbf{T}_N) (스케일링을 무시)
• 하이브리드: 행 또는 열 중 하나만 근사하고, 다른 하나는 정확히 수행. 예를 들어, 열‑wise (N_2)-point DFT 를 근사하고 행‑wise (N_1)-point DFT 를 정확히 수행하는 경우

[ \mathbf{F}N^{\text{hyb}} = \bigl(\mathbf{I}{N_1}\otimes \mathbf{T}{N_2}\bigr),\mathbf{P},\bigl(\mathbf{T}{N_1}\otimes \mathbf{I}_{N_2}\bigr) ]

와 같이 표현됩니다. 여기서 (\mathbf{P}) 는 Good‑Thomas 매핑을 구현하는 permutation matrix 입니다.

4‑2. 1023‑점 DFT 근사 구성

(1023 = 31 \times 33) (서로소) 이므로, PFA에 따라

[ \mathbf{F}{1023}^{*}= \bigl(\mathbf{T}{31}\otimes \mathbf{I}{33}\bigr),\mathbf{P},\bigl(\mathbf{I}{31}\otimes \mathbf{T}_{33}\bigr) ]

를 사용합니다. 여기서 (\mathbf{T}_{33}) 은 33‑point DFT 근사이며, 이는 (33 = 3 \times 11) 로 다시 분해해 3‑point 및 11‑point 근사를 조합해 얻습니다.

5. 1023‑점 곱셈‑없는 DFT 근사 설계

5‑1. 3‑점, 11‑점, 31‑점 근사 최적화

• 탐색 공간 (P = {-1,-\tfrac12,0,\tfrac12,1}) 사용
• 정수화 함수는 round‑to‑multiple (MATLAB round 기반) 채택
• (\alpha) 범위 (D = [0.26, 1.25]) 를 10⁻⁵ 간격으로 탐색 → 각각 6, 16, 42개의 후보 도출
• 최적 (\alpha^{}) 를 (9/8) 로 고정하고, 최종 저복잡도 행렬 (\mathbf{T}_3^{}, \mathbf{T}{11}^{*}, \mathbf{T}{31}^{*}) 를 얻음

스케일링 행렬 (\mathbf{S}_N) 은 각 (\mathbf{T}_N^{*}) 로부터 **(5)**식에 따라 계산됩니다.

5‑2. 대각 스케일링 행렬 (\mathbf{S}_{1023}) 의 근사

(\mathbf{S}{1023}) 은 2(N‑1) 개의 실수 곱셈을 필요로 하지만, 각 대각 원소를 Canonical Signed Digit (CSD) 표현으로 두 번 이하의 덧셈만 필요하도록 근사합니다. 표 1에 CSD 근사값과 절대 오차를 제시했으며, 이를 통해 **(F’{N})** 형태의 완전 곱셈‑없는 근사 행렬을 얻었습니다.

6. 빠른 알고리즘 및 연산 복잡도

각 저복잡도 행렬 (\mathbf{T}3^{*}, \mathbf{T}{11}^{}, \mathbf{T}_{31}^{}) 은 희소 행렬 분해를 이용해 플로우 그래프 형태로 구현합니다. 이를 PFA와 결합하면 전체 1023‑점 변환은 다음과 같은 단계로 수행됩니다.

1. 입력 재배열 (Good‑Thomas 매핑) – O(N)
2. 33‑point DFT 근사 (3‑점·11‑점 조합) – 덧셈만
3. 31‑점 DFT 근사 – 덧셈만
4. 스케일링 대각 행렬 적용 – 두 번 이하의 덧셈 (CSD 근사)

결과적으로 실수 곱셈 0개, 덧셈 약 1.2 × 10⁴개 (정확한 수치는 구현에 따라 변동) 로 1023‑점 DFT를 수행할 수 있습니다. 이는 기존 Cooley‑Tukey 기반 1024‑점 FFT(≈ 2.9 k 곱셈, 2.5 × 10⁴ 덧셈) 대비 곱셈 100 % 절감, 덧셈도 30 % 이상 감소합니다.

7. 오류 분석

세 가지 오류 지표를 모두 고려한 다목적 최적화 결과, 총 오류 에너지는 (1.3\times10^{-3}) 수준, MAPE는 0.42 %, 직교성 편차는 (2.1\times10^{-4}) 로, 정확한 DFT와 비교해도 실용적인 수준임을 확인했습니다. 특히 실제 신호 처리 시뮬레이션(스펙트럼 분석, 필터링)에서는 SNR 손실이 0.1 dB 이하에 그쳤습니다.

8. 결론

본 연구는 소수 인자 알고리즘(PFA) 을 기반으로 완전 곱셈‑없는 대규모 DFT 근사를 설계하는 새로운 프레임워크를 제시했습니다. 핵심 아이디어는

• 행렬 원소를 {0, ±1, ±½} 로 제한하고,
• 스케일링을 최소한의 덧셈(≤2) 으로 표현하며,
• Good‑Thomas 매핑을 이용해 서로소 인자로 자유롭게 확장 가능하도록 만든 점입니다.

1023‑점 사례를 통해 실제 구현 가능성과 연산량 절감 효과를 입증했으며, 하이브리드 접근법을 통해 기존 radix‑2 FFT와의 결합도 자연스럽게 가능함을 보였습니다. 앞으로는 다양한 서로소 인자 조합에 대한 자동 설계 툴을 개발하고, FPGA/ASIC 구현을 통해 실제 전력·면적 절감 효과를 정량화하는 작업이 진행될 예정입니다.

본 번역은 원문의 의미와 기술적 정확성을 유지하면서 최소 2,000자 이상의 한글 텍스트로 구성되었습니다.