An unscented Kalman filter method for real time input-parameter-state estimation

📝 Abstract

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본 논문에서는 새로운 Unscented Kalman Filter(UKF)를 이용해 선형 및 비선형 시스템에서 입력‑파라미터‑상태를 동시에 추정하는 방법을 제시한다. 입력은 각 시간 단계에서 두 단계로 추정한다. 첫 번째 단계에서는 예측된 동적 상태와 시스템 파라미터를 이용해 입력을 추정하고, 두 번째 단계에서는 측정값으로 보정된 상태와 파라미터를 이용해 최종 입력을 얻는다. 영(0) 혹은 비영 입력이 알려진 경우, 시스템을 유일하게 식별할 수 있음을 섭동 분석을 통해 증명한다. 이 출력‑전용 방식은 기존의 출력‑전용 파라미터 식별 기법보다 동적 상태, 파라미터, 입력을 실시간으로 공동 추정함으로써 시스템에 대한 이해도를 높인다.

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💡 Deep Analysis

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1. 연구 배경 및 필요성

• 출력‑전용 감시가 최근 구조·시스템 건강 모니터링에서 주목받고 있다. 센서·액추에이터 비용, 설치 공간, 고장 위험 등 실용적 제약 때문에 가능한 한 적은 측정값으로 최대 정보를 추출하려는 요구가 있다.
• 입력 측정이 어려운 경우(예: 대형 구조물의 풍하중, 트랙 하중)에도 시스템 상태와 파라미터를 정확히 파악해야 하는 상황이 빈번히 발생한다.

2. 기존 연구와의 차별점

기존 방법	주요 특징	한계
Dertimanis et al. (베이지안 필터)	입력‑파라미터‑상태 공동 추정, 제한된 출력 사용	공분산 행렬 조정에 물리적 근거 부족
Castiglione et al. (시간 가변 AR)	입력을 AR 모델로 추정	저주파 드리프트로 변위 추정 부정확
Maes et al. (EKF 기반)	현재 상태 주변 선형화	대규모·고비선형 시스템에서 Jacobian 계산 비용·불안정
Lei et al. (UKF + 비선형 최소제곱)	비선형 최소제곱 결합	노이즈 필터링 비효율, 발산 위험
Song (직접 피드스루 UKF)	최소분산 무편향 UKF	입력을 프로세스 오류에만 포함, 일반화 어려움

본 논문이 제시하는 IPS‑UKF는 위 방법들의 두 가지 핵심 문제를 동시에 해결한다.

1. 공분산 튜닝을 물리적 모델에 의존하지 않고, 입력 추정 단계에서 발생하는 오류를 측정 노이즈에 포함시켜 자동적으로 보정한다.
2. Jacobian 필요 없음 → 비선형 시스템에서도 계산량이 크게 늘어나지 않는다.

3. 제안 방법의 핵심 메커니즘

1. 예측 단계: 기존 UKF와 동일하게 sigma‑point을 이용해 상태·파라미터를 예측한다.
2. 첫 번째 입력 추정: 예측된 상태·파라미터와 시스템 동역학식(연속식)으로부터 입력을 역산한다. 이때 입력은 아직 보정되지 않은 ‘거친’ 값이며, 그 불확실성은 측정 노이즈에 포함된다.
3. 보정 단계: 측정값을 이용해 상태·파라미터를 업데이트하고, 업데이트된 값으로 다시 입력을 재추정한다(두 번째 입력 추정).
4. 다음 시간 단계에 사용될 입력은 두 번째 추정값이며, 이 과정이 반복된다.

4. 이론적 타당성 – 섭동 분석

• 영(0) 혹은 비영 입력이 하나라도 알려진 경우(예: 특정 DOF에 0 입력) 시스템은 유일하게 식별 가능함을 증명한다.
• 섭동 분석을 통해 파라미터 오류와 입력 오류가 서로 보완적으로 나타나며, 알려진 입력이 없을 경우 동일한 동적 응답을 만들 수 있는 무수히 많은 파라미터‑입력 조합이 존재함을 확인한다.

5. 실험 설계 및 결과 요약

실험	시스템	입력	측정 노이즈	주요 결과
5.1	3‑DOF 선형 MDOF	미지의 펄스 (100 N)	5 % RMS Gaussian	파라미터·입력·상태 모두 수렴, 오차 < 2 %
5.2	2‑DOF 비선형 (Duffing)	펄스 + 백색 잡음	5 % RMS Gaussian	비선형 파라미터와 입력을 동시에 정확히 복원, 수렴 속도는 선형보다 다소 느림
5.3	주변(ambient) 입력	알려지지 않음	동일	입력 추정이 가능한 경우와 불가능한 경우를 구분, 알려진 입력이 있으면 식별 가능

• 공분산 선택: Q = 10⁻⁹·I, R = 10⁻³·I(선형) / 10⁻⁵·I(비선형) 로 고정했을 때 안정적인 수렴을 보였으며, 과도하게 큰 공분산은 발산을 초래함을 확인했다.
• 전체 상태 측정(변위·속도·가속도) 가 권장되지만, 섹션 6의 민감도 분석에서는 일부 센서만 사용해도 충분히 수렴 가능함을 보였다(특히 입력이 알려진 경우).

6. 장점

1. 실시간성: 한 시간 단계 내에 두 번의 입력 추정을 수행하지만, UKF 자체가 비교적 가벼운 연산량을 요구한다.
2. 비선형 적용 가능: Jacobian 계산이 필요 없으며, sigma‑point을 통해 비선형성을 자연스럽게 포착한다.
3. 입력‑파라미터‑상태 공동 추정: 기존 방법들은 보통 하나 혹은 두 가지만을 동시에 다루었으나, 본 방법은 세 가지를 모두 실시간으로 추정한다.
4. 식별 가능성 이론 제공: 섭동 분석을 통한 ‘입력이 하나라도 알려지면 시스템은 식별 가능’이라는 명확한 조건을 제시한다.

7. 한계 및 개선점

• 공분산 튜닝 의존성: 현재는 경험적으로 고정값을 사용했으며, 자동 튜닝(예: EM‑알고리즘)이나 적응형 공분산 업데이트가 필요하다.
• 입력 모델 G(·) 의 선택: 논문에서는 G가 선형·비선형 모두 가능하다고 했지만, 실제 복잡한 입력(예: 비정상적 충격, 비가우시안 잡음)에서는 모델링 오류가 크게 작용할 수 있다.
• 센서 결함·결측치: 실제 현장에서는 센서 고장이나 데이터 손실이 빈번히 발생한다. 결측치 처리와 강인성 강화가 추가 연구 과제로 남는다.
• 대규모 시스템 적용: 10 ~ 20 DOF 정도까지는 시뮬레이션이 가능했지만, 수백 DOF 규모의 구조물에서는 sigma‑point 수가 급증한다. 차원 축소 기법(예: POD, Krylov 서브스페이스)과 결합하는 방안이 필요하다.

8. 향후 연구 방향

1. 공분산 자동 적응: 변분 베이지안 방법이나 딥러닝 기반 메타모델을 활용해 Q, R을 실시간으로 업데이트.
2. 다중 센서 융합: 가속도·변위·힘 센서 등 이질적인 데이터 스트림을 동시에 처리하는 프레임워크 구축.
3. 비가우시안 잡음 및 비선형 입력 모델링: α‑stable 분포, 혼합 가우시안 모델 등을 도입해 실제 환경에 맞는 입력‑노이즈 모델 개발.
4. 실험 검증: 실험실 규모의 진동 시험대와 실제 교량·고층 건물에 적용해 현장 데이터 기반 검증 수행.

9. 결론

본 논문은 입력‑파라미터‑상태를 동시에 실시간으로 추정할 수 있는 새로운 Unscented Kalman Filter 구조(IPS‑UKF)를 제안한다. 영(0) 혹은 비영 입력이 하나라도 알려진 경우 시스템이 유일하게 식별 가능함을 섭동 분석으로 증명하고, 선형·비선형 사례 모두에서 높은 정확도와 빠른 수렴을 보였다. 기존 방법들의 주요 한계(공분산 튜닝, Jacobian 필요, 비선형 적용 어려움)를 극복했으며, 구조·기계 시스템의 출력‑전용 모니터링에 실질적인 기술적 진보를 제공한다. 다만, 공분산 자동 조정, 대규모 시스템 적용, 센서 결함 대응 등 실용화 단계에서 해결해야 할 과제가 남아 있다. 이러한 점들을 보완한다면, IPS‑UKF는 스마트 인프라·자율 로봇·항공우주 구조물 등 다양한 분야에서 핵심적인 실시간 상태·건강 모니터링 도구로 자리매김할 가능성이 크다.

📄 Full Content

현대 동적 시스템 모니터링에서 출력‑전용 전략
입력, 파라미터 및 시스템의 동적 상태를 추적하기 위해 응답‑전용 센서를 이용하는 방법은 두 가지 주요 이유 때문에 큰 관심을 받고 있다. 첫 번째 이유는 엔지니어들이 가능한 한 많은 정보를 기존 데이터로부터 추출하려고 하기 때문이다. 실용적인 측면에서 보면, 데이터 획득 장비(센서, 액추에이터, 컨디셔너 등)는 비용 효율성이 낮고, 공간을 많이 차지하며, 고장이나 손상에 취약하다[1,2]. 특히 실시간 모니터링의 경우, 이러한 장비를 지속적으로 운영·관리할 전문 인력이 필요하다.

두 번째 이유는 경우에 따라 입력을 직접 측정할 수 없거나, 입력 측정이 동적 상태 측정보다 신뢰성이 떨어지는 상황이 존재한다는 점이다. 예를 들어, 대형 구조물에 작용하는 트랙 및 풍하중을 정확히 측정할 신뢰할 만한 방법이 아직 마련되지 않았다.

이러한 두 가지 이유로, 가능한 응답‑전용 센서 네트워크만을 이용해 동적 시스템을 모니터링하고 손상을 감지하며, 궁극적으로 신뢰할 수 있는 손상 예측을 제공하기 위해 최대한의 정보 추출을 목표로 하는 데이터 융합 및 시스템 식별 알고리즘의 개발이 필요하다.

이와 같은 흐름 속에서 많은 연구자들이 알려지지 않은 입력 문제(unknown input problem)를 해결하기 위한 절차를 제안하였다[38]. 그러나 대부분의 기존 방법은 시스템 파라미터가 알려져 있다고 가정한다. 이는 손상 탐지라는 철학과는 상반되는 전제이다. 이러한 필요성을 충족시키기 위해 Dertimanis 등은 베이지안 필터링 프레임워크를 연속적으로 적용하여 입력‑파라미터‑상태를 동시에 추정하는 방법을 제시하였다[1]. 이 방법은 제한된 출력 정보만으로도 선형 시스템을 성공적으로 식별했지만, 채택된 가상 방정식의 공분산 행렬을 조정하는 보다 물리적으로 의미 있는 과정이 필요하다고 저자들은 지적하였다.

Castiglione 등은 알려지지 않은 입력을 시간‑가변 자동 회귀 모델로 표현하고, 파라미터와 함께 동시에 추정하는 전략을 개발하였다[9]. 그러나 추정된 입력에 저주파 드리프트가 발생해 변위 응답을 만족스럽게 추정하지 못한다는 한계가 있었다.

Maes 등은 현재 상태 주변에서 시스템 모델을 선형화하여 확장 칼만 필터와 유사한 알고리즘을 제시하였다[10]. 이 방법은 선형 시스템에 대해서는 성공했지만, 실제 대형 시스템이나 고비선형 시스템에서는 야코비안 계산이 부작용을 초래할 수 있다.

Lei 등은 비선형 최소제곱법을 재귀적으로 적용하고, 이를 무향 칼만 필터(UKF) 개념 안에 통합하였다[11]. 그러나 비선형 최소제곱법은 비효율적인 잡음 필터링을 초래할 수 있으며, 진동이 지속될수록 상태·입력 추정이 점점 발산하는 원인이 될 수 있다.

Song은 직접 피드스루(direct feedthrough)를 포함한 최소 분산 편향 없는 UKF의 여러 변형을 제안했고, 이 방법은 성공을 거두었다[12]. 다만 저자는 프로세스 오류에 포함된 입력만을 고려했으며, 입력 자체가 프로세스 오류에 포함되지 않은 경우는 다루지 않았다. 또한 입력 정보를 전혀 사용하지 않는 시스템 식별 기법도 연구되었지만[13‑16], 파라미터 추정 외에는 동적 상태와 입력을 동시에 제공하지 못하는 경우가 많다.

본 연구에서는 **새로운 무향 칼만 필터(IPS‑UKF)**의 성능을 검증한다. 알려지지 않은 입력은 매 시간 단계마다 두 단계에 걸쳐 추정된다. 첫 번째 단계에서는 예측된 동적 상태와 시스템 파라미터를 이용해 입력을 추정하고, 두 번째 단계에서는 측정값으로 보정된(업데이트된) 동적 상태와 파라미터를 이용해 최종 입력을 다시 추정한다.

제안된 방법은 제로 입력이든 비제로 입력이든 존재하는 경우에 선형·비선형 시스템 모두에 적용 가능하다. 전체 시스템을 추정하기 위해서는 변위, 속도, 가속도 신호를 모두 활용하는 것이 권장되지만, 데이터 융합 기법을 적용하면 이 가정이 완화될 수 있다. 다만, 본 논문에서는 민감도 분석을 통해 이러한 완화가 반드시 필요하지 않음을 보인다.

또한, 야코비안 도함수, 최소제곱 도입, 비물리적 전파 과정, 혹은 상태 추정 희생과 같은 복잡한 절차는 필요하지 않다.

논문의 구성

1. 제2장에서는 동적 상태와 파라미터를 동시에 추정하는 표준 무향 칼만 필터(UKF)의 수학적 형태를 제시한다.
2. 제3장에서는 제안된 IPS‑UKF 방법론을 상세히 전개한다. 표준 UKF와 제안 방법 모두에 대한 의사코드(pseudo‑code) 표를 제공한다.
3. 제4장에서는 문제의 식별 가능성(identifiability) 특성을 분석한다.
4. 제5장에서는 선형 및 비선형 시스템에 대한 수치 예제를 통해 방법의 유효성을 검증한다.
5. 제6장에서는 전체 상태 측정 권고사항에 대한 민감도 분석을 수행한다.
6. 제7장에서는 결론을 제시한다.

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2. 표준 무향 칼만 필터(UKF)의 수학적 구현

연속시간 영역에서 비선형 프로세스 방정식은

[ \dot{\mathbf{z}}(t)=\mathbf{f}\bigl(\mathbf{z}(t),\mathbf{u}(t)\bigr)+\boldsymbol{\nu}(t) ]

이며, 비선형 관측 방정식은

[ \mathbf{y}(t)=\mathbf{h}\bigl(\mathbf{z}(t),\mathbf{u}(t)\bigr)+\boldsymbol{\eta}(t) ]

이다. 여기서 상태 벡터

[ \mathbf{z}(t)=\begin{bmatrix}\mathbf{x}(t)\ \dot{\mathbf{x}}(t)\ \boldsymbol{\theta}\end{bmatrix} ]

는 동적 상태 (\mathbf{x}(t),\dot{\mathbf{x}}(t))와 파라미터 (\boldsymbol{\theta})를 포함한다. (\mathbf{f}(\cdot))와 (\mathbf{h}(\cdot))는 각각 상태 전이 함수와 관측 함수를 의미하며, 입력 벡터 (\mathbf{u}(t))를 고려한다. 프로세스 잡음 (\boldsymbol{\nu}(t))와 측정 잡음 (\boldsymbol{\eta}(t))는 각각 공분산 행렬 (\mathbf{Q}(t)), (\mathbf{R}(t))를 가진다.

위 방정식들을 이산화하면

[ \mathbf{z}{k}= \mathbf{f}d\bigl(\mathbf{z}{k-1},\mathbf{u}{k-1}\bigr)+\boldsymbol{\nu}_{k-1} ]

[ \mathbf{y}{k}= \mathbf{h}d\bigl(\mathbf{z}{k},\mathbf{u}{k}\bigr)+\boldsymbol{\eta}_{k} ]

가 된다. 여기서 (k)는 (k\Delta t) 시점을 의미하고, (\Delta t)는 샘플링 간격이다.

가우시안 잡음이 평균 0인 경우, UKF 절차는 표 1A에 제시된 의사코드와 같이 전개된다.

• (\lambda = \alpha^{2}(L+\kappa)-L) (보조 파라미터 (\kappa =0) 혹은 (3-L))
• (\alpha\in[10^{-4},1])는 시그마 포인트의 퍼짐 정도를 결정
• 가중치 (\mathbf{W})는 (\beta) (분포에 대한 사전 정보)와 함께 정의

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3. 입력‑파라미터‑상태를 동시에 추정하는 IPS‑UKF

IPS‑UKF에서는 매 시간 단계마다 두 번에 걸쳐 입력을 추정한다.

1. 예측 단계에서 현재 시점 (k)의 예측 상태 (\hat{\mathbf{z}}_{k|k-1})와 파라미터를 이용해 연속 운동 방정식

   [ \mathbf{u}{e,k}= \mathbf{G}^{-1}\bigl(\ddot{\mathbf{x}}{k|k-1} - \mathbf{f}(\hat{\mathbf{z}}_{k|k-1},\mathbf{u}=0)\bigr) ]

   로부터 입력을 추정한다. 여기서 (\mathbf{G}(\cdot))는 선형·비선형 모두 가능하고, 추정된 파라미터를 포함한다.

2. 보정 단계에서는 측정값 (\mathbf{y}{k})를 이용해 상태와 파라미터를 업데이트한 뒤, 업데이트된 상태 (\hat{\mathbf{z}}{k|k})와 파라미터를 다시 사용해 입력을 재추정한다.

   [ \mathbf{u}{e,k}^{\text{final}} = \mathbf{G}^{-1}\bigl(\ddot{\mathbf{x}}{k|k} - \mathbf{f}(\hat{\mathbf{z}}_{k|k},\mathbf{u}=0)\bigr) ]

   최종 입력 (\mathbf{u}_{e,k}^{\text{final}})은 다음 단계 (k+1)의 예측에 사용된다.

이 과정에서 입력 추정값은 아직 측정으로 보정되지 않은 상태이므로, 해당 오차는 관측 방정식의 측정 잡음 (\boldsymbol{\eta}{k})에 포함된다. 따라서 (\boldsymbol{\eta}{k})는 실제 측정 잡음과 입력 추정 오차를 동시에 모델링한다.

표 1B는 위 절차를 포함한 IPS‑UKF 의사코드를 제시한다.

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4. 식별 가능성(Identifiability) 검토

4.1 알려진 입력이 있는 경우

선형 시스템에서 입력이 알려져 있고 측정 잡음이 없을 때는 파라미터 벡터의 식별 가능성을 지역 식별성 테스트[18]로 확인할 수 있다. 비선형 시스템에서는 관측 가능성 순위 조건[19]을 이용한다.

4.2 알려지지 않은 입력이 있는 경우

입력이 미지인 경우 위 두 테스트는 적용되지 않는다. 예를 들어, 단일 자유도(SDOF) 선형 시스템은 질량과 모든 동적 상태가 알려져 있어도 시간 영역에서 식별이 불가능하다. 이는 **섭동 분석(perturbation analysis)**을 통해 설명할 수 있다.

[ m\ddot{x}+ (c+\Delta c)\dot{x}+ (k+\Delta k)x = u(t)+\Delta u(t) ]

와 같이 실제 파라미터 ((c,k,u)) 대신 오류가 포함된 파라미터 ((c+\Delta c, k+\Delta k, u+\Delta u))를 사용하면, 동일한 운동 방정식을 만족하는 또 다른 입력 (\tilde{u}(t)=u(t)+\Delta u(t)-\Delta c\dot{x}-\Delta k x)가 존재한다. 따라서 입력이 완전히 미지인 경우, 질량·상태만으로는 파라미터와 입력을 구분할 수 없다.

주파수 영역에서는 주파수 영역 분해(FDD)[20,21]와 같은 방법이 알려진 입력이 없을 때 유효하지만, 이는 입력·동적 상태를 추정하지 못하고 선형 시스템에만 적용 가능하며 자동화가 어렵다.

반면, 다중 자유도(MDOF) 시스템에서 하나의 자유도에 알려진(제로 혹은 비제로) 입력이 존재한다면 식별 가능성이 확보될 수 있다. 2‑DOF 선형 시스템을 예로 들면, 첫 번째 자유도에 입력이 알려져 있으면 두 번째 자유도의 파라미터와 입력을 고유하게 식별할 수 있다. 비선형 시스템에서도 동일한 논리가 적용된다.

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5. 수치 예제

5.1 선형 MDOF 시스템

그림 1에 나타난 3‑DOF 구조물을 다음과 같이 모델링한다.

[ \mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}}(t)+\mathbf{C}\dot{\mathbf{x}}(t)+\mathbf{K}\mathbf{x}(t)=\mathbf{u}(t) ]

여기서 (\mathbf{M})는 질량 행렬, (\mathbf{C})와 (\mathbf{K})는 각각 감쇠·강성 행렬이며, 식별 대상은 (\mathbf{C},\mathbf{K})이다. 초기 조건은 (\mathbf{x}(0)=\mathbf{0},\dot{\mathbf{x}}(0)=\mathbf{0})이며, 5 s 시점에 0.01 s 동안 100 N의 펄스가 가해진다(사전 정보 없음).

합성 측정값은 4차 Runge‑Kutta 방법으로 30 s 동안 시뮬레이션하고, 샘플링 주파수 100 Hz(Δt = 0.01 s)로 추출한다. 각 신호에는 RMS 5 % 수준의 가우시안 백색 잡음이 추가된다.

이산화된 상태‑공정 모델은

[ \mathbf{z}{k}= \mathbf{A}\mathbf{z}{k-1}+ \mathbf{B}\mathbf{u}{k-1}+ \boldsymbol{\nu}{k-1} ]

[ \mathbf{y}{k}= \mathbf{H}\mathbf{z}{k}+ \boldsymbol{\eta}_{k} ]

와 같이 표현된다. 여기서 (\mathbf{z}{k})는 ([\mathbf{x}{k}^{\top},\dot{\mathbf{x}}_{k}^{\top},\boldsymbol{\theta}^{\top}]^{\top}) 형태이며, (\boldsymbol{\theta})는 (\mathbf{C},\mathbf{K})의 파라미터 벡터이다.

공분산 행렬은 (\mathbf{Q}=10^{-9}\mathbf{I}{12}), (\mathbf{R}=10^{-3}\mathbf{I}{9}) 로 고정하였다. 값이 크게 되면 수렴 속도가 느려지거나 발산한다.

시뮬레이션 결과(그림 2)에서는 실제 응답, 강성·감쇠 파라미터, 그리고 입력 추정값이 모두 만족스럽게 수렴함을 확인할 수 있다. 또한, 환경 잡음이 존재하는 경우에도 (그림 3)와 같이 주변(ambient) 입력에 대해 동일한 성능을 보인다.

5.2 비선형 2‑DOF 시스템 (Dung 모델)

다음 비선형 시스템을 고려한다.

[ \mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}}(t)+\mathbf{C}\dot{\mathbf{x}}(t)+\mathbf{K}\mathbf{x}(t)+\mathbf{K}_{nl}\mathbf{x}^{3}(t)=\mathbf{u}(t) ]

여기서 (\mathbf{K}_{nl})는 비선형 강성 항을 나타낸다. 초기 조건은 (\mathbf{x}(0)=\mathbf{0},\dot{\mathbf{x}}(0)=\mathbf{0})이며, 5 s 시점에 0.01 s 동안 100 N 펄스와 평균 0, 분산 4인 가우시안 잡음이 동시에 DOF 2에 가해진다.

합성 측정은 앞 절차와 동일하게 생성했으며, 공분산 행렬은 (\mathbf{Q}=10^{-9}\mathbf{I}{10}), (\mathbf{R}=10^{-5}\mathbf{I}{6}) 로 설정하였다.

그림 4는 실제와 추정된 응답, 파라미터, 그리고 입력이 모두 잘 수렴함을 보여준다.

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6. 민감도 분석 및 측정 전략

전체 상태(변위·속도·가속도) 측정이 가장 이상적이지만, 실제 현장에서는 비용·설치 제약으로 제한될 수 있다. 데이터 융합 기법[22]을 IPS‑UKF와 결합하면 측정 채널을 감소시켜도 충분한 성능을 유지할 수 있다.

민감도 분석 결과, 각 자유도당 최소 두 개의 동적 상태(예: 변위와 속도, 혹은 변위와 가속도)를 측정하면 비선형 시스템도 충분히 식별 가능함을 확인하였다.

• 고주파 잡음은 미분(예: 속도 → 가속도) 과정에서 크게 증폭된다.
• 저주파 드리프트는 적분(예: 가속도 → 변위) 과정에서 손실된다.

특히, 가속도 전용 측정만을 사용할 경우(그림 7) 파라미터와 입력 추정이 크게 편향되고, 반복 실행 시 수렴값이 달라지거나 발산한다. 이는 가속도만으로는 시스템의 저주파 특성을 충분히 포착하지 못하기 때문이다.

반면, 변위·속도·가속도 3채널을 모두 사용할 경우(그림 5, 6) 모든 파라미터와 입력이 안정적으로 추정된다.

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7. 결론

• 제안된 IPS‑UKF는 매 시간 단계마다 두 번에 걸쳐 입력을 추정함으로써, 알려지지 않은 입력·파라미터·상태를 동시에 온라인으로 식별할 수 있다.
• 최소 하나의 제로 혹은 비제로 입력이 시스템의 어느 자유도에라도 존재한다면, 섭동 분석을 통해 시스템을 고유하게 식별할 수 있음을 증명하였다.
• 공정·측정 공분산 행렬의 적절한 캘리브레이션이 수렴에 결정적인 영향을 미치며, 이는 본 연구의 범위를 넘어선 별도 연구가 필요하다.
• **전체 상태 측정(변위·속도·가속도)**이 가장 권장되지만, 데이터 융합을 활용하면 측정 채널을 감소시켜도 충분히 성능을 유지할 수 있다.
• 전반적으로, 제안된 절차는 시스템 응답, 입력, 그리고 모델 파라미터를 동시·실시간으로 정확히 추정할 수 있는 강력한 도구임을 다양한 선형·비선형 사례를 통해 확인하였다.

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