안전을 보장하는 강건한 테일러 라그랑주 제어

본 논문은 동적 시스템의 안전성을 보장하는 제어 법칙 설계 방법론에 관한 연구로, 기존 방법론의 한계를 극복하는 Robust Taylor-Lagrange Control (rTLC)을 제안하고 그 유효성을 입증한다. 서론에서는 안전-중요 제어 문제의 중요성을 부각시키며 기존 방법론들을 검토한다. 최적 제어나 동적 계획법은 비선형 시스템으로 확장이 어렵고, 모델 예측 제어(MPC)는 계산 부하가 크며, 도달 가능성 분석 역시 계산량이 많다는 한계가 있다. 장벽 함수(BF) 기반 방법, 특히 제어 장벽 함수(CBF)는 계산 효율성으로 인해 주목받았으나, CBF의 존재가 시스템 안전성을 보장하기 위한 충분조건에 불과하다는 근본적 한계가 있다. 또한 CBF는 클래스 K 함수 도입으로 인해 보수적이며, 여러 하이퍼파라미터 조정이 필요하다. 고차 CBF(HOCBF)나 지수 CBF(ECBF)는 높은 상대 차수를 가진 제약 조건을 다룰 수 있지만, 여러 안전 집합의 교집합의 전진 불변성을 요구하여 매우 제한적일 수 있다. 최근 제안된 테일러-라그랑주 제어(TLC) 방법은 시스템 안전성에 대한 필요충분조건을 제공하고 하이퍼파라미터 수를 크게 줄였지만, 샘플링 간격 내 제어 입력 변화를 고려하지 못하는 '실현 가능성 보존 문제'(예: 인터샘플링 효과)에 취약하다는 문제가 있다. 이 문제를 해결하기 위해 이벤트 트리거드 방식을 사용할 수 있으나, 이는 다시 여러 파라미터 조정을 필요로 한다. 본 논문은 이러한 배경에서 단일 하이퍼파라미터만으로 실현 가능성 문제를 자연스럽게 해결하는 rTLC 방법을 제안한다. 본론에서는 먼저 기존 TLC 방법에 대한 예비 지식을 제공한다. 비선형 제어 시스템과 안전 집합, 상대 차수 개념을 정의한 후, TLC의 정의와 CBF 및 HOCBF와의 관계를 설명한다. TLC는 안전 함수 h(x)를 상대 차수 m까지 테일러 전개하여 유도되며, 이 조건을 만족하는 제어 법칙이 안전 집합을 전진 불변으로 만든다(Theorem 1). 그러나 이 조건은 미래 시간 ξ의 제어 입력 u(ξ)에 대한 것이어서, 현재 시간 t0에서의 제어법칙 u(t0)을 직접 구하는 데 어려움이 있으며, 이로 인해 샘플링 간격 내 안전성 위반 가능성이 발생한다. 제안하는 rTLC 방법은 이 문제를 해결하기 위해 안전 함수를 m+1차까지 테일러 전개한다(식 (6)). 이 확장으로 인해 전개식에 현재 시간 t0의 제어 입력 u(t0)이 명시적으로 나타난다. m+1차 항은 라그랑주 나머지 항 R(x(ξ), u(ξ), u̇(ξ))로 표현되는데(식 (7)), 이 항은 미래 시간 ξ의 상태, 제어 입력, 제어 입력 변화율에 의존한다. rTLC의 핵심은 이 나머지 항의 가능한 최소값 R_min을 도입하여 현재 시점의 조건으로 흡수하는 것이다. 이를 위해 먼저 제어 입력 변화율 u̇의 유계성을 증명한다. 제어 입력이 컴팩트 집합 U에 속한다는 가정 하에, 각 제어 입력 요소 ui에 대해 1차 TLC 조건(식 (9))을 적용하여 u̇i의 상하한을 샘플링 시간 Δt와 ui의 범위로 표현한다(식 (10), (11)). 이로써 u̇가 유계임이 보장된다. 상태 x와 제어 입력 u도 컴팩트 집합에 속하므로, 라그랑주 나머지 항 R은 해당 영역에서 최소값 R_min을 가진다(식 (12)). 실제 구현에서는 정확한 도달 가능 집합을 계산하는 대신, 상태공간 X, 제어공간 U, 그리고 u̇의 최대 범위 U_̇u,sup를 고려한 보수적인 하한을 사용할 수 있다(식 (15)). 최종적으로, rTLC는 식 (16)과 같이 정의된다. 이 조건은 현재 상태 x(t0)와 현재 제어 입력 u(t0), 그리고 설계 파라미터 Δt에만 의존한다. 이를 만족하는 제어 입력의 집합을 K_rtlc(x(t0))로 정의한다(식 (17)). Theorem 2는 rTLC 조건을 만족하는 Lipschitz 연속 제어기가 샘플링 간격