비선형 시스템의 제한된 교란 하 동시 상태 추정 및 제어

본 논문은 제한된 교란이 존재하는 비선형 이산시간 시스템에 대한 출력‑피드백 제어 문제를 이동지평선(Moving Horizon) 접근법으로 해결한다. 서론에서는 모델 예측 제어(MPC)의 장점과 실제 시스템에서 상태를 직접 측정하기 어려운 현실을 언급하며, 이를 보완하기 위한 이동지평선 추정(MHE) 기법을 소개한다. 기존 연구는 MHE와 MPC를 별도로 설계하거나 순차적으로 적용했지만, 교란·노이즈가 동시에 존재할 경우 이러한 분리 접근법은 성능 저하와 안정성 보장의 어려움을 초래한다는 점을 지적한다. 문제 정의에서는 시스템을 \(x_{k+1}=f(x_k,u_k)+w_k,\; y_k=h(x_k)+v_k\) 형태로 가정하고, 상태 \(x\), 입력 \(u\), 교란 \(w\), 측정 노이즈 \(v\)가 각각 제한된 집합에 포함된다고 명시한다. 목표는 초기 상태와 과거 교란을 추정하면서, 미래 교란에 대해 최악의 경우를 가정해 제어 입력을 결정하는 무한‑시간 min‑max 최적화 문제를 설정하는 것이다. 목적함수는 세 부분으로 구성된다. 첫 번째는 추정 윈도우 \(N_e\) 내에서 교란 \(w\)와 노이즈 \(v\)에 대한 페널티 \(\ell_e\) 와 도착 비용 \(\Gamma\) (초기 상태 불확실성을 반영)이다. 두 번째는 제어 윈도우 \(N_c\) 내에서 상태·입력 페널티 \(\ell_c\) 와 교란 보상 \(\ell_{wc}\) 를 포함한다. 세 번째는 제어 윈도우 이후의 시스템 동작을 요약하는 비용‑투‑고 \(\Upsilon\) 이다. 무한‑시간 문제는 계산적으로 비현실적이므로, 이를 재귀적인 유한‑시간 문제(3)로 변환한다. 여기서 전·후 지평선 길이 \(N_e, N_c\) 를 선택하고, 각 윈도우에 대한 비용을 별도로 정의한다. 추정 비용 \(\Psi_E\) 은 과거 \(N_e\) 단계의 데이터와 도착 비용을 포함하고, 제어 비용 \(\Psi_C\) 는 미래 \(N_c\) 단계의 상태·입력·교란을 고려한다. 두 비용을 가중합 \(\Psi_{EC}= \phi\Psi_E+(1-\phi)\Psi_C\) 으로 결합함으로써, 하나의 최적화 문제 안에서 추정과 제어를 동시에 수행한다. 가중치 \(\phi\) 는 추정과 제어 사이의 트레이드오프를 조정한다. 이론적 분석에서는 두 가지 핵심 가정을 제시한다. 첫 번째는 도착 비용 \(\Gamma\) 에 적절한 적응형 가중치를 부여하면 추정 오차가 유계에 머무른다는 것으로, 이는 기존 MHE 이론을 확장한 결과이다. 두 번째는 전·후 지평선 길이가 충분히 크면 시스템이 검출가능하고, 제어 입력이 교란을 충분히 억제할 수 있어 폐루프 시스템이 \(\mathcal{KL}\) 안정성을 만족한다는 것이다. 이를 증명하기 위해 Lyapunov‑like 함수 \(\Psi_{EC}\) 의 감소성을 보이고, 교란 \(w_k\) 에 대한 최악의 경우에도 \(\ell_{wc}\) 가 교란을 억제하도록 설계한다. 결과적으로, 선택된 \(N_e, N_c\) 와 \(\phi\) 값에 따라 시스템이 입력‑출력‑교란에 대해 전역적으로 유계 안정성을 확보한다. 알고리즘은 매 샘플 시점에 현재 측정값 \(y_k\) 과 과거 \(N_e\) 단계의 데이터를 이용해 \(\hat{x}_{k-N_e|k}\) 와 \(\hat{w}_{k-N_e:k-1}\) 를 추정하고, 동시에 \(N_c\) 단계의 제어 입력 \(\hat{u}_{k:k+N_c-1}\) 을 계산한다. 최적화는 일반적인 비선형 프로그램 솔버를 사용하며, 실시간 적용을 위해 변수 차원을 \(N_e+N_c\) 로 제한한다. 시뮬레이션 부분에서는 두 가지 사례를 제시한다. 첫 번째는 간단한 비선형 시스템(예: \(x_{k+1}=x_k^3+u_k\))을 사용해, 동시 추정·제어와 독립적인 MHE‑MPC를 비교한다. 결과는 동시 접근법이 상태 추적 오차와 제어 입력 변동성을 모두 감소시킴을 보여준다. 두 번째 사례는 Van der Pol 진동기를 대상으로, 다양한 \(N_e, N_c\) 조합과 \(\phi\) 값을 실험한다. 특히 \(\phi=0.5\) 일 때, 추정 정확도와 제어 보수성 사이의 균형이 최적화되어 가장 작은 총 비용을 달성한다. 또한, 이론적 안정성 조건이 실제 시뮬레이션에서도 만족됨을 확인한다. 결론에서는 본 연구가 제시한 동시 MHE‑MPC 프레임워크가 제한된 교란 하 비선형 시스템에 대해 폐루프 안정성을 보장하면서도, 추정·제어를 하나의 최적화 문제로 통합함으로써 성능 향상을 달성한다는 점을 강조한다. 향후 연구로는 연속시간 시스템 확장, 비선형 제약 처리, 그리고 실험적 검증을 제시한다.