불안정 주기 궤도 안정화를 위한 평균 예측 제어 방법

**1. 서론** 논문은 혼돈 현상이 나타나는 비선형 이산 시스템에서 불안정한 주기 궤도를 안정화하는 문제를 다룬다. 기존의 직접·간접 제어 방법을 검토하고, 특히 선형 피드백 기반의 예측 제어가 구현이 간단하지만 적용 가능한 파라미터 영역이 제한적임을 지적한다. 이를 극복하기 위해 B.T. Polyak이 제안한 예측 제어를 일반화한 ‘평균 예측 제어(average predictive control)’를 도입한다. **2. 문제 정의** 시스템 xₙ₊₁ = f(xₙ) ( f∈C¹, xₙ∈ℝ^m ) 는 불변 볼록 집합 A 내에서 정의된다. 시스템은 하나 이상의 불안정한 T‑주기 η₁,…,η_T 를 갖으며, 각 주기의 승수는 J = ∏_{j=1}^{T} f′(η_j) 의 고유값 μ₁,…,μ_m 이다. 승수의 정확한 값은 알 수 없지만, 어느 정도의 구간 M (예: 실부 ≤0, 단위 원 내부 등) 은 알려져 있다고 가정한다. **3. 평균 예측 제어 설계** 새로운 매핑을  F(x) = ∑_{j=1}^{N} θ_j f^{(j‑1)T+1}(x) 로 정의한다. 여기서 θ_j∈ℝ, ∑θ_j = 1 이며, 0≤θ_j≤1 이면 원래 불변 집합 A 를 유지한다. N과 θ_j 를 적절히 선택하면 원 시스템의 주기가 그대로 보존되면서, 새로운 시스템의 야코비 행렬은  J_F = J^{∑_{j=1}^{N} θ_j J^{j‑1}} 가 된다. 이를 통해 특성 다항식은  φ(λ) = det