비선형 시변 시스템을 위한 최적화 기반 적응형 학습 제어

본 논문은 반복적으로 수행되는 시스템에서 측정 데이터만을 이용해 완전한 추적을 달성하고자 하는 학습 제어 문제에 초점을 맞춘다. 기존 연구들은 주로 선형 시스템이나 선형화된 비선형 모델에 의존했으며, 반복‑종속 파라미터가 존재할 경우 고유값 기반 수축 매핑(CM) 분석이 제한적이었다. 이러한 한계를 극복하기 위해 저자들은 비선형 시변 시스템을 대상으로 최적화 기반 적응형 반복학습제어(ILC) 프레임워크를 새롭게 제안한다. **문제 정의 및 가정** 시스템은 이산시간 비선형 함수 f에 의해 기술되며, 입력·출력 차수가 각각 l, n인 일반 형태를 가진다(식 1). 시스템 파라미터는 알려지지 않았으며, 시간과 반복에 따라 변할 수 있다. 목표는 원하는 참조 궤적 y_d(t)에 대해 lim_{k→∞} y_k(t)=y_d(t) 를 만족하도록 입력을 설계하는 것이다. 이를 위해 비용 함수 J(u_k) (식 3)를 정의하고, 오차와 입력 변화에 대한 가중합을 최소화한다. 핵심 가정(A1)은 f가 연속적으로 미분 가능하고, 모든 편미분이 유계이며 특히 입력‑출력 결합 편미분 ∂f/∂x_{l+2}가 양수(고정 부호)임을 전제로 한다. 이 가정은 비선형 ILC에서 흔히 요구되는 전역 Lipschitz 조건을 만족한다. **확장 동역학 선형화** Lemma 1을 통해 차분 평균값 정리를 적용, 두 반복 사이의 입력·출력 차이를 선형 관계로 근사한다. 구체적으로, Δy_k(t+1)=∑_{i=0}^{t} θ_{k,k-1,t}(i) Δu_k(i) 로 표현되며, θ 행렬은 하삼각 형태이며 모든 원소가 유계(βθ)이다. 특히 대각 원소는 입력‑출력 결합 편미분과 동일한 부호와 크기 범위를 가진다(식 9). 이 선형화는 모델이 전혀 알려지지 않아도 데이터만으로 θ를 추정할 수 있게 한다. **최적화 기반 입력 업데이트** 비용 함수 J를 θ 행렬에 대한 제약조건과 함께 최소화하면, 입력 업데이트 식(식 11)이 도출된다. 이 식은 이전 반복 입력 u_{k-1}(t)와 현재 추정된 θ, 오차 e_{k-1}(t+1) 및 고차 오차 항을 이용해 새로운 입력 u_k(t)를 계산한다. 학습 파라미터 γ_i와 정규화 상수 λ은 수렴 속도와 강인성을 조절한다. 중요한 점은 파라미터 추정이 별도의 적응 법칙 없이도 θ 행렬 자체가 데이터 기반으로 계산되므로, 파라미터의 유계성이 설계 단계에서 자동으로 보장된다는 것이다. **수렴 및 강인성 분석** 전통적인 고유값 기반 CM 분석은 반복‑종속 파라미터 때문에 적용이 어려웠다. 저자들은 이중 동역학 분석(DDA)과 비음수 행렬 이론을 결합하여 새로운 수렴 증명을 제시한다. DDA는 시간 차원과 반복 차원을 각각 독립적인 동역학으로 분리하고, 각 차원에서 비음수 행렬의 스펙트럼 반경이 1보다 작도록 설계한다. 이를 통해 입력, 출력, 파라미터 전부가 유계이며, 반복이 무한히 진행될 때 출력이 참조 궤적에 수렴함을 보인다. 또한, 비반복성 불확실성(반복마다 달라지는 외란·초기 오프셋) 존재 하에서도 강인 수렴성을 확보한다. 비용 함수에 고차 오차 항을 포함하고, θ 행렬의 변동을 상한 βθ로 제한함으로써 외란에 대한 여유를 제공한다. 결과적으로, 제안된 ILC는 모델 오차, 시변 파라미터, 외란 등에 대해 모두 견고한 성능을 유지한다. **시뮬레이션 검증** 시뮬레이션에서는 비선형 시변 로봇 관절 모델을 사용하였다. 기존 norm‑optimal ILC와 비교했을 때, 제안된 적응형 ILC는 수렴 속도가 현저히 빠르고, 반복마다 변하는 외란 및 초기 오프셋에도 안정적으로 참조 궤적을 추적한다. 입력·출력·파라미터 모두 유계임을 확인했으며, 비음수 행렬 기반 설계가 실제 시스템에 적용 가능함을 보여준다. **결론 및 기여** 1. 비선형 시변 시스템에 대한 완전 데이터 기반 최적화 설계 방법을 제시하고, 파라미터 유계성을 자연스럽게 보장한다. 2. 비음수 행렬과 이중 동역학 분석을 활용한 새로운 수렴 증명 기법을 도입해, 기존 고유값 기반 분석의 한계를 극복한다. 3. 비반복성 불확실성에 대한 강인 수렴성을 이론적으로 증명하고, 시뮬레이션을 통해 실효성을 검증한다. 이러한 기여는 로봇, 자동화 생산 라인, 배치 공정 등 반복 실행이 필수적인 실제 시스템에 적용될 수 있는 강력한 학습 제어 프레임워크를 제공한다.