비선형 시스템에서 근사 PCRLB 차이와 성능 분석

이 논문은 비선형 이산시간 동적 시스템에서 후방 크래머‑라오 하한(PCRLB)을 실시간으로 추정하기 위한 두 가지 Gaussian 근사 방법을 제시하고, 그 차이를 이론적으로 분석한다. 먼저 시스템 모델을 xₖ₊₁ = fₖ(xₖ)+wₖ, zₖ = hₖ(xₖ)+vₖ 로 정의하고, 과정·관측 잡음은 각각 평균 0, 공분산 Qₖ와 Rₖ를 갖는 Gaussian이라고 가정한다. 후방 피셔 정보 행렬(FIM) Jₖ는 기존 연구에서 재귀식 Jₖ₊₁ = D₂₂ₖ − D₂₁ₖ(Jₖ+D₁₁ₖ)⁻¹D₁₂ₖ 으로 도출되었으며, 여기서 D₁₁ₖ, D₁₂ₖ, D₂₂ₖ는 상태 전이와 관측 확률밀도에 대한 1차·2차 미분을 포함한다. 하지만 이 미분은 실제 상태 xₖ에 대해 평가해야 하므로, 온라인에서 직접 계산할 수 없다. 이에 저자는 두 가지 근사 전략을 제안한다. 1) **평균 기반 정확 모델**: 현재 추정 평균 \hat{x}_k 을 그대로 xₖ에 대입하고, fₖ와 hₖ를 직접 평가한다. 이 경우 D 행렬은 \hat{x}_k만을 이용해 계산되며, 계산량이 적지만 실제 상태와의 차이가 크게 반영되지 않는다. 2) **평균·공분산 기반 테일러 전개 모델**: \hat{x}_k와 추정 공분산 P_k를 이용해 fₖ와 hₖ를 2차 테일러 전개한다. 이를 통해 평균 \bar{x}_{k+1}=E