다중함수의 적정성(Properness) 판정 기준에 관한 새로운 정리

** 본 논문은 집합값 함수(멀티맵) \(F:X\multimap Y\) 의 적정성(properness)과 폐쇄성(closedness) 사이의 관계를 체계적으로 탐구한다. 먼저, 저자는 멀티맵의 기본 개념을 정리한다. \(F(A)=\{y\in Y\mid \exists x\in A,\;y\in F(x)\}\)와 \(F^{-1}(B)=\{x\in X\mid F(x)\cap B\neq\varnothing\}\)를 각각 이미지와 역이미지라 정의하고, 점역이미지 \(F^{-1}(y)=\{x\mid y\in F(x)\}\)를 도입한다. 적정성은 “\(B\subset Y\)가 컴팩트이면 \(F^{-1}(B)\)도 컴팩트”라는 전통적인 정의를 채택한다. 폐쇄성은 그래프 \(\operatorname{Gr}F=\{(x,y)\mid y\in F(x)\}\)가 \(X\times Y\)에서 폐집합임을 의미한다. **정리 1(직접 정리)**는 적정 멀티맵이면 역멀티맵 \(eF:Y\multimap X\) (즉, \(eF(y)=F^{-1}(y)\)) 가 폐쇄성을 갖는다는 것을 증명한다. 핵심 아이디어는 적정성으로 인해 역이미지 집합이 컴팩트하므로, \((y_n,x_n)\in\operatorname{Gr}eF\)가 \((y_n\to y,\;x_n\to x)\)라면 \((x_n)\)는 컴팩트 집합 안에 머물러 부분수열이 \(x\)로 수렴한다. 그 결과 \((y,x)\in\operatorname{Gr}eF\)가 되어 그래프가 폐집합임을 확인한다. **정리 2(역 정리)**는 폐쇄성만으로는 적정성을 보장하지 못한다는 점을 강조한다. 따라서 추가적인 가정이 필요하다. 저자는 두 가지 형태의 충분조건을 제시한다. (i) 점‑연속성: 모든 \(y\in Y\)에 대해 \(F^{-1}(y)\)가 비공집합이며, \(F\)가 점별로 상하한이 존재하는 연속성을 만족한다. (ii) 제한된 전이성: 임의의 컴팩트 \(K\subset Y\)에 대해 \(\bigcup_{y\in K}F^{-1}(y)\)가 완비 거리공간에서 전이성을 가진다(즉, 모든 무한 수열이 수렴 부분수열을 갖는다). 이 두 가정 하에서, 폐쇄성은 적정성으로 이어진다. 증명은 반증법을 사용한다. 만약 \(F^{-1}(K)\)가 비컴팩트라면, 그 안에서 수열 \((x_n)\)를 잡아 \(F(x_n)\)가 점점 작아지는 상황을 구성하고, 폐쇄성에 모순을 일으킨다. 논문은 이 정리들을 Fredholm 매핑에 적용한다. 무한 차원 Banach 다양체 사이의 Fredholm 매핑은 미분가능하고, 차원 차이가 유한하므로 그래프가 폐쇄이면 자동으로 적정이 된다. 이는 기존에 알려진 “Fredholm 매핑에서는 적정성 ⇔ 폐쇄성”이라는 사실을 멀티맵 상황으로 확장한 것이다. **반례**를 통해 가정들의 필요성을 강조한다. 첫 번째 반례는 \