On a criterion of properness of multimaps

Îá î äíîì êðèòåðèè ñîáñòâåííîñòè ìíîãîçíà ÷íûõ îòîáðàæ åíèé Âîðîòíèê îâ Ä.À. 1 2 Èçâåñòíà òåñíàÿ ñâÿçü ìåæäó ñîáñòâåííîñòüþ è çàìêíóòîñòüþ î äíîçíà ÷íûõ îòîáðàæ åíèé. Íàïðèìåð [1℄, äëÿ îòîáðàæ åíèé áàíàõ îâûõ áåñê îíå÷íîìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé, îáëàäàþùèõ ñâîéñò- âîì ðåäãîëüìîâîñòè, ýòè ïîíÿòèÿ ýêâèâàëåíòíû.  òî æ å âðåìÿ ñâîéñòâî ñîáñòâåííîñòè îòîáðà- æ åíèÿ ÿâëÿåòñ ÿ î äíèì èç öåíòðàëüíûõ ïðè ïîñòðîåíèè ðàçëè÷íûõ òåîðèé òîïîëîãè÷åñê îé ñòå- ïåíè.  ýòîé ðàáîòå ïðèâî äèòñ ÿ îáùèé êðèòåðèé ñîáñòâåííîñòè äëÿ ìíîãîçíà ÷íûõ îòîáðàæ åíèé, áëèçêèé ïî äóõó ê âûøåóïîìÿíóòîìó ñâîéñòâó ðåäãîëüìîâûõ îòîáðàæ åíèé. Êðèòåðèé ïðèâå- äåí â îðìå äâóõ òåîðåì: ïð ÿìîé è îáðàòíîé. 1 Î ìó ëü òèîòîáðàæ åíèÿõ Î ñâîéñòâàõ ìó ëü òèîòîáðàæ åíèé ìî æíî ïî äðîáíî óçíàòü, íàïðèìåð, â [2℄. Ìû æ å çäåñü îòìåòèì ëèøü ýëåìåíò àðíûå âîïðîñû. Ïó ñòü X , Y - ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Ìíîãîçíà ÷íûì îòîáðàæ åíèåì F èç X â Y (îáîçíà ÷à- åòñ ÿ F : X ⊸ Y ) íàçûâàåòñ ÿ ñîîòâåòñòâèå, ñîïîñò àâëÿþùåå ê àæäîé òî÷ê å x ∈ X íåê îå íåïó ñòîå ïî äìíî æ åñòâî ïðîñòðàíñòâà Y , îáîçíà ÷àåìîå F ( x ) . Ìíîãîçíà ÷íûå îòîáðàæ åíèÿ íàçûâàþò ò àê- æ å ìó ëü òèîòîáðàæ åíèÿìè. Äëÿ A ⊂ X îáð àçî ì F ( A ) íàçûâàåòñ ÿ ìíî æ åñòâî { y ∈ Y |∃ x ∈ A, F ( x ) ∋ y } . Äëÿ B ⊂ Y ïî ëíûì ïðîîáð àçî ì F − 1 − ( B ) íàçûâàåòñ ÿ ìíî æ åñòâî { x ∈ X | F ( x ) ∩ B 6 = ∅} .  ÷àñòíîñòè, äëÿ y ∈ Y : F − 1 − ( y ) = { x ∈ X | y ∈ F ( x ) } . Åñëè äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî B ⊂ Y ìíî æ åñòâî F − 1 − ( B ) çàìêíóòî, òî F íàçûâàåòñ ÿ ïî ëóíåïðå- ðûâíûì ñâåðõó . Åñëè F ïîëóíåïðåðûâíî ñâåð õó è îáðàç F ( x ) âñ ÿê îé òî÷êè x ∈ X ê îìïàêòåí, òî îáðàç F ( A ) âñ ÿê îãî ê îìïàêòíîãî A ⊂ X ê îìïàêòåí [2℄. Åñëè äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî B ⊂ Y ìíî æ åñòâî F − 1 − ( B ) îòêðûòî, òî F íàçûâàåòñ ÿ ïî ëóíåïðå- ðûâíûì ñíèçó . Îòîáðàæ åíèå F íàçûâàåòñ ÿ çàìêíóòûì , åñëè äëÿ ëþáûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x n → n →∞ x 0 èç X è y n → n →∞ y 0 èç Y , y n ∈ F ( x n ) âûïîëíåíî y 0 ∈ F ( x 0 ) . Âñ ÿê îå ïîëóíåïðåðûâíîå ñâåð õó ìó ëü òèîòîáðàæ åíèå, ó ê îòîðîãî îáðàç ê àæäîé òî÷êè çà- ìêíóò , ÿâëÿåòñ ÿ çàìêíóòûì [2℄. Áó äåì íàçûâàòü ìíîãîçíà ÷íîå îòîáðàæ åíèå F : X ⊸ Y ñîáñòâåííûì , åñëè äëÿ ëþáîãî ê îìïàêòíîãî B ⊂ Y ìíî æ åñòâî F − 1 − ( B ) ê îìïàêòíî. Áó äåì íàçûâàòü îòîáðàæ åíèå F òîïî ëîãè÷åñêè çàìêíóòûì , åñëè äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî A ⊂ X çàìêíóòûì áó äåò è F ( A ) . Çàìå÷àíèå. Îäíîçíà ÷íûå òîïîëîãè÷åñêè çàìêíóòûå îòîáðàæ åíèÿ ÷àñòî íàçûâàþò ïðîñòî çàìêíóòûìè.  òåîðèè ìíîãîçíà ÷íûõ îòîáðàæ åíèé çàìêíóòûìè íàçûâàþò íåñê îëüê î äðóãèå îòîáðàæ åíèÿ (ñì. âûøå). Ñèìâîëàìè R, N , Z áó äåì îáîçíà ÷àòü ñîîòâåòñòâåííî ìíî æ åñòâà äåéñòâèòåëüíûõ, íàòóðàëü- íûõ, öåëûõ ÷èñåë. Ââåäåì åùå äâà òåðìèíà. Ìû áó äåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíî æ åñòâî A ⊂ X ð àâíî ìåðíî òå ëåñíî , åñëè ïåðåñå÷åíèå A ñ ëþáûì îòêðûòûì øàðîì ëèáî ïó ñòî, ëèáî ñî äåð æèò äðóãîé îòêðûòûé øàð. 1  àáîò à ïî ääåð æ àíà ãðàíòîì ÔÔÈ 01-01-00425 2 Curren t address: CMUC, Apartado 3008, 3001 - 454 Coim bra, P ortugal, mitv orotmat.u.pt 1 Ïîíÿòíî, ÷òî ëþáîå îòêðûòîå ìíî æ åñòâî ðàâíîìåðíî òåëåñíî. Ïîëóèíòåðâàëû è îòðåçêè â R ò àêæ å ðàâíîìåðíî òåëåñíû. Ìû áó äåì íàçûâàòü ìíîãîçíà ÷íîå îòîáðàæ åíèå F : X ⊸ Y ïî÷òè ïî ëóíåïðåðûâíûì ñíèçó , åñëè äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî B ⊂ Y ìíî æ åñòâî F − 1 − ( B ) ðàâíîìåðíî òåëåñíî. Âñ ÿê îå ïîëóíåïðåðûâíîå ñíèçó ìó ëü òèîòîáðàæ åíèå, â ÷àñòíîñòè, î äíîçíà ÷íîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæ åíèå, ïî÷òè ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó . Âìåñòå ñ ê àæäûì F : X ⊸ Y ìî æíî ðàññìîòðåòü ìíîãîçíà ÷íîå îòîáðàæ åíèå e F : F ( X ) ⊸ X , ê îòîðîå îïðåäåëÿåòñ ÿ ò àê: e F ( y ) = F − 1 − ( y ) . Ëåãê î âèäåòü, ÷òî äëÿ B ⊂ Y : e F ( B T F ( X )) = F − 1 − ( B ) . Îòìåòèì ò àêæ å, ÷òî e F − 1 − ( A ) = F ( A ) äëÿ âñåõ A ⊂ X . Äåéñòâèòåëüíî, y ∈ e F − 1 − ( A ) ⇔ e F ( y ) ∩ A 6 = ∅ ⇔ ⇔ ∃ x ∈ A, x ∈ F − 1 − ( y ) ⇔ ∃ x ∈ A, F ( x ) ∋ y ⇔ y ∈ F ( A ) . 2 Êðèòåðèé ñîáñòâåííîñòè Ò åïåðü ìû ñîðìó ëèðó åì îñíîâíîé ðåçó ëü ò àò ðàáîòû. Ò åîðåìà 1. Ïóñòü X, Y  ìåòðè÷åñêèå ïðîñòð àíñòâà, F : X ⊸ Y ïî÷òè ïî ëóíåïðåðûâíî ñíèçó. Ïóñòü X ïî ëíî. Ïóñòü äëÿ âñÿêîãî y ⊂ Y ìíîæåñòâî F − 1 − ( y ) çàìêíóòî, íî íå ñîäåðæèò íè îäíîãî îòêðûòîãî øàð à. Ò îãäà, åñ ëè F òîïî ëîãè÷åñêè çàìêíóòî, òî F ñîáñòâåííî. Äîê àçàòåëüñòâî. Ïó ñòü y 0 ⊂ Y  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷ê à. Ïîê àæ åì ñíà ÷àëà, ÷òî F − 1 − ( y 0 ) îòíîñèòåëüíî ê îìïàêòíî. Ïðåäïîëî æèì, ÷òî ýòî íå ò àê. Ò îã äà ïî òåîðåìå Õà ó ñ äîðà F − 1 − ( y 0 ) íå èìååò ê îíå÷íîé 3 δ - ñåòè, ã äå δ > 0 äîñò àòî÷íî ìàëî. Ïîýòîìó F − 1 − ( y 0 ) ñî äåð æèò áåñê îíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü z 1 , z 2 , ... òî÷åê, ïîïàðíûå ðàññòî ÿíèÿ ìåæäó ê îòîðûìè íå ìåíüøå 3 δ (åñëè áû ò àêèõ òî÷åê áûëî ëèøü ê îíå÷íîå ÷èñëî z 1 , ..., z m , òî îñò àëüíûå òî÷êè F − 1 − ( y 0 ) îòñòî ÿëè áû îò ýòèõ ìåíüøå, ÷åì íà 3 δ ; ò .å. z 1 , ..., z m áûëî áû 3 δ -ñåòüþ). Âìåñòå ñ ê àæäîé z i ( i ∈ N ) ðàññìîòðèì îòêðûòûé øàð e G i = B ( z i , δ ) ñ öåíòðîì â z i ðàäèó ñà δ . ßñíî, ÷òî åñëè äâå òî÷êè ëåæ àò â ðàçíûõ e G i è e G j , òî ðàññòî ÿíèå ìåæäó íèìè íå ìåíåå δ .  àññìîòðèì òåïåðü â Y îòêðûòûå øàðû B n = B ( y 0 , 1 n ) ( n ∈ N ) . Ò .ê. F ïî÷òè ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó , òî F − 1 − ( B n ) ðàâíîìåðíî òåëåñíî.  àññìîòðèì ìíî æ åñòâî e e G n = e G n T F − 1 − ( B n ) . Îíî íå ïó ñòî, ò .ê. ñî äåð æèò z n . Ò .ê. F − 1 − ( B n ) ðàâíîìåðíî òåëåñíî, òî íàéäåòñ ÿ ê àê îé-íèáó äü îòêðûòûé øàð, ñî äåð æ àùèéñ ÿ â e e G n . Îáîçíà ÷èì ýòîò øàð ÷åðåç G n . Ïî ó ñëîâèþ òåîðåìû G n íå ñî äåð æèòñ ÿ ïîëíîñòüþ â F − 1 − ( y 0 ) , ò .å. íàéäåòñ ÿ x n ∈ G n , y 0 / ∈ F ( x n ) . Íî x n ∈ G n ⊂ F − 1 − ( B n ) . Ïîýòîìó íàéäåòñ ÿ y n ∈ B n ò àê îå, ÷òî y n ∈ F ( x n ) . Ò .ê. òî÷êè x n ëåæ àò â e G n , òî ïîïàðíûå ðàññòî ÿíèÿ ìåæäó íèìè íå ìåíåå δ . Ò .å. { x n } n ∈ N  ìíî æ åñòâî áåç ïðåäåëüíûõ òî÷åê. Ïîýòîìó îíî çàìêíóòî. Íî F òîïîëîãè÷åñêè çàìêíóòî, ïîýòîìó F ( { x n } n ∈ N ) çàìêíóòî. Íî { y n } n ∈ N ∈ F ( { x n } n ∈ N ) . Ò .ê. y n ∈ B n , òî y n → n →∞ y 0 ; ïîëó÷àåòñ ÿ, ÷òî y 0 ∈ F ( { x n } n ∈ N ) . Íî ýòîãî íå ìî æ åò áûòü, ò .ê. äëÿ âñ ÿê îãî n y 0 / ∈ F ( x n ) . Ïðîòèâîðå÷èå. Èò àê, äëÿ âñ ÿê îãî y 0 ìíî æ åñòâî F − 1 − ( y 0 ) îòíîñèòåëüíî ê îìïàêòíî. Íî F − 1 − ( y 0 ) çàìêíóòî ïî ó ñëîâèþ. Çíà ÷èò , e F ( y 0 ) = F − 1 − ( y 0 ) ê îìïàêòíî äëÿ âñ ÿê îãî y 0 ∈ F ( X ) . Äàëåå, e F : F ( X ) ⊸ X ïîëóíåïðåðûâíî ñâåð õó . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè A çàìêíóòî â X , òî e F − 1 − ( A ) = F ( A ) çàìêíóòî â Y , ò .ê. F òîïîëîãè÷åñêè çàìêíóòî. Î÷åâèäíî òîã äà, ÷òî e F − 1 − ( A ) çàìêíóòî è â F ( X ) . Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. ï.1.), ïðè ìó ëü òèîòîáðàæ åíèè e F îáðàç ëþáîãî ê îìïàêòíîãî ìíî æ åñòâà ê îìïàêòåí. 2 Ïó ñòü B  ê îìïàêòíîå ìíî æ åñòâî â Y . Ò .ê. F ( X ) çàìêíóòî â Y , òî F ( X ) ∩ B ê îìïàêòíî (â F ( X ) ). Ò îã äà e F ( F ( X ) ∩ B ) ê îìïàêòíî. Ò .å. F − 1 − ( B ) ê îìïàêòíî, è ñîáñòâåííîñòü F äîê àçàíà. 3 Çàìå÷àíèÿ Çàìå÷àíèå 1.  îðìó ëèðîâê å òåîðåìû 1 ïî÷òè ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó íåëüçÿ çàìåíèòü íà ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñâåð õó , ÷òî ïîê àçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð.  àññìîòðèì îòîáðàæ åíèå F : R ⊸ R : F ( x ) = { x } (ìíî æ åñòâî, ñîñòî ÿùåå èç î äíîé òî÷êè x ), åñëè x / ∈ Z ; F ( x ) = R, åñëè x ∈ Z . Îòîáðàæ åíèå F ïîëóíåïðåðûâíî ñâåð õó è òîïîëîãè÷åñêè çàìêíóòî. Ïîëíûé ïðîîáðàç âñ ÿê îé òî÷êè y åñòü ìíî æ åñòâî { y } ∪ Z . Ïîíÿòíî, ÷òî îíî çàìêíóòî è íå ñî äåð æèò íè î äíîãî øàðà, íî íå ê îìïàêòíî. Ïîýòîìó F íå ñîáñòâåííî. Çàìå÷àíèå 2. Òðåáîâàíèå ïî÷òè ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó â òåîðåìå 1 ñóùåñòâåííî ñëàáåå òðåáîâàíèÿ ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó . Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïó ñòü îòîáðàæ åíèå F : R ⊸ R çàäàíî ò àê: F ( x ) = {| x | + 1 } ïðè | x | > 1 ; F ( x ) = {| x | + 1 , 1 − | x |} ïðè | x | = 1 ; F ( x ) = {| x | + 1 , 1 − | x | , | x | − 1 } ïðè | x | < 1 . Ïðè îòîáðàæ åíèè F ïîëíûé ïðîîáðàç âñ ÿê îé òî÷êè ê îíå÷åí, à ïîòîìó çàìêíóò è íå ñî äåð- æèò øàðà. ßñíî ò àêæ å, ÷òî F òîïîëîãè÷åñêè çàìêíóòî. Ïîëíûé ïðîîáðàç ëþáîãî îòêðûòîãî ìíî æ åñòâà ðàâíîìåðíî òåëåñåí, íî íå îá ÿçàòåëüíî îòêðûò: íàïðèìåð, ïîëíûé ïðîîáðàç ìàëîé îêðåñòíîñòè íó ëÿ ñî äåð æèò êðàéíèå òî÷êè +1 è -1. Èò àê, îòîáðàæ åíèå F ó äîâëåòâîð ÿåò ó ñëî- âèÿì òåîðåìû, íî íå ÿâëÿåòñ ÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó . 4 Îáðàòíàÿ òåîðåìà Ýòîò ïóíêò ïîñâÿùåí òåîðåìå, ê îòîðóþ ìî æíî íàçâàòü îáðàòíîé ê òåîðåìå 1. Ò åîðåìà 2. Ïóñòü X, Y  ìåòðè÷åñêèå ïðîñòð àíñòâà, F : X ⊸ Y  çàìêíóòîå ìóëüòèîòîáð àæåíèå. Ò îãäà, åñ ëè F ñîáñòâåííî, òî F òîïî ëîãè÷åñêè çàìêíóòî. Äîê àçàòåëüñòâî. Ïó ñòü A - çàìêíóòîå ìíî æ åñòâî â X . Ïîê àæ åì, ÷òî F ( A ) çàìêíóòî. Äåéñòâèòåëüíî, ïó ñòü y n ∈ F ( A ) , y n → n →∞ y . Ìíî æ åñòâî Y 0 = { y } ∪ { y n } n ∈ N ê îìïàêòíî. Ïîýòîìó è F − 1 − ( Y 0 ) ê îìïàêòíî. Ò .ê. y n ∈ F ( A ) , òî íàéäåòñ ÿ x n ∈ A ò àê îå, ÷òî y n ∈ F ( x n ) . Ïîíÿòíî, ÷òî { x n } n ∈ N ∈ F − 1 − ( Y 0 ) . Ïîýòîìó { x n } n ∈ N áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ õ î äèòñ ÿ; x n → n →∞ x . Ò .ê. x n ∈ A , òî x ∈ A . Íî F çàìêíóòî, ïîýòîìó y ∈ F ( x ) ⊂ F ( A ) . Èò àê, F ( A ) çàìêíóòî. Ò åîðåìà äîê àçàíà. Ëèòåðàòóðà. 1. Áîðèñîâè÷ Þ. ., Çâÿãèí Â. ., Ñàïðîíîâ Þ.È. Íåëèíåéíûå ðåäãîëüìîâû îòîáðàæ åíèÿ è òåîðèÿ Ëåðå - Øà ó äåðà // ÓÌÍ, 1977. - Ò .32. - Âûï.4. - Ñ.3-54. 2. Áîðèñîâè÷ Þ. .,  åëüìàí Á.Ä., Ìûøêèñ À.Ä., Îáóõ îâñêèé Â.Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîãî- çíà ÷íûõ îòîáðàæ åíèé. - Âîðîíåæ: Èçä. Âîðîíåæ ñê îãî óíèâåðñèòåò à, 1986.-104ñ. 3