삼각군 2 p q 의 길이 스펙트럼이 동형을 결정한다

본 논문은 하이퍼볼릭 평면 H 위에 정의된 삼각군 Γ(2,p,q) 의 길이 스펙트럼을 체계적으로 분석하고, 그 스펙트럼만으로 군의 동형 클래스를 완전히 구별할 수 있음을 증명한다. 1. **배경 및 정의** - H는 상반 평면이며, 거리 d 는 하이퍼볼릭 거리 cosh d(x,y)=1+|x−y|²/(2 Im x Im y) 로 정의된다. - Γ(2,p,q) 는 각 변에 대한 반사로 생성되는 삼각군의 방향 보존 부분이며, p,q 는 정수이고 1/p+1/q<1/2 를 만족한다. - 기본 삼각형 T 는 각이 π/2, π/p, π/q 인 직각 삼각형이며, 이를 통해 Γ(2,p,q) 는 H 에 대한 타일링을 만든다. 2. **타일링 P와 거리 개념** - 정점이 모두 차수 q 인 다각형 타일링 P 를 고려한다. - 두 거리: 하이퍼볼릭 거리 d 와 타일링 위의 조합 거리 D (정점 사이 최소 변(edge) 수) 를 정의한다. - 각 군 원소 γ 에 대해 최소 조합 이동량 λ(γ)=inf D(s,γs) 를 도입한다. 3. **핵심 보조정리** - **Lemma 1**: 조합 반경 n 에 대한 최소 하이퍼볼릭 거리 ρ(n) 은 단조 증가한다. 이는 조합 거리 n 에 대해 가장 가까운 정점이 하이퍼볼릭 거리 ρ(n) 이상 떨어져 있음을 의미한다. - **Lemma 2**: 변위 l(γ)≤l₀ 인 모든 γ 는 어떤 정점 s₀ 에 대해 d(s₀,γs₀)≤C(l₀) 을 만족한다. 여기서 C(l₀)=arcosh