Les groupes de triangles $(2,p,q)$ sont determinees par leur spectre des longueurs

Les group es de tri angles (2 , p, q ) son t déterminés par leur s pectre des longueurs Emman uel Philipp e ∗ Laboratoire Emile Picard Université P aul Sabatier T oulouse Résumé On décrit le début du sp ectre des longueurs des groupes de triangles a yan t un a ngle droit et on montre qu e l e s p ectre des lo ngueurs ca ractérise la classe d’isométrie d ’un tel groupe. 2000 M athematics subj ect classif ication : 20 H10, 32G1 5, 53C22 Abstract W e describe the length sp ectra of triangle groups (2 , p, q ) b e f ore showing that the length spectra characterizes the isometry class o f such a group. 2000 M athematics subj ect cla s sif ication : 20H10 , 32G15, 53C22. T able des matières 1 Préliminaires 3 1.1 In tro duction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Asp ect théorique de l ’étude 6 3 Asp ect pratique de l ’étude : première partie 8 3.1 Les h yper boliques de niv eau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Les h yper boliques de niv eau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Asp ect pratique de l ’étude : deuxième partie 12 4.1 Calcul de ρ (3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Recherc he des longueurs les plus courtes . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2.1 Le cas o ù p = 4 , 5 ou p ≥ 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2.2 Le cas p = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2.3 Le cas 6 ≤ p ≤ 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ∗ e-mail: matahari@netcourrier.com 1 5 Rigidité sp ectrale 22 5.1 Description du début du sp ectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2 In terprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.3 Rigidité dans le ca s p ≥ 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.4 Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Si S es t une s ur face hyperb olique (i.e. de car actéristique d’Euler strictement négative) fermée (i.e. compacte sans b ord), on p eut s’in téresser à son sp ectre des long ueurs, c’est à dire à l’ensemble des longueurs des géo désiques fermées de S rang ées dans l’or dre cro issan t en r espectant les m ultiplicités even tuelles. Cet ensemble co nsidéré, on p eut se demander l’information géométrique qu’il contien t : peut-on déduir e du s p ectre des longueurs le genr e de S ? la classe d’isométrie de S ? Dans le c a s où S est fermée, ces questions on été largement traitées. En par- ticulier, on montre q ue la donnée du sp ectre des longueurs et équiv alen te à la donnée du sp ectre du Laplacien sur S (c’est le théo r ème de Huber, [1]). On p eut déduire de cela que le sp ectre des longueurs détermine l’aire de la surface, et donc le genre ou, ce qui revien t au même, la classe d’homéomo rphie (o n pour ra se référer à [8]). Pour ce qui es t de la clas se d’isométrie de la surface, la rép onse est négative, même si l’on disp ose du théo r ème de W olpert([6],[1]) qui informe qu’une s ur face hyperb olique fermée de genre g est « en général »(il convien t de donner un sens précis à cette formule. . .) déterminée à isométrie pr ès par s o n sp e c tr e des longueurs . On sait notammen t construire explicitemen t des surfaces de genre g ≥ 4 ay an t le même sp ectre des longueurs et étant géométriquement distinctes (on renv oie à [1] pour une pr ésen tation élég a n te et synthétique de ces exemples). On dispo se, pa rallélemen t, de certains rés ult ats de rigidité, par exemple p our les surfaces hyperb oliques compactes de genre 1 avec une seule comp osan te de bo rd ([2]), po ur les pantalons compacts ou a vec 1,2 ou 3 cusps ([7]). Dans le ca s où S est fermée et de genre 2 ou 3, la question r este ouverte. Si maintenan t S admet des po in ts coniques (i.e. si s o n group e fondamen tal contien t des éléments elliptiques), on définie de la même manière le spectre des longueurs, e n demandant aux géo désiques d’être les courb es qui minimisen t la distance ent re leurs po ints sur le complémen taire des points coniques. On dispose d’un analogue pa rtiel du théorème de Huber dans ce c a s (on consultera [10]). On se prop ose ici de démontrer que po ur les surfaces h yp erboliques de g enre 0 ay an t trois p oin ts coniques do n t l’un est d’ordr e 2 , le sp ectre des longueurs per met de déterminer l’ordre de tous les po in ts coniques , et donc la classe d’isométrie. Pour des calculs numériques de sytoles dans certains g roupes de triangles, on renv oie à [5],[3] et [4 ], cette dernièr e r éférence s’attarda n t sur le group e Γ(2 , 3 , 7) . Ceci est un pre mi er résultat de rig idit é p our le cas des surfaces hyperb oliques fermées à p oin ts coniques, qui s’a pplique en particulier à la surface mo dulaire. 2 1 Préliminaires 1.1 In tro duction On considère ici le demi-plan de P oincaré H = { z ∈ C ; Im z > 0 } que l’on munit de la distance hyperb olique cosh d ( x, y ) = 1 + | x − y | 2 2 Im x Im y Cet espace p ossède un group e d’isométrie Is om H qui s’iden tifie à P GL (2 , R ) tandis que le groupe des isométries directes est assimilé à P S L (2 , R ) . Un élémen t γ de Isom + H est alors h yp erbolique si la trace d’une des matrices asso ciées de S L (2 , R ) est strictement plus g rande que 2 en v a leur absolue. Un tel élément agit s ur H en laissa n t stable une géo désique app elée axe de γ et le long de laquelle γ agit comme une tra nslation de distance de tra nslation l ( γ ) = Inf { d ( x, γ x ) ; x ∈ H } Si main tenant 2 ≤ p ≤ q so nt des entiers vérifiant 1 p + 1 q < 1 2 on leur asso cie un triangle T de H ayan t p our ang le s π / 2 , π/p, π /q . Le group e d’isométrie engendré par les reflexio ns rela tives a ux cô tés de T est noté Γ 0 (2 , p, q ) tandis que l’ensemble de ses éléments prés erv ant l’orientation est app elé Γ(2 , p, q ) . C’est c e der nier gro up e que l’on v a étudier ici. Γ 0 (2 , p, q ) a git s ur H av ec T comme domaine fo nda men tal, ce qui fournit un pav age P 0 admettant tro is t ypes de sommets : ceux de v alence 2 , de v alence p ou de v alence q . Considérons P le sous pav ag e obtenu en considérant uniquemen t les sommets de v alence q et les arètes les r elian t : celui-ci est constitué de p -go nes de cô té 2 c av ec cosh c = cos π p sin π q et les a ngles aux sommets son t tous éga ux à 2 π /q . Nous dirons que Γ(2 , p, q ) et Γ(2 , p ′ , q ′ ) sont isométriques si les quotients H \ Γ(2 , p, q ) et H \ Γ(2 , p ′ , q ′ ) le so n t. On décrit ici le début du spectre des longueurs Lsp Γ(2 , p, q ) = { l ( γ ) ; γ élément h yp erbolique de Γ(2 , p, q ) } qui est l’ense mble des distance s de translatio n comptées av ec multiplicit és et ordonnées da ns l’ordre croissant. Le plus p e tit élé ment de cet ensem ble est la 3 systole. Commençons par expliquer notr e appr o che, a v a n t de do nn er la lis te des rés ul- tats prouv és dans cet article. Il est naturel de p enser qu’un élément hyperb olique γ de Γ(2 , p, q ) ay ant une distance de tra nslation petite (disons ≤ l 0 ) déplace au moins un sommet de P d’un distance p etite également (Idée 1 ). De plus, o n p eut p enser que deux p oint s du pav age pro c hes p o ur la distance h yp erbolique le restent ég alemen t si on considèr e leur éloig nemen t a u sens de la distance combinatoire D ass ociée au pav a g e (cette distance étant le nombre minimal d’arètes p ermettan t de relier ces deux po in ts) (Idée 2). Dans la pra tique, nous aurons donc besoin – de définir le « déplacement minimal »de γ sur P , no t é λ ( γ ) ; – de relier la distance h yp erbolique d et la distance combinatoire D Le résultat obtenu (propriété 1) s’écrit alors ∀ l 0 , ∃ n 0 ; ∀ γ hyperb olique , l ( γ ) ≤ l 0 ⇒ λ ( γ ) ≤ n 0 La démonstr ation de ce fait rep ose sur deux résultats fo r malisan t les idées pré - cédent es (lemme 1 et lemme 2). Le premier indique q u’eff ectivemen t le « rayon hyperb olique » ρ des b oules com- binatoire augmente a vec le ray on combinatoire de celles-ci. Le second affirme co mm e il était pres s en ti que tout élément hyperb olique γ de distance de transla tion l ( γ ) ma jorée par l 0 déplacera un point du pav age P d’une distance ma jorée par C ( l 0 ) = Argcosh [(co sh c ) 2 (cosh l 0 − 1) + 1] où cette co nstan te ne dépend q ue de l 0 et des entiers p, q . On obtien t alors la propriété 1 c herchée. Nous utilisons ensuite les résultats de la section 2 p our – décrire le début du spectre des longueurs de Γ(2 , p, q ) ; – en déduir e que le sp ectre des lo ngueurs caractér is e le group e Γ(2 , p, q ) parmi les group es de triangles de ce type. On a le résultat de rigidité spectra l suiv a n t (théorème 1) : Théorème A : S oit Γ(2 , p, q ) et Γ (2 , p ′ , q ′ ) deu x g rou pes de tria ngl es isospectr aux au sens des long ueu rs. Al ors ces deux g roupes sont isom ´ etriq ues. A u pa ssage, on aur a démon tré et exploité le rés ult at suiv an t (coro llaire 9, sec- tion 5 .1 ) : Théorème B : La sy stole de Γ(2 , p , q ) es t d ´ eter min ´ ee par l ′ al ternativ e sui vante : 4 1. S i p ≥ 4 , il s ′ ag it de 2 Argcosh [2 cos π p cos π q ] 2. S i p = 3 , il s ′ ag it de 2 Argcosh [2(cos π q ) 2 − 1 2 ] La section 2 exp ose comme annoncé la preuve de la propriété 1. C’es t l’asp ect théorique de l’étude. La section 3 est consacrée au calcul explicite des distances de tra nslation des h yp erboliques vérifian t λ ( γ ) = 1 , 2 . La section 4 est dédiée au calcul de ρ (3) et à la mise en pratique de la propr iété 1 pour les longueurs qui nous intéressent. La section 5 démontre le résultat de rigidité spectra l. 1.2 Notations Rapp e lo ns que tous les p oin ts du pa v a ge P sont par hypothèse de v alence q . Si x, y , z son t trois élémen ts de H , on désigne pa r ∠ ( xy , xz ) l’angle orien té formé par les seg men ts g éodésiques xy et xz en x . En l’abscence de précisio ns, on considère la mesure de cet angle dans [0 , 2 π [ . La mesure géométrique de cet angle est la v aleur abso lue de sa mesure pr incipale. Si x, y sont deux so mm ets de P , on considère l’ensemb le des chemins β du pav ag e formés d’ar ètes co nsécutiv es de P et reliant x et y . Le nombre d’arètes d’un tel chem in est s a longueur, notée L ( β ) . La distance combinatoire en tre x et y est D ( x , y ) = Inf { L ( β ) ; β reliant x et y } C’est un entier. Fixons main tenant s 0 dans P . Pour n ≥ 1 , la b oule co mbinatoire de centre s 0 et de ray on co m binatoire n est l’ensemble des sommets de P qui s e trouv ent à une distance co m binatoire au plus égale à n de s 0 . On p ose alors ρ ( n ) = Inf { d ( s 0 , s ) ; D ( s 0 , s ) = n } Moralement, il s’agit du ra yon h yperb olique minimal de la sphère com binatoire de rayon n . Ce nomb re est évidemment indép endant de s 0 . Nous sommes no- tammen t amenés, p our démontrer les r ésultats anno ncé s , à calculer ρ (3) dans la section 4.1. Décrivons de ma nière plus min utieuse la s phèr e combinatoire de ray on 3 . Si s vérifie D ( s 0 , s ) = 3 , il existe un chemin β = { s 0 s 1 , s 1 s 2 , s 2 s } du pav a ge r elian t s 0 à s . On note 2 k 1 π /q et 2 k 2 π /q les mesures dans [0 , 2 π [ de l’angle orient é de β en s 1 et s 2 . Le so mmet s s’écrit alors s ( k 1 , k 2 ) et on note d ( k 1 , k 2 ) := d ( s 0 , s ( k 1 , k 2 )) Remarquons qu’il existe plusieur s p oin ts du t ype s ( k 1 , k 2 ) po ur des entiers fixés et qu’ils so n t tous à la même distance hyper bolique de s 0 . C’es t cette distance, in v a rian te, que l’on étudie : ceci justifie la notation précéden te. Enfin, p our tout γ élément hyperb olique de Γ(2 , p, q ) , on définit son niveau λ ( γ ) = Inf { D ( s, γ s ) ; s ∈ P } qui mes ur e le déplacement minimal de γ sur P au sens co m binatoire du terme. 5 2 Asp ect théorique de l’étude Il s’agit ici de démontrer la pr opriété 1 anno ncé e en intro duction, sur laquelle rep ose l’étude pratique du sp ectre des lo ngueurs. Començons par montrer le lemme suiv an t établissant la croissance de ρ : N ∗ − → R ∗ et reliant ainsi les distances d et D . Lemme 1 L’appl ic atio n ρ est cr oi ssante Preuv e du le mme 1 : Fixons s 0 un sommet de P et n ≥ 2 un entier. Soit x un sommet à distance combinatoire n de s 0 . Montrons qu’il existe toujour s un élément y de P étan t à une distance combin atoire n − 1 de s 0 et qui soit plus pro c he de s 0 que x au sens de la distance hyper bolique. E n c hoisissant x = x 0 de manière adaptée, on obtiendra alors y = y 0 vérifian t ρ ( n ) = d ( s 0 , x 0 ) ≥ d ( s 0 , y 0 ) ≥ ρ ( n − 1) et le lemme sera démont ré. Soit donc x av ec la pro priété inv oquée. Il existe un chemin β = { c 1 , . . . , c n } du pav age r elian t s 0 à x . O n écr it c n = xy et on désigne pa r z le milieu de xy , qui est un p oin t de v alence 2 du pav a ge P 0 . L’élémen t y est de v a le nce q et vérifie d ( s 0 , x ) ≥ d ( s 0 , y ) En effet, si m est la médiatrice de xy , m sépar e les po in ts x et s 0 : établissons ce fait. Commençons par écrire le complémen taire de m comme union de deux sous espaces ouv erts H x et H y , av ec des notations éviden tes, et supposo ns que s 0 est dans H x . No us a llons contredire la minimalité de β . Le chemin β intersecte m e n au moins deux po in ts, dont l’un est z . Notons w le pr emier p oin t d’in tersection de β av ec m quand β est parcouru de s 0 vers x . C’est un so mm et de P 0 , donc de v alence q ou 2 . Cas 1 : w est de valenc e q On écrit tout d’ab ord β = β 1 ∪ β 2 ∪ { y x } où β 1 relie s 0 à w et β 2 relie w à y . O n p ose a lors β ′ = β 1 ∪ β 2 où β 2 désigne le chemin de P image de β 2 par la reflexion d’axe m . Le chemin β ′ relie s 0 à x et se trouve être de lo ngueur strictement plus petite que β , ce qui contredit la minimalité de β et impose à s 0 d’appartenir à H y . Cas 2 : w est de valenc e 2 w est alors le milieu d’une arête x ′ y ′ av ec x ′ et y ′ dans P . Nous supp osons que x ′ ∈ H x et écrivons β = β 1 ∪ β 2 ∪ { y x } ∪ { x ′ y ′ } 6 où β 1 relie s 0 à x ′ et β 2 relie y ′ à y . Il suffit main tenant de considérer β ′ = β 1 ∪ β 2 po ur contredire là encore la minimalité de β . Dans tous les cas, on a bien s 0 ∈ H y et d ( s 0 , x ) ≥ d ( s 0 , y ) Reste à constater que y est exactement à une distance co m binatoire n − 1 de s 0 : en effet, β ′ = { c 1 , . . . , c n − 1 } est un chemin reliant s 0 à y (ce qui fournit une ma jora tion de la distance cherchée) et si D ( s 0 , x ) était strictement inférieure à n − 1 , on aurait β de longueur strictemen t inférie ur e à n . Ceci ac hève la preuv e du lemme 1.  Montrons main tenan t le lemme 2 q ui assure l’existence d’un « déplacement mi- nimal »maximal p our les élémen ts hyperb oliques dont la distance de tra nslation est b ornée. Lemme 2 Soit l 0 > 0 . A lors il existe une c onstante C ( l 0 ) t elle que tout élément hyp erb olique γ de Γ(2 , p, q ) ayant u n e distanc e de tr anslatio n inféri eur e ou é gale à l 0 déplac e au moins un sommet s 0 de P d’une distanc e d ( s 0 , γ s 0 ) ≤ C ( l 0 ) On a de plus cosh C ( l 0 ) = (cosh c ) 2 (cosh l 0 − 1) + 1 Preuv e du le mme 2 : Considérons ss ′ une arète du pav age P qui p ossède une in tersection no n vide av ec A , l’ax e de γ . Si s es t l’extrémité de l’arète la plus pro ch e de A au sens h yp erbolique, cette distance es t nécessair emen t inférieure à c . On obtient alor s cosh d ( s, γ s ) = (cosh d ( s, A )) 2 (cos l ( γ ) − 1) + 1 ≤ (cosh c ) 2 (cosh l ( γ ) − 1 ) + 1 ≤ (cosh c ) 2 (cosh l 0 − 1) + 1 On peut donc prendre s 0 = s .  On est ma in tenan t en mesure de mo n trer la Prop osition 1 Soit l 0 > 0 . A lors il ex i ste un entier n 0 tel que, p our tout élément hyp erb olique γ de Γ(2 , p, q ) , l ( γ ) ≤ l 0 ⇒ λ ( γ ) ≤ n 0 Preuv e de l a prop osition 1 : Par croissa nce de ρ , il existe un plus p etit entier n tel que ρ ( n ) > C ( l 0 ) . Sup- po sons dès lors que λ ( γ ) > n . Pour to ut s dans P , on a d ( s, γ s ) ≥ ρ ( λ ( γ )) ≥ ρ ( n ) > C ( l 0 ) et le lemme 1 p ermet alors d’affir mer que l ( γ ) > l 0 . Nous p ouvons donc choisir n 0 = n − 1 .  7 3 Asp ect pratique d e l’étude : première partie On décrit ici les v ale ur s du spectr e des longueurs apparaissa n t av ec les éléments h yp erboliques de niveau 1 et 2 , c’est à dire les distances de translatio ns cor- resp ondan t aux élémen ts h yperb oliques de Γ(2 , p, q ) qui déplacent au moins un po in t du pa v age d’une distance combinatoire 1 ou 2 . On y trouve des formules explicites élémentaires et on ordonne ces v aleurs dans l’ordre croissa n t, en tenant compte des v aleurs des entiers p et q . 3.1 Les hyperb oliques de niv eau 1 Soit γ un élément hyperb olique de Γ(2 , p, q ) déplacant au moins un sommet s 0 d’une distance combinatoire 1 . Choisisso ns un s 0 tel q ue D ( s 0 , γ s 0 ) = 1 et décomp osons γ en pro duit de deux r éflexions dont les axes sont des géo désiques G et G ′ du pa v a ge P 0 : ex pliquons comment. Si s 0 et tel que D ( s 0 , γ s 0 ) = 1 , écrivons γ 2 s 0 = x . L’arète γ s 0 x se trouve donc être l’image par γ de l’arète s 0 γ s 0 . Pr e nons p our G la médiatrice de s 0 γ s 0 et po ur G ′ la bissectrice de l’angle formé par ces deux arètes au s o mmet γ s 0 . On note G ′ = G ′ k où k est un en tier entre 1 et q − 1 tel que ∠ ( γ s 0 s 0 , γ s 0 x ) = 2 k π/ q . Un calcul trig o nométrique p ermet d’affirmer que la distance de trans la tion de γ = ¯ r G ′ k ¯ r G est a lors donnée par l 1 ( k ) = 2 Argcosh D 1 ( k ) ; 1 ≤ k ≤ q − 1 dès que la quantité D 1 ( k ) = sin k π q cos π p sin π q ; 1 ≤ k ≤ q − 1 est strictement plus grande que 1 : dans le cas contraire, γ n’est pas hyperb olique ([9], p. 15 7 et p. 179). On constate que les v aleurs prises par D 1 ( k ) so nt symétr iq ues par rapp ort à la v a le ur en la partie en tière de q / 2 . On a notamment : D 1 (1) = cos π q < 1 D 1 (2) = 2 cos π p cos π q D 1 (3) = cos π p [4(cos π q ) 2 − 1] On dispose du résultat suiv ant : Prop osition 2 Soit Γ(2 , p, q ) ave c p, q deux entiers tels que p ≤ q et 1 p + 1 q < 1 2 . 1. S i p ≥ 4 et q ≥ 6 , les deux distanc es de tr anslatio n les plus p etites p a rmi les éléments hyp erb oliques de nive au 1 sont, dans l’or dr e cr oissant : l 1 (2) = 2Argcosh 2 cos π p cos π q l 1 (3) = 2Argcosh cos π p [4(cos π q ) 2 − 1] 8 2. S i p = 3 où bien ( p, q ) ∈ { (4 , 5) , (5 , 5 ) } , la plus p etite distanc e de tr ansla- tion p armi les éléments hyp erb oliques de nive au 1 est : l 1 (3) = 2Argcosh cos π p [4(cos π q ) 2 − 1] Preuv e de l a prop osition 2 : Un calcul rapide mont re que l 1 (2) = l 1 (3) si et seulement si q = 5 . Il est de plus évident que D 1 (2) est strictement supérieur à 1 s i p ≥ 4 et strictement inférieur à 1 dès que p = 3 .  3.2 Les hyperb oliques de niv eau 2 Soit γ un élément hyperb olique de Γ(2 , p, q ) déplaçant au moins un sommet s 0 du pav ag e d’une distance combinatoire 2 , c’est à dire D ( s 0 , γ s 0 ) = 2 . C e tte isométrie se déco mpose là e nco re en deux réflexions dont les a xes sont des géo- désiques G e t G ′ du pa v a ge P 0 . Expliquons co mm ent s’en per suader. Considérons β = { s 0 x, x γ s 0 } un chemin de longueur 2 reliant s 0 à son imag e. Posons maintenan t y = γ x et cons idérons dès lors p our G la bissectrice de l’angle ∠ ( xs 0 , xγ s 0 ) et p our G ′ la bissectrice de l’ang le ∠ ( γ s 0 x, γ s 0 y ) . La longueur de transla ti on de γ = ¯ r G ′ k ′ ¯ r G k est a lors donnée par l 2 ( k , k ′ ) = 2Argcosh D 2 ( k , k ′ ) ; 1 ≤ k , k ′ ≤ q − 1 dès que la quantité D 2 ( k , k ′ ) = | sin k ′ π q sin k π q cosh 2 c − cos k π q cos k ′ π q | ; 1 ≤ k , k ′ ≤ q − 1 est s trictemen t plus gra nde que 1 . Dans les formules précédentes, cosh 2 c = 2(cos π p ) 2 + (cos π q ) 2 − 1 (sin π q ) 2 Il convien t de remarquer que D 2 ( q − 1 , k ) e s t ég al à D 2 (1 , q − k ) e t cela p our tout k compris entre 1 et q − 1 . Rangons ces v aleurs dans l’ordr e cro is san t. On disp ose po ur cela du r ésultat élément aire suiv ant : Lemme 3 Soit K et K ′ deux entiers c ompris entr e 1 et la p artie entièr e de q / 2 . A lors p our tout k c ompri s entr e K et q − K et tout k ′ c omp ris entr e K ′ et q − K ′ , on a sin k π q sin k ′ π q cosh 2 c − cos k π q cos k ′ π q ≥ sin K π q sin K ′ π q cosh 2 c − cos K π q cos K ′ π q Preuv e du le mme 3 : On constate que p our les v aleurs de k indiquées, sin k π q ≥ sin K π q > 0 9 et qu’il en est de même pour k ′ et K ′ . On a donc sin k π q sin k ′ π q ≥ sin K π q sin K ′ π q > 0 Maint enant, cos k π q ≤ co s K π q av ec le même r ésultat p our k ′ et K ′ . On en déduit cos k π q cos k ′ π q ≤ co s K π q cos K ′ π q Ceci est évident sans se pr éoccup er du signe du terme de ga uc he car le terme de droite est toujours po sitif par hypo thèse sur K et K ′ . On conclut en remar quan t que cosh 2 c est toujours strictemen t po sitif .  Nous énonçons ma in tenan t le principal résultat de ce para graphe : Prop osition 3 Soit Γ(2 , p, q ) ave c p, q deux entiers tels que p ≤ q et 1 p + 1 q < 1 2 . 1. S i p ≥ 5 , les deux distanc es de tr anslatio n les plus p etites p armi les élé- ments hyp erb oliques de nive au 2 sont, dans l’or d r e cr oissant : l 2 (1 , 2) = 2Arg cosh [cos π q (4(cos π p ) 2 − 1)] l 2 (1 , q − 1) = 2Argcosh [2(co s π p ) 2 + 2(cos π q ) 2 − 1] 2. S i p = 4 la plus p etite distanc e de tr anslatio n p armi les éléments hyp erb o- liques de nive au 2 est : l 2 (1 , q − 1) = 2Argcosh [2(co s π p ) 2 + 2(cos π q ) 2 − 1] 3. S i p = 3 et q = 7 ,la plus p et i te distanc e de tr anslation p armi les éléments hyp erb oliques de nive au 2 est : l 2 (1 , q − 1) = 2Argcosh [2(co s π q ) 2 − 1 2 ] 4. S i p = 3 et q ≥ 8 , les deux plus p etites distanc es de tr anslatio n p armi les éléments hyp erb oliques de nive au 2 sont : l 2 (1 , q − 1) = 2Argcosh [2(co s π q ) 2 − 1 2 ] l 2 (1 , 6) = 2Arg cosh [2 co s π q (2(cos π q ) 2 − 1)] Preuv e de l a prop osition 3 : Un c alcul pr élimi nair e Pour cla r ifier la démonstration, nous co mmenço ns par obtenir une première minoration des q uan tités D 2 ( k , k ′ ) en distinguan t deux cas ( p ≥ 4 et p = 3 ). Si p ≥ 4 , la q ua n tité entre les v aleurs absolues est p ositiv e dès que 1 ≤ k ≤ q − 1 et 2 ≤ k ′ ≤ q − 2 . Cela résulte d’un calcul élémen taire et de l’utilisation du lemme 3. Ceci per met de faciliter la manipulation des quantités D 2 ( k , k ′ ) en supprimant les v a leurs absolues dans leur expressio n initiale. On a alors, po ur 10 tout 2 ≤ k , k ′ ≤ q − 2 , D 2 ( k , k ′ ) = sin k ′ π q sin k π q cosh 2 c − cos k π q cos k ′ π q ≥ sin 2 π q sin 2 π q cosh 2 c − cos 2 π q cos 2 π q = D 2 (2 , 2) ceci résultan t du lemme 3. Si p = 3 , la quan tité en tre les v aleur s absolues définissant D 2 ( k , k ′ ) es t p ositiv e dès que 1 ≤ k ≤ q − 1 et 3 ≤ k ′ ≤ q − 3 et on a de même, pour to ut 2 ≤ k ≤ q − 2 et tout 3 ≤ k ′ ≤ q − 3 , D 2 ( k , k ′ ) = sin k ′ π q sin k π q cosh 2 c − cos k π q cos k ′ π q ≥ sin 2 π q sin 3 π q cosh 2 c − cos 2 π q cos 3 π q = D 2 (2 , 3) Il co n vien t donc d’étudier séparemment le cas p = 3 . L e c as p ≥ 4 Montrons maint enant la prop osition dans le cas où p est supé rieur ou égal à 4 . On constate que D 2 (1 , 2) < D 2 (1 , q − 1) ≤ D 2 (1 , 3) ≤ D 2 (2 , 2) av ec un cas d’égalité q ui cara c tér ise la s it uation p = 4 . En effet, on disp ose des formules D 2 (1 , 2) = cos π q [4(cos π p ) 2 − 1] D 2 (1 , q − 1) = 2(cos π q ) 2 + 2(cos π p ) 2 − 1 D 2 (1 , 3) = 8(cos π q ) 2 (cos π p ) 2 − 2(cos π p ) 2 − 2(cos π q ) 2 + 1 D 2 (2 , 2) = 8(cos π q ) 2 (cos π p ) 2 − 1 et le ré s ult at provien t des constations suiv antes D 2 (1 , 3) − D 2 (1 , q − 1) = 2(2(cos π q ) 2 − 1)(2(cos π p ) 2 − 1) ≥ 0 D 2 (1 , q − 1) − D 2 (1 , 2) > 2 (cos π p ) 2 − (4(cos π p ) 2 − 1) + 2(cos π p ) 2 − 1 = 0 D 2 (2 , 2) − D 2 (1 , 3) ≥ 4(cos π p ) 2 − 2 ≥ 0 11 La première différence e s t nulle si et s eulemen t si p = 4 ca r on demande p ≤ q . Remarquons ensuite que si p est sup érieur ou ég al à 5 , D 2 (1 , 2) > 1 alor s que D 2 (1 , 2) < 1 < D 2 (1 , q − 1) si p pre nd la v aleur 4 . Il reste à démontrer qu’aucune v aleur D 2 ( k , k ′ ) ne vient s’intercaler dans la liste prop osée. Si k et k ′ sont entre 2 et q − 2 , cela résulte de la minor ation obtenue en début de preuv e. Si k = 1 , o n cons t ate que D 2 (1 , k ) est sup érieur à D 2 (1 , 3) dès que k est compris entre 3 et q − 3 , toujours en utilisant le lemme 3. Clairement, D 2 (1 , 1) < 1 . Un ca lcul montre ensuite que, si p ≥ 4 , D 2 (1 , q − 2) − D 2 (1 , q − 1) = 4(cos π p ) 2 cos π q + 4(cos π q ) 3 − 3 cos π q − 2(cos π q ) 2 − 2(cos π p ) 2 + 1 = 2 (2 cos π q − 1)((cos π p ) 2 + (cos π q ) 2 ) + 1 − 3 cos π q ≥ 0 la dernière égalité résultant d’une ma joration directe si p ≥ 4 et q ≥ 5 . Enfin, si k = q − 1 , o n utilise que D 2 ( q − 1 , k ′ ) = D 2 (1 , q − k ′ ) . Ceci achève la situation où p est sup érieur à 4 . L e c as p = 3 Considérons main tenant le cas où p = 3 . On mon tre alors que 1 < D 2 (1 , q − 1) ≤ D 2 (1 , 6) av ec un c a s d’éga lit é qui caractérise la s ituatio n où q = 7 . P our cela, o n ex a mine les form ules D 2 (1 , q − 1) = D 2 (1 , 5) = 2(cos π q ) 2 − 1 2 D 2 (1 , 6) = D 2 (2 , q − 1) = D 2 (2 , 3) = 2 (cos π q )(2(cos π q ) 2 − 1) On constate ensuite que D 2 (1 , k ) est supérieur à D 2 (1 , 6) dès que k est c o mpris ent re 6 et q − 6 puis on examine les v aleurs r estan tes comme pr é c édemm ent po ur confirmer qu’elles ne viennent par s’intercaler dans la suite précéden te.  4 Asp ect pratique d e l’étude : deuxième partie Pour p = 3 , on démontre (section 4.2 .2) que tout élément hyperb olique de Γ(2 , p, q ) a yan t une distance de tr a nslation inférieure ou ég ale à l 1 (4) e s t de ni- veau 1 o u 2 . Autremen t dit, en appliquant la propriété 1 si l 0 = l 1 (4) , on obtien t n 0 = 2 . Rapp elons que l’on a é tudié ces éléments dans la section pr écéden te. Pour p ∈ { 4 , 5 } e t p ≥ 11 , la section 4 .2.1 mon tre qu’il en est de même po ur les élément s h yper boliques de Γ(2 , p, q ) ay an t une distance de transla tion inférieure ou égale à l 2 (1 , q − 1) . 12 Enfin, p our p ∈ { 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } , la s e c t ion 4.2.3 explique p ourquoi tout h yperb o- lique de Γ(2 , p, q ) ay ant une distance de translation inférieure ou ég ale à l 1 (2) est é g alemen t de niveau 1 ou 2 . Dans ch aque cas, l’ob jectif est donc d’expliquer p ourquoi un élémen t hyperb o- lique ay an t une telle distance de transla ti on ne p eut pas déplacer un élément du pav ag e d’une distance combinatoire sup érieure ou ég ale à 3 et il est donc nécessaire, en préliminair e , d’examiner de plus près la quantité ρ (3) . 4.1 Calcul de ρ (3) Fixons s 0 un sommet du pav age et considérons l’ensemble des sommets qui constituent la sphère de centre s 0 et de rayon 3 po ur la distance combinatoire. Chaque po in t de cette sphère ser a écrit so us la forme s ( k 1 , k 2 ) av ec k 1 et k 2 ent re 1 et q − 1 . Cherchons ce lui qui est g éométriquemen t (i.e. au s ens de la distance h yper b olique d ) le plus pro c he de s 0 . Començons pa r établir le Lemme 4 Soit s et s 0 deux sommets de P tels que D ( s, s 0 ) = 3 . Si β = { s 0 x, x y , ys } est un chemin minimal de P re liant s à s 0 , alors la mesur e gé o- métrique de l’angle ∠ ( y x, ys 0 ) est inférieur e ou é gale à π /q . En reprenant la mesure de l’angle orienté, le lemme affirme que ∠ ( y x, y s 0 ) ∈ [0 , π q ] ∪ [2 π − π q , π q ] Preuv e du le mme 4 : Commençons par signa ler le fait que da ns le triangle iso cèle s 0 xy , l’angle à la base ∠ ( y x, y x 0 ) est une fo nct ion décroissa n te de l’angle a u sommet ∠ ( xs 0 , xy ) . Cela résulte des formules class iques de trigonométrie hyper bolique. L e c as p ≥ 4 Ici, o n écrit s = s ( k 1 , k 2 ) av ec k 1 et k 2 ent re 1 et q − 1 . La mesure géométrique de l’angle ∠ ( xs 0 , xy ) es t donc minimale p our k 1 = 1 , et un simple calcul (on po urra dessiner un p -gone e t r eprésen ter les p oin ts s 0 , x, y ) mont re q ue si p ≥ 4 , l’angle ∠ ( y x, y s 0 ) a dans ce cas une mesure géo métr iq ue toujours inférieure ou égale à π /q av ec comme cas d’égalité la v aleur p = 4 . L e c as p = 3 On éc r it s = s ( k 1 , k 2 ) av ec k 1 et k 2 ent re 2 et q − 2 . Remarq uons que si k 1 = 1 ou k 1 = q − 1 , l’ang le ∠ ( y x, y s 0 ) a une mesure géométrique égale à 2 π /q et le rai- sonnement précédent n’est a priori pas exploita ble. Cep endan t, avec l’h yp othèse où k 2 doit être en tre 2 et q − 2 , la mesure géométr ique de l’angle ∠ ( xs 0 , xy ) est minimale p our k 1 = 2 o u k 1 = q − 2 . On trouve a lors une mesure géométr ique égale à π /q po ur l’ang le ∠ ( xs 0 , xy ) (on p ourra là enco r e dessiner un p -g o ne pour s’en con v aincr e). Comme il s ’agit du cas extrémal, cela conclut la preuve.  13 On déduit de cela le résultat suiv ant Lemme 5 Supp oso ns p ≥ 3 . Soit K un ent ie r c ompris entr e 1 et la p artie entièr e de q / 2 . Pour tout k 1 entr e 1 et q − 1 et k 2 entr e K et q − K , d ( k 1 , k 2 ) ≥ Min { d ( k 1 , K ) , d ( k 1 , q − K ) } Preuv e du le mme 5 : : On se fixe s 0 un po int du pav age et un couple d’en tier ( k 1 , k 2 ) a uquel on asso cie un po in t s = s ( k 1 , k 2 ) de la sphère combinatoire de r ayon 3 et de centre s 0 . On disp ose d’un chemin β = { s 0 x, x y , ys } asso cié à ce couple d’entier. Dans le triangle s 0 y s , la longueur s 0 s est minimale quand la mesur e géométrique de l’angle ∠ ( y s 0 , ys ) est minimal. En notant α la mesure géo métrique de l’ang le ∠ ( y x, y s 0 ) , on p eut distinguer deux cas : Si 2 k 2 π /q est dans ]0 , π ] , la mesure géométrique de ∠ ( y s 0 , ys ) est égale à 2 k 2 π /q − α Elle est donc minimale p our k 2 = K . Si 2 k 2 π /q est dans ] π , 2 π ] , cette mesure g éométrique est égale à 2( q − k 2 ) π /q + α et est minimale p our k 2 = q − K . Ceci termine la preuve.  Ce lemme affir me par symétrie que d ( k 1 , k 2 ) ≥ Min { d ( K, k 2 ) , d ( q − K, k 2 ) } si k 1 v a r ie entre K et q − K et k 2 est un entier quelconque en tre 1 et q − 1 . On déduit du lemme 5 la propriété suiv an te. Prop osition 4 L a valeur de ρ (3) est déterminé e de la manièr e suivante : 1. si p ≥ 6 , ρ (3) = d ( s 0 , s (1 , 1 )) 2. si p = 4 , ρ (3) = d ( s 0 , s (1 , 2 )) 3. si p = 5 , ρ (3) = d ( s 0 , s (1 , q − 1)) 4. si p = 3 , ρ (3) = d ( s 0 , s (2 , 2 )) Preuv e de l a prop osition 4 : On s e fixe s 0 un sommet du pav age et on désigne les p oin ts de la s phère de cent re s 0 et de ray on 3 p our la distance c o m binatoire par les sommets s ( k 1 , k 2 ) av ec k 1 et k 2 compris en tre 1 et q − 1 . L e c as p ≥ 6 Dans ce cas, p our tous k 1 et k 2 compris entre 1 et q − 1 , le p oin t s ( k 1 , k 2 ) es t à une distance co m binatoire 3 de s 0 . 14 Pour tout k 1 fixé, e n appliquant le lemme 5 à deux r eprises, on a d ( k 1 , k 2 ) ≥ Min { d (1 , 1) , d (1 , q − 1) } Montrons que, po ur p ≥ 6 , d (1 , q − 1) est toujours sup érieur à d (1 , 1) . En écriv an t β 1 = { s 0 x, x y , ys (1 , 1) } et β 2 = { s 0 x, x y , ys (1 , q − 1 ) } des chemins du pav ag e a ssociés à s (1 , 1) et s (1 , q − 1) , on raiso nne dans les tr iangles s 0 y s (1 , 1) et s 0 y s (1 , q − 1) . Notons α la mesure géométrique de l’angle ∠ ( y x, y s 0 ) . L’angle en y du premier triangle (qui est 2 π /q − α ) est strictement inférieur à celui du second (qui est 2 π /q + α ). On termine en in voquant le fait que da ns un triang le h yp erbolique, la longueur d’un côté e s t une fonction cro is san te de l’a ngle opp osé à ce côté. L e c as p = 4 ou p = 5 Ici, si k 1 = 1 et k 2 = 1 , on a D ( s 0 , s (1 , 1 )) < 3 do nc il s’agit de retirer cette po ssibilité. Le raisonnement précéden t, s’a ppu yan t sur le lemme 5, permet d’établir, d’une part, que p our tous k 1 , k 2 ent re 2 e t q − 2 , d ( k 1 , k ) ) ≥ Min { d (2 , 2) , d (2 , q − 2) } et d’autre pa rt que pour k 1 ent re 1 e t q − 1 et k 2 ent re 2 e t q − 2 , d ( k 1 , k 2 ) ≥ Min { d (1 , 2) , d ( q − 1 , 2) } Une nouv elle application p ermet d’a ffirmer d ( q − 1 , 2 ) ≥ d ( q − 1 , 1) en remarquant que s ( q − 1 , 1) e s t bien à une distance combin atoire 3 de s 0 ici. Reste do nc à comparer d (1 , 2) et d (1 , q − 1) pour p = 4 et p = 5 p our c o nclure. En écriv an t β 1 = { s 0 x, x y , ys (1 , 2) } et β 2 = { s 0 x, x y , ys (1 , q − 1 ) } des chemins du pav ag e a ssociés à s (1 , 2) et s (1 , q − 1) , on raiso nne dans les tr iangles s 0 y s (1 , 2) et s 0 y s (1 , q − 1) . Les angles au sommet y sont égaux dans ces deux triang les si p = 4 alors que l’angle en y du tria ng le s 0 y s (1 , 2) est plus gra nd que celui du triangle s 0 y s (1 , q − 1) s i p = 5 (on po urra dessiner un p -gone pour s’en conv aincre). O n co nclut comme précédemmen t en inv oquant le fait que, dans un triangle hyperb olique, la long ueur d’un cô té es t une fonction cr oissan te de l’angle oppo sé à ce cô té. L e c as p = 3 Dans ce dernier c a s, k 1 et k 2 doiven t évoluer en tre 2 et q − 2 p our que l’on obtienne bien un p oint s ( k 1 , k 2 ) q ui soit à une distance 3 de s 0 . On utilise le lemme 5 p our établir que d ( s 0 , s ( k 1 , k 2 )) ≥ Min { d (2 , 2) , d ( 2 , q − 2) } et il re ste à compar er ces deux long ueurs po ur conclure : il s’ag it du même argument que lo rsqu’on voulait comparer d (1 , 1) et d (1 , q − 1) dans le cas o ù p ≥ 6 . 15 Ceci termine la preuve du lemme.  Reste à c a lculer explicitement ces v aleurs en fonction de p et q . Pour cela, on utilise le changement de v ar ia ble suiv ant : X = cos π p ; Y = cos π q On démon tre a lors la prop osition Prop osition 5 A ve c les notations pr é c é dentes, on disp ose des formules sui- vantes : cosh d (1 , 2) = 32 X 2 Y 2 ( X 2 + Y 2 − 1)(4 X 2 − 1) + 2 X 2 + Y 2 − 1 1 − Y 2 cosh d (1 , 1) = 16 X 2 ( X 2 + Y 2 − 1)(2 X 2 − 1) + 2 X 2 + Y 2 − 1 1 − Y 2 cosh d (1 , q − 1) = (2 X 2 + Y 2 − 1)[16 X 2 ( X 2 + Y 2 − 1) + 1] 1 − Y 2 cosh d (2 , 2) = 64 X 2 Y 2 ( X 2 + Y 2 − 1)(8 Y 2 X 2 − 1) + 2 X 2 + Y 2 − 1 1 − Y 2 Preuv e de l a prop osition 5 : Dans toute cette preuve, s 0 est un so mm et fixé du pav ag e P . Une pr emièr e formule génér ale On s uppose que, 2 k 1 π /q et 2 k 2 π /q sont strictemen t inférieur s à π . On montre ici q ue cosh d ( k 1 , k 2 ) = cosh 2 c (sinh 2 c ) 2 (1 − c o s 2 k 1 π q )(1 − cos 2 k 2 π q ) − (sinh 2 c ) 2 sin 2 k 1 π q sin 2 k 2 π q + cosh 2 c Si s = s ( k 1 , k 2 ) , notons s 0 , x, y , s les s ommets consécutifs du quadrila tèr e hy- per bolique for mé par le ch emin reliant s 0 à s dans P en y ra joutant le segment géo désique de H relian t s à s 0 . On a cosh d ( s 0 , s ) = cosh 2 c cosh d ( s 0 , y ) − sinh 2 c sinh d ( s 0 , y ) cos( 2 k 2 π q − ∠ ( y x , y s 0 )) = cosh 2 c cosh d ( s 0 , y ) − sinh 2 c sinh d ( s 0 , y ) cos 2 k 2 π q cos ∠ ( yx, y s 0 ) − sinh 2 c sinh d ( s 0 , y ) sin 2 k 2 π q sin ∠ ( yx, y s 0 ) 16 or cosh d ( s 0 , y ) = (sinh 2 c ) 2 (1 − c o s 2 k 2 π q ) + 1 ; sin ∠ ( yx, y s 0 ) sinh d ( s 0 , y ) = sinh 2 c sin 2 k 1 π q donc cosh d ( s 0 , s ) = cosh 2 c [(sinh 2 c ) 2 (1 − c o s 2 k 1 π q ) + 1] − sinh 2 c sinh d ( s 0 , y ) cos 2 k 2 π q cos ∠ ( yx, y s 0 ) − (sinh 2 c ) 2 sin 2 k 1 π q sin 2 k 2 π q mais on sa it que cosh 2 c = cosh 2 c cosh d ( s 0 , y ) − sinh 2 c sinh d ( s 0 , y ) cos ∠ ( y x, y s 0 ) ce qui entraîne sinh 2 c s inh d ( s 0 , y ) cos ∠ ( yx, y s 0 ) = cosh 2 c [cosh d ( s 0 , y ) − 1] d’où cosh d ( s 0 , s ) = co s h 2 c [(sinh 2 c ) 2 (1 − c o s 2 k 1 π q ) + 1] − (sinh 2 c ) 2 cosh 2 c co s 2 k 2 π q (1 − cos 2 k 1 π q ) − (sinh 2 c ) 2 sin 2 k 1 π q sin 2 k 2 π q = co sh 2 c (sinh 2 c ) 2 (1 − c o s 2 k 1 π q ) + cosh 2 c − (sinh 2 c ) 2 sin 2 k 1 π q sin 2 k 2 π q − cosh 2 c (sinh 2 c ) 2 (1 − c o s 2 k 1 π q ) cos 2 k 2 π q = co sh 2 c (sinh 2 c ) 2 (1 − c o s 2 k 1 π q )(1 − cos 2 k 2 π q ) − (sinh 2 c ) 2 sin 2 k 1 π q sin 2 k 2 π q + cosh 2 c ce qui ter mine la preuve . 17 A pplic ations de la formule obtenu e La formule ci-dessus permet de tro uv er to utes les quantit és cherc hées à l’excep- tion de d (1 , q − 1 ) . Examinons en détail le cas de d (1 , 2) . Via les formu les cosh 2 c = 2(cosh c ) 2 − 1 = 2 X 2 + Y 2 − 1 1 − Y 2 ; (cosh 2 c ) 2 − 1 = 4 X 2 ( X 2 + Y 2 − 1) (1 − Y 2 ) 2 ; cos 2 π q = 2 Y 2 − 1 ; cos 4 π q = − 8 Y 2 (1 − Y 2 ) + 1 ; sin 2 π q sin 4 π q = 8 Y 2 (1 − Y 2 )(2 Y 2 − 1) qu’il convien t de fair e intervenir dans la for mule générale obten ue plus haut, on obtient cosh d (1 , 2) = cosh 2 c ((cosh 2 c ) 2 − 1)(1 − cos 2 π q )(1 − cos 4 π q ) − ((cosh 2 c ) 2 − 1) s in 2 π q sin 4 π q + cosh 2 c = (2 X 2 + Y 2 − 1)4 X 2 ( X 2 + Y 2 − 1)(2 − 2 Y 2 )8 Y 2 (1 − Y 2 ) (1 − Y 2 ) 3 − 4 X 2 ( X 2 + Y 2 − 1)8 Y 2 (1 − Y 2 )(2 Y 2 − 1) (1 − Y 2 ) 2 + 2 X 2 + Y 2 − 1 1 − Y 2 = 32( X 2 + Y 2 − 1) X 2 Y 2 (4 X 2 − 1) + 2 X 2 + Y 2 − 1 1 − Y 2 C’est c e que l’on voulait. On laisse au lecteur le soin de détailler les a ut res cas. Calcul de d (1 , q − 1) De la même manière que ci-dessus, on note s 0 , x, y , s les sommets consécutifs du pav age asso ciés au ch emin de longueur co m binatoire 3 reliant s 0 à s = s (1 , q − 1) . On a cosh d ( s 0 , s ) = co s h 2 c cosh d ( s 0 , y ) − sinh 2 c sinh d ( s 0 , y ) cos( 2 π q + ∠ ( y x , y s 0 )) = co sh 2 c cosh d ( s 0 , y ) − sinh 2 c sinh d ( s 0 , y ) cos 2 π q cos ∠ ( yx, y s 0 ) + sinh 2 c sinh d ( s 0 , y ) sin 2 π q sin ∠ ( yx, y s 0 ) le calcul est essentiellemen t ident ique à celui fait dans le ca s où les a ng les étaien t inférieurs à π . On trouv e alors le résulat annoncé.  18 A v an t, de p oursuivre, sig nalons qu’il existe une métho de plus ra pide po ur cal- culer d (1 , 1 ) . En désignant par O le cen tre du po lygone du pav ag e P admettant s 0 et s parmi ses sommets, et en app elant b la distance hyperb olique de O à une a rète quelconque de ce p olygone, on a cosh b = cos π q sin π p et cosh d ( s 0 , s (1 , 1 )) = (sinh b ) 2 (1 − c o s 6 π p ) + 1 4.2 Rec herc he des longueurs les plus courtes On v a maintenan t utiliser le calcul de ρ (3 ) p our appliquer la prop osition 1 et décrire les distances de translation du sp ectre des longueurs de Γ(2 , p, q ) qui se tro uv en t être inférieures à une cer taine v aleur l 0 . Cette long ueur l 0 étant différent e suiv a n t les v aleurs de p , nous exposo ns les résultats de cette par tie en fonction du par amètre p . 4.2.1 Le cas où p = 4 , 5 ou p ≥ 11 Suppos ons dans ce paragraphe que p ∈ { 4 , 5 } o u bien p ≥ 11 . On montre que les éléments hyperb oliques γ de Γ(2 , p, q ) qui so n t de longueur inférieure ou égale à l 0 = l 2 (1 , q − 1) on un niv eau λ ( γ ) nécessair emen t inférieur ou égal à 2 . Nous allons p o ur cela mettre en pra tique la prop osition 1 : il suffit de prouver que ρ (3) > C ( l 2 (1 , q − 1)) C’est l’o b jet de la Prop osition 6 Si p ∈ { 4 , 5 } ou p ≥ 11 , tout élément hyp erb olique γ de Γ(2 , p, q ) tel que λ ( γ ) ≥ 3 a une distanc e de t r anslation strictement sup érieur e à l 2 (1 , q − 1) . Preuv e de l a prop osition 6 : Examinons ce qui se passe pour les différentes v aleurs de p . L e c as p = 4 Si p = 4 on sait par la pr oposition 4 que ρ (3) = d (2 , 1) et il suffit d’établir que cosh d (2 , 1) > (cosh c ) 2 (cosh l 2 (1 , q − 1) − 1 ) + 1 19 Le terme de gauche a été ca lculé à la prop osition 5. Le terme de dro ite est donné par (cosh c ) 2 (cosh l 2 (1 , q − 1) − 1 ) + 1 = 2(( D 2 (1 , q − 1)) 2 − 1) X 2 1 − Y 2 + 1 = 2 X 2 ((2 X 2 + 2 Y 2 − 1) 2 − 1) + 1 − Y 2 1 − Y 2 = 2 X 2 (2 X 2 + 2 Y 2 − 2)(2 X 2 + 2 Y 2 − 1 + 1) + 1 − Y 2 1 − Y 2 = 8 X 2 ( X 2 + Y 2 − 1)( X 2 + Y 2 ) + 1 − Y 2 1 − Y 2 Ce qui mène à l’étude de la fonction h ( X , Y ) = 2( X 2 + Y 2 − 1) [4 X 2 (16 X 2 Y 2 − 5 Y 2 − X 2 ) + 1] 1 − Y 2 = g ( X, Y ) 1 − Y 2 et l’on conclut en remarquant que g ( √ 2 / 2 , Y ) est strictement p ositiv e sur [c o s π / 5 , 1[ . En effet, on obs e r v e que 4 X 2 (16 X 2 Y 2 − 5 Y 2 − X 2 ) + 1 = 6 Y 2 > 0 ce qui ter mine la preuve dans le cas p = 4 . L e c as p = 5 Cette fois ci, ρ (3) = d (1 , q − 1) et il s ’agit de montrer que cosh d (1 , q − 1) > (cosh c ) 2 (cosh l 2 (1 , q − 1) − 1) + 1 On constate p our cela que la fonction g ( X, Y ) = (2 X 2 + Y 2 − 1)(16 X 2 ( X 2 + Y 2 − 1) + 1) − 8 X 2 ( X 2 + Y 2 − 1)( X 2 + Y 2 ) − 1 + Y 2 est strictement po sitiv e pour X = cos π/ 5 sur [co s π 5 , 1[ ce qui termine le cas p = 5 . L e c as p ≥ 11 On a ρ (3) = d (1 , 1) . Il suffit de montrer cosh d (1 , 1) > (cosh c ) 2 (cosh l 2 (1 , q − 1) − 1 ) + 1 qui es t une conséquence du fa it que la fonction g ( X, Y ) = ( X 2 + Y 2 − 1) [ 1 6 X 2 (2 X 2 − 1) − 8 X 2 ( X 2 + Y 2 ) + 2 ] = ( X 2 + Y 2 − 1) h ( X, Y ) 20 soit strictemen t positive sur [cos π 11 , 1[ 2 en remarquant que sur ce pro duit, h ( X , Y ) > h ( X, 1) = 24 X 4 − 24 X 2 + 2 > 0 Ceci termine la preuve de la prop osition 6.  On a donc déter miné toutes les v aleurs du spec tr e des longueurs des gro up es Γ(2 , 4 , q ) , Γ(2 , 5 , q ) et Γ(2 , p, q ) , p ≥ 1 1 qui sont inférieures à l 2 (1 , q − 1) . 4.2.2 Le cas p = 3 On étudie ici les group es Γ(2 , 3 , q ) av ec q ≥ 7 . Là encor e , il s’agit de mettre en pratique la pr o priété 1, mais cette fois- ci av ec l 0 = l 1 (4) . On mon tre la prop osition suiv ante Prop osition 7 Si p = 3 , alors tout élément hyp erb olique γ de Γ(2 , 3 , q ) tel que λ ( γ ) ≥ 3 a une distanc e de tra nslation strictement sup érieur e à l 1 (4) . Preuv e de l a prop osition 7 : Soit s un sommet du pa v a ge P . Il suffit de démontrer que ρ (3) > (co sh c ) 2 (cosh l 1 (4) − 1 ) + 1 On rapp elle p our cela que ρ (3 ) = d (2 , 2) , quantit é do n t on disp ose déjà d’une formule à la pr oposition 5. Un ca lcul établit en outre (cosh c ) 2 (cosh l 1 (4) − 1) + 1 = Y 2 [2(2 Y 2 − 1) 2 + 1 2 ] 1 − Y 2 On conclut e n considéra n t la différence et en constatant g ( Y ) = 24 Y 6 − 32 Y 4 + 12 Y 2 − 1 est s trictemen t p ositiv e sur [co s π 7 , 1[ , ce qu’une étude élémen taire co nfirme.  On a donc déter miné toutes les distances de tr anslation inférieures à l 1 (4) se trouv an t dans le spectre des longueurs des group es Γ(2 , 3 , q ) . 4.2.3 Le cas 6 ≤ p ≤ 10 On supp ose 6 ≤ p ≤ 10 et on montre la pro priété suiv an te, en a ppliquan t encore une fois la prop osition 1 dans ce cas précis avec l 0 = l 1 (2) . Prop osition 8 Soit 6 ≤ p ≤ 1 0 . A lors tout élément hyp erb o lique γ de Γ(2 , p, q ) vérifiant λ ( γ ) ≥ 3 a un e distanc e de tr anslation strictement su p érieur e à l 1 (2) . Preuv e de l a prop osition 8 : On mon tre q ue p our les v aleurs de p indiquées, ρ (3) > (co sh c ) 2 (cosh l 1 (2) − 1 ) + 1 21 Rapp e lo ns que ρ (3 ) = d (1 , 1 ) a déjà été ca lculé à la pr opriété 5. O n établit de plus q ue (cosh c ) 2 (cosh l 1 (2) − 1) + 1 = 2 X 2 (4 X 2 Y 2 − 1) + (1 − Y 2 ) 1 − Y 2 Et nous so mmes amené à étudier le sig ne de la fonction g ( X, Y ) = 16 X 2 (2 X 2 − 1)( X 2 + Y 2 − 1) + 2 X 2 + 2 Y 2 − 2 − 2 X 2 (4 X 2 Y 2 − 1) qui s ’a v ère être strictement p ositif pour X ∈ [ √ 3 / 2 , 1[ et Y ∈ [ X , 1[ . En effet, g ( X, Y ) ≥ 16 X 2 (2 X 2 − 1) 2 + 4 X 2 − 2 − 2 X 2 (4 X 2 − 1) > 0 sur le domaine de définition étudié.  La preuve montre que le résultat de la prop osition 8 est en fait v ala ble p our p ≥ 6 . On a donc décrit toutes les dista nce s de tra nslation inférieures à l 1 (2) p our les group es Γ(2 , p, q ) qui manquaient à l’appel. 5 Rigidité sp ectrale Dans cette partie, nous décrivons les premières v aleurs du s pectre des longueur s des group e s Γ(2 , p, q ) dans le théorème 1. Nous en déduisons en particulier une formule explicite de la systole dans le cor ollaire 1 av ant d’utiliser ces formules po ur démontrer la rigidité sp ectrale de ces ob jets. On commence par établir cette rigidité p our les group es vérifian t p ≥ 11 av a n t de généraliser . 5.1 Description du début du spectr e Nous pouvons dés ormais énoncer le théorème central de l’étude. Théorème 1 Soit Γ(2 , p, q ) ave c p et q deux entiers vérifiant p ≤ q et 1 p + 1 q < 1 2 . A lors le début du sp e ctr e des longueurs est donné p ar les formules suivantes : Lsp Γ(2 , 3 , 7) = { l 2 (1 , q − 1) = . . . } Lsp Γ(2 , 3 , q ) = { l 2 (1 , q − 1) = · · · < l 1 (4) . . . } p our tout q ≥ 8 Lsp Γ(2 , 4 , 5) = { l 1 (2) = · · · < l 2 (1 , q − 1) . . . } Lsp Γ(2 , 4 , q ) = { l 1 (2) = · · · < l 1 (3) = · · · < l 2 (1 , q − 1) . . . } p our q = 6 , 7 Lsp Γ(2 , 4 , q ) = { l 1 (2) = · · · < l 2 (1 , q − 1) . . . } p our tout q ≥ 8 Lsp Γ(2 , 5 , 5) = { l 1 (2) = · · · < l 2 (1 , q − 1) . . . } Lsp Γ(2 , 5 , q ) = { l 1 (2) = · · · < l 2 (1 , 2) . . . } p our tout q ≥ 6 Lsp Γ(2 , p, q ) = { l 1 (2) = . . . } p our tout p ∈ { 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } Lsp Γ(2 , p, q ) = { l 1 (2) = · · · < l 2 (1 , 2) . . . } p o ur tout p ≥ 11 22 av ec l 2 (1 , q − 1) = 2 Ar gc h [2(cos π p ) 2 + 2(cos π q ) 2 − 1] l 2 (1 , 2) = 2 Argch [cos π q [4(cos π p ) 2 − 1]] l 1 (2) = 2 Argc h [2 cos π p cos π q ] l 1 (3) = 2 Argc h [cos π p [4(cos π q ) 2 − 1]] Preuv e du théorèm e 1 : Nous devons ranger dans l’ordre croissa n t les v aleurs tro uv ées dans les prop osi- tions 2 et 3. L e c as p = 3 En utilisan t les formules do nnées, on établit que 1 < D 1 (3) = D 2 (1 , q − 1) ≤ D 1 (4) = D 2 (1 , 6) av ec égalité si e t seulement si q = 7 . L e c as p = 4 : Cette fois ci, on doit différencier deux cas . Si q = 5 , 6 , 7 , on a D 2 (1 , 2) < 1 < D 1 (2) ≤ D 1 (3) < D 2 (1 , q − 1) av ec égalité si e t seulement si q = 5 . Si par contre q ≥ 8 , on constate que D 2 (1 , 2) < 1 < D 1 (2) < D 2 (1 , q − 1) < D 1 (3) ce qui a c hèv e la preuve dans ce cas. L e c as p ≥ 5 : On constate ici que 1 < D 1 (2) ≤ D 2 (1 , 2) ≤ D 1 (3) av ec éga lit é si et seulement si q = 5 . T oujours si p = q = 5 , on cons ta te enfin que D 1 (3) < D 2 (1 , q − 1) ce qui a c hèv e la preuve.  En particulier, o n obtient le Corollaire 1 L a systole de Γ(2 , p, q ) est déterminé e p ar l’a lternative suivante : 1. S i p ≥ 4 , il s’agit de 2 Argcosh [2 cos π p cos π q ] 2. S i p = 3 , il s’agit de 2 Argcosh [2(cos π q ) 2 − 1 2 ] 23 5.2 In terprétation géométrique Sachan t que les classes de conjuga ison des élément s h yp erboliques de distance de translation l 0 de Γ(2 , p, q ) donnent naissa nce aux géo désiques fermées de longueur l 0 de la surfac e à po in ts coniques H / Γ(2 , p, q ) , il est naturel de cherc her à représenter les g éodésiques obten ues ci-dessus, et notamment la sys to le. A utrement dit, on cherc he quelle est la forme géo métrique des géo désiques les plus co urtes sur les surfaces à p oin ts coniques considérées. Rapp e lo ns que ces quotient s so n t de genr e 0 et admettent trois points co niques non équiv alen ts qui cor r espondent aux trois cla s ses de conjugaiso n d’éléments elliptiques présents dans Γ(2 , p, q ) . 5.3 Rigidité dans le cas p ≥ 11 Dans cette partie, on montre que si Γ(2 , p, q ) et Γ(2 , p ′ , q ′ ) vérifien t p ≥ 11 et p ′ ≥ 11 et ont le même spectre des longueurs, alors ils so n t isométriques. Prop osition 9 Si Γ(2 , p, q ) et Γ(2 , p ′ , q ′ ) sont deux gr oup es de triangles ayant le même sp e ctre des longueurs et vérifiant p ≥ 11 et p ′ ≥ 1 1 , alors p = p ′ et q = q ′ . Preuv e de l a prop osition 9 : On rappelle que le début du s p ectre est alors donné par Lsp Γ(2 , p, q ) = { l 1 (2) = · · · < l 2 (1 , 2) . . . } et que l’on co nna ît donc les longueur s l 1 (2) et l 2 (1 , 2) si le sp ectre est donné. Notons l 1 , l 2 les deux pr emières v aleurs distinctes du sp ectre et déterminons L i = co sh l i 2 ; i = 1 , 2 Il s uffi t d’établir que le sy s tèm e  2 X Y = L 1 Y (4 X 2 − 1) = L 2 admet un unique couple de solution ( X , Y ) dans [0 , 1] 2 . Cela revient à montrer que le p olynôme P ( u ) = 4 L 1 u 2 − 2 L 2 u − L 1 a une unique racine dans [0 , 1] : cette ra cine est alor s X . Le p olynôme P admet- tant toujours deux racines réelles de signes oppo sés, il en existe une seule dans l’in terv alle considéré. Ceci achève la preuv e, modulo le changement de v a riable X = cos( π/ p ) et Y = cos( π /q ) .  24 5.4 Le cas général A v an t d’entamer la preuv e du théorème cen tral, commençons par énoncer et démont rer le résultat suiv an t : Lemme 6 Un gr oup e Γ(2 , p ′ , q ′ ) ave c p ′ ≤ 8 n e p eut p as avoir le même sp e ctr e des longueurs qu ’ un gr oup e Γ (2 , p, q ) ave c p ≥ 9 . Un gr oup e Γ(2 , 3 , q ) ne p eut p as avoir le même sp e ctr e des longueurs qu’un gr oup e Γ(2 , p ′ , q ′ ) ave c p ′ > 5 . Preuv e du le mme 6 : Commençons par montrer la premièr e assertion. T raitons d’abo rd le cas p ′ ∈ { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } . Dans le cas d’isosp ectralité, on aurait égalité des sy s toles et donc cos π p cos π q = cos π p ′ cos π p ′ < co s π 8 ; p ≥ 9 Ceci impose (cos π p ) 2 < co s π 8 donc p ≤ 11 . On a de plus q ≤ 17 en résolv a n t cos π 8 > cos π p cos π q ≥ cos π 9 cos π q Il s ’agit donc de trouver 4 ≤ p ′ ≤ 8 ; q ′ ≥ p ′ tels que cos π p ′ cos π q ′ = co s π p cos π q ; 9 ≤ p ≤ 11 ; p ≤ q ≤ 17 En examinant séparemment les ca s où p ′ ∈ { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } on co nstate qu’un tel q ′ n’existe pas. Montrons maintenan t que Γ(2 , p, q ) ne peut être isosp ectral à un group e Γ(2 , 3 , q ′ ) . Pour cela, il suffit de co ns ta ter que c e s gr oupes ne p euven t pas av oir la même systole ca r on aurait 3 2 > 2(cos π q ′ ) 2 − 1 = 2 cos π p cos π q ce qui montre que p ≤ 5 . La deuxième asser tion est une conséquence de ce qui vient d’être dit : la systole d’un gr oupe Γ(2 , 3 , q ) est nécessairement inférieure à 3 / 2 ce qui est imp ossible dès que p est s upérieur à 6 .  On se pro pose d’établir ma in tenan t le résultat principal de cet ar ticle : Théorème 2 Soit Γ(2 , p, q ) et Γ(2 , p ′ , q ′ ) deux gr oup es de triangles ayant le même sp e ct r e des longueurs. Alo rs c es deux gr oup es sont isométriques. 25 Preuv e du théorèm e 2 : Fixons nous un g roupe Γ(2 , p, q ) et mont rons qu’il ne peut pas être isosp ectral à un g roupe Γ(2 , p ′ , q ′ ) av ec p 6 = p ′ ou bien q 6 = q ′ . L e c as p = 10 On éc a rte les cas où p ′ ≤ 8 en utilisant le lemme 6 . Le cas p ′ = 9 s’exclut par symétrie en considérant les calculs faits p our p = 9 . E nfin, il n’est pas envisageable de trouver un group e Γ(2 , 10 , q ) isosp ectral à un gro up e Γ(2 , p ′ , q ′ ) av ec p ′ ≥ 1 1 car cela imp oserait, par égalité des systoles, cos π 10 > co s π 10 cos π q = co s π p ′ cos π q ′ ≥ (co s π p ′ ) 2 donc p ′ ≤ 1 4 , et cos π 10 > cos π 11 cos π q ′ ce qui imp ose q ′ ≤ 23 . On aurait alors un entier q ≥ 10 tel que cos π 10 cos π q ∈ { cos π p ′ cos π q ′ ; 1 1 ≤ p ′ ≤ 1 4 ; p ′ ≤ q ′ ≤ 2 3 } ce qui es t impos sible. L e c as p = 9 On écarte les ca s où p ′ ≤ 8 par le lemme 6. Le cas p ′ = 9 est trivial. Montrons qu’un gr oupe Γ(2 , 9 , q ) ne pe ut pa s a voir le même sp ectre des longueurs q u’u n group e Γ(2 , p ′ , q ′ ) av ec p ′ ≥ 10 . L’égalité des sy s toles impliquerait en effet (cos π p ′ ) 2 ≤ co s π p ′ cos π q ′ = cos π 9 cos π q < cos π 9 donc p ′ ≤ 1 2 . De même, o n aura it cos π 9 > cos π p ′ cos π q ′ ≥ cos π 10 cos π q ′ ce qui imp ose q ′ ≤ 20 . Il s’agit donc de tro uver q ≥ 9 tel que cos π 9 cos π q ∈ { cos π p ′ cos π q ′ ; 1 0 ≤ p ′ ≤ 1 2 ; p ′ ≤ q ′ ≤ 2 0 } ce qui s ’avère impossible. L e c as p = 8 Suppos ons Γ(2 , 8 , q ) et Γ(2 , p ′ , q ′ ) isosp ectraux. On a nécess airemen t p ′ ≤ 8 et p ′ 6 = 3 par le lemme 6. Si p ′ = 8 , cela impose évidemment q ′ = q . Examinons le cas p ′ ∈ { 4 , 5 , 6 , 7 } . L’égalité des systo le s se traduit pa r cos π 8 cos π q = cos π p ′ cos π q ′ < co s π 7 26 ce qui imp ose q ≤ 1 4 . Il s’agit do nc de trouver q ′ ent ier tel que cos π 8 cos π q = cos π p ′ cos π q ′ ; 4 ≤ p ′ ≤ 7 ; 8 ≤ q ≤ 14 Les calculs mo ntrent qu’un tel q ′ n’existe pas. L e c as p = 7 Suppos ons Γ(2 , 7 , q ) et Γ(2 , p ′ , q ′ ) iso spectraux. On a néces sairemen t p ′ ≤ 8 par le lemme 6. Le cas p ′ = 8 s’écarte pa r symétrie (cf. le ca s p = 8 ). Si p ′ = 7 , cela impo s e q ′ = q . Exa min ons le cas p ′ ∈ { 4 , 5 , 6 } . L’égalité des systoles se tra duit par cos π 7 cos π q = cos π p ′ cos π q ′ < co s π 6 ce qui imp ose q ≤ 1 1 . Il s’agit do nc de trouver q ′ ent ier tel que cos π 7 cos π q = cos π p ′ cos π q ′ ; 4 ≤ p ′ ≤ 6 ; 7 ≤ q ≤ 11 Là encore, un tel q ′ n’existe pas. L e c as p = 6 Suppos ons Γ(2 , 6 , q ) et Γ(2 , p ′ , q ′ ) iso s pectraux. On a là enco re p ′ ≤ 8 en vertu du lemme 6. Les cas où p ′ ∈ { 7 , 8 } s’ex c luen t pa r symétrie (cf. les cas o ù p ∈ { 7 , 8 } ) et le cas p ′ = 6 imp ose q ′ = q . Examinons les cas où p ′ ∈ { 4 , 5 } . L’ég alité des systoles se traduit toujours par cos π 6 cos π q = cos π p ′ cos π q ′ < co s π 5 ce qui imp ose q ≤ 8 . Il s’agit donc de trouver q ′ ent ier tel que cos π 6 cos π q = co s π p ′ cos π q ′ ; 4 ≤ p ′ ≤ 5 ; 6 ≤ q ≤ 8 Les calculs mo ntrent l’inexistence d’un tel q ′ . L e c as p = 5 Suppos ons Γ(2 , 5 , q ) et Γ(2 , p ′ , q ′ ) iso spectraux. On a néces sairemen t p ′ ≤ 8 par application du lemme 6. On exclut les cas où p ′ ∈ { 6 , 7 , 8 } par symétrie. Si p ′ = 5 , cela impos e q ′ = q . Examinons le cas p ′ = 4 . L’ég alité des systoles s’écrit cos π 5 cos π q = co s π 4 cos π q ′ < co s π 4 ce qui imp ose q ≤ 6 . Il s’agit de trouv er q ′ ent ier tel que cos π 5 cos π q = cos π 4 cos π q ′ ; 5 ≤ q ≤ 6 27 ce qui est là encore imp ossible. Reste le ca s p ′ = 3 . Pour celui-ci, o n do it trouver q et q ′ tels que 2 cos π 5 cos π q = 2 (cos π q ′ ) 2 − 1 2 < 3 2 et cela impose q ≤ 8 . O n doit résoudre 2(cos π q ′ ) 2 − 1 2 ∈ { 2 co s π 5 cos π q ; q = 5 , 6 , 7 , 8 } ce qui n’est p ossible que p our q ′ = 1 0 quand q = 5 . Les group es Γ(2 , 5 , 5) et Γ(2 , 3 , 10) on t donc les mêmes systoles. Ils ne sont ce- penda n t pas isosp ectraux, car la seconde longueur du sp ectre est différente. L e c as p = 4 Suppos ons Γ(2 , 4 , q ) et Γ(2 , p ′ , q ′ ) isosp ectraux. Le lemme 6 montre que l’on a nécessairement p ′ ≤ 8 . On peut éca rter les cas où p ′ ∈ { 5 , 6 , 7 , 8 } par symétrie en se r éféran t a ux calculs effectués dans les cas où p ∈ { 5 , 6 , 7 , 8 } qui fig uren t plus bas dans ce par agraphe. Si p ′ = 4 , cela implique q ′ = q . E xaminons donc le c a s p ′ = 3 , où l’égalité des sy s toles se traduit pa r √ 2 > 2 cos π 4 cos π q = 2(cos π q ′ ) 2 − 1 2 qui imp ose q ′ ≤ 1 5 . Reste à résoudre √ 2 c os π q ∈ { 2(cos π q ′ ) 2 − 1 2 ; q ′ = 7 , 8 , . . . , 15 } ce qui n’est pos sible que po ur q ′ = 12 quand q = 1 2 . Les group es Γ(2 , 4 , 12 ) et Γ(2 , 3 , 1 2) ont donc les mêmes systoles. Ils ne so n t cep endan t pas isosp ectraux, ce qui s e constate là encore en considérant la seco nde longueur du sp ectre. L e c as p = 3 Le lemme 6 montre que Γ(2 , 3 , q ) ne peut pas être isospectr al à Γ(2 , p ′ , q ′ ) avec p ′ ≥ 6 . Les cas p ′ = 4 et p ′ = 5 s’av èrent imp ossibles également (cf. les calculs effectués pour les cas p = 4 e t p = 5 ). Enfin, p ′ = 3 imp ose clairemen t q ′ = q . L e c as p ≥ 11 Le cas p ′ ≥ 1 1 es t exclu par la prop osition 9. Les ca s où p ′ ≤ 8 son t impos s ibles cette fois ci en in v o quan t le lemme 6. Reste les cas où p ′ ∈ { 9 , 10 } qui doiv ent être écartés par sy mét rie (on ren voie aux calculs effectués dans les cas p ∈ { 9 , 10 } ). Ceci ac hève la preuv e du théorème 2.  Références [1] P . Buser. Ge ometry and Sp e ctra of Comp act Riemann Surfac es , P rogress in Mathematics 106 , Birkhä user, 1992. 28 [2] P . Buser, K.-D. Semmler. 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