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Espaces Lp non commutatifs `a valeurs vectorielles

arXiv:math/9306206v1 [math.FA] 7 Jun 1993Analyse FonctionnelleEspaces Lp non commutatifs `a valeurs vectorielleset applications compl`etement p-sommantes.Note de Gilles PisierPr´esent´ee parR´esum´e franiais. Soit E un espace d’op´erateurs au sens de la th´eorie d´evelopp´eer´ecemment par Blecher-Paulsen et Effros-Ruan.

On introduit une notion d’espace Lp noncommutatif `a valeurs dans E pour 1 ≤p < ∞et on d´emontre qu’elle poss`ede les propri´et´esnaturelles que l’on attend, pour la dualit´e et l’interpolation par exemple. Cela permet ded´efinir une notion d’application compl`etement p-sommante adapt´ee `a la cat´egorie des espacesd’op´erateurs.

Cette notion g´en´eralise celle introduite pr´ec´edemment par Effros-Ruan pourp = 1.English title. Noncommutative vector valued Lp-spaces and completely p-summingmaps.English Abstract.

Let E be an operator space in the sense of the theory recentlydeveloped by Blecher-Paulsen and Effros-Ruan. We introduce a notion of E-valued noncommutative Lp-space for 1 ≤p < ∞and we prove that the resulting operator spacesatisfies the natural properties to be expected with respect to e.g.

duality and interpolation.This notion leads to the definition of a “completely p-summing” map which is the operatorspace analogue of the p-absolutely summing maps in the sense of Pietsch-Kwapie´n. Thesenotions extend the particular case p = 1 which was previously studied by Effros-Ruan.

English Abridged versionWe will work in the category of operator spaces as developped in the papers [1,2] and [4].By an operator space we mean a closed subspace of the space B(H) of all bounded operatorson H for some Hilbert space H. In this category the morphisms (resp. isomorphisms) arethe completely bounded maps (resp.

complete isomorphisms). We refer to [1,2,4] for moreinformations and in particular for the notions of completely bounded map (in short c.b.

),of dual space and quotient space in this category. We refer to our recent work [9,10] forthe definition and basic properties of the complex interpolation method and ultraproductsin the category of operator spaces, as well as for the definition and basic properties of theoperator Hilbert space OH(I) associated to any index set I.Let H, K be Hilbert spaces.

We will denote by H ⊗2 K the Hilbertian tensor product.Let E ⊂B(H), F ⊂B(K) be two operator spaces. We will denote by E ⊗m F the minimal(or spatial) tensor product, i.e.

the completion of the linear product E ⊗F for the norminduced by B(H ⊗2 K).We will denote by Sp(K) the Schatten class formed of all the compact operatorsT : K →K such that tr|T|p < ∞, equipped with the norm ∥T∥p = (tr|T|p)1/p. Wedenote by S∞(K) the class of all compact operators on K equipped with the norm inducedby B(K).We will define the space Sp[K; E] when E ⊂B(H) is an operator space.

First we defineS∞[K; E]−= S∞(K) ⊗m E and S1[K; E]−= S1(K) ⊗∧E where ⊗∧is the operator spaceversion of the projective tensor norm as introduced in [1,4] and developped by Effros-Ruanin [6, 7, 8]. By these known results, we have a contractive inclusion S1[K; E]−→S∞[K; E]which allows to consider this pair as a compatible couple in the sense of interpolationtheory.

Then for 1 < p < ∞and θ = 1/p we define the operator space Sp[K; E] asSp[K; E] = (S∞[K, E], S1[K; E])θ, where the operator space structure is defined as in [9].To simplify our notation, let us restrict ourselves to the case K = ℓ2. In that casewe will write Sp and Sp[E] instead of Sp(K) and Sp[K; E].

Assume 1 ≤p0, p1 ≤∞and p−1 = (1 −θ)p−10+ θp−11 . Then Sp[E] = (Sp0[E], Sp1[E])θ completely isometrically.Moreover, let p′ = p(p −1)−1, then Sp[E]∗= Sp′[E∗] completely isometrically.

The spaceS2 is completely isometric to the space OH(IN × IN) in the sense of our previous work [9].Moreover S2[OH(I)] is completely isometric to OH(IN × IN × I).Let K, L be Hilbert spaces, then we have the following analogue of Fubini’s theorem :2

Sp[K; Sp[L; E]] = Sp[K ⊗2 L; E]−= Sp[L; Sp[K; E]] completely isometrically.Let E, F be operator spaces. We denote by cb(E, F) the space of all c.b.

maps fromE into F equipped with the c.b. norm.

Let u : E →F be a linear map. We say that u iscompletely p-summing if the operator ISp ⊗u extends to a bounded map ˜u from Sp ⊗m E toSp[F].

We denote π0p(u) = ∥˜u∥. Actually, it can be shown that ˜u is then completely boundedwith c.b.

norm ∥˜u∥cb = ∥˜u∥. In particular ∥u∥cb ≤π0p(u).We prove the analogue of the Pietsch factorization theorem for these maps.

Moreoverwe show that if E ⊂B(H) is n dimensional then π02(IE) = n1/2. This implies that there is anisomorphism u : E →OHn such that ∥u∥cbu−1cb ≤n1/2 and a projection P : B(H) →Esuch that ∥P∥cb ≤n1/2.For every operator u : E →OH(J)−−(J an arbitrary set) we have π02(u) = π2,oh(u)where π2,oh(u) is the (2, oh)-summing norm introduced in our preceding note [10].

Moreover,for every u : OH(I) →OH(J)−(I, J arbitrary sets) the Hilbert Schmidt norm ∥u∥HS ofu coincides with π02(u) and π2,oh(u). One can then reformulate a result of [10] as follows : Alinear map u : E →F is in Γoh(E, F) iffthere exists a constant C such that for all n and allv : F →OHn we have π02((vu)∗) ≤Cπ02(v).

Equivalently, this means that for all n and allT : Sn2 →Sn2 the norm of T ⊗u in cb(Sn2 [E], Sn2 [F]) is majorized by C ∥T∥. Moreover, γoh(u)is equal to the smallest constant C in either of these properties.

In particular this resultyields a natural operator space structure on the space Γoh(E, F), obtained by embedding itin a suitable direct sum (in the sense of ℓ∞) of copies of cb(S2[E], S2[F]).3

Soit 1 ≤p < ∞. On notera Sp(K) l’espace des operateurs compacts T : K →K telsque tr|T|p < ∞muni de la norme ∥T∥p = (tr|T|p)1/p.

Pour p = ∞, on notera S∞(K)l’ensemble des op´erateurs compacts muni de la norme induite par B(K). Si K = ℓ2, on noteSp = Sp(ℓ2) et si K = ℓn2 on note Snp = Sp(ℓn2).Il est bien connu que les espaces Sp(K) (appel´ees souvent classes de Schatten) sont unanalogue non commutatif des espaces Lp(Ω, µ), tout au moins pour un espace mesur´e discret(i.e.

atomique). Dans le cas commutatif, pour tout espace de Banach E, on sait construire(suivant une id´ee attribu´ee `a Bochner) l’espace Lp(Ω, µ; E) des fonctions Lp `a valeurs dansE.

Nous allons d´efinir un analogue non commutatif Sp[K; E] dans le cas o`u E est un espaced’op´erateurs. L’espace Sp[K; E] sera lui aussi un espace d’op´erateurs.Pour simplifier nous ne consid´erons dans cette note que le cas discret.

N´eanmoins, lesid´ees peuvent ˆetre facilement adapt´ees au cas d’une alg`ebre de von Neumann M munie d’unetrace semifinie, fid`ele et normale, `a condition que l’alg`ebre de von Neumann M soit injective.Bien que les d´efinitions aient un sens, des propri´et´es essentielles sont en d´efaut si M n’estpas suppos´ee injective. Nous donnerons plus de d´etails et les d´emonstrations des r´esultatsannonc´es ci-dessous dans une prochaine publication.Soient H, K deux espaces de Hilbert.

On note B(H) l’espace des op´erateurs born´essur H muni de sa norme usuelle. On appelle “espace d’op´erateurs” un sous-espace ferm´ede B(H).

Dans la cat´egorie des espaces d’op´erateurs telle qu’elle est d´evelop´ee par Blecher-Paulsen [1,2] et Effros-Ruan [4], les morphismes (resp. isomorphismes, resp.

isom´etries) sontles applications compl`etement born´es (resp. les isomorphismes complets, resp.

les isom´etriescompl`etes). On abr´egera compl´etement born´e en c.b.. On notera cb(E, F) l’espace desapplications lin´eaires de E dans F muni de la norme ∥∥cb.

Nous renvoyons aux articles[1,2,4] pour les notions de dual E∗d’un espace d’op´erateur E et aussi pour la notionde quotient dans cette cat´egorie. Nous renvoyons `a nos travaux pr´ec´edents [9,10] pour lad´efinition de la m´ethode d’interpolation complexe et des ultraproduits dans la cat´egorie desespaces d’op´erateurs, ainsi que pour la d´efinition et les principales propri´et´es de l’espaced’op´erateurs OH(I) qui est l’analogue dans cette cat´egorie de l’espace ℓ2(I) associ´e `a unensemble arbitraire I.Soit E ⊂B(H), F ⊂B(K) deux espaces d’op´erateurs, nous noterons E ⊗m F leurproduit tensoriel minimal (= spatial), i.e.

le compl´et´e du produit tensoriel alg´ebrique E ⊗Fpour la norme induite par B(H ⊗2 K), o`u on a not´e H ⊗2 K le produit tensoriel hilbertien4

de H et K. Nous renvoyons `a [1, 2, 3, 5] pour la d´efinition et les principales propri´et´es duproduit tensoriel de Haagerup E ⊗h F de deux espaces d’op´erateurs. Pour tout espace deHilbert K, nous noterons Kc et Kr les espaces d’op´erateurs (isom´etriques `a K) d´efinis parKc = B( |C, K), Kr = B(K∗,|C).Nous allons d´efinir l’espace d’op´erateurs Sp[K; E].

Commenions par les cas p = ∞et p = 1. Pour p = ∞, on pose S∞[K; E] = S∞(K) ⊗m E. Pour p = 1, on d´efinitS1[K; E] = S1(K) ⊗∧E o`u ⊗∧d´esigne l’analogue du produit tensoriel projectif dans lacat´egorie des espaces d’op´erateurs tel qu’il est d´efini dans [1, 4].

Dans une s´erie d’articlesEffros et Ruan [6, 7, 8] ont d´evelopp´e les principales propri´et´es de ce produit tensoriel. Enparticulier, d’apr`es leurs travaux il y a une inclusion contractive S1[K; E]−→S∞[K; E].Cette inclusion nous permet de consid´erer le couple (S1[K; E], S∞[K; E]) comme un couplecompatible pour l’interpolation.

On d´efinit alors pour 1 < p < ∞l’espace Sp[K; E] par lam´ethode d’interpolation complexeSp[K; E]−= (S∞[K; E], S1[K; E])θo`u θ = 1/p. La structure d’espace d’op´erateurs sur Sp[K; E] est d´efinie (voir [9]) par l’identit´eMn(Sp[K; E]) = (Mn(S∞[K; E]), Mn(S1[K; E]))θ.Rappelons que l’on peut consid´erer (Kr, Kc) comme un couple compatible pour l’interpolationgrece `a l’isom´etrie lin´eaire i : Kc →Kr qui associe `a tout T :|C →K l’op´erateur adjointi(T) : K∗→|C.

On peut donc d´efinir (voir [9]) l’espace d’op´erateurs Kr(θ) = (Kr, Kc)θpour 0 < θ < 1. Nous poserons par convention Kr(0) = Kr et Kr(1) = Kc.

Rappelons quel’on a les isomorphismes compl´etement isom´etriques suivants (cf. [1, 5]).Kc ⊗h E ⊗h Kr = S∞(K) ⊗m E −et−Kr ⊗h E ⊗h Kc = S1(K) ⊗∧E.D’apr`es [9] on peut en d´eduireTh´eor`eme 1.

Pour 1 < p < ∞et θ = 1/p. On a un isomorphisme compl`etementisom´etriqueSp[K; E] = Kr(1 −θ) ⊗h E ⊗h Kr(θ).En particulier, pour θ = 1/2 et (pour all´eger la notation) si K = ℓ2, on a S2[E] =OH ⊗h E ⊗h OH, compl`etement isom´etriquement.5

Voici quelques propri´et´es de l’espace Sp[K; E] :Soit E, F des espaces d’op´erateurs et soit u : E →F une application c.b.. Alors ISp(K) ⊗us’´etend en une application U : Sp[K; E] →Sp[K; F] telle que ∥U∥cb = ∥u∥cb. Si u est uneisom´etrie compl`ete, il en est de mˆeme de U.

Le produit tensoriel alg´ebrique Sp(K) ⊗E estdense dans Sp[K; E]. On a une formule de dualit´eSp[K; E]∗= Sp′[K; E∗],(o`u −p′ = p(p −1)−1)compl`etement isom´etriquement.

Quant `a l’interpolation, soit (E0, E1) un couple compatibled’espaces d’op´erateurs, soit Eθ = (E0, E1)θ l’espace d’op´erateurs d´ecrit dans [9], soit1 ≤p0, p1, p ≤∞tels que p−1 = (1 −θ)p−10+ θp−11 . On a alorsSp[K, Eθ] = (Sp0[K; E0], Sp1[K; E1])θcompl`etement isom´etriquement.On peut donner aussi l’analogue suivant du th´eor`eme de Fubini.

Soit 1 ≤p ≤∞. SoitK, L deux espaces de Hilbert.

On a compl`etement isom´etriquementSp[K; Sp[L; E]]−= Sp[K ⊗2 L; E]−= Sp[L; Sp[K; E]].Plus g´en´eralement, si p ≤q ≤∞on a une inclusion compl´etement contractive Sp[K; Sq[L; E]]dans Sq[L; Sp[K; E]]. Soit I le cardinal d’une base orthonormale de K. Alors S2(K) en tantqu’espace d’op´erateurs est compl`etement isom´etriquement identifiable `a l’espace OH(I × I)introduit dans [9].

De plus pour tout ensemble J on peut v´erifier que S2[K; OH(J)] s’identifiecompl`etement isom´etriquement `a S2(K) ⊗h OH(J) ou encore `a OH(I × I × J).Le th´eor`eme suivant permet de “calculer” la norme dans Sp[K; E] et Mn(Sp[K; E]).THEOREME 2. Soit 1 ≤p < ∞.

Soit u ∈Sp[K; E]. On a(1)∥u∥Sp[K;E] = inf{∥a∥S2p(K) ∥v∥S∞[K;E] ∥b∥S2p(K)}o`u l’infimum porte sur toutes les repr´esentations de u de la forme u = (a ⊗IE)v(b ⊗IE),avec a, b ∈S2p(K) et v ∈S∞[K; E].D’autre part, soit F ⊂B(L) un autre espace d’op´erateurs.

Soit a, b dans S2p[L]. NotonsM(a, b) l’application de B(L) dans Sp(L) d´efinie par M(a, b)y = ayb.

On notera ˜M(a, b)6

l’application de Sp[K; E]−⊗mB(L) dans Sp[K; E]−⊗mSp(L) associ´ee `a I ⊗M(a, b). Alors,pour tout x dans Sp[K, E] ⊗m F, sa norme ∥x∥m est donn´ee par(2)∥x∥m = sup{ ˜M(a, b)xSp[K⊗2L;E]}o`u le supremum porte sur tous les a, b dans la boule unit´e de S2p(L).La formule (1) d´ecrit Sp[K; E] comme espace de Banach et (2) d´ecrit sa structure commeespace d’op´erateurs.A l’aide des r´esultats pr´ec´edents, on peut d´evelopper une th´eorie des applications p-sommantes entre espaces d’op´erateurs tout-`a-fait analogue `a celle de Pietsch et Kwapie´n(cf.

e.g. [11]) pour les espaces de Banach.Soit E, F deux espaces d’op´erateurs.

Soit u : E →F une application lin´eaire. Nousdirons que u est compl`etement p-sommante si l’application ˜u = ISp ⊗u est born´ee deSp ⊗m E dans Sp[F].

On pose π0p(u) = ∥˜u∥Sp⊗mE→Sp(F ). On note Π0p(E, F) l’espace desapplications compl`etement p-sommantes et on le munit de la norme π0p pour laquelle c’estun espace de Banach.

Soit v : E1 →E et w : F →F1 des applications c.b. entre espacesd’op´erateurs, on a alorsπ0p(wuv) ≤∥w∥cb π0p(u) ∥v∥cbDe plus on peut noter que si ˜u est born´e (i.e.

si u est compl`etement p-sommante) alorsn´ecessairement ˜u est c.b. et ∥˜u∥cb = ∥˜u∥= π0p(u).

En particulier on a(3)∥u∥cb ≤π0p(u).Cette remarque permet de munir Π0p(E, F) de la structure d’espace d’op´erateurs naturelle-ment induite par l’espace cb(Sp ⊗m E, Sp[F]).On peut montrer par exemple que l’op´erateur M : B(ℓ2) →Sp d´efini par M(x) = axbavec a, b ∈S2p est un op´erateur compl`etement p-sommant. De plus, soit E ⊂B(ℓ2) et soitEp la fermeture de M(E) dans Sp.

Alors l’application M1 : E →Ep qui est la restrictionde M est compl`etement p-sommante. Le th´eor`eme qui suit est l’analogue du th´eor`eme defactorisation de Pietsch.

Il montre que l’exemple pr´ec´edent est fondamental.THEOREME 3. Soit E ⊂B(H).

Soit ˜H = H ⊕H ⊕... la somme hilbertienne d’unefamille d´enombrable de copies de H et soit π : B(H) →B( ˜H) la repr´esentation somme7

directe d’une famille d´enombrable de copies de la repr´esentation identique de B(H). Soitu : E →F une application compl`etement p-sommante et soit C = π0p(u).

Il existe alors unensemble I muni d’un ultrafiltre U et des familles (aα)α∈I, (bα)α∈I dans la boule unit´e deS2p( ˜H) telles que l’on ait pour tout n et tout (xij) dans Mn(E)(4)∥(u(xij))∥Mn(F ) ≤C limU ∥(aαπ(xij)bα)∥Mn(Sp( ˜H)) .R´eciproquement, toute application v´erifiant (4) pour tout n est n´ecessairement compl`etementp-sommante et telle que π0p(u) ≤C.Remarques : (i) Si H est fini dimensionnel et si p = 2, on peut d´emontrer le r´esultatpr´ec´edent avec pour ˜H une somme hilbertienne d’un nombre fini m (m ≤n4 + 1) decopies de H. Dans ce cas la boule unit´e de S4( ˜H) ´etant compacte, on trouve (4) avecaα = a−bα = b−∀−α ∈I et avec a, b dans la boule unit´e de S4( ˜H). (ii) Dans le cas p = 2, on trouve ainsi que si u est compl`etement 2-sommant, alorsu ∈Γoh(E, F) au sens de [10] et γoh(u) ≤π02(u).De plus si E ⊂B(H) alors u : E →F admet une extension ˆu : B(H) →F telle queπ02(ˆu) = π02(u).

On peut montrer que pour tout sous espace E ⊂B(H) avec dim E = n ona π02(IE) = n1/2. Il existe donc un isomorphisme u : E →OHn tel que ∥u∥cbu−1cb ≤√net une projection P : B(H) →E telle que ∥P∥cb ≤√n.

(iii) Pour tout op´erateur u : E →OH(J)−−(J un ensemble arbitraire) on aπ02(u) = π2,oh(u) o`u π2,oh(u) est la norme d´efinie dans notre note pr´ec´edente [10]. (iv) Pour tout u : OH(I) →OH(J)−(I, J des ensembles arbitraires) la norme deHilbert Schmidt ∥u∥HS de u coincide avec π02(u) et π2,oh(u).

(v) On peut alors reformuler un r´esultat de [10] de la mani`ere suivante : Une applicationu : E →F est dans Γoh(E, F) ssi il existe une constante C telle que pour tout n et toutv : F →OHn on a π02((vu)∗) ≤Cπ02(v). Cela revient `a dire que pour tout n et toutT : Sn2 →Sn2 la norme de T ⊗u dans cb(Sn2 [E], Sn2 [F]) est major´ee par C ∥T∥.

De plusγoh(u) est ´egal `a la plus petite constante C dans l’une ou l’autre de ces propri´et´es. Enparticulier ce r´esultat permet de munir l’espace Γoh(E, F) d’une structure naturelle d’espaced’op´erateurs en le plongeant dans une somme directe convenable (au sens ℓ∞) de copies decb(S2[E], S2[F]).8

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출처: arXiv:9306.206 • 원문 보기