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Espace de Hilbert d’op´erateurs

arXiv:math/9212208v1 [math.FA] 9 Dec 1992Analyse FonctionnelleEspace de Hilbert d’op´erateursetInterpolation complexeparGilles PisierNote pr´esent´ee par Alain ConnesR´esum´e. Soit H un espace hilbertien de dimension infinie.

On montre qu’il existe unsous-espace ferm´e de B(H) qui est hilbertien et compl`etement isom´etrique `a son antidualau sens de la th´eorie des espaces d’op´erateurs d´evelop´ee r´ecemment par Blecher-Paulsen etEffros-Ruan. De plus cet espace est unique `a une isom´etrie compl`ete pr`es.

On le note OH.Cet espace a de nombreuses propri´et´es remarquables, en particulier pour l’interpolationcomplexe.Abstract. Let H be an infinite dimensional Hilbert space.

We show that there exists asubspace of B(H) which is isometric to ℓ2 and completely isometric to its antidual in thesense of the theory of operator spaces recently developed by Blecher-Paulsen and Effros-Ruan. Moreover this space is unique up to a complete isometry.

We denote it by OH.This space has several remarkable properties in particular with respect to the complexinterpolation method.Abridged English Version.In the theory of operator spaces as recently developed in [2,6] several examples ofHilbertian operator spaces play an important role for instance the spaces C = B( |C, ℓ2) andR = B(ℓ2,|C). However in general a Hilbertian operator space E needs not be completelyisomorphic to its “operator dual” E∗as defined in [2,6].

Let H the Hilbert space ℓ2. One of themain results of this announcement is the observation that there is a subspace OH ⊂B(H)which is isometric to ℓ2 and such that the natural linear isomorphism from OH to OH∗isa complete isometry.

Moeover this space OH is unique up to a complete isometry.

Let E, F be two closed subspaces of B(H). We denote by E ⊗min F their minimal (orspatial) tensor product in B(H ⊗H).

If H, K are Hilbert spaces we denote by H ⊗K theirHilbertian tensor product.Let (Tn)n≥0 be an orthomormal basis of OH and let xn be a finite sequence in B(H).We have thenXTn ⊗xnOH⊗minB(H) =Xxn ⊗xn1/2B(H⊗H) .The proof of the preceding results makes crucial use of an inequality due to U. Haagerup([7], lemma 2.4) which seems to be the appropriate operator version of the Cauchy-Schwarzinequality.In the second part, we study the complex interpolation method between couples ofoperator spaces. Let (E0, E1) be compatible couple of Banach spaces in the sense ofinterpolation theory (cf.

[1]). Assume that E0 and E1 are both equipped with an operatorspace structure in the sense of [2,6].

Then the complex interpolation spaces Eθ = (E0, E1)θand Eθ = (E0, E1)θ in the sense of [1] can be equipped with an operator space structure bydefining∀n ≥1Mn(Eθ) = (Mn(E0), Mn(E1))θ and Mn(Eθ) = (Mn(E0), Mn(E1))θ.The proof that these are indeed operator spaces uses Ruan’s criterion [11].Let E0 ∩E1 be the intersection equipped with the norm ∥x∥= max{∥x∥E0 , ∥x∥E1} forall x in E0 ∩E1. Similarly for the sum E0 +E1 we define ∥x∥E0+E1 = inf{∥y∥E0 +∥z∥E1 |x =y + z}.We denote by E0 ⊕∞E1 (resp.

E0 ⊕1 E1) the direct sum equipped with the norm∥(x, y)∥= max(∥x∥, ∥y∥) (resp. ∥x∥+ ∥y∥).

We equip these spaces with the operator spacestructure defined by setting Mn(E0 ⊕∞E1) = Mn(E0) ⊕∞Mn(E1) (resp. Mn(E0 ⊕1 E1) isequipped with the norm induced by the space cb(E∗0 ⊕∞E∗1, Mn)).We can also equip the spaces E0 ∩E1 and E0 + E1 with a natural operator spacestructure.

We identify E0 ∩E1 with the subspace ∆= {(x, x)} in E0 ⊕∞E1 and identifyE0 + E1 with the operator space structure of the quotient (E0 ⊕1 E1)/{(x, −x)}. Since thecolumn and row Hilbert spaces C and R are naturally both linearly identifiable with ℓ2, wemay view (C, R) as a compatible interpolation couple and we obtain the operator spacesC ∩R, C +R and (C, R)θ.

(The operator space structure of C ∩R is studied in [8].) We have2

completely bounded inclusions (actually complete contractions)C ∩R →OH →C + R.More generally let E be any operator space and let v : E →ℓ2 be a bounded injective mapwith dense range so that the mapping J = v∗v : E →E∗is a continuous injection allowingus to consider (E, E∗) as a compatible couple. Then the space (E, E∗)1/2 is completelyisometric to OH.

In particular OH is completely isometric to (R, C)1/2. We also study theHaagerup tensor product (cf.

[2,6]) between two operator spaces E, F. We denote it byE ⊗h F. The results of [9] imply that if (E0, E1) and (F0, F1) are compatible couples and ifEθ = (E0, E1)θ, Fθ = (F0, F1)θ then Eθ ⊗h Fθ is completely isometric to the interpolationspace (E0 ⊗h F0, E1 ⊗h F1)θ.Among various applications, we prove that a von Neumann algebra M ⊂B(H) isinjective if (and only if) there is a completely bounded linear projection P : B(H) →M.Actually, it suffices that P satisfies for some constant C for all finite sequences x1, ..., xn inB(H)XP(xi)∗P(xi) ≤C2 Xx∗i xi andXP(xi)P(xi)∗ ≤C2 Xxix∗i .Let E, F be operator spaces and let u ∈E ⊗F. We defineoh(u) = infXxi ⊗¯xi1/2E⊗EXyi ⊗¯yi1/2F ⊗Fwhere the infimum runs over all the factorizations of u of the formu =nXi=1xi ⊗yi.It is very easy to check that this is a norm on E ⊗F.

Equivalently, oh(u) is the “norm offactorization through OH” of the linear operator u1: E∗→F (or u2: F ∗→E) canonicallyassociated to u. Indeed, by the preceding results we haveoh(u) = inf{∥A∥cb∥B∥cb}where the infimum runs over all the possible factorizations u1 = AB with B: E∗→OHand A: OH →F both completely bounded.

We will denote by E ⊗oh F the completion ofE ⊗F for the above norm. This gives us a Banach space structure on E ⊗oh F.3

Let H, K be Hilbert spaces. Consider the linear mappingΦ: B(H) ⊗B(K) →cb(B(H, K), B(H, K))defined on the linear tensor product B(H) ⊗B(K) by the property that it maps x ⊗y tothe operator Φ(x ⊗y): B(H, K) →B(H, K) defined byΦ(x ⊗y)(z) = xzy.In the finite dimensional case, i.e.

if say dim H = dim K = n it is known that Φ definesa (complete) isometric isomorphism between Mn ⊗h Mn and cb(Mn, Mn). From this it iseasy to deduce that the “same” map Φ defines a (complete) isometric isomorphism fromM opn ⊗h M opnonto cb(M ∗n, M ∗n) where we identify as sets (for the purpose of interpolation)the linear spaces Mn and M ∗n by the usual canonical linear isomorphism i: Mn →M ∗ndefined by i(x)(y) = tr(xy∗).

Then we haveCorollary. With the preceding identification the map Φ defines an isometric isomorphismfrom Mn ⊗oh Mn onto (cb(Mn, Mn), cb(M ∗n, M ∗n)) 12 .A similar statement can be given in the setting of the spaces considered in [5]and [3] of c.b.

maps which are (M ′, N ′) modular where M ⊂B(H) and N ⊂B(K) areinjective von Neumann algebras.We will study the tensor product E ⊗oh F and the space of operators factoring throughOH in a forthcoming note.4

Le but de cette note est d’annoncer les r´esultats principaux de notre article [10]. Nousutiliserons la th´eorie des espaces d’op´erateurs de [2,6].

Dans cette th´eorie plusieurs espaceshilbertiens d’op´erateurs jouent un rˆole important, par exemple les espaces C = B(|C, ℓ2)(espace de Hilbert en colonne) et R = B(ℓ2,|C) (espace de Hilbert en ligne), mais,contrairement aux espaces de Hilbert usuels, aucun des espaces utilis´es jusqu’ici ne sembleˆetre canoniquement isomorphe `a son antidual au sens de [2,6]. L’un de nos principauxr´esultats est l’observation qu’il existe un (et un seul `a isom´etrie compl`ete pr´es) espacehilbertien d’op´erateurs qui est compl`etement isom´etrique `a son antidual.Soient E, F deux espaces d’op´erateurs, avec E ⊂B(H), F ⊂B(K) (o`u H, K sont desHilbert) on notera E ⊗min F le produit tensoriel compl´et´e pour la norme induite par l’espaceB(H ⊗K) des op´erateurs born´es sur le produit tensoriel hilbertien H ⊗K.

Nous renvoyons`a [2] ou [6] pour la d´efinition du dual E∗d’un espace d’op´erateur E, ainsi que pour cellede l’espace transpos´e Eop. Rappelons simplement qu’un espace d’op´erateurs est un espacede Banach E muni d’un plongement isom´etrique dans l’espace B(H) des op´erateurs born´essur un Hilbert H et que les morphismes de la cat´egorie correspondante sont les op´erateurs“compl´etement born´es” (en abr´eg´e c.b.) au sens e.g.

de [2,5,6,7]. Une application u : E →Fest compl`etement born´ee (resp.

compl`etement isom´etrique) si l’application ˜u = IB(ℓ2) ⊗us’´etend en un op´erateur born´e (resp. isom´etrique) de B(ℓ2) ⊗min E dans B(ℓ2) ⊗min F et onn ∥u∥cb = ∥˜u∥.

On notera cb(E, F) l’espace des applications c.b. de E dans F muni de cettenorme.Si E et F sont compl`etement isom´etriques on note E ≈F.

On peut d´efinir le complexeconjugu´e E d’un espace d’op´erateurs E ⊂B(H) comme ´etant le mˆeme espace de Banachmuni de la multiplication complexe conjugu´ee λ.x = λx. On le munit de la structure d’espaced’op´erateurs induite par le plongement lin´eaire E ⊂B(H) = B(H).THEOREME 1.

Soit I un ensemble arbitraire. Il existe un espace de Hilbert H et unsous-espace E de B(H) qui est isom´etrique `a ℓ2(I) et tel que l’identification naturelle entreE et E∗soit une isom´etrie compl`ete.

De plus, cet espace est unique `a une isom´etrie compl`etepr`es.Nous noterons cet espace OH(I) et si I = IN on note simplement OH = OH(IN).C’est l’analogue de l’espace de Hilbert dans la cat´egorie des espaces d’op´erateurs. L’unicit´edans le th´eor`eme pr´ec´edent signifie que tout espace d’op´erateur E v´erifiant les propri´et´es du5

th´eor`eme 1, est compl`etement isom´etrique `a l’espace OH(I). On peut d´ecrire la structurede OH(I) de la mani`ere suivante.

Soit (ai)i∈I une famille `a support fini d’´el´ements de B(ℓ2)et soit (Ti)i∈I une base orthonormale de OH(I). On a alorsXTi ⊗aiOH(I)⊗minB(ℓ2) =Xai ⊗ai1/2B(ℓ2)⊗minB(ℓ2) .Il en r´esulte que l’espace OH(I) est aussi compl`etement isom´etrique `a son oppos´e OH(I)opp.De plus, tout op´erateur born´e u sur OH(I) est automatiquement c.b.

et on a ∥u∥cb = ∥u∥.Soit E ⊗h F le produit tensoriel de Haagerup de deux espaces d’op´erateurs introduit parEffros et Kishimoto [5] et ´etudi´e dans [2,6]. On peut montrer que l’on a une identificationcompl`etement isom´etrique OH(I) ⊗h OH(J) = OH(I × J).Rappelons qu’en th´eorie de l’interpolation [1] on appelle “compatible” un coupled’espaces de Banach muni d’un espace vectoriel topologique X et d’injections continuesE0 ֒→X et E1 ֒→X .

Cette structure permet de d´efinir les espaces E0 ∩E1 et E0 + E1 munides normes suivantes∀x ∈E0 ∩E1∥x∥E0∩E1 = max{∥x∥E0 , ∥x∥E1}et∀x ∈E0 + E1∥x∥E0+E1 = inf{∥x0∥E0 + ∥x1∥E1 |x = x0 + x1}.Signalons que les espaces R ∩C et R + C sont ´etudi´es dans [8].On notera Eθ = (E0, E1)θ et Eθ = (E0, E1)θ les espaces d’interpolation complexe introduitspar Calder´on et Lions (cf. [1]).

La caract´erisation des espaces d’op´erateurs due `a Ruan[11] permet de munir le dual ou bien le quotient d’un espace d’op´erateurs d’une structurenaturelle d’espace d’op´erateurs. On note E0 ⊕∞E1 (resp.

E0 ⊕1 E1) la somme directe muniede la norme ∥(x, y)∥= max(∥x∥, ∥y∥) (resp. ∥x∥+∥y∥).

On munit ces espaces d’une structured’espace d’op´erateurs en posant Mn(E0 ⊕∞E1) = Mn(E0)⊕∞Mn(E1) (resp. Mn(E0 ⊕1 E1)est muni de la norme induite par la norme de l’espace cb(E∗0 ⊕∞E∗1, Mn).On peut aussi munir les espaces E0 ∩E1 et E0 + E1 d’une structure naturelle d’espaced’op´erateurs.

On identifie E0 ∩E1 au sous-espace ∆= {(x, x)} dans E0 ⊕∞E1 et on munitE0 + E1 de la structure d’espace d’op´erateurs du quotient (E0 ⊕1 E1)/{(x, −x)}.On a plus g´en´eralement le r´esultat suivant.6

THEOREME 2. Soit (E0, E1) un couple compatible d’espaces d’op´erateurs.

On peutmunir Eθ et Eθ d’une structure d’espace d’op´erateurs en posantMn(Eθ) = (Mn(E0), Mn(E1))θ(resp.Mn(Eθ) = (Mn(E0), Mn(E1))θ).Si on suppose E0∩E1 dense `a la fois dans E0 et dans E1 on a les identifications compl`etementisom´etriques suivantes :(E0 ∩E1)∗= E∗0 + E∗1,(E0 + E1)∗= E∗0 ∩E∗1et(E0, E1)∗θ = (E∗0, E∗1)θ.THEOREME 3. Soit E un espace d’op´erateurs.

Soit v : E →ℓ2(I) une injection continue`a image dense de sorte que J = v∗v : E →E∗est une injection continue permettant deconsid´erer (E, E∗) comme un couple compatible. On a alors un isomorphisme compl`etementisom´etrique(E, E∗)1/2 ≈OH(I).En particulier (R, C)1/2 ≈OH.COROLLAIRE 4.

Soit ℓn2 l’espace hilbertien complexe de dimension n. Consid´erons lesespaces d’op´erateurs Rn = B(ℓn2,|C) et Cn = B( |C, ℓn2) identifi´es `a ℓn2 de la faon ´evidente etnotons OHn la version n-dimensionnelle de OH. Soit H un Hilbert.

On a alors compl`etementisom´etriquement(Rn ⊗min B(H), Cn ⊗min B(H))1/2 ≈OHn ⊗min B(H).En utilisant des r´esultats de Connes [4], g´en´eralis´es par Haagerup [7] on obtientCOROLLAIRE 5. Une alg`ebre de von Neumann M ⊂B(H) est injective si (et seulementsi) il existe une projection compl`etement born´ee P de B(H) sur M.En fait, il suffit qu’il existe une projection telle que l’on ait pour une constante C pourtoute suite finie dans B(H)XP(xi)∗P(xi) ≤C2 Xx∗i xi etXP(xi)P(xi)∗ ≤C2 Xxix∗i .On peut montrer qu’il suffit mˆeme que l’inclusion naturelle de M ⊗min (R + C) dansM ⊗min R + M ⊗min C soit born´ee.

Soit E, F des espaces d’op´erateurs. Soit u ∈E ⊗F.

Ond´efinitoh(u) = inf{Xxi ⊗xiE⊗minEXyi ⊗yiF ⊗minF }7

o`u l’infimum porte sur toutes les repr´esentations de u de la forme u = Pn1 xi ⊗yi,xi ∈E,yi ∈F. On v´erifie ais´ement que oh est une norme sur E ⊗F et l’on note E ⊗oh Fle compl´et´e de E ⊗F pour cette norme.

Soit u : E∗→F l’op´erateur associ´e `a u. Onpeut d´ecrire de faon ´equivalente oh(u) = inf{∥A∥cb ∥B∥cb} o`u l’infimum porte sur toutes lesfactorisations possibles de u de la forme u = AB avec B : E∗→OH et A : OH →F derangs finis.THEOREME 6. Soit M, N deux alg`ebres de von Neumann injectives.

On a alors uneidentification isom´etrique(M ⊗h N, M op ⊗h N op)1/2 = M ⊗oh N.Remarques. Plus g´en´eralement, si E est un espace d’op´erateurs arbitraire, on peutconsid´erer pour 0 < θ < 1 l’espace d’op´erateurs E(θ) = (E, Eop)θ.

(Noter que E(0) = E etE(1) = Eop). Si F est un autre espace d’op´erateurs le th´eor`eme 2 nous donne(E ⊗h F, Eop ⊗h F op)θ ≈E(θ) ⊗h F(θ)compl`etement isom´etriquement.

Mais il faut noter que si E est un sous-espace ferm´e deB(H) en g´en´eral E(θ) ne s’identifie pas `a un sous-espace ferm´e de B(H)(θ).Dans le corollaire suivant on identifiera Mn et M ∗n par l’isomorphisme lin´eaire i : Mn →M ∗n d´efini par i(x)(y) = tr(xy∗). Rappelons que l’on note cb(E, F) l’espace des applicationsc.b.

de E dans F muni de la norme c.b.. Nous pouvons donc identifier les ´el´ements decb(Mn, Mn) avec ceux de cb(M ∗n, M ∗n). On a alorsCOROLLAIRE 7.

L’application lin´eaire Φ:Mn ⊗Mn→CB(Mn, Mn) d´efiniepar Φ(x ⊗y)(a) =xay ´etablit un isomorphisme isom´etrique entre Mn ⊗oh Mn et(cb(Mn, Mn), cb(M ∗n, M ∗n))1/2.Soit M ⊂B(H) et N ⊂B(K) des alg`ebres de von Neumann injectives. On peutg´en´eraliser le corollaire pr´ec´edent dans le cadre des espaces consid´er´es par Effros et Kishimoto[5] et Blecher-Smith [3] des applications compl`etement born´es de B(H, K) dans B(H, K)qui sont (M ′, N ′) modulaires.Dans une prochaine note nous ´etudions les op´erateurs qui se factorisent `a travers l’espaceOH par des applications compl`etement born´ees.8

References[1] J. Bergh and J. L¨ofstr¨om. Interpolation spaces.

An introduction. Springer Verlag, NewYork.

1976. [2] D. Blecher and V. Paulsen.

Tensor products of operator spaces. J. Funct.

Anal. 99(1991) 262-292.

[3] D. Blecher and R. Smith. The dual of the Haagerup tensor product.

(Preprint) 1990. [4] A.Connes.

Classification of injective factors. Ann.

of Math. 104 (1976) 73-116.

[5] E. Effros and A. Kishimoto. Module maps and Hochschild-Johnson cohomology.Indiana Univ.

Math. J.

36 (1987) 257-276. [6] E. Effros and Z.J.

Ruan. A new approach to operator spaces.

Canadian Math.Bull.34(1991) 329-337. [7] U. Haagerup.

Injectivity and decomposition of completely bounded maps in “Operatoralgebras and their connection with Topology and Ergodic Theory”. Springer LectureNotes in Math.

1132 (1985) 91-116. [8] U. Haagerup and G. Pisier.

Bounded linear operators between C∗-algebras. To appear.

[9] O. Kouba. Interpolation of injective or projective tensor products of Banach spaces.J.

Funct. Anal.

96 (1991) 38-61. [10] G.Pisier.

The operator Hilbert space and complex interpolation. (Preprint) A paraˆıtre.

[11] Z.J. Ruan.

Subspaces of C∗-algebras. J. Funct.

Anal. 76 (1988) 217-230.Equipe d’AnalyseUniversit´e Paris 6Boˆıte 186, Place Jussieu75252 Paris Cedex 05, FRANCEetMathematics DepartmentTexas A. and M. UniversityCollege Station, Texas 77843, USA9

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출처: arXiv:9212.208 • 원문 보기