Structures de poids `a la Bondarko sur les motifs de Beilinson

Structures de p oids à la Bondark o sur les moti fs de Beilinson Da vid Héb ert Abstra ct Bondarko defines and studies t he notion of weigh t structure and he shows that there ex ists a weigh t structure o ver the category of V oevodsk y motives with rational coefficients (ov er a field of characte- ristic 0 ). In this pap er we exten d t h is weigh t structure to the category of Beilinso n motives (for any sc heme of finite type ov er a base sc heme whic h is excellent o f dimension at most t w o) in trod u ced and studied by Cisinsky-Déglise. W e also c heck th e w eigh t exactness of the Grothendiec k op erations. T able des matières In troduction. 1 1 Structure de p oids. 3 2 Les motifs de Beilins on en di x l eçons. 8 3 Structure de p oids e t m o tifs. 10 Remerciements. 15 Bibliographie 15 In tro d uction. Dans [Bon07], Bo ndarko définit et étudie la notion de stru cture de p oids . Il montre qu’il existe une structure de p oids sur la catégorie des motifs à la V o ev o dsky à co efficien ts rationnels définie sur un corps de cara ctéristique 0 ( c.f. [VSF00]) don t le co eur s’identifie à la catégo rie des motifs de Chow sur k . L a question qui se p ose alor s ( c.f. [Bon07, rm. 8.2.5.3]) est de sav oir co mmen t généra lis er cette structure de po ids à la ca tég orie des mo tifs de Beilinson, int ro duite et étudiée par Cisinski-Déglis e ( c.f. [CD09]). Dans la première partie, nous redonnons la définition de structure de p oids (définition 1.5) ainsi que la preuve du théorème de cons truction de Bondar k o (théorème 1 .9). La seconde pa r tie e st entièremen t dédiée au rapp e l du formalisme des six opér ations de Grothendieck dans la ca tég orie des mo tifs de Beilinson. L’app ort nouveau de cet article réside dans la troisième partie dans laquelle nous construisons une structure de po ids sur les mo tifs de Beilinson (théor ème 3.3) rép ondant ainsi pos itiv emen t à la question p osée par Bondarko. P o ur finir, nous établiss o ns les pr opriétés de stabilité par les six op érations (théorème 3.7). Cet article précéde [Bon1 0] dans lequel Bondar k o donne une a utre pr euv e du théorème 3.3. Notations et con ven tions. Si C est une catégorie, la notation H ⊂ C (où C ⊃ H ) s ig nifiera toujours que H est une sous- catégorie pleine de C . Pour cette r aison nous décrir o ns les sous-catég ories pleines uniquemen t par la classe de leur s ob jets. Nous adopterons ég alemen t les notations ensemblistes ( ∈ , ∃ , ∪ , ∩ , etc.) p our les catégories . Par exemple, la no tation X ∈ C signifiera toujours que X est un o b jet de C . L e s triang les distingués seront no tés A → B → C +1 − → . 1 On note H c la sous-ca tégorie pleine de H for mée des ob jets co mpacts de H ; on r appelle qu’un ob jet H ∈ H est compact si H om H ( H, • ) co mm ute a ux p etites s ommes. T ous les schémas considérés sont de type fini sur une base B excellente de dimension de Krull au plus 2 . Les morphismes entre schémas so n t sé pa rés. 2 1. Structure de p oid s. On fixe C une catégo rie triangulée (on note [1] son foncteur de transla tio n) et A , B et H des sous-catég ories pleines de C p ossédant 0 (l’ob jet initial et final de C ). Définition 1.1. On c onsidèr e les sous- c até gories pleines de C suiva ntes : ( i ) . L’envelopp e des rétra ctes de H , no té e R ( H ) , est R ( H ) :=  X ∈ C   ∃ ( X → H → X = Id X ) , H ∈ H  . ( ii ) . L’o rthogona l à dro it e (r esp. à gauche ) de H , noté e H ⊥ (r esp. ⊥ H ), est H ⊥ :=  X ∈ C   ∀ H ∈ H , H om C ( X, H ) = 0  .  res p . ⊥ H :=  X ∈ C   ∀ H ∈ H , H om C ( H, X ) = 0  .  ( iii ) . L a c até gorie des 1 -extensions de B p ar A , noté e Ext 1 C ( B , A ) , est Ext 1 C ( B , A ) := n X ∈ C   ∃  A → X → B +1 − →  , A ∈ A , B ∈ B o . On p ose Ext 1 C ( H ) = Ext 1 C ( H , H ) . ( iv ) . On p ose Ext C ( H ) = [ n ∈ N Ext n C ( H ) , app elé e envelopp e des extensions de H où Ext 0 C ( H ) = H , ∀ n ∈ N , Ext n +1 C ( H ) = Ext 1 C ( Ext n C ( H )) . ( v ) . On note h H i la c até gorie engendrée p ar H , h H i := Ext C [ n ∈ Z H [ n ] ! . ( v i ) . On note h H i ép la c até gorie épaisse engend rée p ar H , h H i ép := R ( h H i ) . ( v ii ) . On note H ⊕ , l’envelopp e additiv e de H , H ⊕ := ( n M i =0 H i   n ∈ N , ∀ i ∈ [ [0 , n ] ] , H i ∈ H ) ∪ { 0 } . Remarque 1.2. Les ob jets de R ( H ) s o n t en fait les facteur s directs d’ob jets de H . La catégor ie h H i est la plus p etite sous- catégorie triangulée de C contenan t H . La catégor ie h H i ép est la plus p etite so us-catégorie épaiss e et triangulée de C contenan t H . La catégor ie H ⊕ est la plus p etite sous-catégo rie a dditiv e de C contenan t H . Définition 1.3. ( i ) . On dir a que H est stab le par rétractes si H = R ( H ) . ( ii ) . On dir a que H est sta ble p a r extensions s i H = Ext 1 C ( H ) . ( iii ) . On dir a que ( A , B ) est une p ond éra t ion de H si H ⊂ Ext 1 C ( B , A ) . Remarque 1.4. T out orthogo nal (à ga uc he ou a droite) est s table pa r rétracte. La catégor ie Ext 1 C ( B , A ) es t la plus p etite catég orie telle que ( A , B ) en soit une p ondération. 3 Définition 1.5 (comp. [Bon07, déf. 1.1.1]) . On dir a que w = ( C w 6 0 , C w > 0 ) , où C w 6 0 , C w > 0 ⊂ C , est une struc ture de p oids sur C , noté e w / C , si les axiomes su ivants so nt satisfaits : ( S P 1) . Stabilité par rétractes. R ( C w 6 0 ) = C w 6 0 , R ( C w > 0 ) = C w > 0 . ( S P 2) . Semi-inv ariance a vec resp ect des translations. C w 6 0 [ − 1] ⊂ C w 6 0 , C w > 0 [1] ⊂ C w > 0 . ( S P 3) . Orthogonalité faible. C w 6 0 ⊂ C w > 0 [1] ⊥ . ( S P 4) . Filtration par le p oids. L a donné e ( C w 6 0 , C w > 0 [1]) est u ne p ondér ation de C . On app el ler a un triangle A → X → B +1 − → où X ∈ C , A ∈ C w 6 0 et B ∈ C w > 0 [1] , une filtra tion p a r le p oid s de X . Pour tout n ∈ Z , on note C w 6 n := C w 6 0 [ n ] , C w > n := C w > 0 [ n ] , C w = n := C w 6 n ∩ C w > n . On app el le C w =0 le cœur de la structure de p oid s. A noter que la notion de s tr ucture de p oids fut indép endamment in tro duite par Pauksztello dans [P au08] alor s app élée co- t -struct u re . Pr op osition 1.6 (Orthogona lité forte ; comp. [Bon07, pr op. 1.3.3 .1]) . Soit w/ C un e structure de p oids. C w 6 0 = C ⊥ w > 1 , C w > 0 = ⊥ C w 6 − 1 . Démonstr ation. Soient X ∈ C ⊥ w > 1 et A → X → B +1 − → une filtration par le p oids de X . Via le foncteur cohomolog ique Hom C ( X, • ) on obtien t la suite exa cte Hom C ( X, A ) → Hom C ( X, X ) → Ho m C ( X, B ) . Or Hom C ( X, B ) = 0 d’où un é pimo rphisme Hom C ( X, A ) ։ Hom C ( X, X ) qui p ermet de voir X comme un rétracte de A ∈ C w 6 0 et X ∈ C w 6 0 par ( S P 1) . À présent nous allo ns établir un théorème de construction de s tructure de p oids. Lemme 1.7. On a les ég alités suiv antes Ext C ( H ⊥ ) = Ext C ( H ) ⊥ = H ⊥ , Ext C ( ⊥ H ) = ⊥ Ext C ( H ) = ⊥ H . Démonstr ation. On a H ⊂ Ext C ( H ) et l’op ération d’orthogo nalité inv ersant les inclusio ns on abo utit trivialement à Ext C ( H ) ⊥ ⊂ H ⊥ ⊂ Ext C ( H ⊥ ) . Pour mo n trer que ces inclusions so n t des égalités, on v a montrer par réc urrence sur n ∈ N l’énoncé suiv an t : p our tout entier m ∈ N , Ext n C ( H ⊥ ) ⊂ Ext m C ( H ) ⊥ . Cas initial : n = 0 . Récur rence sur m ; le ca s m = 0 étant triv ia l. Supp osons que p our un m quelconque fixé on ait H ⊥ ⊂ Ext m C ( H ) ⊥ . Soit X ∈ H ⊥ , on veut v oir qu’il s’a git d’un ob jet de Ext m +1 C ( H ) ⊥ , c’est à dire que p our tout Y ∈ Ext m +1 C ( H ) on ait Ho m C ( X, Y ) = 0 . P ar définition on a un triangle distingué de C de la forme A → Y → B +1 − → tel que A, B ∈ Ext m C ( H ) . Le foncteur Hom C ( X, • ) étant cohomo lo gique o n en déduit la s uite exacte Ho m C ( X, A ) → Hom C ( X, Y ) → Hom C ( X, B ) . Mais les ob jets e x trémaux de cette s uite s on t nuls car X ∈ H ⊥ et A, B ∈ Ext m C ( H ) dont , par h yp othèse de récurrence, nous sav ons que H ⊥ ⊂ Ext m C ( H ) ⊥ . Ainsi Ho m C ( X, Y ) = 0 . Récurrence. On v a montrer q ue q uelque soit l’en tier m ∈ N on a Ext n +1 C ( H ⊥ ) ⊂ Ext m C ( H ) ⊥ . Soit X ∈ Ext n +1 C ( H ⊥ ) . On veut voir qu’il est dans Ext m C ( H ) ⊥ , c’est à dire que p our tout Y ∈ Ext m C ( H ) , on ait H om C ( X, Y ) = 0 . Il existe par définition A → X → B +1 − → tel que A, B ∈ Ext n C ( H ⊥ ) . Le foncteur Hom C ( • , Y ) éta n t cohomo logique, on en déduit une suite exacte Hom C ( B , Y ) → Hom C ( X, Y ) → Hom C ( A, Y ) . Comme A, B ∈ Ext n C ( H ⊥ ) qui, par h ypo thèse de récurrence, est inclus dans Ext m C ( H ) ⊥ , on en déduit que les deux o b jets extrémaux de cette suite so nt nuls et donc que Hom C ( X, Y ) = 0 . On raisonne dualement po ur l’o rthogonal à gauche. 4 Pr op osition 1.8 . Supp osons A ⊂ B [1] ⊥ . Si ( A , B ) est une p ondération de H alors ( Ext C ( A ) , Ext C ( B )) est une p ondération de Ext C ( H ) . Démonstr ation. Comme Ext C ( H ) = [ n ∈ N Ext n C ( H ) , o n v a raisonner par récurrence s ur n ∈ N ; le cas initial n = 0 suit de l’hypo thèse de l’énoncé. Soit X ∈ Ext n +1 C ( H ) ; pa r constr uctio n il existe un tria ng le distingué X ′ → X → X ′′ +1 − → av ec X ′ et X ′′ des ob jets de Ext n C ( H ) dont , par hypothèse de récurr ence, ( Ext C ( A ) , Ext C ( B )) est une p ondération. C’est à dire qu’il exis te A ′ , A ′′ ∈ Ext C ( A ) et B ′ , B ′′ ∈ Ext C ( B ) telle que l’on ait le diag ramme suiv a n t A ′   A ′′   A ′ [1]   X ′   / / X / / X ′′   / / X ′ [1]   B ′ +1   B ′′ +1   B ′ [1] +1   Comme Ext C ( A ) ⊂ Ext C ( B [1] ⊥ ) 1.7 = Ext C ( B )[1] ⊥ on p eut appliquer [BBD82, prop. 1.1.9 ] (sur la par- tie dro ite du diag ramme) e t [BBD82, prop. 1 .1.11], po ur c o mpléter le précédent diag ramme en A ′   / / A / /   A ′′   +1 / / X ′   / / X / /   X ′′   +1 / / B ′ / / +1   B / / +1   B ′′ +1 / / +1   où toutes les lignes et toutes les co lonnes sont des triangles distingués. La stabilité par extension p er- met de conclure que A ∈ Ext C ( A ) et B ∈ Ext C ( B ) . Théorème 1. 9 (Théorème de co ns tr uction de Bonda r k o ; comp. [Bon07, thm. 4.3.2 .II.1, prop. 5.2.2]) . Supp osons que l’une des conditions suivantes soit satisfaite ( a ) . C = h H i , ( b ) . C es t pseudo-abé lienne et C = h H i ép . Alors les conditio ns suivantes sont équivalentes : ( i ) . Il exis te une unique structure de poids w/ C tell e que H ⊂ C w =0 , ( ii ) . H ⊂ [ n> 0 H [ n ] ! ⊥ . De plus, dans le cas ( b ) , C w =0 = R ( H ⊕ ) . Démonstr ation. L’orhtogonalité faible prouve que la condition ( ii ) soit nécessa ire. Suppos ons la condition ( a ) sa tisfaite. Sous ( i i ) on construit la structure de p oids suiv a n te : C w 6 0 = R   Ext C   [ n 6 0 H [ n ]     , C w > 0 = R   Ext C   [ n > 0 H [ n ]     . Les axiomes ( S P 1) et ( S P 2) viennent de la construction, ( S P 3) vient de l’hypothèse ( ii ) , quand à ( S P 4) on co nsidère la p ondératio n trivia le sur H := [ n ∈ Z H [ n ] : on pr end un ob jet X dans cette catégor ie, c’es t à dire qu’il est dans l’un des H [ n ] ; si n 6 0 on c o nsidère le tria ng le X → X → 0 +1 − → , sinon ( i.e. n > 0 ) on considèr e le triangle 0 → X → X +1 − → . Ainsi, en p osant A = [ n 6 0 H [ n ] et B = [ n> 0 H [ n ] , ( A , B ) est une po ndération de H . Gra ce à ( ii ) , on p eut appliquer 1.8 : ( Ext C ( A ) , Ext C ( B )) et a fortiori ( R ( Ext C ( A )) , R ( Ext C ( B ))) est une p ondération de Ext C ( H ) = h H i = C . L’unicité de cette structure suit de l’o rthogonalité forte. Suppos ons à pr ésen t la co ndition ( b ) satisfaite. Quitte à remplacer H par H ⊕ , on p eut supp oser que H est a dditiv e. Noto ns e ( H ) la p etite env eloppe de H ([Bon0 7 , déf. 4.3.1.3]) et E ( H ) son env e lo ppe pseudo-ab élienne (v o ir par exemple [BS01, déf. 1.2] ; à noter que l’on ne p eut prendre ni la p etite env eloppe 5 ni l’en v elopp e pseudo-ab élienne de H si elle n’est pas additive ; à no ter de plus qu’il exis te une é q uiv alence de ca tégorie entre R ( H ) et E ( H ) ) de so rte que l’on ait les inclusions suiv a n tes H ⊂ e ( H ) ⊂ E ( H ) qui sont des égalités lor s que H est pseudo-ab élienne. Le ra isonnemen t précédent a mène une structure de poids d sur D = h H i . Puisque c’est le ca s de D d =0 (orthogona lité faible), E ( D d =0 ) vérifie la condition ( ii ) , a insi en appliqua n t encor e le raisonnement précédent il existe une unique str uctur e de p oids d ′ sur D ′ = h E ( D d =0 ) i ⊂ E ( D ) telle que E ( D d =0 ) ⊂ D ′ d ′ =0 . D’aprés [Bon07, thm. 4.3.2.I I.2] on a E ( D d =0 ) = e ( E ( D d =0 )) = D ′ d ′ =0 . Le co eur de d ′ est pseudo- ab élien il en v a do nc de même p our D ′ ( c.f. [Bon07, lm. 5 .2 .1]) et néces sairement D ′ = E ( D ) = C . Nous av ons ainsi trouvé une s tructure de poids sur w / C qui es t d ′ . En particulier C w =0 = D ′ d ′ =0 = E ( D d =0 ) = E ( e ( H )) = R ( H ) . Remarque 1.10. Dans le cas de la condition ( b ) on p eut do nner explicitement la structure de p oids comme dans la condition ( a ) . En r eprenant les notations de la preuve précédente, o n arrive à C w 6 0 = D ′ d ′ 6 0 = R   Ext E ( D )   [ n 6 0 E ( D d = n )     . Sachan t qu’il existe une é q uiv a lence de catégorie entre l’env elopp e des rétractes et l’en veloppe pseudo- ab élienne, que E ( D ) = C et que D d =0 = e ( H ⊕ ) on en déduit C w 6 0 = R   Ext C   [ n 6 0 R ( H ⊕ )[ n ]     = R   Ext C   R   [ n 6 0 H ⊕ [ n ]       . De même en changeant le symbole 6 par > . On peux “a jouter” aux précédents résultats des p etites sommes. On supp ose que les ob jets de C so n t stables par p etites sommes. Définition 1.11. O n c onsidèr e les sous-c até gories pleines de C suivantes : ( i ) . H ∞ := ( M i ∈ I H i   I ∈ Ens , ∀ i ∈ I , H i ∈ H ) . ( ii ) . Ext ∞ C ( H ) := Ext C ( Ext C ( H ) ∞ ) . ( iii ) . h H i ∞ := Ext ∞ C [ n ∈ Z H [ n ] ! . ( iv ) . h H i ép ∞ := R ( h H i ∞ ) . Lemme 1.12. O n a les éga lités suiv antes ⊥ H = ⊥ ( H ∞ ) ⊂ ( ⊥ H ) ∞ . Si de plus les ob jets de H sont compacts ( i. e. H = H c ) alors l’inclusion est une égalité. Démonstr ation. Naturellement ⊥ H ⊂ ( ⊥ H ) ∞ . De même H ⊂ H ∞ ce qui donne ⊥ ( H ∞ ) ⊂ ⊥ H . Vérifions l’inclusion in verse : so ien t X ∈ ⊥ H et H ∈ H ∞ c’est à dire q u’il existe un ensemble d’indice I et H i ∈ H indexé par I tel que H = M i ∈ I H i ; mais Ho m C ( H, X ) = Y i ∈ I Hom C ( H i , X ) = 0 . Suppos ons à présent q ue les ob jets de H son t compacts et mo n trons que ( ⊥ H ) ∞ ⊂ ⊥ ( H ∞ ) : soient X ∈ ( ⊥ H ) ∞ et H ∈ H ∞ ; cela signifie qu’il existe des ensembles d’indices I et J tel que H = M i ∈ I H i et X = M j ∈ J X j où chaque H i ∈ H et X j ∈ ⊥ H , ainsi Hom C ( H, X ) = Hom C   M i ∈ I H i , M j ∈ J X j   compact = Y i ∈ I M j ∈ J Hom C ( H i , X j ) = 0 . 6 Lemme 1.13. O n a les éga lités suiv antes ⊥ H = ⊥ Ext ∞ C ( H ) = ⊥ ( Ext C ( H ) ∞ ) ⊂ ( Ext C ( ⊥ H )) ∞ . Si de plus H = H c alors l’inclusion est une égalité. Démonstr ation. C’est le lemme précédent et 1.7. Lemme 1.14. Supp osons que A = A c . Alors on a les équiv alences suiv antes. ( A ⊂ B ⊥ ) K S   k s + 3 ( A ∞ ⊂ ( B ∞ ) ⊥ ) K S   ( B ⊂ ⊥ A ) k s + 3 ( B ∞ ⊂ ⊥ ( A ∞ )) Démonstr ation. Les équiv alences verticales sont triviales. Il suffit de vérifier ( B ⊂ ⊥ A ) ⇐ ⇒ ( B ∞ ⊂ ⊥ ( A ∞ )) . L’or tho g onalité inv ersant le sens des inclusions o n a B ⊂ B ∞ ⊂ ⊥ ( A ∞ ) ⊂ ⊥ A (ce qui prouve ⇐ ). Pour la récipro que o n r emarque que ⊥ A = ⊥ ( A ∞ ) est stable par somme quelconque ( c.f. 1.12) ; donc si B ⊂ ⊥ A alors B ∞ ⊂ ⊥ ( A ∞ ) . Pr op osition 1.15 . Supp osons A ⊂ B [1] ⊥ et A = A c . Si ( A , B ) est une p ondération de H alors ( Ext ∞ C ( A ) , Ext ∞ C ( B )) est une p ondération de Ext ∞ C ( H ) . Démonstr ation. Soit X ∈ Ext C ( H ) ∞ , c’es t à dire X = M i ∈ I X i po ur un certa in ensemble d’indice I ou chaque X i ∈ Ext C ( H ) . D’apr ès 1.8, il existe A i ∈ Ext C ( A ) , B i ∈ Ext C ( B ) et un triang le distingué A i → X i → B i +1 − → . En sommant ces triangle s on obtient le triangle A → X → B +1 − → où A ∈ Ext C ( A ) ∞ et B ∈ Ext C ( B ) ∞ . Nous av ons ainsi prouvé que ( Ext C ( A ) ∞ , Ext C ( B ) ∞ ) est une po ndération de E xt C ( H ) ∞ . D’après le lemme 1.14, comme les o b jets de Ext C ( A ) sont compacts (car extensions de compacts), on a Ext C ( A ) ∞ ⊂ ( Ext C ( B ) ∞ [1]) ⊥ . On conclut en appliquant encor e 1.8. Théorème 1.16 . Supp osons que H = H c et que l’une des conditions suivantes soit satisfaite ( a ∞ ) . C = h H i ∞ , ( b ∞ ) . C = h H i ép ∞ . Alors les conditio ns suivantes sont équivalentes : ( i ) . Il exis te une unique structure de poids w/ C tell e que H ∞ ⊂ C w =0 , ( ii ) . H ⊂ [ n> 0 H [ n ] ! ⊥ . Démonstr ation. On r aisonne comme p our 1.9 en “a joutant ” des sommes infinies. Dans le cas ( a ∞ ) o n construit la structure de p oids suiv ante : C w 6 0 = R   Ext ∞ C   [ n 6 0 H [ n ]     , C w > 0 = R   Ext ∞ C   [ n > 0 H [ n ]     . On ra isonne comme dans le c a s ( a ) de 1.9 : soient A , B et H co mme dans la preuve du cas ( a ) . Alors A ⊂ B [1] ⊥ par ( ii ) donc Ext C ( A ) ⊂ Ext C ( B )[1] ⊥ ; par 1 .1 4 on en déduit Ext C ( A ) ∞ ⊂ ( Ext C ( B ) ∞ [1]) ⊥ (les ob jets de Ext C ( A ) sont co mpacts car c’est le cas des ob jets de A ) ce qui prouve l’axiome ( S P 3) (via 1.7). Nous av ons vu que ( A , B ) est une po ndération de H ; on prouve ( S P 4) en appliquant 1.1 5. Le cas ( b ∞ ) se traite comme le cas ( b ) de 1.9 sachant que C e s t pseudo-ab élienne (voir par exemple [Nee01, prop. 1.6 .8]). Remarque 1.17. Dans le cas ( b ∞ ) on peut décrire la structure de p oids : C w 6 0 = R   Ext ∞ C   R   [ n 6 0 H ⊕ [ n ]       , C w > 0 = R   Ext ∞ C   R   [ n > 0 H ⊕ [ n ]       . 7 Définition 1.18 (comp. [Bon10, déf. 1.2 .1.VI]) . Soient C et C ′ des c até gories triangulé es, c/ C , c ′ / C ′ des structur es d e p oids et F : C → C ′ un foncteur de c até gories triangulé es. • On dir a que F est w -exacte à gauch e si F tr ansforme les objets de C c 6 0 en objets de C ′ c ′ 6 0 . • On dir a que F est w -exacte à droite si F tr ansforme les objets de C c > 0 en objets de C ′ c ′ > 0 . • On dir a que F est w -exacte s’il est w -exacte à gauche et à dr oite. • Su pp osons C ′ ⊂ C ; on dir a que c ′ est une restriction de c , noté e c ′ = c | C ′ si le foncteur d’inclusion c anonique de C ′ dans C est w -exacte. Les théo rèmes 1.9 et 1 .1 6 ainsi que la description des structures de p oids qu’ils décriven t permettent d’établir les co rollaires suiv ants. Cor ollaire 1 .19 . Supp osons les condi tions du théorème 1 .16 satisfaites ainsi que la co ndition ( i i ) de l oc.cit. . Notons respectivement ( a ∞ ) . C ′ = h H i , ( b ∞ ) . C ′ = h H i ép . Alors il existe des structures de p oids w/ C et w ′ / C ′ telle que w ′ = w | C ′ . Cor ollaire 1.2 0 . Supp osons que l’une des conditio ns ( a ) , ( b ) , ( a ∞ ) ou ( b ∞ ) des théorèmes 1.9 et 1.16 soit satisfaite (avec les condition s qui s ’imposent sur C et H ). Supp osons également que H s atisfasse la condition ( ii ) de lo c. cit. . Soit H ′ ⊂ H . Notons respectivement ( a ) . C ′ = h H ′ i , ( a ∞ ) . C ′ = h H ′ i ∞ , ( b ) . C ′ = h H ′ i ép , ( b ∞ ) . C ′ = h H ′ i ép ∞ . Alors il existe des structures de p oids w/ C et w ′ / C ′ telles que w ′ = w | C ′ . 2. Les motifs de Beilin son en dix leçons. Dans la suite o n choisit de se plac e r dans la catég orie des motifs d e Beilinson ([CD09, déf. 1 3.2.1]) DM B ( S ) où S désigne un s chéma de base (de type fini au dessus de B ; c.f. intro ductio n). Elle peut se définir à par tir des faiscea ux é ta les (sur le site ( S m/S ) ét ) à co efficien ts rationnels ([CD09, thm. 15.2.16]) : on considère la catég orie dérivée de cette catégo rie de faisce aux. Dans cette catégorie on veut ident ifier X à A 1 X . Ce pro cédé s’app elle la A 1 -lo calisation ([CD09, déf. 5.2.16 ]). A v ec cette lo calisation on obtient la catégorie “effective” des motifs de Be ilinso n ([CD09, ex. 5.2.17 ]) ; cette catégor ie effective est mono ïdale symétrique ([CD09, prop. 5.2 .2]). Pour ar riv er à DM B ( S ) on inverse (pour le pro duit tensor iel) le twist de T a te, noté 1 S (1) ([CD09, déf. 5.3.2 2 , ex. 5.3.3 4]). P our S = Sp ec ( k ) (et de manière g énérale lor sque S est géométriq uemen t unibranche) il existe une équiv alence de catégo r ie entre la catégorie des motifs de Beilinson et la catégorie des motifs à la V o evodsky (construit av ec les faisceaux av ec transferts) à co efficients ra tionnels ([CD09, thm. 15.1.4 ]). V oici une lis te des propriétés de la catég orie des motifs de Beilinson, f : S → T désignant un morphisme de schémas : 1. O n a les six op érations de Grothendieck : is s u du foncteur de restric tio n, on a le foncteur f ∗ : DM B ( T ) → DM B ( S ) qui admet un adjoint à dro ite f ∗ . Par exemple, en notant 1 S l’unité p our le pro duit tenso riel (issu du fais c e au constant s ur S qui v a ut Q ), on a f ∗ 1 T = 1 S . Dans le cas ou f est lisse, f ∗ admet également un a djoin t à gauche f ♯ : DM B ( S ) → DM B ( T ) (issu du foncteur d’oubli de la base). P artant du fo ncteur de pr olongement par z é r o, o n a f ! : DM B ( S ) → DM B ( T ) qui a dmet un adjoint à droite f ! . En particulier si f est propr e f ! = f ∗ ([CD09, thm. 2.2.14 . (1) ]). La c a tégorie DM B ( S ) est mono ïdale symétrique fermée ; on notera ⊗ S le pro duit tensoriel et Hom S son adjoint à droite. À noter enfin la formule de pro jection ([CD09, thm. 2.4.21. v ]) : p our tout M ∈ DM B ( S ) , N ∈ DM B ( T ) , f ! M ⊗ T N = f ! ( M ⊗ S f ∗ N ) . 8 2. O n a des isomor phismes de changemen t de base. Précisement, p our tout carr é cartésie n X ′  β ′   α ′ / / Y ′ β   X α / / Y on a β ∗ α ! = α ′ ! β ′∗ et β ′ ∗ α ′ ! = α ! β ∗ ([CD09, thm. 2.2.14 . (4 c ) ]). 3. Si f est lisse de dimension relative d on a un isomorphisme de pureté relative ([CD09, thm. 2.4.1 5 . ( iii ) , rm. 2.4.16 ]) : f ! 1 T = f ∗ 1 T ( d )[2 d ] = 1 S ( d )[2 d ] , f ! 1 T = f ♯ 1 T ( − d )[ − 2 d ] . 4. Si f est une immersion fermée de co dimension c entre schémas réguliers on a un isomor phisme de pureté absolue ([CD09, thm. 1 3.4.1]) : f ! 1 T = 1 S ( − c )[ − 2 c ] 5. Si U e st un ouvert de S de fermé complément aire Z , alo rs e n notan t j : U   ◦ / / / / S et i : Z   p / / / / S les immersions canoniques, on a le tria ngle distingué de lo calisatio n ([CD09, prop. 2.3 .3. (2) , thm. 2.2.14. (2) ]) j ! 1 U → 1 S → i ! 1 Z +1 − → 6. O n a la h -descente : considérons le diagr amme suiv ant, où les car rés s o n t ca rtésiens Z ′   p / / / / a ( (   T ′ p   U ′ _ ? ◦ o o o o   Z   p / / i / / T U _ ? ◦ o o o o où p est une a ltération de Galois de gro upe G telle que génériquement T ′ /G → T est fini, surjectif et radiciel, U est normal et U ′ → U est fini alors o n a le triangle distingué p our tout M ∈ DM B ,c ( T ) ([CD09, thm. 14.3 .7 ]) M → i ! i ∗ M ⊕ ( p ! p ∗ M ) G → ( a ! a ∗ M ) G +1 − → . 7. Si S est r égulier on a ([CD09, co r . 13.2 .1 4]) ∀ ( a, b ) ∈ Z 2 , Hom DM B ( S ) ( 1 S , 1 S ( a )[ b ]) = Gr a γ K 2 a − b ( S ) Q , où Gr γ désigne le gra dué p our la filtratio n γ ([CD09, §13.1]) et K n ( S ) Q := K n ( S ) ⊗ Z Q la K -théor ie rationnelle de Quillen qui est nulle si n < 0 . 8. Lo rsque f est lisse, o n p ose M T ( S ) := f ♯ 1 S ; c’est le motif a sso cié à S . La ca tég orie des mo tifs constru ctibles ([CD09, déf. 1.4.7 ]) est DM B ,c ( T ) := h G T i ép où DM B ( T ) ⊃ G T :=  M T ( S )( n )   n ∈ Z , f : S → T lisse  . La catégor ie DM B ,c ( T ) corresp ond à la sous-catég orie pleine de DM B ( T ) formée des o b jets compacts DM B ( T ) c ([CD09, cor. 5.2 .37]). À no ter de plus que DM B ( S ) = h DM B ,c ( S ) i ép ∞ . 9. Les six op érations de Grothendieck resp ecten t les o b jets constructibles ([CD09 , thm. 14 .1.31]). 10. Les catég ories DM B ( S ) et DM B ,c ( S ) sont pseudo-ab éliennes : par construction DM B ( S ) est une catégorie triangulée a dmettant des p etites s ommes (v oir par exemple [Nee01, pro p. 1.6.8]). De même, par construction, la catégorie DM B ,c ( S ) est épaiss e. Remarque 2.1. A noter que le lecteur p ourra également choisir de se placer dans la catég orie SH M ( c.f. [A yo07, déf. 4 .5.52, 4.2.21 ] av ec M la catégo rie des Q -espa ces vectoriels ; la top ologie étant la top ologie étale). D’après [CD09, thm. 15 .2.16] ce lle- ci est équiv alente à DM B ( S ) . Une ma jeur partie des propriétés précédentes est d’ailleurs prouvée intrinsèquemen t dans [A yo07]. 9 3. Structure de p oid s et mo tifs. Dans cette partie nous allons déterminer une structure de p oids sur la catégo rie des motifs de Beilinson et par restrictio n sur la ca tégorie des motifs de Beilinson constructibles. Pour cela no us allons utiliser les théorèmes de co nstruction 1.9 et 1.16. Dans les deux cas il s’agit d’exhiber une ca tégorie satisfaisant la condition d’orthogo nalité ( ii ) de lo c. cit. . Le théorème clef est le suiv a n t. La notation ( r ap. i ) fait référence au rapp el n uméro i de la section précé dente. Lemme 3 . 1 (Lemme de Chow motivique) . So it p : X → S un morphisme propre à domaine régulier . Il existe un morphisme π : X 0 → X pro jectif à domaine régulier tel que ( i ) . le mo rphisme composé pπ est pro jectif, ( ii ) . le schéma X 0 a la même dimension que le sc héma X , ( iii ) . le mo tif p ! 1 X est un rétracte de ( pπ ) ! 1 X 0 . Démonstr ation. Appliquons le lemme de Chow au morphisme p ( c.f. [DG61 , cor . 5.6.2 ]) : on tro uv e un morphisme π ′ : X ′ 0 → X pr o jectif tel q ue pπ ′ est pro jectif et tel que X ′ 0 a la même dimension que X . On considère une altéra tion de Ga lo is X 0 → X ′ 0 et on note π : X 0 → X le morphisme co mposé ; c’est un morphisme pro jectif, c’est à dir e co mposé d’une immer- sion fermée et d’un mor phisme lisse, X 0 π / /  u p Q Q Q ( ( Q Q Q i ( ( Q Q Q Q Q Q Q X Y s 6 6 m m m m m m m via ( r ap. 3 ) et ( r ap. 4) , on a π ! 1 X = i ! s ! 1 X = i ! 1 Y ( c )[2 c ] = 1 X 0 ( c − c )[2 c − 2 c ] = 1 X 0 . Considérons alor s la comp osé d’a djonction α : 1 X → π ∗ π ∗ 1 X = π ! 1 X 0 = π ! π ! 1 X → 1 X . On observe que α = d · Id 1 X . En effet, sa ns perdr e en généralité, on p eut supp oser que X et X 0 sont co nnex e s ; po ur n’impo rte quelle immersion o uv erte j : U → X le mor phisme j ∗ : Hom DM B ,c ( X ) ( 1 X , 1 X ) → Hom DM B ,c ( U ) ( 1 U , 1 U ) e s t un isomorphisme (car H om DM B ,c ( X ) ( 1 X , 1 X ) = H om DM B ,c ( U ) ( 1 U , 1 U ) = Q , c.f. [CD09, pr op. 10.2 .11. (1) ]) de sorte que le changemen t de base propre ( r ap. 2 ) p ermet de s e r a mener à prouver que α = d · Id 1 X po ur n’imp orte q uelle re s triction de π . U 0   ◦ / / / / π U   X 0 π   U   ◦ / / j / / X On p eut trouver un ouvert U de X tel que π U est plat, fini de degré d = [ κ ( X 0 ) : κ ( X )] ( κ ( X ) dési- gnant le c orps des fonctions de X ; ceci est p os- sible éss en tielemen t pa rce que π induit un mor - phisme plat fini de degré d entre Spec ( κ ( X 0 )) et Spe c ( κ ( X )) ). La conclusion suit de [CD09, pr o p. 12.7.6]. Puisque les co éfficient s so n t rationnels, d est inv e rsible et donc 1 X s’ident ifie à un rétracte de π ! 1 X 0 . On conclut en comp osant par p ! (qui est un foncteur additif ). Théorème 3.2 . So it f : T → Y un morphisme de schémas tel que Y soit régulier. Alors ∀ ( a, b ) ∈ Z 2 , b > 2 a, Hom DM B ( Y ) ( f ! 1 T , 1 Y ( a )[ b ]) = 0 . Démonstr ation. ÉT APE 1 : L’énoncé est vrai p our l es imme rsions fermées en tre s c hémas régul iers. Dans ce cas on a Hom DM B ( Y ) ( f ! 1 T , 1 Y ( a )[ b ]) = Hom DM B ( T ) ( 1 T , f ! 1 Y ( a )[ b ]) ( r ap. 4) = a ′ = a − c, b ′ = b − 2 c Hom DM B ( T ) ( 1 T , 1 T ( a ′ )[ b ′ ]) ( r ap. 7) = Gr a ′ γ K 2 a ′ − b ′ ( T ) Q = 2 a ′ − b ′ < 0 0 . 10 ÉT APE 2 : On p eut s uppo ser T régulie r. Nous allons ra isonner par réc ur rence s ur la dimension de T . P our cela on considère une altération de Galois comme dans ( rap. 6) , qui existe en vertue de [CD0 9, thm. 14 .3.6], av e c M = 1 T po ur obtenir le triangle distingué 1 T → i ! 1 Z ⊕ ( p ! 1 T ′ ) G → ( a ! 1 Z ′ ) G +1 − → , où T ′ est rég ulier. En le comp osant par f ! et en déca lan t o n a boutit à f ! ( a ! 1 Z ′ ) G [ − 1] → f ! 1 T → ( f i ) ! 1 Z ⊕ f ! ( p ! 1 T ′ ) G +1 − → On applique le foncteur cohomolog ique Hom DM B ( Y ) ( • , 1 Y ( a )[ b ]) p our obtenir la suite exacte Hom DM B ( Y ) (( f i ) ! 1 Z , 1 Y ( a )[ b ]) × Hom DM B ( Y ) ( f ! ( p ! 1 T ′ ) G , 1 Y ( a )[ b ]) Hom DM B ( Y ) (( f i ) ! 1 Z ⊕ f ! ( p ! 1 T ′ ) G , 1 Y ( a )[ b ])   Hom DM B ( Y ) ( f ! 1 T , 1 Y ( a )[ b ])   Hom DM B ( Y ) ( f ! ( a ! 1 Z ′ ) G [ − 1] , 1 Y ( a )[ b ]) Hom DM B ( Y ) ( f ! ( a ! 1 Z ′ ) G , 1 Y ( a )[ b + 1]) La conclusion suit de l’hypothèse de r écurrence et du fait que T ′ soit régulier. ÉT APE 3 : L’énoncé est vrai p our l es morphism es pro jectifs. D’après l’éta pe 2 , o n p eut supp oser que T est régulier (dans la preuve de l’étap e 2, les mor - phismes p , i et a sont pro jectifs, de so rte que l’on ne change pas la nature du mor phisme f ). On a une factorisa tion en une immersion fermée et un mo rphisme lisse, où P est r égulier (car s est lisse). On o btient alors : T f / /  q p F F F F F F F " " F F F F F F F c " " F F F F F F F F F F F F F F F Y P s < < x x x x x x x x x x x x x x x Hom DM B ( Y ) ( f ! 1 T , 1 Y ( a )[ b ]) = Hom DM B ( Y ) ( s ! c ! 1 T , 1 Y ( a )[ b ]) = Hom DM B ( P ) ( c ! 1 T , s ! 1 Y ( a )[ b ]) ( r ap. 3) = a ′ = a + d, b ′ = b +2 d Hom DM B ( P ) ( c ! 1 T , 1 P ( a ′ )[ b ′ ]) Étap e 1 = 0 . ÉT APE 4 : L’énoncé est vrai p our l es morphism es propres. On se ramène au cas pro jectif par le lemme de Chow motivique. ÉT APE 5 : Conclusion. O n choisit une compactificatio n de T (voir par exemple [Nag63, §4 thm. 2]) : T f " " E E E E E E E E E E E E E E E   ◦ / / j / / T p   ∂ T _ ? p o o i o o g { { x x x x x x x x x x x x x x x Y On utilise j ! 1 T → 1 T → i ! 1 ∂ T +1 − → que l’on comp ose par p ! et que l’on décale : g ! 1 ∂ T [ − 1] → f ! 1 T → p ! 1 T +1 − → On applique Hom DM B ( Y ) ( • , 1 Y ( a )[ b ]) pour conclure (via l’étape 5 ; les morphismes p e t g so nt propres). 11 Théorème 3.3 . So it DM B ( S ) ⊃ H S :=  f ! 1 X ( x )[2 x ]   x ∈ Z , f : X → S propr e à domaine régulier  . ( i ) . Il existe une unique structure de po ids W/ DM B ( S ) telle que H ∞ S ⊂ DM B ( S ) W =0 . ( ii ) . Il existe une unique structure de p oids w/ DM B ,c ( S ) telle que H S ⊂ DM B ,c ( S ) w =0 . Précisément DM B ,c ( S ) w =0 = R ( H ⊕ S ) . ( iii ) . w = W | DM B ,c ( S ) . Démonstr ation. On applique 1.19 . ( b ∞ ) . • La catég o rie H S engendre DM B ,c ( S ) : [CD09 , co r. 14 .3.9]. Donnons, p o ur le confort du lecteur, une idée de la preuve. Le foncteur f ! resp ectan t les o b jets constructibles ( ra p . 9) , o n a H S ⊂ DM B ,c ( S ) . P our conclure, il suffit de voir que G S ⊂ h H S i ép c’est à dire que f ♯ 1 X ( n ) p our f : X → S un morphisme lisse et n ∈ Z , est dans h H S i ép . Mais ( r ap. 3) p ermet de passer de ♯ à ! , le princip e de l’étap e 5 de la preuve du théorème pr écéden t per met de se ramener a u cas pr o pre et le princip e de l’étap e 2 p ermet de se r amener au cas où le doma ine est régulier. Ainsi h H S i ép = DM B ,c ( S ) , ce qui implique par ( r ap. 8 ) , h H S i ép ∞ = DM B ( S ) . • Il faut voir que si H 1 et H 2 sont des ob jets de H S et que i ∈ N > 0 alors Hom DM B ( S ) ( H 1 , H 2 [ i ]) = 0 . Mais de tels ob jets s on t de la forme f ! 1 X ( x )[2 x ] , p our f propre à domaine rég ulier et x ∈ Z . O n se ramène à ca lculer Hom DM B ( S ) ( f ! 1 X , g ! 1 Y ( a )[ b ]) lors q ue b > 2 a . Hom DM B ( S ) ( f ! 1 X , g ! 1 Y ( a )[ b ]) T f ′ / / g ′    Y g   X f / / S ( r ap. 1) = Hom DM B ( S ) ( f ! 1 X , g ∗ 1 Y ( a )[ b ]) = Hom DM B ( X ) ( 1 X , f ! g ∗ 1 Y ( a )[ b ]) ( r ap. 2) = Hom DM B ( X ) ( 1 X , g ′ ∗ f ′ ! 1 Y ( a )[ b ]) = Hom DM B ( T ) ( 1 T , f ′ ! 1 Y ( a )[ b ]) = Hom DM B ( Y ) ( f ′ ! 1 T , 1 Y ( a )[ b ]) 3.2 = 0 . La détermination exacte du cœur suit du théorème 1.9. Remarque 3.4. O n a rrive au même résultat lorsqu’on demande q ue les ob jets de H S proviennen t de morphismes pr o jectifs à domaine régulier. Ceci pro uv e en particulier que W (r esp. w ) coïncide av ec la structure de p oids notée w big C how (resp. w C how ) dans [Bon10, thm. 2.2.1 ]. Lorsque S = Sp ec ( k ) , k désignant un co rps de carac tér istique 0 , on retro uv e la s tructure de po ids de [Bon07, §6.5]. Remarque 3.5. Co nsidérons les catégories suiv antes DM B ,c ( S ) ⊃ NE G S :=  f ! 1 X ( a )[ b ]   ( a, b ) ∈ Z 2 , b 6 2 a, f : X → S propre à domaine r égulier  ⊕ . DM B ,c ( S ) ⊃ POS S :=  f ! 1 X ( a )[ b ]   ( a, b ) ∈ Z 2 , b > 2 a, f : X → S propre à domaine r égulier  ⊕ . Alors par co nstruction ( c.f. preuve de 1.9 et 1.16 ainsi que les remarq ues 1.10 et 1 .17) DM B ( S ) W 6 0 = R  Ext ∞ DM B ( S ) ( R ( NEG S ))  , DM B ( S ) W > 0 = R  Ext ∞ DM B ( S ) ( R ( POS S ))  . DM B ,c ( S ) w 6 0 = R  Ext DM B ,c ( S ) ( R ( NEG S ))  , DM B ,c ( S ) w > 0 = R  Ext DM B ,c ( S ) ( R ( POS S ))  . De plus l’or thogonalité forte, la remar que 1.4, le lemme 1.7 et le lemme 1.13 nous donnent DM B ( S ) W > 0 = ⊥ NEG S [ − 1] , DM B ,c ( S ) w 6 0 = POS S [1] ⊥ , DM B ,c ( S ) w > 0 = ⊥ NEG S [ − 1] . On prendra garde que l’orthog o nal de la pr emière ég alité se calcule dans DM B ( S ) tandis que les a utres orthogo na ux se calculent da ns DM B ,c ( S ) . 12 Lemme 3.6. Notons DM B ,c ( S ) ⊃ G − S :=  f ♯ 1 X ( a )[ b ]   ( a, b ) ∈ Z 2 , b 6 2 a, f : X → S lisse  . Alors on a R  Ext DM B ,c ( S )  R ( G − S )   ⊂ DM B ,c ( S ) w 6 0 . Démonstr ation. D’aprés la re ma rque précédente, il suffit de voir que G − S est o rthogonale à POS [1] (où l’orthogona l est pris dans DM B ,c ( S ) ) ; il s’a git donc de prouver que Hom DM B ( S ) ( f ♯ 1 X , g ! 1 Y ( a )[ b ]) = 0 lorsque a et b sont des entiers tels que b > 2 a , f : X → S est un morphisme liss e e t g : Y → S es t un morphisme propre à doma ine ré g ulier. Mais Hom DM B ( S ) ( f ♯ 1 X , g ! 1 Y ( a )[ b ]) T f ′ / / g ′    Y g   X f / / S = Hom DM B ( X ) ( 1 X , f ∗ g ! 1 Y ( a )[ b ]) ( r ap. 2) = Hom DM B ( X ) ( 1 X , g ′ ! f ′∗ 1 Y ( a )[ b ]) = Hom DM B ( X ) ( 1 X , g ′ ! 1 T ( a )[ b ]) = Hom DM B ( X ) ( 1 X , g ′ ∗ 1 T ( a )[ b ]) = Hom DM B ( T ) ( g ′∗ 1 X , 1 T ( a )[ b ]) = Hom DM B ( T ) ( 1 T , 1 T ( a )[ b ]) 3.2 = 0 . Le schéma T est rég ulier car Y est r égulier et f ′ est lisse. À présent nous allo ns établir les rela tions de w -e x actitude des six op érations de Gro thendiec k . Théorème 3.7 . So it α : S → T un morphisme de schémas. ( i ) . Les foncteurs α ∗ : DM B ( T ) → DM B ( S ) et α ! : DM B ( S ) → DM B ( T ) so nt w -exactes à gauche. ( i ′ ) . Les foncteurs α ∗ : DM B ( S ) → DM B ( T ) et α ! : DM B ( T ) → DM B ( S ) sont w - exactes à droite. ( i c ) . Les foncteurs α ∗ : DM B ,c ( T ) → DM B ,c ( S ) et α ! : DM B ,c ( S ) → DM B ,c ( T ) so nt w -exactes à gauche. ( i ′ c ) . Les foncteurs α ∗ : DM B ,c ( S ) → DM B ,c ( T ) et α ! : DM B ,c ( T ) → DM B ,c ( S ) sont w - exactes à droite. ( ii ) . Supp osons que α soit lisse, alors le foncteur α ♯ : DM B ( S ) → DM B ( T ) est w -e xacte à gauche. ( ii ′ ) . Suppo sons que α soit lisse, alor s le foncteur α ∗ : DM B ( T ) → DM B ( S ) est w -exacte . ( ii c ) . Suppo sons que α soit lisse, alors le f oncteur α ♯ : DM B ,c ( S ) → DM B ,c ( T ) est w -exacte à gauche. ( ii ′ c ) . Suppo sons que α soit lisse, alors le f oncteur α ∗ : DM B ,c ( T ) → DM B ,c ( S ) est w -exacte . ( iii ) . Soit ( n, n ′ ) ∈ Z 2 . Le bifoncteur ⊗ S : DM B ( S ) × DM B ( S ) → DM B ( S ) induit un bifoncteur DM B ( S ) W 6 n × DM B ( S ) W 6 n ′ → DM B ( S ) W 6 n + n ′ . ( iii ′ ) . Soit ( n, p ) ∈ Z 2 . Le bifon cteur Hom S : DM B ( S ) opp × DM B ( S ) → DM B ( S ) induit un bifoncteur DM B ( S ) opp W 6 n × DM B ( S ) W > p → DM B ( S ) W > p − n . ( iii c ) . Soit ( n, n ′ ) ∈ Z 2 . Le bifoncteur ⊗ S : DM B ,c ( S ) × DM B ,c ( S ) → DM B ,c ( S ) indu it un bifoncteur DM B ,c ( S ) w 6 n × DM B ,c ( S ) w 6 n ′ → DM B ,c ( S ) w 6 n + n ′ . ( iii ′ c ) . Soit ( n, p ) ∈ Z 2 . Le bifoncteur Ho m S : DM B ,c ( S ) opp × DM B ,c ( S ) → DM B ,c ( S ) induit un bi foncteur DM B ,c ( S ) opp w 6 n × DM B ,c ( S ) w > p → DM B ,c ( S ) w > p − n . ( iv ) . P our tout entier n ∈ Z , le foncteur • ⊗ S 1 S ( n )[2 n ] : DM B ( S ) → DM B ( S ) est w -exacte . ( iv c ) . P our tout entier n ∈ Z , le foncteur • ⊗ S 1 S ( n )[2 n ] : DM B ,c ( S ) → DM B ,c ( S ) est w -exacte. ( v ) . On a toujours 1 S ∈ G − S ⊂ DM B ,c ( S ) w 6 0 . De plus si S est régulier alors 1 S ∈ H S ⊂ DM B ,c ( S ) w =0 . Démonstr ation. Le mor phisme Id S : S → S est lisse do nc 1 S ∈ G − S . Si de plus S est régulier alor s Id S est propr e à domaine r égulier donc 1 S ∈ H S ce qui pro uve ( v ) . Soit ? ∈ { i , ii, ii i } . On démontre ( c.f. [Bon10, prop. 1 .2.3.9]) qu’un a djoin t à gauche est w -exacte à gauche s i et seulemen t si l’adjoint à droite a sso cié est w -exa cte à droite ; ainsi l’énoncé (?) (resp. (? c ) ) équiv aut à (? ′ ) (resp. (? ′ c ) ). L’énoncé (? c ) (resp. (? ′ c ) ) se déduit de (?) (resp. (? ′ ) ) pa r 3 .3 . ( iii ) et ( r ap. 9 ) . En conclusion, il suffit de montrer ( i ′ ) , ( ii ′ ) , ( iii ) et ( iv ) . 13 ( i ′ ) . Soit P ∈ DM B ( S ) W > 0 ; on veut montrer que α ∗ P ∈ D M B ( T ) W > 0 . D’aprés la remar que 3.5, il suffit de voir que p our tout f ! 1 X ( a )[ b ] ∈ NEG T , Hom DM B ( T ) ( f ! 1 X ( a )[ b ] , α ∗ P [1]) = 0 . Hom DM B ( T ) ( f ! 1 X ( a )[ b ] , α ∗ P [1]) Y f ′   α ′ / /  X f   S α / / T = Hom DM B ( S ) ( α ∗ f ! 1 X ( a )[ b ] , P [1]) ( r ap. 2) = Hom DM B ( S ) ( f ′ ! α ′∗ 1 X ( a )[ b ] , P [1]) = Hom DM B ( S ) ( f ′ ! 1 Y ( a )[ b ] , P [1]) = 0 . P our la dernière égalité : e n utilisa n t l’arg ument de l’étap e 2 de la preuve de 3 .2 (on applique le foncteur Hom DM B ( S ) ( • , P [1]) p our la co nclusion), on p eut supp oser que Y est régulier . Dans ce cas f ′ ! 1 Y ( a )[ b ] ∈ NEG S ⊂ DM B ( S ) W 6 0 = DM B ( S ) W > 0 [1] ⊥ . Pour le se c o nd foncteur on r aisonne comme précédement : il suffit de montrer que p our tout P ∈ DM B ( T ) W > 0 et f ! 1 X ( a )[ b ] ∈ NE G S on a Ho m DM B ( S ) ( f ! 1 X ( a )[ b ] , α ! P [1]) = 0 . P ar adjonction il re v ien t a u même de montrer que Hom DM B ( T ) (( αf ) ! 1 X ( a )[ b ] , P [1]) = 0 . En utilisant le princip e de l’étap e 6 ( c.f. 3.2), on peut sup- po ser αf propr e (et X est toujours régulier ; l’étap e 5 p ermet même de se r amener au cas où f est quasi-pro jectif ). Ainsi ( αf ) ! 1 X ( a )[ b ] ∈ NEG T ⊂ DM B ( T ) W 6 0 = DM B ( T ) W > 0 [1] ⊥ . ( ii ′ ) . On montre que α ∗ est w -e x acte à droite. Soit P ∈ DM B ( T ) W > 0 ; comme p our le c a s ( i ) ′ , il suffit de montrer que p our tout f ! 1 X ( a )[ b ] ∈ NEG S on a Ho m DM B ( S ) ( f ! 1 X ( a )[ b ] , α ∗ P [1]) = 0 . P ar adjonction il revient au même de montrer que Hom DM B ( T ) ( α ♯ f ! 1 X ( a )[ b ] , P [1]) = 0 . En utilisan t la pureté r e la tiv e ( r ap. 3) , on p eut r e mpla cer le symbole ♯ par ! ; dans ce cas a est remplacé par a ′ = a + d et b par b ′ = b + 2 d , où d est la dimension re la tiv e de α . D’après le p oin t ( v ) déjà prouvé, 1 X ( a ′ )[ b ′ ] ∈ G − X ⊂ DM B ,c ( X ) w 6 0 . Par le p oin t ( i ) , ( αf ) ! 1 X ( a ′ )[ b ′ ] ∈ DM B ( T ) W 6 0 . La co nclus io n suit par orthog onalité. ( iv ) . Soit P ∈ DM B ( S ) W > 0 . On v a mo n trer que P ( n )[2 n ] ∈ DM B ( S ) W > 0 . Il suffit de voir que p our tout f ! 1 S ( a )[ b ] ∈ NEG S , Ho m DM B ( S ) ( f ! 1 S ( a )[ b ] , P ( n )[2 n + 1]) = 0 . Or ce gro upe s’identifie à Hom DM B ( S ) ( f ! 1 S ( a − n )[ b − 2 n ] , P [1]) et f ! 1 S ( a − n )[ b − 2 n ] ∈ NEG S . Soit N ∈ DM B ( S ) W 6 0 . On v a mo ntrer que N ( n )[2 n ] ∈ DM B ( S ) W 6 0 . Il suffit de voir que p our tout P ∈ DM B ( S ) W > 0 , Hom DM B ( S ) ( N ( n )[2 n ] , P [1 ]) = 0 . Or ce gro upe s ’identifie à H om DM B ( S ) ( N , P ( − n )[ − 2 n + 1]) et le raisonement précédent donne P ( − n )[ − 2 n ] ∈ DM B ( S ) W > 0 . ( iii ) . Soient f ! 1 X ( a )[ b ] ∈ NEG S , N ∈ DM B ( S ) W 6 0 et P ∈ DM B ( S ) W > 0 alors, utilisan t la f ormule de pro- jection rapp elée en ( rap . 1) , on a Hom DM B ( S ) ( f ! 1 X ( a )[ b ] ⊗ S N , P [1]) = Hom DM B ( S ) ( f ! ( 1 X ( a )[ b ] ⊗ X f ∗ N ) , P ) = Ho m DM B ( X ) ( f ∗ N ( a )[ b ] , f ! P [1]) = 0 . Les p oin ts ( i ) et ( iv ) justifient que f ∗ N ( a )[ b ] ∈ DM B ( X ) W 6 0 , ( i ′ ) justifie f ! P ∈ DM B ( X ) W > 0 ; la dernièr e égalité suit par orthogonalité. On a a insi montré que, p our tout N ∈ DM B ( S ) W 6 0 , • ⊗ S N : DM B ( S ) → DM B ( S ) transforme les ob jets de NEG S en ob jet de DM B ( S ) W > 0 [1] ⊥ = DM B ( S ) W 6 0 . On p eut s ans pe ine remplacer N EG S par ses re- tractes, ses extensio ns et des sommes arbitraires reconstr uisan t ainsi DM B ( S ) W 6 0 . Nous av o ns a insi montré que le pro duit tensor iel induit un bifoncteur DM B ( S ) W 6 0 × DM B ( S ) W 6 0 → DM B ( S ) W 6 0 . Si N ∈ DM B ( S ) W 6 n et N ′ ∈ DM B ( S ) W 6 n ′ alors N [ − n ] , N ′ [ − n ′ ] ∈ DM B ( S ) W 6 0 ce qui implique par le r a isonnemen t précédent N ⊗ S N ′ [ − n − n ′ ] = N [ − n ] ⊗ S N ′ [ − n ] ∈ DM B ( S ) W 6 0 soit encor e N ⊗ S N ′ ∈ DM B ( S ) W 6 n + n ′ . Cor ollaire 3.8 . Soient f : X → S u n mo rphisme de schémas, n ∈ Z et P ∈ DM B ( S ) W > 0 . Le foncteur Hom ( • , f ! P ) : DM B ( S ) opp → DM B ( S ) induit un fon cteur DM B ( S ) opp W 6 n → DM B ( S ) W > − n . Si de plus P est constructible alors il induit également un foncteur DM B ,c ( S ) opp w 6 n → DM B ,c ( S ) w > − n . C’est en pa rticulier le cas po ur le foncteur de dualité local ( c.f. [CD09, §14 .3.30]). Démonstr ation. C’est un cas particulier de ( iii ′ ) , ( iii ′ c ) du théorème précédent en a ppliquan t ( i ′ ) , ( i ′ c ) . Pr op osition 3.9 . Supp osons que S soit régulier. Soit DM B ( S ) ⊃ L S :=  f ! 1 X ( x )[2 x ]   x ∈ Z , f : X → S lisse et pro pr e  . Notons DM B ,c, L ( S ) := h L S i ép la catégorie des motifs lisses de Levine ( c.f. [Lev08]). Alors il existe ℓ/ DM B ,c,L ( S ) une structure de po ids telle que ℓ = w | DM B ,c,L ( S ) . 14 Démonstr ation. c.f. 1.20. Remerciemen ts. Mes remerciements les plus profonds von t à Jörg Wildeshaus po ur m’av oir introduit à l’élégante théo- rie des motifs. Je le remercie également p our m’av o ir suggéré un énoncé simple du lemme de Chow moti- vique (3.1). Je remercie Denis-Charles Cisinski pour m’en av o ir indiqué la preuve. Je remercie également F rédéric Déglise p our toutes les discuss io ns que nous av ons entreten ues. Je tiens tout par ticulièremen t à remercier Bradley Dr e w p our m’av oir indiqué une preuve simple de 3 .7. ( iii c ) ainsi que p our sa patiente écoute et sa r electure scrupuleuse. Références [A yo07] Joseph A youb. L es six op ér ations de Gr othendie ck et le formalisme des cycles évanesc ents dans le monde motivique (I-II) , v olume 314- 315 of A stérisque . 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