Probl`eme de Plateau, equations fuchsiennes et probl`eme de Riemann-Hilbert

Problème de Plateau, équations fuc hsiennes et problème de Riemann–Hilb ert Laura Desideri 10 mars 2011 Laura Desideri Univ ersität T übingen Mathematisc hes Institut A uf der Morgenstelle 10 72 076 Tübingen, German y E-mail : desideri@mat hematik.uni-tuebingen.de Url : http://ww w.mathematik.un i-t uebingen.de/ab/Differentialgeometrie/desideri.html Résumé Ce mémoire est consacré à la résolution du problème de Plateau à b ord p ol ygonal dans l’espace euclidien de dimension trois. Il s’appuie sur la métho de de résolution pr op osée par René Garnier d ans un article p ublié en 1928 et qui a été oublié depuis, vo ire ignoré à l’ép oque. L’appro c he de Garnier est très diﬀérent e de la métho de v ariationnelle, elle est plus géométrique et constructiv e, et p ermet d’obtenir des disques minimaux sans p oin t de branc hemen t. Cep endant , elle est parfois très compliquée, v oire obscure et incomplète. En s’inspirant des idées de Garnier, on prop ose une nouvell e démonstration, qui est non seulemen t complète, m a is égaleme nt plus simple et p lus mo derne que la sienne. Ce tra v ail rep ose principalement sur l’utilisa tion plus systématique des systèmes fuc hsiens et la mise en évidence du lien en tre la réalit é d’un système et sa mono dromie. La métho de de Garnier rep ose sur le fait que, p ar la représent ation de W eierstrass spinorielle des surfaces minimales, on p eut asso cier une équation fuc hsienne réelle du se- cond ordre, déﬁnie sur la sphère de Riemann, à tout d isque minimal à b ord p olygo nal. La mono dromie de cette équation est déterminée par les directio ns orien tées des côtés du b ord. Le b on p oint d e vue consiste à considérer des p olygo nes p ouv ant a v oir un sommet en l’inﬁni. P our résoudre le problème de Plat eau, on est donc amené à résoudre un problème de Riemann–Hilbert. On pro cè de ensuite en deu x étap es : tout d’ab ord, on décrit explici- temen t, par déformations iso mono dromiques, la famille de to us le s d isques minimaux dont le b ord est un p olygone de directions orient ées données. Pu is on utilise cette description p our étudier les longueurs des côtés des b ords p olygonaux, et on mon tre ainsi que tout p olygone est le b ord d’un disque minimal. Mots-clefs Surfaces minimales, systèmes complètemen t in tégrables, équations fuc hsiennes et sys- tèmes fuchsiens, problème de Riemann–Hilb ert, d éformations isomono dromiques, système de Schlesinge r. Classiﬁcation mathématique par sujets (2010) 53A10, 34M03, 34M35 , 34M50, 34M55 , 34M56. 4 The Plateau problem, F uc hsian equations and the Riemann–Hilb e rt problem Abstract This dissertation is devot ed to the r esolution of the Plateau p r oble m in the case of p olygonal b oundary curv es in the three-dimensional Euclidean space. It relies on the metho d devel op ed b y René Garnier and published in 1928 in a pap er whic h seems today to b e totally f orgotten. Garnier’s approac h is more geometrical and co nstructiv e than the v ariational one, and it provides m inimal d isks without branc h p oin t. Ho w ev er, it is sometimes really complica ted, and ev en obscure or incomplete. F ollo wing Garnier’s initial ideas, we pr opose a new pro of, whic h inte nds not only to b e complete, but also simpler and mo derner than his one. This work mainly relies on a systematic use of F uc hs ia n systems and on the relation that we establish b et w een the realit y of suc h sys tems and their mono drom y . Garnier’s metho d is based on the follo wing fact: using the spinor W eierstrass repr e- sen tation for minimal surfaces, we can associate a real F uc hsian second-order equation, deﬁned on the Riemann sphere, with eac h minimal disk with a p olygonal b ound a ry curv e. The mono drom y of the equation is determined b y the oriente d dir ections of the edges of the b oundary . T o solv e the Plateau p roblem, w e are th us led to solv e a Riemann–Hilb ert problem. W e then p roceed in t w o steps: ﬁrst, b y means of isomonodr o mic deformations, w e construct and describ e the family of all minimal disks with a p olygonal b oundary curve of given orien ted directions. Then w e use this description to study the edges’s lengths of their b oundary curve s, and w e sh o w that every p olygon is the b oundary of a minimal disk. Keyw ords Minimal su rface s, inte grable systems, F uc hsian equatio ns and F uc hsian systems, the Riemann–Hilb ert problem, isomono dromic d e formations, Sc h le singer system. Mathematics Subje ct Classiﬁcation (2010) 53A10, 34M03, 34M35, 34 M50, 34M55, 34M56 . T able des matières In tro duction 7 1 Surfaces minimales 13 1.1 Représenta tion de W eierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Sur fac e minimale conjuguée et famille asso ciée . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Princip es d e réﬂexion de S c hw arz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Description quaternionique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Équations fuc hsiennes et systèmes fuchsiens 21 2.1 Équations fuc hsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Systèmes fuc hsiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Pa ssage d’une équation à un système d’équations . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 L’équation asso ciée à un disque minimal à b ord polygonal 35 3.1 Disques minimaux à b ord p o lygonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 3.2 Mono dromie et propriétés de réali té . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Singularités apparen tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 Les équations fuchsiennes associées à un jeu de directions orien tées . . . . . 48 4 Déformations isomonodromiques 53 4.1 Les systèmes fuc hsiens associés à un jeu de directions orient ées . . . . . . . 54 4.2 La condition de réali té . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3 Description par le s ys t ème de Sc hlesinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5 Rapp orts de longueurs des côtés 69 5.1 La fonction « rapp orts des longueurs » F D ( t ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2 La démonstration par r éc urrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.3 Les pseudo-c ho cs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.4 Le cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 A Le système de Garnier 95 B Démonstrations de résultats utilisés a u c hapitre 5 99 Bibliographie 105 In tro duction Ce mémoire a p our but de présen ter une résolution d u pr o blème de Plateau à b ord p o- lygonal, qui est très diﬀéren te d e la méthode v ariationnell e, et qu i rep ose sur une métho de élab orée par R en é Garnier. Garnier a exp osé cette métho de d ans l’article L e Pr oblème de Plate au [Ga r28]. Pu blié en 1928, c’est-à-dire en viron deux ans av ant les démonstra- tions du prob lème de Platea u obten ues indép endamment par T . Radó [Rad30] et J. Dou- glas [Dou31], cet article sem ble a v oir été complètemen t oublié, voire ignoré à l’ép o que. Même si l’exist ence de cette résolution est aujourd’h ui connue d e certains sp écialistes, lorsque j’ai commencé ma thèse (dont ce mémoire est un des r ésu lta ts), p ersonne ne sem- blait être en mesure de dire comment elle fonctionnait, ni même si elle était correcte ou non. Sa démonstration est en eﬀet très compliquée, p a rfois elliptique et obscur e, et certains passages en sont même p eu con v aincan ts. En s’inspir a nt des idées de Garnier, on prop ose ici une nouvell e preuve de ce r é sultat, qui soit n o n seulemen t complète et compréhensible, mais aus s i plus simple, et qui app orte un p oin t d e vu e nouv eau sur la métho de de Garnier. Ce tra v ail rep ose principalement s u r l’utilisatio n plus systé matique des systèmes f uc hsiens et la m ise en évidence du lien ent re la réalité d’un tel système et sa mono dromie. C et te clariﬁcatio n d e s fondements de la méthod e de Garnier m’a p ermis de l’étendre au cas où l’espace ambian t est l’espace de Minko wski de dimension trois [Des10]. Les su rface s minimales son t les s u rface s dont la courbure mo y enne est partout nulle. Elles constituen t les p oint s critiques de la fonctionnelle d’aire pou r les v ariations ﬁxan t le b ord. La théorie d e s su rface s minimales a commencé au xvi ii e siècle, a v ec les débu ts du calcul des v ariat ions, et connaît d’imp ortan tes a v ancées dans la seconde moitié d u xix e siècle, a vec notammen t la représen tatio n due à W eierstrass de toute immersion conforme minimale à partir de d eux fonctions h ol omorphes. À la ﬁn du xix e siècle et au début d u xx e siècle, les mathématici ens s’in téressen t au « problème de P la teau » , d u nom d u ph ysicien b elge Joseph Plateau qui en 1873, a établi exp érimen talemen t, par de très nom breuses exp ériences sur les ﬁlms de sa v on, que toute courb e fermée de l’espace est le b ord d’une surface min ima le. L’énoncé mathématique d u problème d e Platea u est le su iv ant : étant donné une c ourb e fermé e c onnexe de Jor dan de l’esp ac e euclidien de dimension tr ois, montr e r qu’il existe une surfac e minimale r é gulièr e et ayant la top olo gie d’un disque dont le b or d soit la c ourb e fermé e . Au début des années 1930, Tibor Radó [Rad30] et Jesse Douglas [Dou31] obtiennent indép endammen t par la m é tho de v ariationnelle les premiers résultats généraux (reconnus !) d u p r oblè me d e Plateau. C ependant, ils ne p arvienn en t pas à exclure l’existence d e p oin ts d e b r anc hement isolés à l’in térieur ou au b ord du disque minimal. Il faut attendre les années 19 70, et les tra v aux de R. Osserman [Oss70], R. Gulliv er [Gul73] et R. Osserman, R. Gulliv er et H. L. Ro yden [G OR73] p our obtenir une démonstration du problème de Plate au qui soit absolumen t complète. La métho de de Garnier p our résoudre le problème de Plateau est très diﬀérent e d e la méthode v ariatio nnelle. Même si elle paraît moins puissan te, elle p ermet d’obtenir des 8 Introduction surfaces, qui, con trairemen t aux solutions d e Douglas–Radó, sont régulières partout. De plus, l’appro c he de Garnier est plu s géométrique, s’i nscriv ant dans la conti nuati on des tra v aux de K. W eierstrass, B. Riemann, H.-A. S c hw arz et G. Darb oux. Elle est égalemen t plus constructiv e que la méthod e v ariationnelle. La métho de de Garnier rep ose sur la corresp ondance de tout disque minimal à b ord p olygonal a v ec une équation fuchsienne r é elle du seco nd ordre déﬁn ie sur la sph ère d e Rie- mann. Cette corresp ondance est ant érieure aux tra v aux d e Garnier. Elle est donn ée par la représen tation de W eierstrass, auj our d’h ui d it e spinorielle, des immersions conformes minimales. Cette équation f uc hs ienn e semble être men tionnée p our la première fois, d e m a - nière indép endan te et presqu e s imultanée, dans un bref article de Karl W eierstrass [W ei66 ] publié au mois de d écembre 1866, et lors d’une présen tation p osth ume des tra v aux de Bernhard Riemann [Rie98] par Hattendorf le 6 janvier 1867 à la So ciété Ro y ale de Göt- tingen. Riemann n’utilise pas la représent ation d e W eierstrass, mais deux représen tatio ns conformes (sphériqu e et plane) d u même disque minimal. Gaston Darb oux étudie en détail cette équati on asso ciée à un d isque min ima l à b ord p olygonal ([Da r89], c hapitre xi ii ), et exp ose les diﬃcultés à surmon ter p our être en m e sure de résoudre le problème de Plate au. A u premier r an g de celles-ci ﬁgure la détermination d’un e équation fuc hsienne à partir de sa m on o dromie : c’est le « problème de R iemann –Hilb ert » , qui deviendra bien tôt le vingt-et-unième d es vingt-trois problèmes pr op osés par Da vid Hilb ert au Congrès Inter- national d e P aris en 190 0. C’est seulemen t une vingtaine d’années après ces observ ations de Darb oux que seron t obte nues les premières s olutions du p roblème de Riemann–Hilb ert, par J. Plemelj [Ple08 ] et G. Birkhoﬀ [Bi r13 ] – solutions don t A. A. Bolibruch a montré d es décennies plus tard par une série de con tre-exemples [Bol90b], [Bol9 2 ] qu’elles co nti ennent une erreur. Garnier est un étudian t d e P aul Pa inlev é. En 1912, il pu blie un article [Gar12] qui rassem ble les résultats de sa thèse et d ans lequel il étudie en particulier les déformations isomono dromiques d’équations f uc hsienn es a yan t un n ombre arbitraire de singularités et aucune singularité logarithmique. Le système d iﬀé rent iel qui gouv erne ces déformations, conn u aujourd’h ui sous sa forme hamiltonienne sous le nom de système de Garnier , est en un sens un e généralisation de la sixième équation de Painle v é P VI . En 1926, il prop ose une résolution du problème de Riemann–Hilb ert [Gar26] basé e sur l’étude du système Sc hlesinger au v oisinage de ses singularités non mobiles, et de ses liens a v ec le système de Garnier. Les résultats obten us dans ce s deux articles lui p ermette nt d’esp érer être en mesu r e de lev er les diﬃcultés mises en évidence p ar Darb oux p our la résolution du problème de Plateau. Il lui reste néanmoins encore b eaucoup de trav ail à accomplir p our obtenir cette résolution [Gar28]. Depuis le s années 197 0, leurs liens a ve c des problèmes iss u s de la ph ysique sont à l’origine de l’in térêt nouv eau que susciten t les équations d e P ainlev é, et consécutive men t, le système de Garnier. C’est à Kazuo Okamoto et à Hironobu Kim ura qu e l’on doit la « redécouv erte » du système de Garnier au début des années 198 0 et , en particulier, la mise en évidence de sa stru ctur e hamiltonienne [Oka86]. Dans ce con texte, et g râce notammen t aux tra v aux de Mikio Sato, T etsuji Miwa et Michio Jim b o [SMJ79] sur le problème de Riemann–Hil b ert et le système de Sc h le singer, la résolution du problème de Plateau par Garnier rev êt elle aussi un inté rêt nouv eau, av ec en tre autre la p ossibilité d’une simpliﬁcation. Résumé des c hapitres L’ob jet de ce mémoire est la démonstration du théorème suiv an t. Introduction 9 Théorème 0.1 (Problème de Plateau à b ord p olygonal) . T out p olygone P ⊂ R 3 en p osition générique, ayant éventuel lement un som met en l’inﬁni, est le b or d d’au moins un disque minimal immer gé. De plus, si P a un sommet en l’inﬁni, alors le disque minimal a un b out hélic oïdal en c e sommet. On dit ici qu’un p olygone P à n + 3 côtés est e n p osition générique si le ( n + 3)- uplet des directions orien tées de ses côtés D = ( D 1 , . . . , D n +3 ) est dans l’ensem ble D n (déﬁnition 3.2), i.e. si deux directions quelconques d e P ne son t pas colinéaires et trois directions qu e lconques n e son t pas coplanai res. P our toute d irec tion orien tée D ∈ D n , on introdu it l’ensem b le P n D des p olygones à n + 3 côtés de d irect ion D a y an t év en tuelle ment un sommet en l’inﬁ ni ( i.e. d es lignes brisées év ent uellemen t inﬁn ie s), déﬁnis à translatio n et homothéti e de r a pp ort p ositif près (déﬁnition 3.3) : ces p olygones son t caractérisés par n rapp orts de longueurs de côtés, en tre leurs n + 1 longueurs ﬁnies, et l’ensem ble P n D est ainsi isomorphe à ]0 , + ∞ [ n . On déﬁnit égaleme nt l’ensemble X n D des immersions conformes minimales X qui r e présente nt des disques minimaux a y ant u n b ord p ol ygonal P ∈ P n D , et un b out hélicoïdal si P a un sommet en l’inﬁni, égalemen t à translation et homothétie de rapp ort p osit if pr ès (déﬁn it ion 3.4). On p eut toujours supp oser qu’une telle immersion est déﬁnie sur le demi-plan su périeur C + = { x ∈ C | ℑ ( x ) > 0 } . On p eut alors p araph raser ainsi le théorème 0.1 : il revien t à montrer que p our toute direction D ∈ D n , l’application suiv ante est su rject iv e X n D − → P n D X 7− → ∂ X ( C + ) . P our cela, la métho de qu e prop ose Garnier rep ose sur une corresp ondance bijectiv e ex- plicite en tre une classe adéquate d ’é quations fu c hsienn e s, notée E n D , et l’ensem ble X n D . On c herc hera d onc plutôt à mon trer que la comp osition su iv ante est sur ject iv e E n D 1:1 − → X n D ∂ − → P n D ∼ − → (0 , + ∞ ) n . Après deux pr emie rs chapitres in tro ductifs, on d é ﬁnit et on caractérise au c hapitre 3 l’ensem ble d’équations E n D , en constituan t une sorte de dictionnaire entre les ensembles X n D et E n D . A u c hapitre 4, on considère l’ensem ble analogue A n D de systèmes fuc hsiens, et on décrit au moy en de déformations isomono dromiques l’ensem b le X n D . Le c hapitre 5 est consacré à la résolution du problème de Pla teau propremen t dite : on utilise la description précéden te p our étudier les rapp orts de longueurs des b ords p olygonaux des immersions de X n D , et on mont re ainsi que tout p olygo ne de directions orientée s D est le b ord d’au moins un disque minimal. Chapitre 1. Surfaces minimales On exp ose des asp ects généraux sur les su rfaces minimales de l’espace euclidien de d ime nsion trois. Le p oin t essentie l est la représen tatio n de W eierstrass que l’on app elle aujourd’hui spinorielle : tout couple de fonctions ( G , H ) holomorphes sur une le d emi- plan sup érieur et sans zéro comm un déﬁn it une immersion conforme minimale d e C + dans R 3 , et r éc ipro quemen t, toute immersion de ce t yp e est obten ue par un couple de fonctions holomorphes sans zéro comm un. 10 Introduction Chapitre 2. Équations fuc hsiennes et systèmes fuc hsiens On donne une intro- duction assez détaillée des notions de base telles qu e le comp ortement local au v oisinage des singularités, la mono dromie, le problème d e Riemann–Hilb ert, les d éfo rmations iso- mono dromiques et, en particulier, le système de Schlesinge r. On explicite aussi les liens en tre équations et systèmes fuc hsiens. Chapitre 3. L’équation associée à un disque minimal à b ord p olygonal Ce c hapitre n’est p as consacré à la résolutio n du problème de Plate au propremen t dite, m a is plutôt à l’étude de la corresp ondance en tre disques minimaux à b ord p olygonal et équations fuc hsiennes. Cette corresp ondance est an térieure aux tra v aux de Garnier sur le problème de Plateau, elle est déjà étudiée par Darb oux ([Dar89], chapit re xi ii ). On considère une immers io n conforme minimale X : C + → R 3 qui représent e u n disque minimal à b ord p olygonal de directio n D , c’est-à-dire un élémen t de X n D . C ette immersion est caractérisée par ses données de W eierstrass G et H , qui sont des fonctions holomorphes dans C + , et qui sont linéairemen t indép endant es d ès que l’image de X n’est pas plane. Elles sont d o nc solutio ns d’une unique équation diﬀéren tiell e ordinaire linéaire d u second ordre y ′′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 . ( E ) L’équation ( E ) est l’équati on asso ciée à l’immersion X . On note E n D l’ensem ble d es équa- tions qui son t associées en ce sens à une immersion appartenan t à X n D . Le but de ce c hapitre est d’obtenir une caractérisa tion de l’ensemble E n D , en traduisant des p ropriétés géométriques des immersions X en terme de p ropriété s analytiques des équations ( E ). Une équation ( E ) de E n D a deux t yp es de singularités : les an técé dent s par l’immersion X des sommets du b ord p olygo nal P , qui son t réels t 1 < · · · < t n < t n +1 = 0 , t n +2 = 1 , t n +3 = ∞ , et les om bilics de X , qui son t des singularités apparente s. En ap p liquan t le princip e de réﬂexion d e Sch warz, on m ontre que l’équation ( E ) s’étend à la sph ère de Riemann, sur laquelle c’est une équatio n fuc hsienne réelle, et on déte rmine commen t les donn ée s de W eierstrass sont transformées autour des singularités t i . On mon tre ainsi que la mono- dromie de l’équation ( E ) est en tièremen t déterminée par la direction orien tée D d u b ord p olygonal de X : l’ensem ble E n D est isomonod romique. Il n’y a p ar con tre aucun e traduction naturelle des longueurs des côté s de P en te rme de propr ié tés de l’équation ( E ). On obtien t ainsi qu e les équations de E n D son t caractérisée s par trois cond itions : un e condition (i) qui est d’ordre lo cal (nature et p osition des singularités, v aleurs des exp o- san ts), u ne cond ition (ii) qui imp ose la mono dromie à partir de la direction D , et u ne condition d e réalité (iii). Finalement , on mon tre que l’ensem ble E n D est en bijection a v ec l’ensem ble X n D . Chapitre 4. Déformations isomono dromiques Étant d onné un ( n + 3)-uplet de directions orient ées D ∈ D n , le but de ce c h a pitre est d’utiliser l’ensem ble E n D p our décrire explicitemen t l’ensemble X n D . Con trairemen t à Garnier, pour obtenir cette description, on v a plutôt utiliser des sys tèmes fuc hsiens, à la p la ce des équations fuchsiennes d e E n D . Cette approche app orte un p oin t de vu e nouve au à la métho de de Garnier et la simpliﬁe notablemen t. On commence donc par in tro duire l’e nsemble analog ue A n D des systèmes fuc hsiens du pr emie r ordr e de taill e 2 × 2, qui son t asso ciés, dans u n sens que l’on précisera, aux immersions de l’ensem ble X n D . On établit une caractérisation d e ces systèmes par des Introduction 1 1 conditions (a), (b), et (c), qui sont les analogues des conditions (i), (ii), et (iii) précédent es. Notammen t, les conditions (ii) et (b), qui p orten t sur la mono dromie, sont iden tiques. L’ensem ble A n D n’est pas en bijection a v ec l’ensem b le X n D , puisqu e des systèmes fuc hsiens diﬀéren ts p euve nt déﬁnir la même équation. P our décrire l’ensem ble A n D , on lèv e ensuite une diﬃculté ignorée par Garnier, qu’est la condition d e réalié (c). On mon tre qu e la « réalité » d’u n système fuchsien p eut être caractérisé e par sa mono dromie : on établit un e co ndition n éc essaire et suﬃsant e p ortan t sur la mono dromie d’un système p our que celui-ci satisfasse la condition (c). En particulier, cette condition est vé riﬁée par une mono dromie satisfaisan t la condition (b) : l’ensemble A n D est donc simplemen t l’ensem ble des systèmes v ériﬁan t les conditions (a) et (b). Enﬁn, on utilise des déformatio ns isomonod romiques p our d écrire les systèmes d e A n D . On obtient qu e l’ensem ble A n D con tien t une famille isomono dromique de sys t èmes fuc hsiens ( A D ( t ) , t ∈ π n ) p aramé trée par la p osition des singularités t = ( t 1 , . . . , t n ) v arian t dans le simplexe π n =  ( t 1 , . . . , t n ) ∈ R n   t 1 < · · · < t n < 0  , décrite par le système de Sc hlesinger et qui est en bijection a v ec l’ensemble X n D . On obtien t égaleme nt un r ésulta t de régularité en t p our cette famille. On en d éduit une description explicite de l’ensemble X n D = ( X D ( t ) , t ∈ π n ), et d e la famille ( P D ( t ) , t ∈ π n ) ⊂ P n D des p olygones de d irec tion D qui sont le b ord d ’a u moins un d isqu e minimal. Chapitre 5. Rapp orts de longueurs des côtés Le bu t de chapitre est de mon trer que la famille de p ol ygones ( P D ( t ) , t ∈ π n ) décrit entiè rement l’ensem ble P n D . Un système de c o ordonnées sur P n D est donné par n rapp orts de longueurs de côté s. Po ur c haque v aleur de t ∈ π n , les données de W eierstrass ( G ( x, t ) , H ( x, t )) de l’immersion X D ( t ) son t obten ues à p artir d’une solution fondamen tale du système fuc hsien ( A D ( t )). Les rapp orts de longueurs des côtés du p olygone P D ( t ) s’écrive nt donc r i ( t ) = Z t i +1 t i  | G ( x, t ) | 2 + | H ( x, t ) | 2  dx Z 1 0  | G ( x, t ) | 2 + | H ( x, t ) | 2  dx ( i = 1 , . . . , n ), et on obtien t ainsi la fonction « rapp orts des longueurs » F D ( t ) associée à la d ir ection D F D : π n → ]0 , + ∞ [ n , F D ( t ) = ( r 1 ( t ) , . . . , r n ( t )) . Le but d e ce c hapitre est donc d’établir le théorème suiv an t, qui conclut la démonstration du théorème 0.1, et qui en est la p a rtie la plus d iﬃcile. Théorème. Étant donné un ( n + 3) -uplet de dir e ctions orienté es D ∈ D n , la fonction « r app orts des longueurs » F D : π n → ]0 , + ∞ [ n est surje ctive. On pr opose un e démonstration de ce théorème très d iﬀére nte de celle Garnier, basée sur l’ étude de la famille ( A D ( t ) , t ∈ π n ) au b ord du simplexe π n et une récurren ce p ortan t sur le n o mbre n + 3 de côtés des p olygones. Par ident iﬁcation n atur elle d e s simplexes π n et ]0 , + ∞ [ n , on obtien t une fonction e F D : ]0 , + ∞ [ n → ]0 , + ∞ [ n . Pour montrer que la fonction F D est surjectiv e, on montre que la fonction e F D est de degré 1, c’est-à-dire homotop e à l’iden tité. On établit un résultat de top ologi e qu i nous p erme t de n ous r a mener à mon trer que la fonction e F D est con tin ue et de d eg ré 1 au b ord de ]0 , + ∞ [ n . P our obtenir cela, il f a ut in terpréter la fonction F D   ∂ π n en terme de n o uve lles f o nctions « r apports des longueur s » de 12 Introduction dimension inférieur e : c’est l’ob jet de la prop osition 5.6 don t l’énoncé paraît naturel et qui est l’étap e la plus imp ortan te de la démonstration : la fonction F D ( t ) s’étend con tin ûmen t à c hacune des faces du b ord du simp lexe π n (qui sont d es simplexes de dimen s ion inférieure). Chaque f a ce est caractérisée par la « disp arition » de certai ns t i , qui on t fusionné av ec la singularité s u iv ante t i +1 . On aﬃrme qu’alors la fonction F D ( t ) restrein te à c haque face est, à homéomorphisme près, la foncti on « rapp orts des longueurs » F D ′ : π k → ]0 , + ∞ [ k (1 ≤ k ≤ n − 1) déﬁnie p a r les directions orienté es D ′ ∈ D k obten ues à partir de D en « enlev an t » les comp osan tes D i corresp ondan t aux t i qui ont d isparu. Une fois que l’on a obtenu la pr o p osition 5.6, il suﬃ t p our conclure de faire une récurrence s ur le nombre n + 3 d e côtés, don t l’hérédité est assu rée par le résultat de top ologie mentio nné plus h a ut, et dont l’initi alisation au rang n = 1 (cas d’un b ord quadrilatéral) est immédiate une fois que l’on a obten u la prop osition 5.6. La ma jeure partie de ce c hapitre est donc consacrée à la démonstration de la prop osi- tion 5.6. La partie la plus d iﬃcile est d’obtenir la con tinuit é d e la fonction F D ( t ) au b ord, et non pas son int erprétation géométrique. On s’appuie sur des résultats généraux sur les singularités ﬁxes du système de Schlesi nger, que Garnier app elle le s pseudo-c ho cs, c’est-à- dire en les p oint s tels que t i = t j , i 6 = j . Ces résultats sont une partie plus conn ue d u tra v ail de Garnier [Gar26 ], et ont été déve lopp és et généralisé s par Sato, Miwa et Jim b o [S MJ79]. On reprend ces résultats en en approfond issant des asp ects qu i nous seron t utiles p our étudier l’holomorphie d e la fonctio n F D ( t ) en les pseudo-c ho cs. On applique ensuite cette étude générale aux solutions particulières du système de Sc hlesinger qui n o us int éresse, c’est-à- dire au cas réel, et on établit la pr oposition 5.6. Remerciements. Je souh ai te remercier m o n dir e cteur de thèse F rédéric Hélein de m’a v oir suggéré de trav ailler su r la résolution d u problème de Platea u par R. Garnier, et p our son aide tout au long de ce tra v ail. Chapitre 1 Surfaces mi ni m ales On exp ose dans ce chapit re des asp ects généraux sur les surfaces minimales de l’espace euclidien de d imen s io n trois  R 3 , h , i  . On note ( O , e 1 , e 2 , e 3 ) un r ep ère orthonormal de R 3 . Une immersion conforme X : Σ → R 3 d’une surface de Riemann Σ d ans R 3 est dite minimale si sa courbur e moy enne est partout nulle. Rapp elons que la courb ure m o ye nne d’une immersion est la moiti é de la trace de sa deuxième forme fondamen tale. 1.1 Représen tation de W eierstrass La représent ation d e W eierstrass est un outil fondamenta l d ans l’étude des surf aces minimales. Elle p ermet à la fois de caracté riser et de construire d e s surfaces minimales. Donnons tout d’ab ord une première forme, classique, de cette repr ése nt ation. Théorème 1.1. Soient Σ une surfac e de R iemann et x 0 un p oint de Σ . Soient une fonction g mér omorphe dans Σ e t une 1 -forme diﬀér entiel le ω holomorphe dans Σ tel les qu e – les zér os de ω sont d’or dr e p air, – g a un p ôle d’or dr e m en un p oint a ∈ Σ si et seulement si ω a un zér o d’or dr e 2 m en a . A lors l’ap plic ation X déﬁnie sur le r evêtement unive rs el e Σ de Σ p ar X ( x ) = ℜ Z x x 0  1 − g 2 , i (1 + g 2 ) , 2 g  ω est une immersion c onforme minimale de e Σ dans R 3 . R é c ip r o quement, si X : Σ → R 3 est une immersion c onfor me minimale, alors il existe un p oint X 0 ∈ R 3 , une fonctio n g mér omorphe dans Σ et une 1 -forme diﬀér entiel le ω holomo rphe dans Σ vériﬁant les deux c onditions ci - dess us tels que X ( x ) = X 0 + ℜ Z x x 0  1 − g 2 , i (1 + g 2 ) , 2 g  ω . La diﬀérenti elle de Hopf de l’immersion X est, par déﬁnition, la 2-forme diﬀéren tielle Q = * d 2 X dx 2 , N + dx 2 , et elle s’exprime en fonction des donn ées ( g , ω ) par Q = − ωdg . On p eut v oir facilemen t que la fonction g est le pro jeté stéréographique par rapp ort au p ôle nord du vec teur de 14 Chapitre 1. Surf aces minimales Gauss N : Σ → S 2 de l’immersion X . Les données géométriques de l’immersion X son t caractérisé es par les données ( g , ω ) : sa métrique ind uite et sa seconde form e fondamental e son t ds 2 =  1 + | g | 2  2 | ω | 2 , I I = Q + ¯ Q. Cep endan t, la r eprésen tation qu ’utili se Garnier, et qu e l’on v a u t iliser exclusiv emen t dans ce mémoire, est la représenta tion aujourd’h ui d it e spinorielle d e s surfaces minimales. Bien que soit pr obab lement sous cette forme que la repr ésentat ion de W eierstrass ait été donn ée p our la première fois — par K. W eierstrass lui-même [W ei66] —, elle n’est pas considérée aujourd’h ui co mme la repr é sent ation classique . P ar souci de simplici té, comme on ne s’in téresse dans ce mémoire qu’aux d isques minimaux, on n’énonce cette représen tation que dans le cas des immersions X déﬁn ie dans le demi-plan sup érieur ou demi-plan de P oincaré C + = { x ∈ C | ℑ ( x ) > 0 } , (1.1) où ℑ ( x ) désigne la partie imaginaire du n om br e complexe x . Il n’y a pas alors de p roblème de p ério de, et de p a ssage au revê temen t un iversel. O n p ourra se r e p orter à [KS 9 6] p our un énoncé plus général et p our plus de détails sur la r ep r ése n tation sp inoriel le. Théorème 1.2. Soit x 0 un p oint du demi-plan sup érieur C + . Pour tout c ouple ( G, H ) : C + → C 2 r { (0 , 0) } de fonctions holomorph es dans C + sans zér o c ommun, l’applic ation X : C + → R 3 déﬁnie p ar X ( x ) = ℜ Z x x 0    i  G ( ξ ) 2 − H ( ξ ) 2  G ( ξ ) 2 + H ( ξ ) 2 2 iG ( ξ ) H ( ξ )    dξ (1.2) est une immersion c onforme minimale. R é c ip r o quement, si X : C + → R 3 est une immersion c onform e minimale, al ors il existe un p oint X 0 ∈ R 3 , et un c ouple ( G, H ) : Σ → C 2 r { (0 , 0) } de fonctions holomo rphes tels que X ( x ) = X 0 + ℜ Z x x 0    i  G ( ξ ) 2 − H ( ξ ) 2  G ( ξ ) 2 + H ( ξ ) 2 2 iG ( ξ ) H ( ξ )    dξ . Comme on utilisera exclusiv emen t cette représen tation, on l’app ellera, con trairemen t à l’usage actuel, la repr ése nt ation de W eierstrass, et le couple d e fonctions holomorphes ( G, H ) les donn ées d e W eierstrass de l’immersion X . La corresp ondance en tre les d e ux représen tations p réc édent es est donnée par g = − G H , ω = − iH 2 dx. Le pr ojeté stéréog raphique nord du v ect eur de Gauss N est − G/H . La diﬀéren tielle de Hopf est donnée par le W ronskien des fonctions G et H Q = i  GH ′ − H G ′  dx 2 , (1.3) et la métrique induite et la seconde forme fondamen tale par ds 2 =  | G | 2 + | H | 2  2 | dx | 2 , I I = Q + ¯ Q. (1.4) Exemple. V oici les exemples les plu s cla ssiques de s u rfaces minimales. 1.1. Représent a tion de Weierst rass 15 Figure 1.1 – Une hélic oïde Figure 1.2 – Une ca ténoïde (i) Si les f o nctions G et H son t prop ortionnelles, alors l’immersion asso cié e déﬁnit une surface minimale con ten ue dans un plan (c’e st même une équiv alence ). Si Σ = C et si les fonctions G et H sont constan tes, on obtien t un plan entie r. (ii) S i on c h oi sit Σ = C ∗ , G ( x ) = 1 , H ( x ) = 1 /x , on obtient un e hélic oïde . L’immersion X est d éﬁnie dans le r ev êtemen t univ ersel de C ∗ . Les h é licoïdes sont des surfaces réglées (ﬁgu r e 1.1). (iii) S i on c hoisit Σ = C ∗ , G ( x ) = e i π 4 , H ( x ) = e i π 4 /x , on obtient u n e c aténoïde . On p eut mon trer qu’alors l’immersion X est bien déﬁnie dans C ∗ . Les caténoïdes sont les seules surfaces min ima les de rév olution (ﬁgur e 1.2). Une applicatio n diﬀéren tiable X : C + → R 3 donnée par (1.2) où les fonctions G et H son t seulemen t su pp osé es h ol omorphes, représen te une surface m inimal e génér alisé e , c’est-à- dire qui p eut a vo ir d es p oin ts de b ranc hement. Ces p oin ts de branc h emen t son t les p oin ts où la dériv ée ∂ X/∂ x s’ann ule, et où donc la su rface min imale n’est plus immergée. Ce sont exactemen t les zéros comm uns d es fonctions G et H . On v oit que l’immersion X ne c hange pas si on c hange le signe du couple ( G, H ) . En fait, les d o nnées d e W eierstrass ( G, H ) asso cié es à une immersion conforme minimale X son t u niques au signe près. Par ailleurs, si on considère deux représenta tions conformes sur C + du même d isque minimal, elle s se déduisen t l’une d e l’autre par comp o sition à d r oi te par une représen tat ion conforme du d emi-plan C + dans lui-même, i. e. par une application de Möbius x 7→ ax + b cx + d où a b c d ! ∈ P S L (2 , R ) . Il suﬃt donc de ﬁxer l’image de trois p oin ts par une immersion X : C + → R 3 p our la déterminer entiè remen t à p arti r de son image. Remarquons que si la représen tation de W eierstrass d onne une description locale très simple des immersions conformes minimales, elle paraît a priori p eu utile à la résolution 16 Chapitre 1. Surf aces minimales du problème de Plateau. Il semble en eﬀet diﬃcile de déduire d’une courb e que l’on s’est ﬁxée à l’a v ance des co nditions sur les données de W eierstrass ( G, H ) qui assuren t que l’immersion conforme minimale associée p a sse par cette courb e. On v erra au chapitre 3 commen t l’équation associée à un d isque minimal à b ord p olygonal p ermet de déduire de cette description locale des con train tes globales sur les d onnées de W eierstrass. 1.2 Surface minimale conju guée et famille asso ciée Les co ordonnées d’un e immersion conforme minimale son t les p arti es réelles de fonc- tions holomorphes : elles sont donc harmoniques. Rapp elons qu’à toute applicati on har- monique f déﬁn ie sur une surface de Riemann Σ , on p eut asso cier une autre application harmonique f ∗ , qui est a priori déﬁn ie dans le rev ête ment unive rsel e Σ de Σ , telle que la fonction f + if ∗ soit h olomorphe dans e Σ ( f ∗ est déﬁnie à une constan te additive près). L’application f ∗ est app elée l’applic ation harmonique c onjugué e de f . On p eut ainsi in- tro duire la déﬁn it ion su iv ante. Déﬁnition 1.3. Soit X : Σ → R 3 une immersion conforme minimale. Alors l’immersion conforme minimale X ∗ : e Σ → R 3 don t les co o rdonn é es son t les applications harmoniques conjuguées d e celles de X est app elée l’immersio n c onjugué e de X . Elle est déﬁ n ie à une translation pr ès. Si l’immersion X : C + → R 3 a p our données de W eierstrass ( G, H ) , alors l’immersion conjuguée X ∗ s’écrit X ∗ ( x ) = ℑ Z x x 0    i  G ( ξ ) 2 − H ( ξ ) 2  G ( ξ ) 2 + H ( ξ ) 2 2 iG ( ξ ) H ( ξ )    dξ , et ses données de W eierstrass sont e i π 4 G, e i π 4 H . Les immersions X et X ∗ on t la même applicatio n de Gauss, et elles son t lo calemen t isométriques. P ar exemple, la surf a ce conjuguée d ’u ne caténoïde est une hélicoïde, bien qu’elles ne soie nt pas glo balemen t isométriques. L’équati on diﬀéren tiell e des lig nes de courbure de X est donnée par ℜ  GH ′ − H G ′  dx 2 = 0 , et celle des lignes asymptotiques par ℑ  GH ′ − H G ′  dx 2 = 0 . Les lignes de courbure et les lignes asymptotiques son t donc éc hangées entre une surface minimale et sa conjuguée. C o mme une surface minimale et sa conjuguée on t les mêmes géod é siques et la même application de Gauss, on en dédu it donc le lemme suiv ant. Lemme 1.4. Si une surfac e minima le de R 3 c ontient un se gment de dr oite de ve cteur dir e cteur v , alors c e se gment c orr esp ond sur la surfac e minimale c onjugué e à une c ourb e plane c ontenue dans u n plan normal à v et que la surfac e c oup e p erp e nd iculair ement. 1.3. Principes de réf lexion de Sch w a r z 17 En eﬀet , si ( S ) est u n e sur fac e immergée dans R 3 , alors les droites co nt en ues d ans ( S ) son t exacteme nt les courb es qui son t à la fois des lignes asymptotiques et des géo désiques de ( S ) . De même, les courb es tracées sur ( S ) et con ten ues dans un plan que la surface ( S ) coup e p erp endiculairemen t sont exactemen t les courb es qui son t à la fois des lignes de courbure et des géo désiques de ( S ) . P ar exemple, les méridiens d’un e caténoïde corresp ondent sur un e hélicoïde conju guée aux droites qu i engendrent l’hélicoïde. Le cercle médian de la caténoïde corresp ond à la droite central e de l’hélicoïde. Plus générale ment , p our tout λ ∈ C ∗ , on p eut déﬁnir l’immersion conforme minimale X λ : C + → R 3 de donn ée s d e W eierstrass λ ( G , H ) . On a X λ ( x ) = ℜ ( λ 2 ) X ( x ) + ℑ ( λ 2 ) X ∗ ( x ) . Si le scalaire λ est réel ou puremen t imaginaire, alors les immersions X λ son t homothétiques à l’immersion X . Lorsque le scalaire λ app a rtien t au cercle unité S 1 , les immersions X λ son t lo ca lemen t isométriques à l’immersion X . La famille d’immersions conformes minimales ( X λ ) λ ∈ S 1 est app elée famil le asso cié e à l’immersio n X . 1.3 Princip es de réﬂexi on d e Sc hw arz Les deux prop ositions suiv an tes metten t en évidence certaines symétries apparais- san t sur les surfaces minimales. Elles p ermett en t égalemen t d’étendre les surfaces mi- nimales a yan t un b ord au delà de celui-ci, lorsque ce b ord con tien t un segment d e dr o ite ou un e courb e co nt en ue dans u n plan que la surface coup e p erp endiculairemen t. Ces résultats nous seron t très u tiles par la suite. On note D le d isque un ité ouvert de C , D + = { x ∈ D | ℑ ( x ) > 0 } et D − = { x ∈ D | ℑ ( x ) < 0 } . Prop osition 1.5. Soit une immersion c onforme minimale X : D + → R 3 . Si X s’étend c ontinûment à l’interval le ] − 1 , 1[= D ∩ R , et si l’image p ar X de l’interval le ] − 1 , 1[ est un se gment de dr oite, alors l’immersion X se pr olonge à D − p ar r éﬂexion p ar r app ort à c ette dr oite et X : D → R 3 est une immersion c onforme minimale. De plus, deux p oints symétriques sur l’image X ( D ) ont des anté c é dents c onjugués. Prop osition 1.6. Soit une immersion c onforme minimale X : D + → R 3 . Si X s’étend c ontinûment à l’interval le ] − 1 , 1[= D ∩ R , et si l’image p ar X de l’interval le ] − 1 , 1[ est une c ourb e c ontenue dans un plan que la surfac e X ( D + ) c oup e p erp endiculair ement, alors l’immersion X se pr olonge à D − p ar r éﬂexion p ar r app ort à c e plan et X : D → R 3 est une immersion c onforme minimale. De plus, deux p oints sy métriques sur l’image X ( D ) ont des anté c é dents c onjugués. On donn era une démonstration de ces prop ositi ons au c hapitre 3. P ar le lemme 1 .4, une réﬂexion axia le sur un e surface minimale co rresp ond sur la surface minimale conjugu ée à une réﬂexion par rapp ort à un plan orthogonal à cet axe, et récipro quemen t. 1.4 Description quaternionique Considérons l’isomorph ism e de R 3 dans l’ensem b le E 3 des matric es de M (2 , C ) hermi- tiennes à trace n ulle, qui identiﬁe un v ecteur X = ( X 1 , X 2 , X 3 ) t ∈ R 3 a v ec la matrice e X 18 Chapitre 1. Surf aces minimales déﬁnie p a r e X = − X 3 X 1 − iX 2 X 1 + iX 2 X 3 ! . Le pro duit scalaire de R 3 induit sur E 3 le p r oduit scalaire suiv ant h X, Y i = 1 2 T r  e X e Y  , et la n orm e euclidienne d’un vect eur X est d onnée p a r l’opp osé du déterminan t de la matrice e X X 2 1 + X 2 2 + X 2 3 = − d et e X . P our toute matrice A ∈ S U (2) , l’applicatio n R A : M 7→ ¯ A t M A est une isométrie directe de E 3 p our ce pro duit scalaire. On identiﬁe S O ( E 3 ) a vec le group e S O (3) des rotations d e R 3 : p our toute matrice A ∈ S U (2) , on app elle aussi R A la rotation correspon d an te dans S O (3) et p our tout v ecteur X ∈ R 3 , on a ^ ( R A X ) = ¯ A t e X A. On obtien t le morp hisme de group e R : S U (2) → S O (3) A 7→ R A qui est le rev êtement à d eu x feuillets de S O (3 ) par le group e S pin (3) ≃ S U (2) . On p eut expliciter ce m orp hisme : si R ∈ S O (3) est une rotat ion d’angle ϕ et d’axe unitaire δ = ( δ 1 , δ 2 , δ 3 ) , alors les d eu x relev és de R son t A et − A a v ec A = cos  ϕ 2  I 2 − i sin  ϕ 2  − δ 3 δ 1 − iδ 2 δ 1 + iδ 2 δ 3 ! . (1.5) Rapp elons que si on p ose J = 0 − 1 1 0 ! , alors p our toute matrice M ∈ S U (2) , on a M J = J ¯ M . (1.6) La prop osition suiv an te explicite le ca ractère spinoriel de la représen tation de W eiers- trass (1.2). Prop osition 1.7. Soit X : C + → R 3 une immersion c onforme minimale de donné es de W eie rstr ass Y = ( G, H ) . Soit une ma tric e A dans S U (2) . Alor s le ve cteur Y A c onstitue les donné es de W eierstr ass de l’immersion c onforme minimale R A ( X ) image de l’immersion X p ar la r ota tion R A . 1.4. Description qua te rnionique 19 Démonstr ation. Supp osons que l’immersion X = ( X 1 , X 2 , X 3 ) : C + → R 3 soit donnée par le vec teur Y par la formule de W eierstrass (1.2) ( i.e. X 0 = O ). Il suﬃt d’écrire l’immersion X en terme de matrices 2 × 2 : e X ( x ) = − X 3 ( x ) X 1 ( x ) − iX 2 ( x ) X 1 ( x ) + iX 2 ( x ) X 3 ( x ) ! . Calculons X 1 + iX 2 : X 1 ( x ) + iX 2 ( x ) = i 2 Z x x 0  G ( ξ ) 2 − H ( ξ ) 2  dξ − i 2 Z x x 0  G ( ξ ) 2 − H ( ξ ) 2  d ¯ ξ + i 2 Z x x 0  G ( ξ ) 2 + H ( ξ ) 2  dξ + i 2 Z x x 0  G ( ξ ) 2 + H ( ξ ) 2  d ¯ ξ = i Z x x 0 G ( ξ ) 2 dξ + i Z x x 0 H ( ξ ) 2 d ¯ ξ . On obtien t donc e X ( x ) = i Z x x 0 − GH − H 2 G 2 GH ! dξ + i Z x x 0 GH − G 2 H 2 − GH ! d ¯ ξ , ce que l’on p eut écrire sous la forme e X ( x ) = i Z x x 0 J · Y ( ξ ) t · Y ( ξ ) dξ + i Z x x 0 Y ( ξ ) t · Y ( ξ ) · J d ¯ ξ . P ar l’ident ité (1.6), on trouv e ¯ A t e X ( x ) A = i Z x x 0 J · ( Y ( ξ ) A ) t · ( Y ( ξ ) A ) dξ + i Z x x 0 ( Y ( ξ ) A ) t · ( Y ( ξ ) A ) · J d ¯ ξ . Les données de W eierstrass Y A déﬁ n issen t donc l’immersion conforme minimale R A ( X ) . On reprend les notations de la secti on précéden te. Lemme 1.8. Soit X : D + → R 3 une immersion c onforme minimale de donné e s de W eiers- tr ass Y : D + → C 2 . On supp ose que Y s’étend c ontinûment à ] − 1 , 1[ . Alo rs – l’image p ar X de l’interval le ] − 1 , 1[ est un se gment de dr oite si et seulement s’il existe une mat ric e A ∈ S U (2) tel le que le ve cteur Y A so it à valeurs r é el les ou pur ement imaginair es sur ] − 1 , 1[ ; – l’image p ar X de l’interval le ] − 1 , 1[ est une c ourb e c ontenue dans un plan que la surfac e c oup e p erp e ndiculair ement si et seulement s’il exist e une matric e A ∈ S U (2) tel le que le ve cteur e i π 4 Y A so it à valeurs r é el les ou pur ement imaginair es sur ] − 1 , 1[ . Démonstr ation. Soit Y = ( G, H ) les d o nnées de W eierstrass de l’immersion X . Pour la première assertion, on v a montrer que l’image d e ] − 1 , 1[ par l’immersion X est un segmen t de dr o ite dirigé par le vect eur de base e 2 = (0 , 1 , 0) si et seulemen t si les fonctions G 2 ( x ) , H 2 ( x ) et G ( x ) H ( x ) son t réelles sur ] − 1 , 1[ , c’est-à-dire si et seulemen t si les fonctions G ( x ) et H ( x ) s ont toutes les deux réelle s ou p uremen t imaginaires. O n en déduit alo rs la première assertion par la prop ositio n 1.7. La cond ition suﬃsant e est immédiate. P our la nécessité, il faut exprimer par exemple que sur ] − 1 , 1[ , la troisième comp osan te X 3 ( x ) d e l’immersion est constan te et que son 20 Chapitre 1. Surf aces minimales application de Gauss N ( x ) est orthogonale au v ecteur e 2 . Comme la pro jec tion stéréogra - phique nord de N ( x ) est − G ( x ) /H ( x ) , on obtient que sur ] − 1 , 1[ ( − G/H ∈ R GH ∈ R , i.e. : ( G H = GH GH = GH . Ceci donn e le résultat annoncé, puisque les données d e W eierstrass G ( x ) et H ( x ) ne p euv en t pas être sim ultanémen t n ulles. P our la d euxiè me assertion, il suﬃt de considérer l’immersion conju g uée X ∗ , qui a p our données de W eierstrass e i π 4 Y . Alors le lemme 1.4 nous p ermet d e nous ramener au cas pr éc éden t. Comme on v a le voir à la section 3.2, le lemme 1.8 p ermet de retrouv er les princip es de réﬂexion de Sch w arz. Chapitre 2 Équations fuc hsiennes et sy stèmes fuc hs i ens On présente d ans ce c hapitre les notions de base de la théorie des équations et systèmes fuc hsiens su r la sphère de Riemann. On commence p ar étudier les équations fuchsie nnes, on donne ensuite les résultats analo gues p our les sys t èmes d’équations, et enﬁn, on pr éc ise les liens en tre s ys t èmes fuchsiens et équations fuchsiens (dans le cas non r éso nnant), don t on aura b esoin au chapitre 4. P ou r une appro c he plu s co mplète, ainsi que p our connaître les démonstrations des r ésulta ts énoncés, on p ourr a se r eporter à [IKSY91] — particulièremen t p our ce qui co ncerne les transformations isomono dromiques, que ce soit le systè me de Garnier ou le système de S chlesinger. P our le pr oblè me de Riemann–Hilb ert p our le s systèmes fuchsiens, on p ourr a se référer à Anoso v et Bolibruch [AB94], ou plu s simplement à [Bea93] p our une présentat ion générale du problème et des résultats d e Bolibruc h. 2.1 Équations fuc hsiennes On considère une équatio n d iﬀé renti elle linéaire d u second ordre déﬁnie sur la sphère de Riemann P 1 = C ∪ {∞} D 2 y + p ( x ) D y + q ( x ) y = 0 ( E ) où D = d dx désigne la dériv atio n par rapp ort à la v ariable complexe x ∈ C . On sup p ose que les cœﬃcients p ( x ) et q ( x ) s ont d es fonctions méromorphes su r P 1 . O n note S l’ensemble des singularités de l’équation ( E ), i.e. des p oin ts en lesquels p ( x ) ou q ( x ) a un p ôle S = { x 1 , . . . , x n } . Les solutions d e l’équat ion ( E ) sont des fonctions multi-formes dans P 1 r S , c’est-à-dire des fonctions holomorphes dans le revêt emen t universel de P 1 r S . P ar abu s d e langage, on notera encore y ( x ) une telle fonction. Ces solutio ns formen t un espace ve ctoriel de d i- mension 2 . O n app elle système fondamental de solutions un v ecteur Y ( x ) = ( y 1 ( x ) , y 2 ( x )) don t les comp osa nt es formen t u n e base de cet espace. 2.1.1 Étude lo c a le On commence par étudier le comp ortemen t des solutions d e l’équation ( E ) au voisi- nage de ses singularités. On en déduira ensuite un e caractérisation globale des équations fuc hsiennes. 22 Chapitre 2. Équa tions fu c hsiennes et s ystèmes fuchsiens Singularités régulières et singularités fuc hsiennes En général, les solutions d e l’équation ( E ) ne s ont pas uniform es au voisinag e d’une singularité. On distingue certains t yp es de singularités. Déﬁnition 2.1. On dit qu’un e singularité x = x 0 de l’équation ( E ) est fuchsienne si la fonction p ( x ) a en x = x 0 un p ôle d’ordre au plus 1 et la fonction q ( x ) un p ôle d’ordre au plus 2 . On distingue une autre ca tégorie de singularités : on considère les singularités x = x 0 au vo isinage desquelles toute solution a une croissance au plus p o lynomiale en 1 / | x − x 0 | quand x → x 0 . Comme a prio ri une solution de l’équation ( E ) a un p oin t de branc hemen t logarithmique en une singularité, il faut être plus p r éc is dans cette déﬁn it ion. Déﬁnition 2.2. On dit qu’un e singularité x = x 0 de l’équat ion ( E ) est r é gulièr e si p our tout secteur S ce ntré en x 0 , p our tout r evêt emen t e S de ce secteur dans le rev êtemen t de P 1 r S et p our toute solution y de l’équation ( E ), la restriction y | e S a une croissance p olynomiale en 1 / | x − x 0 | quand x → x 0 , x ∈ S . Comme on v a le vo ir, une singularité fuc hsienne est toujours r égulière. P our les équa- tions, la récipro que est éga lemen t vraie ([Har64]), mais elle est fausse en général p our les systèmes d’équations. Métho de de F röb enius La métho de de F röb enius p ermet de décrire le comp ortemen t lo ca l d es solutions d e l’équation ( E ) au vo isinage d’une singularité fuchsienne. On se place au p o int x = 0 en supp osan t qu’il est une telle singularité. Si on c h erc he les solutions formelles d e l’équation ( E ) de la forme y ( x ) = x s ∞ X n =0 b n x n , on se rend compte que le nom bre complexe s ne p eut prend re au plu s qu e deux v aleurs, qui sont les racines de l’équation quadratique s 2 + ( a − 1) s + b, (2.1) a v ec a = lim x → 0 xp ( x ) , b = lim x → 0 x 2 q ( x ) . L’équation (2.1) s’app elle l’ é quation c ar actéristique de l’équation ( E ) en la singularité fuc hsienne x = 0 . Ses racines s’app ellen t les exp osants en x = 0 . Si on les note s 1 et s 2 a v ec ℜ s 2 ≤ ℜ s 1 , alors on p eut v ériﬁer qu’il existe toujours une solution con vergen te (m ulti-v aluée) y 1 ( x ) de l’équation ( E ) de la forme y 1 ( x ) = x s 1 ∞ X n =0 b n x n , b 0 = 1 . P our expliciter une autre solution linéairement indép endante de y 1 ( x ) , il fau t distinguer deux cas : 2.1. Équa t i ons fuchsienne s 23 – s’il existe égalemen t une solution con v ergen te y 2 ( x ) de la forme y 2 ( x ) = x s 2 ∞ X n =0 b n x n , b 0 = 1 , alors la singularité fuc hsienne x = 0 est dite non lo garithmique . En particulie r, c’est toujours le cas si s 1 − s 2 n’est p as un entie r naturel ; – sin on, la singularité fuchsienne x = 0 est d it e lo garithmique , et la deuxième solution canonique en x = 0 est d e la forme y 1 ( x ) log x + x s 1 ∞ X n =0 c n x n + x s 2 ∞ X n =0 d n x n . On p eut observ er qu e la singularité fuchsienne x = 0 est n on logarithmique si et seule- men t s’il exist e un sys t ème fondamental de solutions Y ( x ) don t la matrice de mono dromie en x = 0 soit diagonale. Les expressions qu e l’on vien t de donn er p our les solutions de l’équation ( E ) au v oisi- nage d’u ne singularité fuc hsienne mon trent q u ’une singularité fuc hsienne est régulière. Équations fuc hsiennes Il nous reste à étudier le p oin t x = ∞ . P our cela, on fait le c hangemen t d e v ariable w = 1 / x dan s l’équation ( E ), et la nature du p oin t x = ∞ est cell e du p oin t w = 0 dans la nouvell e équation. On montre ainsi facilemen t que le p oin t x = ∞ est une singularité fuc hsienne de l’équation ( E ) si et seulemen t si les fonctions w − 1 p  w − 1  , w − 2 q  w − 1  son t holomorphes au p oint w = 0 . On note alors a ∞ et b ∞ leurs v aleurs resp ectiv es en w = 0 , et l’équation caractérist ique au p oin t x = ∞ est s 2 + (1 − a ∞ ) s + b ∞ = 0 . Déﬁnition 2.3. On dit que l’équation ( E ) est une é quation fuchsienne sur la sphère de Riemann P 1 si toutes ses singularités, y compris év en tuellemen t le p oin t en l’inﬁni, son t fuc hsiennes. On obtien t alors la caracté risation suiv ante des équat ions fuc hsiennes. Prop osition 2.4. L’é quation ( E ) est fuchsienne sur la sphèr e de R iemann P 1 , de singu- larités x 1 , . . . , x n − 1 , x n = ∞ , si et seulement si ses c œﬃcients sont de la forme p ( x ) = n − 1 X i =1 a i x − x i , q ( x ) = n − 1 X i =1 b i ( x − x i ) 2 + n − 1 X i =1 c i x − x i , ave c n − 1 X i =1 c i = 0 . On range d ans un tableau app elé schéma de Riema nn les singularités f u c hsienn e s d e l’équation ( E ), et les exp osants θ + i et θ − i en c haque singularité x = x i :    x = x 1 · · · x = x n θ + 1 · · · θ + n θ − 1 · · · θ − n    . (2.2) 24 Chapitre 2. Équa tions fu c hsiennes et s ystèmes fuchsiens Prop osition 2.5 (Rela tion de F uc hs) . Supp oso ns que l’é quation ( E ) soit fuc hsienne et que son schéma de Riemann soit donné p ar (2.2) . A lors la somme de tous les exp osants de ( E ) ne dép end que du nombr e de singularités, et plus pr é cisément n X i =1 ( θ + i + θ − i ) = n − 2 . (2.3) Démonstr ation. Il suﬃt d’écrire que la somme des r ésidus du cœﬃcie nt p ( x ) est n ulle. Pa r la p r oposition 2.4, on a p ( x ) = n − 1 X i =1 a i x − x i et par déﬁn it ion du résidu a ∞ , on a a ∞ = P n − 1 i =1 a i . D’après les équatio ns carac téristiques en chac une des singularités, on déduit a i = 1 − θ + i − θ − i ( i = 1 , . . . , n − 1) , a ∞ = 1 + θ + n + θ − n , ce qui p ermet de conclure. 2.1.2 Équations pro jectiv emen t équiv alen tes et sc h w arzien Étan t d onné une fonction u non constante et m éromorp he d ans un ouv ert U d’u ne surface de Riemann, le schwarzien de u par rapp ort à une co ordonnée conforme x est donné par S x ( u ) =  u ′′ u ′  ′ − 1 2  u ′′ u ′  2 où u ′ = du dx . Si z est une autre co ordonnée conforme, alors S z ( u ) = S z ( x ) + S x ( u )  dx dz  2 . De plu s, le sc h w arzien est inv ariant sous l’acti on de P GL (2 , C ) : S x  au + b cu + d  = S x ( u ) p our tout a b c d ! ∈ GL (2 , C ) . Ces deux propr ié tés assu ren t en p arti culier que le sc h w arzien S x ( u ) est ident iquement n ul si et seulemen t si la foncti on u est u ne homographie u ( x ) = ax + b cx + d . Un e fonctio n u est dite P GL (2 , C ) -m ulti-forme si deux branc h es arb it raires de u ( x ) son t r eliées par une h omographie. Si une fonct ion est P GL (2 , C ) -multi-fo rme, alors son sc h wa rzien est uniforme. P our tout système fondamental de solutions Y ( x ) = ( y 1 ( x ) , y 2 ( x )) de l’équation ( E ), le sch warzien du rapp ort u = y 1 y 2 est ind épend ant du c hoix de Y ( x ) et v aut S x  y 1 y 2  = 2 q ( x ) − 1 2 p ( x ) 2 − D p ( x ) . (2.4) Le rapp ort y 1 y 2 est d é ﬁni à partir d e l’équation ( E ) à une homographie près. Déﬁnition 2.6. La classe d’équiv alence d u rapp ort d e d e ux solutions linéairemen t in- dép endan tes de l’équation ( E ) est app elée la solution pr oje ctive de l’équation ( E ). Deux équations diﬀéren tielles linéaires du second ord re à cœﬃcien ts méromorphes dans la s p hère de Riemann sont dites pr oje ctivement é quivalentes si elles ont la même solution proj ec tiv e. 2.1. Équa t i ons fuchsienne s 25 Soien t deux équations ( E 1 ) et ( E 2 ) a y an t le même ensem ble de singularités S . Alors elles son t p rojectiv emen t équiv alen tes si et seu lement s’il existe une fonction Φ( x ) h o lomorphe et jamais n ulle dans le rev êtemen t un iv ersel de l’ensem ble P 1 r S telle que toute solution y 2 ( x ) de l’équation ( E 2 ) soit obten ue p ar la mult iplication d’une solution y 1 ( x ) de l’équation ( E 1 ) par la fonction Φ( x ) . La fonction Φ ( x ) est alors de la forme Φ( x ) = Y a ∈ S r {∞} ( x − a ) θ a . 2.1.3 Monodromie On ne supp ose pas que l’équatio n ( E ) est fu c hsienne. On a vu qu’en gé néral, le s solutions de l’équation ( E ) son t des fonctions multi-fo rmes dans P 1 r S . Pour mesurer ce défaut d’un iformité de ses solutions, on introdu it la mono dr omie de l’équation ( E ), qui est une classe d ’é quiv alence de r eprésen tations du group e fond ame nt al de l’ensemble P 1 r S . Soien t u n p oi nt x 0 ∈ P 1 r S et un ouvert simplemen t connexe U de P 1 r S con tenan t x 0 . On considère un système f o ndamenta l de solutions Y ( x ) d e l’équation ( E ) déﬁni d a ns U . On p eut pr o longer analytiquemen t le s ys tème Y ( x ) le long de tout lacet d e p oin t de base x 0 et cont en u dans P 1 r S , et ce pr o longemen t ne d épend que de la classe d’homotopie du lacet . P our toute classe α dans le group e fond amen tal π 1 ( P 1 r S, x 0 ) , on p eut donc noter α ∗ Y ( x ) le prolongemen t du système Y ( x ) le long de tout représen tan t de α . Alors le système α ∗ Y ( x ) est déﬁni dans U et il est aussi un système fond ame nta l de solutio ns de l’équation ( E ). Il existe donc une unique matrice M α ( Y ) ∈ GL (2 , C ) qui vériﬁe α ∗ Y ( x ) = Y ( x ) M α ( Y ) . On app elle la matrice M α ( Y ) la m atrice de m o no dromie d u s ystè me Y ( x ) le long de α . On déﬁn it ainsi un e app lic ation ρ Y : π 1 ( P 1 r S, x 0 ) → GL (2 , C ) , α 7→ M α ( Y ) . On choisi t un ordre d a ns le group e f ond amen tal π 1 ( P 1 r S, x 0 ) de la façon suiv an te : on déﬁnit le prod uit β α de deux éléments α, β ∈ π 1 ( P 1 r S, x 0 ) comme étan t la classe d u lacet qui suit d’ab ord α puis β (dans le sens naturel). On a alors ( β α ) ∗ Y ( x ) = β ∗ ( α ∗ Y ) ( x ) , donc M β α ( Y ) = M β ( Y ) M α ( Y ) , et l’application ρ Y est un homéomorphisme du group e π 1 ( P 1 r S, x 0 ) dans GL (2 , C ) : c’est une r epr ésentation liné air e d e r a ng 2 (si on in verse l’ordre dans π 1 ( P 1 r S, x 0 ) , on obtien t une an ti-représen tatio n). On app elle l’applicatio n ρ Y la r epr ésentation de mono dr omie de l’équation ( E ) p ar rapp ort au s y s tème fondamen tal Y ( x ) . Considérons à p r ése nt un autre système fondamen tal de solutions Z ( x ) déﬁni dans l’ouv ert U . Il existe u ne unique matrice C ∈ GL (2 , C ) , app elée matric e de c onnexion en tre les systèmes Y ( x ) et Z ( x ) , telle que Z ( x ) = Y ( x ) C. Alors p our tout α ∈ π 1 ( P 1 r S, x 0 ) , on a α ∗ Z ( x ) = α ∗ Y ( x ) · C = Y ( x ) M α ( Y ) C = Z ( x ) C − 1 M α ( Y ) C, 26 Chapitre 2. Équa tions fu c hsiennes et s ystèmes fuchsiens c’est-à- dire M α ( Z ) = C − 1 M α ( Y ) C. (2.5) Les deux représen tatio ns ρ Y et ρ Z son t donc conjuguées. La relation de conjugaison en tre représen tations est un e relat ion d ’équiv alence. On v oit d o nc que l’ensem ble de toutes les représen tations de mono dromie de l’équation ( E ) (par rapp ort à c haque système fonda- men tal) constitue un e classe de conju ga ison. Cette classe est canoniquemen t asso cié e à l’équation ( E ) : on l’app elle la mono dr omie de l’équat ion ( E ). Le group e fond a ment al π 1 ( P 1 r S, x 0 ) est engendré p ar les classes de lacets γ 1 , . . . , γ n tournan t resp ectiv ement une fois dans le sens direct autour de la singularité x = x i , en laissan t les autres singularités à l’extérieur, soumises à la relation γ n · · · γ 1 = 1 . La représen tation de monodr omie ρ Y par rapp ort à u n système Y ( x ) est d o nc d ét erminée par la famille ( M 1 , . . . , M n ) , où M i = M γ i ( Y ) . Les matrices M i v ériﬁen t aussi M n · · · M 1 = I 2 . On app elle la famille ( M 1 , . . . , M n ) un système de gé nér ateurs d e la mono dromie de l’équa- tion ( E ). Déﬁnition 2.7. Une représen tation ρ : G → GL ( m, C ) d’un group e G est dite irr é ductible si les sous-espaces v ectoriels de C m in v ariant s par ρ son t exactemen t { 0 } et C m . La mono d romie de l’équation ( E ) est dite irr é ductible si elle admet un représen tan t irréductible, c’est-à-dire si elle admet un sys t ème de générateurs ( M 1 , . . . , M n ) constitué d e matrices qu i ne soien t p as simulta nément trigonalisables. Si l’ équation ( E ) est fuc hsienne, alors le fait qu’elle ait une mono dromie irréductible est équiv alen t à ce qu’elle s o it elle- même irrédu ctible, i.e. que l’op érateur diﬀérentie l L = D 2 + p ( x ) D + q ( x ) n’admette que des factorisations triviale s. 2.1.4 Le problème de Riema nn–Hilb ert p our les équations linéaires du second ordre On ne considère p our l’instan t le problème d e Riemann–Hilb ert que d ans le cas des équations du seco nd ordr e. Il n’y a pas de diﬀérence fondamen tale a v ec les équat ions d’ordre su périeur . Par contre, la discussion est d iﬀé rent e dans le cas des systèmes fuc hsiens. Le p roblème de Riemann –Hilb ert p our les équations fuc hsiennes est exactemen t le vingt- et-unième des vingt-trois pr o blèmes pr oposés p ar Hilb ert au Congrès In ternational de P aris en 1900 : Le problème de Riemann–Hilb ert. T r ouver une é quation fuchsienne ayant des singu- larités donné es et une mono dr omie donné e. F orm ulé ainsi, on p eut facilemen t voir que le pr o blème de Riemann–Hilb ert n’a en général pas de solution. En eﬀet, soit S = { x 1 , . . . , x n − 1 , x n = ∞} ⊂ P 1 un ensem ble de singularités. D’après la p roposition 2. 4, une équatio n fuc hsienne du second ordre don t l’ensem ble d es singularités soit S dép end de e ( S ) paramètres, a v ec e ( S ) = 3 n − 4 . 2.2. Systèmes fuc hsiens 27 P ar ailleurs, on p eut mon trer que l’ensem ble des classe s de co njugaison de représen tati ons ρ : π 1 ( P 1 r S, x 0 ) → GL (2 , C ) dép end de m ( S ) paramètres, a ve c m ( S ) = 4( n − 2) + 1 . Dès qu e n > 3 , on a donc m ( S ) − e ( S ) > 0 . À singularités ﬁ xées, l’applicatio n qui à un e équation fu chsienne du second ordr e asso cie sa mono dromie n’est donc pas surjectiv e dès que n > 3 . Ce calcul r e mont e à Poincaré [Po i84]. Si on veut p ouv oir constru ire une équation f uc hs ienn e don t la mono dromie est donnée, il faut donc s’autoriser à a jouter d es paramètres su pplémen taire s : les singularités apparent es son t les seuls p a ramètres p ossibles. Déﬁnition 2.8. Une singularité f u c hsienn e de l’équation ( E ) est d ite app ar ente si elle n’est pas log arithmique et si ses exp osan ts son t des en tiers relatifs. Une singularité fu c hsienne x = a est ap p aren te si et seulemen t si toutes les solutions de l’équation ( E ) son t méromorphes en x = a . Il n ’y a donc pas de mono dromie en ces singularités. On v ériﬁe alors qu’une équation fu c hsienne d u second ordre a y an t ses singularités dans S , et ay ant au plus N singularités apparen tes à l’extérieur de S d ép end d e e ( S ) + N para- mètres. Pourtan t, il n ’e st pas éviden t qu’autoriser N = m ( S ) − e ( S ) = n − 3 singularités ap- paren tes soit suﬃ s a nt p our obtenir un e rép onse p ositiv e au problème de Riemann–Hilb ert. Lorsque la mono dromie est irréductible, Ohtsuki [Oht8 2] a o bten u la b onne ma jorati on d u nom bre de singularités apparen tes, à la co ndition qu’un d es générateurs de la mon o dromie soit diagonalisable. Mai s le résultat le p lus général est d û à Bolibruch. Théorème 2.9 ([Bol9 0a ]) . Étant donné un ensemble ﬁni S ⊂ P 1 à n éléments et une r epr ésentation irr é ductible ρ : π 1 ( P 1 r S ) → GL (2 , C ) , il existe une é qu a tion fuchsienne du se c ond or dr e dont l’ensemble des singularités soit S , dont la mono dr omie soit la classe de ρ et ayant au plus n − 3 singu la rités app ar entes. 2.2 Systèmes fuc hsiens 2.2.1 Déﬁnitions Considérons un système diﬀérent iel linéaire du premier ordre D Y = A ( x ) Y ( A 0 ) où D = d dx et la fonction A ( x ) est méromorph e sur la sp hère de Riemann P 1 , à v aleur dans M (2 , C ) . On sup p ose que le système ( A 0 ) est fuchsien , c’est-à-dire que tous les p ôles d e A ( x ) son t s imp le s 1 . Comme l’ensemble des système fuc hsiens sur la sphère de Riemann est stable par transformation de Möbius, on p eut c hoisir comme précédemmen t t 1 , . . . , t n , t n +1 = 0 , t n +2 = 1 , t n +3 = ∞ 1. contrairemen t à ce qui se passe p our les équ ati ons, les notions de singularités régulières et fuchsiennes ne coïncident pas p o ur les systèmes d’équations. Une singularité fuchsienne, c’est-à-dire un pôle simple, est régulière ( cf déﬁnition 2.2), mais la réci pro que est fausse. 28 Chapitre 2. Équa tions fu c hsiennes et s ystèmes fuchsiens les singularités du système ( A 0 ), et on a donc A ( x ) = n +2 X i =1 A i x − t i . (2.6) Comme on supp ose que l’inﬁni est un p oint singulier, le résidu A ∞ := − n +2 X i =1 A i n’est pas la matrice n ulle (on note parfois A n +3 p our A ∞ ). On note S ( t ) l’ensem ble des singularités : S ( t ) := { t 1 , . . . , t n +3 } . Le système ( A 0 ) est donc déﬁn i dans l’ensemble P 1 r S ( t ) . Ses solutions, qui sont des couples de fonctions déﬁnies sur le rev êtemen t universel de P 1 r S ( t ) , forment u n espace v ectoriel de dimension 2 . On app elle matric e fondamenta le de solutions un e matrice Y ( x ) don t les colonnes Y 1 ( x ) , Y 2 ( x ) formen t une base de cet espace. Une telle matrice vériﬁe l’équation D Y = A ( x ) Y . On déﬁnit la mono dromie du s ys t ème ( A 0 ) comme on l’a fait p our les équations du second ordre. On sup pose de plus que le système ( A 0 ) vériﬁe les d eux h yp othèses suiv antes : – le système ( A 0 ) est non r ésonnant : les v ale urs propres θ + i et θ − i de la matrice A i satisfon t θ + i − θ − i / ∈ Z ( i = 1 , . . . , n + 3 ) ; – le système ( A 0 ) est norm alisé e n l’inﬁni : A ∞ = − n +2 X i =1 A i = θ + ∞ 0 0 θ − ∞ ! . Comme le système ( A 0 ) est non résonnan t, les singularités x = t i ne son t pas lo- garithmiques. Ceci assure l’e xistence au v oisinage de c haque singularité d’une matrice fondamen tale de la forme suiv ant e. Prop osition 2.10. On supp ose le système ( A 0 ) non r é so nnant. Alors, p our tout i = 1 , . . . , n + 2 , il existe une unique matric e P i ( x ) holomorph e au p oint x = t i vériﬁant P i ( t i ) = I 2 et tel le que P i ( x )( x − t i ) A i soit une matric e f o ndamentale de solutions du système ( A 0 ) , où ( x − t i ) A i = exp ( A i log( x − t i )) . On ne donn e pas la démonstration de cette prop osit ion, mais remarquons simplemen t que la matrice P i ( x ) est solution de l’équati on D P i = A ( x ) P i − P i A i x − t i . Soit L i la matrice diagonal isée de A i L i = θ + i 0 0 θ − i ! . 2.2. Systèmes fuc hsiens 29 Alors, il existe des matrice s fondamen tales de solutions d e la forme R i ( x )( x − t i ) L i où la matrice R i ( x ) est holomorphe et inv ersible au p oin t x = t i et R i ( t i ) ∈ GL (2 , C ) diagonalise A i A i = R i ( t i ) L i R i ( t i ) − 1 . Ces solutions sont dites c anoniques au p oint x = t i , p arce que leur matrice de mono dromie en ce p oin t est diagonale : e 2 iπ θ + i 0 0 e 2 iπ θ − i ! . En l’inﬁni, comme le système ( A 0 ) est norm a lisé en l’inﬁni, il existe une un ique solution canonique de la forme Y ∞ ( x ) = R ∞  1 x  x − L ∞ où la matrice R ∞ ( w ) est holomorphe en w = 0 et R ∞ (0) = I 2 . 2.2.2 Déformations isomonodromiques On s’in téresse à p r ése nt au pr oblè me su iv ant : si on considère qu e le sys tème ( A 0 ) dép end d’un paramètre v ariable, comment décrire l’ensem ble des systèmes fuchsiens (ou des équations fu c hsienn e s) a y an t u ne mono dromie donnée ? On pr ésente d’ab ord la théorie générale des déformations isomonod romiques, et on en dédu ira le système de Sc hlesinger à la sect ion suiv ante (le système de Garnier est quant à lu i in tro d uit à l’app endice A). On considère u ne famille de systèmes d iﬀé rent iels linéaires 2 × 2 d épend a nt d’un pa- ramètre t v arian t dans un ouv ert simplemen t co nnexe U d e C n : D Y = A ( x, t ) Y (2.7) où la fonction A ( x, t ) est déﬁnie d ans P 1 × U , à v aleurs dans M (2 , C ) . On su p pose qu e p our tout t ∈ U ﬁxé, la fonction x 7→ A ( x, t ) est holomorphe en dehors d’un ensemble ﬁni S ( t ) ⊂ P 1 de points singuliers, et qu e les p oint s de S ( t ) son t d es fonctions h olomorphes de t . On déﬁnit le sous-ensem b le S de P 1 × U des sin g ularités du système S := [ t ∈ U S ( t ) × { t } , qui est donc un e hyp ersurface. Lo c alemen t, l’ensem ble S a autan t de comp osan tes connexes qu’il y a de p oin ts dans les ensem bles S ( t ) et chac une de ces comp osan tes co nnexes est un graphe de P 1 × U au dessus de l’ouv ert U . Quitte à restreindre l’ouv ert simplemen t connexe U , on supp ose qu e ceci est vrai dans U entie r. Sans en trer dans des détai ls tec hniques de top olo gie, on v oit qu e les classes d’homotopie des lacets de P 1 r S ( t ) basés en un p oint x 0 ( t ) de P 1 r S ( t ) son t alors indép endan tes d e t . Quitte à restreindre de nouv eau l’ouv ert U , on p eut choi sir un p oint de base x 0 ∈ P 1 indép endan t de t . Il suﬃt p our cela que x 0 et U v ériﬁen t ( { x 0 } × U ) ∩ S = ∅ . On note π 1  P 1 r S ( t ) , x 0  le group e d ’homot opie correspon d an t. On p eut ainsi déﬁnir la monod romie de la famille de s ys tèmes (2. 7 ). Soit une solution fondamen tale Y ( x, t ) , i.e. une matrice solution de (2.7), holomorphe et in v ersible en to ut 30 Chapitre 2. Équa tions fu c hsiennes et s ystèmes fuchsiens p oin t ( x 0 , t ) ( t ∈ U ). P our toute classe d’homotopie α ∈ π 1  P 1 r S ( t ) , x 0  , le prolongemen t analytique α ∗ Y ( x, t ) de Y ( x, t ) le long d e α est encore une solution fondamental e en ( x 0 , t ) : il existe une unique matrice ρ Y ( t, α ) ∈ GL (2 , C ) telle que α ∗ Y ( x, t ) = Y ( x, t ) ρ Y ( t, α ) . On obtien t donc un e famille analytique de représent ations de mono dromie ρ Y ( t, · ) : π 1  P 1 r S ( t ) , x 0  → GL (2 , C ) . Déﬁnition 2.11. Une solution fondamen tale Y ( x, t ) est dite M -invariante si sa repré- sen tation d e mono dromie ρ Y ( t, · ) est ind épendante de t . Déﬁnition 2.12. La famille (2.7) d e systèmes diﬀérent iels est dite isomono dr omique s i elle admet une solution fondamen tale qui soit M -inv ariante . On note d la diﬀéren tiati on par rapp ort à la v ariable t = ( t 1 , . . . , t n ) d = n X i =1 ∂ ∂ t i dt i . On a les résultats suiv an ts. Lemme 2.13. Une solution fondamentale Y ( x, t ) est M -inv ariante si e t seulement si la 1 -forme à valeurs matriciel les Ω( x, t ) := d Y ( x, t ) Y ( x, t ) − 1 est uniforme dans  P 1 × U  r S . Prop osition 2.14. L e système de Pfaﬀ D Y = A ( x, t ) Y d Y = Ω ( x, t ) Y (2.8) est c omplètement inté gr able si et seulement si le système suivant est vé r iﬁé dA ( x, t ) = D Ω( x, t ) + [Ω( x, t ) , A ( x, t )] d Ω( x, t ) = Ω ( x, t ) ∧ Ω( x, t ) . (2.9) Le système (2.8) s’écrit d ( x,t ) Y = ω Y où la 1 -forme ω est déﬁnie p ar ω = Adx + Ω , et d ( x,t ) est la diﬀéren tiation p a r rapp ort à la v ariable ( x, t ) . S ’i l existe une matrice in v ersible Y ( x, t ) telle que ω = d ( x,t ) Y · Y − 1 , alors on a de manière immédiate d ( x,t ) ω = ω ∧ ω , où le pro duit extérieur α ∧ α d’une 1 -forme α = ( α ij ) à v aleurs dans M (2 , C ) est la matrice don t l’élé ment ( i, j ) est α i 1 ∧ α 1 j + α i 2 ∧ α 2 j . La récipro que constitue le théo rème de F röb enius. La condition nécessaire et suﬃsante d’in tégrabili té d ( x,t ) ω = ω ∧ ω est exacteme nt le système (2.9 ). Le sys tème (2.9) s’app elle l’ é quation de défor mation de (2.7). 2.2. Systèmes fuc hsiens 31 La prop osition 2.14 n ous dit donc que le système (2.7) admet une solution fondamental e M -in v ariante Y ( x, t ) si et seulement si le système (2.9) admet u ne solution Ω( x, t ) un ifo rme dans  P 1 × U  r S . La solution fondamen tale Y ( x, t ) vériﬁe alors D Y = A ( x, t ) Y , d Y = Ω ( x, t ) Y . La 1 -forme Ω d épend du c hoix d’une solutio n fondamental e M -inv arian te. La prop osi- tion su iv ante p ermet de comparer en tre elles les solutions fondamen tales M -in v arian tes. Prop osition 2.15. On supp ose que la famil le de systèmes (2.7) est i somono dr omique, de mono dr omie i r r é ductible. Soit une sol ution fondamenta le Y 1 ( x, t ) M - invar iante. A lors une solution fondamental e Y 2 ( x, t ) est aussi M -invariante si et seulement s’il existe u ne fonction holom orphe µ : U → C ∗ et une matric e C ∈ GL (2 , C ) indép endante de t tel les que Y 2 ( x, t ) = µ ( t ) Y 1 ( x, t ) · C . 2.2.3 Le système de Sc hlesinger On applique les r ésulta ts p récé dent s à la déformation d’un système fu c hsien non ré- sonnan t. On p ose B n = { ( t 1 , . . . , t n ) ∈ ( C ∗ r { 1 } ) n | ∀ i 6 = j t i 6 = t j } , (2.10) et on considère à présen t la p o sition des singularités t = ( t 1 , . . . , t n ) ∈ B n comme un paramètre du système ( A 0 ), don t dép enden t les matrices A i = A i ( t ) . On s upp ose que les v aleurs propres θ + i et θ − i ( i = 1 , . . . , n + 3 ) son t in dépend an tes de t . S oit U un ouv ert s im- plemen t connexe de l’ensem ble B n . Les déformations de paramèt re t ∈ U du système ( A 0 ) qui pr ése rve nt la mono dromie sont gouv ernées par le système de S c hlesinger : Théorème 2.16. On supp ose le système fuchsien ( A 0 ) non r ésonnan t et normalisé en l’inﬁni. Alor s la matric e fond amentale de solutions Y ∞ ( x, t ) est M - invar iante si et seule- ment si les matric es A i ( t ) , i = 1 , . . . , n + 2 , satisfont le système aux dérivé es p artiel les ( système d e Sc hlesinger ) dA i = n +2 X j =1 j 6 = i [ A j , A i ] d log ( t i − t j ) , i = 1 , . . . , n + 2 . (2.11) De plus, le système de Schlesinger (2.11) est c omplètement i nté gr able. De manière plus détaillée, le système de Sc hlesinger s’écrit ∂ A i ∂ t j = [ A i , A j ] t i − t j i = 1 , . . . , n + 2 , j = 1 , . . . , n , i 6 = j n +2 X i =1 ∂ A i ∂ t j = 0 j = 1 , . . . , n. La p remiè re partie d u théorème 2.16 est o btenue en appliquan t la prop osition 2.14. La première étap e consiste à calculer la 1 -forme Ω( x, t ) asso ciée à la matrice fond amen tale Y ∞ ( x, t ) et déﬁnie au lemme 2.13. Elle est obten ue par une étude lo cale au v oisinage de c haque s in g ularité x = t i grâce aux matrices f o ndamenta les canoniques R i ( x )( x − t i ) L i . 32 Chapitre 2. Équa tions fu c hsiennes et s ystèmes fuchsiens Lemme 2.17. Si la matric e fondamentale de solutions Y ∞ ( x, t ) est M -invariante, alors la 1 -forme Ω( x, t ) = d Y ∞ ( x, t ) Y ∞ ( x, t ) − 1 s’é crit Ω( x, t ) = − n +2 X i =1 A i ( t ) x − t i dt i . On montre ensuite faci lemen t que l’équation de déformation (2.9) dA = D Ω + [Ω , A ] , d Ω = Ω ∧ Ω , a v ec A ( x, t ) = n +2 X i =1 A i ( t ) x − t i , Ω( x, t ) = − n +2 X i =1 A i ( t ) x − t i dt i est équiv alen te au système de S c hlesinger (2.11). 2.2.4 La propriété de P ainlev é Soit u ne équati on diﬀéren tielle F  t, y , dy dt , . . . , d n y dt n  = 0 (2.12) où la fonction F ( t, y 0 , y 1 , . . . , y n ) est p olynomial e en ( y 0 , y 1 , . . . , y n ) à cœﬃcien ts méro- morphes en t . Déﬁnition 2.18. On dit que l’équatio n (2.12) a des p oin ts de branc hemen t (resp ecti v e- men t des singularités essen tielle s) mobiles si ses solutions on t des p oin ts de branc hemen t (resp ecti v emen t des singularités essen tielle s) dont la p osition d épend des constan tes d’in- tégratio n. On dit que l’équati on (2.1 2 ) a la pr opriété de Painlevé si elle n’a ni p oin t de br anc he- men t mobile, ni singularité essen tiell e mobile. Quand n = 2 , les six équations de P ainlev é P I , . . . , P VI constituen t, à changeme nt de v ariables près, l’ensemble des équations (2.12) rationnelles a y an t la p ropriété de P ainlev é qui ne son t ni linéaires, ni in tégrables par une quadrature. Théorème 2.19 ([Mal83], [Miw81 ]) . L e système de Schlesinger (2.11) a la pr opriété de Painlevé. De plus, toute solution du système de Schlesinger (2.11) s’étend au r evê tement universel de l’ensemble B n de manièr e mér omo rphe. P ar con tre, le système de Garnier (A .4), qui décrit les d éfo rmations isomono dromiques d’équations fuc h siennes sans singularité log arithmique (v oir l’app endice A), n’a pas la propriété de P ainlev é. 2.3 P assage d’une équation à un système d ’é quations Comme on v a le v oir au chapitre suiv ant, les équati ons fuc hsiennes sont les ob jet s naturellemen t associés aux disques minimaux à b ord p olygonal. Cep endan t, le système de Garnier (A. 4), qui d éc rit les d éfo rmations isomonodr omique s de ces équations, n’a p as la propriété de P ainlev é. On v a donc c hoisir, con trairemen t à l’appro c he su ivie par Garnier, de transformer les équations fuc hsiennes du second ordre que l’on v a obtenir au chapitre suiv ant en systèmes fuc hsiens du p r emie r ordre de taille 2 × 2 . On donne ici une description des relations en tre équations et systèmes f uc hs iens, dans le cas non résonn ant ( i.e. sans singularité logarithmique), qui est celui qui nous in téresse. 2.3. P assage d’une é qua tion à un système d ’équa tions 33 2.3.1 D’un système du premier ordre à une équation du second ordre C’est le sens immédiat. On considère un système d iﬀé rent iel 2 × 2 du premier ordre D Y = A ( x ) Y , A ( x ) = A 11 ( x ) A 12 ( x ) A 21 ( x ) A 22 ( x ) ! , (2.13) où les fonctions A ij ( x ) sont méromorphes sur la s phère de Riemann. Lemme 2.20. Si la fonction A 12 ( x ) n ’e st p as identiquement nul le, alors la pr emièr e c om- p osante y 1 de toute solution Y = ( y 1 , y 2 ) t du système (2.13) vériﬁe l’é quation du se c ond or dr e D 2 y + p ( x ) D y + q ( x ) y = 0 , (2.14) ave c p ( x ) = − D A 12 ( x ) A 12 ( x ) − T r A ( x ) (2.15) q ( x ) = − DA 11 ( x ) + A 11 ( x ) D A 12 ( x ) A 12 ( x ) + det A ( x ) . (2.16) De plus, si Y ( x ) = ( Y ( x ) , Z ( x )) est une matric e fond amentale d e solutions du sys- tème (2.13) , alors sa pr emièr e ligne ( y 1 ( x ) , z 1 ( x )) est u n système fonda mental de sol utions de l’é quation (2.14) . Il est donc immédiat qu e si le système (2.13) est fuchsien, alors l’équatio n qui lui est asso ci ée est fuchsienne. De p lus, on a : Lemme 2.21. Si x = λ est un zér o de A 12 ( x ) d’o r dr e m , mais n ’e st p as une singularité du système (2.13) , alors x = λ est une singularité app ar ente de l’é quation (2.14) , d’exp osants 0 et m + 1 . Considérons l’équation associée au système fuc hsien ( A 0 ), toujours supp osé non réson- nan t et norm alisé en l’inﬁni. Comme la fraction rationnelle A 12 ( x ) a exactemen t n + 2 p ôles simp le s et, p ar la normalisation en l’inﬁni, u n zéro d’ordre d eux en l’inﬁni, alors elle a exac temen t n zéros dans C comptés av ec multiplici té. Sup posons à p résen t que les zéros de la fonction A 12 ( x ) sont simples. O n les note λ 1 , . . . , λ n , et on a donc A 12 ( x ) = ξ Λ( x ) T ( x ) , où ξ = n +2 X i =1 t i A i 12 , Λ( x ) = n Y k =1 ( x − λ k ) , T ( x ) = n +2 Y i =1 ( x − t i ) . (2.17) Étan t donnée la d ernière p a rtie du le mme 2.20, le sc héma de Riemann de l’équat ion (2.14) est d o nné par    x = t i x = ∞ x = λ k θ + i θ + ∞ 0 θ − i θ − ∞ + 1 2    (2.18) i = 1 , . . . , n + 2 , k = 1 , . . . , n 34 Chapitre 2. Équa tions fu c hsiennes et s ystèmes fuchsiens et les sin gu larités x = λ k son t apparent es. La diﬀérence en tre les exp osa nt s en l’inﬁni du système ( A 0 ) et d e l’équation (2.14 ) pro vien t de la normalisation en l’inﬁn i : pu isque la matrice A ∞ est diagonale, la solution canonique en l’inﬁni Y ∞ ( x ) du système ( A 0 ) s’écrit Y ∞ ( x ) =  I 2 + O  1 x  x − A ∞ , et donc la fonction ( Y ∞ ( x )) 1 , 1 est d’exp osan t θ + ∞ , mais la fonction ( Y ∞ ( x )) 1 , 2 est d’exp o- san t θ − ∞ + 1 . 2.3.2 Les systèmes fuc hsiens asso ciés à une équation fuc hsienne On considère une équation fuc hsienne du second ordre déﬁnie sur la sphère de Riemann D 2 y + p ( x ) D y + q ( x ) y = 0 , (2.19) de sc héma de Riemann (2.18), don t le s singularités son t distinctes, tell e que ses exp o san ts v ériﬁen t θ + i − θ − i / ∈ Z ( i = 1 , . . . , n + 3 ), et que les s in g ularités x = λ k son t apparen tes. On p eut caract ériser l’ensem ble des s ys tèmes fuc hsiens ( A 0 ) normalisés en l’inﬁ n i qui déﬁnissent au sens du lemme 2.20 l’ équation (2.19). On vien t d e v oir qu e si u n tel système existe, alors son cœﬃcient A 12 ( x ) est en tièremen t déterminé p a r les p a ramètres t i et λ k de l’équat ion (2.19) et le p aramè tre supplémenta ire ξ , qui est indép endan t de l’équation. Il en est en fait de même p our les autres cœﬃcient s de A ( x ) . Dans [IKS Y9 1] est donnée l’expression explicite des matrices A i en fonction de ces paramètres (pr oposition 6.3 .1. p. 208). Comme un résultat aussi précis n e nous sera pas u ti le par la su ite, on se con ten te ici de donner l’existence de ces systèmes et d e préciser leur dép e ndance en ξ . Comme on n’imp ose à l’a v ance aucune n o rmalisation en l’inﬁni, on obtien t « deux fois p lus » de systèmes qu e dans [IKSY91], i.e. on obtien t deux familles à un paramètre d e systèmes, à la place d’une seule. Dans la résolution du problème d e Plat eau, on aura en eﬀet b esoin de p ouv oir c h oi sir la normalisation en l’inﬁni. On n e d o nne pas la démonstration de la prop osition suiv ante (on p ourra se rep orter à [IKSY91] ou à [D es09], prop osition 3.8). Prop osition 2.22. L’ensemble des syst èmes fuc h siens ( A 0 ) normalisés en l’inﬁni asso ciés au sens du lemme 2.20 à l’é quation (2.1 9 ) est c onstitué de deux famil les à un p ar amètr e : D Y = A + ξ ( x ) Y ( ξ ∈ C ∗ ) et D Y = A − ξ ( x ) Y ( ξ ∈ C ∗ ) . Ces deux famil les se c ar actérisent p ar leur normalisatio n en l’inﬁni : p our tout ξ ∈ C ∗  A + ξ  ∞ = θ + ∞ 0 0 θ − ∞ ! et  A − ξ  ∞ = θ − ∞ − 1 0 0 θ + ∞ − 1 ! . De plus, A ± ξ ( x ) = 1 0 0 ξ ! A ± 0 ( x ) 1 0 0 1 ξ ! où les matric es A + 0 ( x ) et A − 0 ( x ) sont explicitement déterminé es p ar l’é quation (2.19) . Remarquons que la prop ositio n 2.22 p ermet d’étudier les liens entre le système de Garnier et le système de Schlesinge r, qui sont étudiés en d é tail dans [IKS Y91], mais qui ne nous seron t ﬁnalement pas utiles dans la suite. Chapitre 3 L’équation asso ciée à un disque minimal à b ord p olygonal Dans ce c hapitre, on se donne une imm ers ion conforme minimale X : C + → R 3 du demi-plan sup érieur C + don t l’image est limitée par un p olyg one P à n + 3 sommets. On note Y 0 = ( G, H ) : C + → C 2 ses données d e W eierstrass sp inorie lles. On s upp ose que X n’est pas con ten u e dans un plan, et on v oit alors facilemen t que les fonctions G et H son t linéairemen t indép endante s : la fonction Y 0 constitue un système fond a ment al de solutions d’une un iqu e équatio n diﬀéren tielle linéaire du second ordre D 2 y + p ( x ) D y + q ( x ) y = 0 ( E ) où D = d dx désigne la dériv ation par rapp ort à x . Les solutions de ( E ) sont les fonctions y déﬁn ie s d ans C + telles qu e le déterminant suiv ant soit id e nt iquement n ul        G H y G ′ H ′ y ′ G ′′ H ′′ y ′′        = 0 . En dév eloppan t ce déterminan t par r apport à sa troisième co lonne, on obtient que les cœﬃcien ts de l’équatio n ( E ), qui son t d éﬁ n is d a ns le demi-plan sup érieur C + , s’expr ime nt en fonction des données G et H p ar p ( x ) = − GH ′′ − H G ′′ GH ′ − H G ′ , q ( x ) = G ′ H ′′ − H ′ G ′′ GH ′ − H G ′ . Rapp elons que le proj e té stéréographique nord du vec teur d e Gauss de l’immersion X est donné par g = − G/H , et, par (2.4), le sch w arzien de g est d onc r el ié aux cœﬃcien ts p ( x ) et q ( x ) par S x ( g ) = 2 q ( x ) − 1 2 p ( x ) 2 − p ′ ( x ) . La diﬀérenti elle de Hopf (1.3) est donnée par le W r onskien du système fondamen tal Y 0 Q = i  GH ′ − H G ′  dx 2 = i exp ( − R p ) dx 2 . On p eut to ut de su it e observer que les fonctions p ( x ) et q ( x ) , qui son t méromorphes dans C + , ont deux t yp es de singularités : – les an técéden ts t i des sommets du p olygone, en lesquels Y 0 est singu lière, 36 Chapitre 3. L’équa tion associée à un disque minimal à bord pol ygonal – les om bilics de l’immersion X , i.e. les zéros d e sa diﬀérent ielle de Hopf, en lesquels la fonction Y 0 , et donc toute solution de l’é quation ( E ), est holomorphe. Les om bilics sont donc des singularités fuc hsiennes app ar entes (déﬁn it ion 2.8). On v erra que les t i son t égalemen t des singularité s fuc hsiennes. On p eut déﬁnir une équation ( E ) à partir de toute surface minimale qui n ’est pas con ten ue dans un plan. Diﬀéren tes immersions conformes minimales p euv ent d éﬁnir la même équatio n. À la prop osition 1.7, on a vu qu’une rotation de la sur fac e représen tée par X se traduit p ar une transformation linéaire sur Y 0 . Une telle transformation ne c hange donc p as l’équation ( E ). De même, la famille a sso ciée d’immersions conformes minimales X λ ( λ ∈ S 2 ), qui ont p our données de W eierstrass λ · Y 0 , et en particulier l’immersion conjuguée à X , déﬁnissen t la même équation que l’immersion X . P our étudier l’équation ( E ), on p ourra d onc transformer le système Y 0 par toute application linéaire in v ersible, et par exemple c hanger la p osition du rep ère orthonormal ( O , e 1 , e 2 , e 3 ) de R 3 . Le b ut de ce c hapitre est d ’o btenir une carac térisation des équations diﬀéren tielles li- néaires du second ordr e qui p r o viennent, dans le sens que l’on vien t de donner, d’une surface minimale à b ord p olygonal. On v a v oir que certaines pr opriét és géométriques de l’immer- sion X se traduisen t élégammen t en terme de propr ié tés analytiques d e l’équation ( E ), comme la n at ure d es singularités et leurs exp osan ts (prop osition 3.8 et lemme 3.12). On v a mont rer que l’équation ( E ) est fuc hsienne réelle et que sa mono dromie est enti èremen t déterminée par la direction des côtés du p olygone P (prop ositi on 3.7). Le con ten u de ce c hapitre était conn u a v ant que Garnier ne s’attaque au problème d e Plateau. Les résultats conn us à la ﬁn du xix e siècle sont rassem blés par Darb oux au c hapitre x iii de [Dar89]. On y a joute, et cec i ne ﬁgure pas non plus d ans l’article de Garnier, des précisions sur l’orien tati on du p olygo ne, l’expression de la mono dromie de l’équation et sur to ut la dé- monstration de la prop osition 3.16, qui assure la v alidité de la métho de de r ésolution prop osée par Ga rnier. On décrit égalemen t plus précisémen t les en s embles de surfaces que l’on v a construire, et les ensem b le s corresp ondants d’équations. 3.1 Disques minimaux à b ord p olygonal On commence par introd u ire les espaces et les notations appropr ié s p our les disques minimaux que l’on souhaite construire, et p our leurs b ords p olygo naux. On v a vo ir tout d’ab ord que l’on d o it imp ose r certa ines conditions naturelles su r ces p olygones, ainsi que d’autres conditions qui son t p eut-être moins naturelle s, mais don t on aura b esoin dans la résolution d u problème de Plat eau. Soit un p olygone P à n + 3 sommets distincts de R 3 ( n ∈ N ∗ ). On note a 1 , . . . , a n +3 ses sommets, et p our tout i = 1 , . . . , n + 3 ℓ i = || a i a i +1 || > 0 la longueur du i -ième côt é, et u i = − − − − → a i a i +1 ℓ i le v ect eur unitaire qui dirige et orien te le i -ième côté de P . On n o te égale ment par D i la direction vec torielle orien tée du v ecteur u i . O n a la conditio n de fermeture du p olygone n +3 X i =1 ℓ i u i = 0 . (3.1) 3.1. Disques minimaux à bo r d pol ygonal 37 L’ensem ble des p olygones non plans à n + 3 sommets est paramétré par un p oin t de R 3 , n nombres r éels non nuls et n + 3 v ecteurs u nitai res forman t une f a mille génératrice de R 3 . C omm e on p eut extraire une base de cet te famille générat rice, les trois longueurs manquan tes seron t déﬁnies de manière unique par la condition de fermeture (3.1), mais les côtés co rresp ondant du p olygo ne ne seront pas nécessairemen t orient és par les vec - teurs unitaires que l’o n s’est donnés (les longueurs ℓ i p euv en t être négativ es). Il n e p araî t donc pas très naturel de paramétrer un p olyg one par ses directions or ienté e s . Po urtant , la métho de de Garnier p ermet de prescrire la direction et l’orien tati on des côtés des b ords p olygonaux des sur fac es minimales que l’on construit. En con trepartie, elle ne nous p er- mettra pas de cont rôler la fermeture de ces b ords : on v a obtenir d e s p olygones qui ne son t pas nécessairemen t des courb es fermées, ce son t des lignes b risées év entuell emen t inﬁnies. Déﬁnition 3.1. On app elle p olygone à n + 3 s o mmets de R 3 ∪ {∞} la donn ée de n + 2 p oin ts a 1 , . . . , a n +2 de R 3 et de deux directions orientée s D n +2 et D n +3 . En quelque sorte, u n p ol ygone de R 3 ∪{∞} est un p olygone don t le d ernier s ommet a n +3 p eut être en l’inﬁn i. Les p olyg ones d e R 3 son t les p olyg ones d e R 3 ∪ {∞} don t le p remier et le dernier côtés son t sécan ts, c’est-à- dire tels que les demi-droites aﬃnes ( a n +2 , D n +2 ) et ( a 1 , − D n +3 ) sont sécan tes ; le p oin t d’inte rsection est le sommet supplément aire a n +3 ∈ R 3 . P ar abus de langage, on app ellera simp lement p olygo ne tout p olygone de R 3 ∪ {∞} . On dit qu’un p olygone P est non dé génér é si aucun des pro duits v ecto riels u i − 1 × u i n’est nul ( i = 1 , . . . , n + 3 , les indices se comprennent mo dulo n + 3 ). On p eut alors d éﬁ n ir en chac un de ses sommets a i : – la mesure θ i π de l’ angle extérieur à P ( i.e. l’angle entre les vec teurs u i − 1 et u i ) tell e que 0 < θ i < 1 ; – le v ecteur un it aire normal au p olygone P au sommet a i v i = − u i − 1 × u i || u i − 1 × u i || . T ous les résu lt ats des c hapitres 3 et 4 s’a ppliquent à l’e nsemble des p olygones n o n plans et non dégénérés. Mais p our résoudre le problème de Plateau, on sera amené, au c hapitre 5, à imp oser des restrictions supplémenta ires sur les p olygones que l’on considère. Comme on v a p r océder par récur r ence , il faut introdu ire une famille de p olygones telle que les conditions sur les d irec tions des cô tés se transmetten t à d es sous-ensem b le s d e directi ons. Déﬁnition 3.2. On déﬁnit l’ensem ble D n des ( n + 3) -uplets D = ( D 1 , . . . , D n +3 ) de directions orienté es de R 3 qui vériﬁen t les deux conditions suiv an tes – d e ux d ir ections quelconques D i et D j ( i 6 = j ) ne sont pas colinéaires ; – p our tout i 6 = n + 1 , n + 2 , les directions D i , D n +1 et D n +2 ne son t pas coplanaires. On app ellera u n élémen t de D n un jeu de d irec tions orien tées. Si les directions D = ( D 1 , . . . , D n +3 ) d’un p olygone P son t dan s D n , alors tous ses « sous-p olygones » — obtenus en éliminan t d e s côtés de P en faisan t fusionner des sommets successifs — seron t non plans et non dégénérés. Dans la résolution du problème de Plateau, on v a construire des surfaces minimales, et donc des p ol ygones, déﬁnies à translations et homothéties de rapp ort p ositif près. Les directions orienté es son t in v arian tes par l’act ion de R 3 × R ∗ + . On in tro duit donc : Déﬁnition 3.3. Pour tout jeu D ∈ D n , on déﬁnit le quoti en t P n D de l’ensem ble des p olygones à n + 3 sommets distincts de R 3 ∪ {∞} don t le jeu de directions orien tées soit D par le group e R 3 × R ∗ + des translations et des homothéti es de rap p ort p ositif. 38 Chapitre 3. L’équa tion associée à un disque minimal à bord pol ygonal Les ensembles P n D ne sont jamais vides, puisqu’il n’y a pas de condition d e fermeture. P our tout j eu D ∈ D n , l’ensem b le P n D con tien t en particulier tous les p olyg ones fermés de R 3 de directions orien tées D . Sur c haque ensem ble P n D , un système de co ordonnées est donné par le c hoix de n rapp orts de longueur ent re les n + 1 longueurs qui sont toujour s ﬁnies. On c h o isit le système de co ordonnées d é ﬁni p ar ( r 1 , . . . , r n ) : P n D → ]0 , + ∞ [ n , r i ( P ) = || a i a i +1 || || a n +1 a n +2 || , (3.2) où a 1 , . . . , a n +2 son t les sommets d’un représenta nt de P ∈ P n D . O n a alors l’isomorphisme P n D ≃ ]0 , + ∞ [ n . Décriv ons à présen t l’ensem ble des surfaces minimales que l’on v a construire p ar la métho de de Garnier, et dont les b ords sont des élémen ts d e P n D . On souhaite construire des su rface s minimales qui ne se recouvren t pas elles-mêmes aux sommets de leur b ord p olygonal , et qu i seron t donc lo ca lemen t plongée au voisi nage d e s sommets. En conserv ant les notations précédent es, cela signiﬁe qu’elles f o nt au sommet a i ou bien un angle saillan t ( i.e. compris en tre 0 et π ) de (1 − θ i ) π ou bien u n angle rentran t ( i.e. compris en tre π et 2 π ) de (1 + θ i ) π . A u sommet a n +3 , puisqu ’o n autorise un b out hélicoïdal, on sup pose que les s urfaces ont n éc essairemen t un angle saillan t, de manière à ce qu’elles puissent « se refermer correctemen t » au cours de la déformation isomono dromique. Les su rface s que l’on v a construire s ont les élémen ts d es ensem bles suiv an ts. Comme on ne considère que des surfaces ay ant la topologie du disque, on p eut toujours su pp ose r qu’elles sont représent ées sur le d emi- plan sup érieur C + . Déﬁnition 3.4. Po ur tout j eu D ∈ D n , on déﬁn it le qu otient X n D par le group e R 3 × R ∗ + des translations et des homothéties de rapp ort p ositif d e l’ensem ble des immersions conformes minimales X : C + → R 3 telles qu e – X s ’étend con tin ûmen t à R = R ∪ {∞} , X   R représen te un p olygone P ∈ P n D , et X n’a pas de p oin t d e branc hemen t au b ord, excepté p eut-être en les sommets de P , – X a au sommet a i ( i = 1 , . . . , n + 2 ) u n angle de (1 − ε i θ i ) π , où ε i = ± 1 , et au sommet a n +3 un angle de (1 − θ n +3 ) π , – si le dernier sommet, a n +3 , d u p olygone P est en l’inﬁni, alors X a un b out hélicoïdal, – si a n +3 ∈ R 3 , i.e. si les demi-dr oites issu es de a 1 et de a n +2 et dirigées resp ectiv ement par − D n +3 et D n +2 son t sécan tes, alors la surface représen tée par X est b ornée dans R 3 . On co nt in ue à app eler immersions les élémen ts des ensem b le s X n D , m ême s’il s’agit de classes d’équiv alence d’immersions. Soit X une immers ion de X n D . On n ote P ∈ P n D son b ord p olygonal, et Y 0 = ( G, H ) : C + → C 2 r { (0 , 0) } ses données de W eierstrass. La fonction Y 0 est holomorphe dans le demi-plan sup érieur C + et l’immersion X est donnée par X ( x ) = ℜ Z x x 0    i  G ( ξ ) 2 − H ( ξ ) 2  G ( ξ ) 2 + H ( ξ ) 2 2 iG ( ξ ) H ( ξ )    dξ où x 0 est u n p oi nt arbitraire de C + (puisque X est déﬁnie à translatio n près). On déﬁnit les p oin ts t 1 < · · · < t n +3 3.2. Monodromie et p ropriétés de ré alité 39 de R qu i sont les an técéden ts des sommets de P par l’immersion X . Quitte à composer X par u ne homographie, on p eut toujours supp oser t n +1 = 0 , t n +2 = 1 , t n +3 = ∞ . D’après la pr e mière des co nditions de la déﬁnition pr é céden te, la foncti on Y 0 est con tin ue et non n ulle sur c hacun des in terv alles ] t i , t i +1 [ . C ette h yp othèse est naturelle si l’on v eut p ouv oir prolonger la su rface à tra v ers c hacun d es côtés du p olyg one P , et appliquer le princip e de réﬂexion de Sc h w arz. Sous cette h yp othèse, l’application de Gauss N ( x ) de l’immersion X adm e t une limite en c haque sommet de P , qui est orthogonale aux côtés adjacen ts au sommet. On note N ( t i ) le v ecteur de Gauss limite en x = t i , il v ériﬁ e N ( t i ) = ± v i . On v erra à la section 3.2.3 que la deuxième des conditions implique qu e l’immersion X a un p oin t de branchemen t au b o rd en un sommet a i si et seulement si elle a un angle rentra nt, i.e. si ε i = − 1 . L’ordre du p oint de branc hement est alors 1 . 3.2 Mono dromie et propriété s de réali té On note S ( t ) l’e nsemble des singularités de l’i mmersion X S ( t ) := { t 1 , . . . , t n +3 } ⊂ R où R = R ∪ {∞} . On v a v oir q u e l’équatio n ( E ) est bien déﬁnie dans la sphère de Riemann, tandis que les données de W eierstrass G ( x ) et H ( x ) on t des p oin ts de branchemen t en les p oin ts x = t i , et sont donc holomorphes dans le rev êtemen t u niv ersel d e l’ensem ble P 1 r S ( t ) . On v a déterminer, par d es considérations géométriques, le comp ortemen t et la mono dromie des fonctions G ( x ) et H ( x ) en ces s in g ularités. On v a v oir qu e ceux-ci sont reliés aux propriétés de réal ité de l’immersion X . 3.2.1 Propriétés de réalité La prop osition suiv ante est une conséquence directe du lemme 1.8. Elle assure en particulier qu e les p oint s x = t i ne sont donc pas des p oin ts de brancheme nt p our les fonctions p ( x ) et q ( x ) . Prop osition 3.5. L e s c œﬃcients p ( x ) et q ( x ) de l’é quation ( E ) sont à valeurs r é el les dans R r S ( t ) et s’étendent en des fonctions mér omor phes et uniformes dans P 1 r S ( t ) . Démonstr ation. P our mont rer que les cœﬃcient s p ( x ) et q ( x ) sont r éels sur l’axe réel, il suf- ﬁt de trouver p our tout i = 1 , . . . , n + 3 un système f o ndamenta l de solutions ( G i ( x ) , H i ( x )) don t les comp osan tes soien t toutes les d eux réelles ou toutes les deux pur eme nt imaginaires sur l’ int erv alle ] t i , t i +1 [ . P ar le lemme 1.8, on sait qu’il existe une matrice S i ∈ S U (2) telle que le s ystè me fondamen tal ( G i ( x ) , H i ( x )) = Y 0 ( x ) · S i con vienne. On p eut c hoisir la ma- trice S i telle que le système Y 0 ( x ) · S i soit réel sur ] t i , t i +1 [ . L a matrice S i est un relev é d’une r o tation en vo yan t le vec teur u i sur le d euxième vecte ur d e base e 2 = (0 , 1 , 0) , ou sur son opp osé (0 , − 1 , 0) . On p eut don c prolonger les fonctions p ( x ) et q ( x ) au demi-plan inférieur C − = { x ∈ C | ℑ ( x ) < 0 } en p osan t p our tout x ∈ C − p ( x ) = p ( ¯ x ) , q ( x ) = q ( ¯ x ) , et on obtien t ainsi qu’elle s son t méromorph es dans P 1 r S ( t ) . 40 Chapitre 3. L’équa tion associée à un disque minimal à bord pol ygonal Comme les propriétés de réalité jouen t un rôle essen tiel dans l’étude de l’équation ( E ), on introduit l’applicat ion suiv ant e τ d é ﬁnie sur le faisceau des fonctions méromorphes M P 1 , qui à u ne fonction méromorphe d a ns un ouvert Ω asso cie sa « conjuguée » déﬁnie dans ¯ Ω , dans le sens suiv ant : τ : M P 1 (Ω) → M P 1  ¯ Ω  f 7→ τ ( f ) = ( x 7→ f ( ¯ x )) . (3.3) L’application τ est an ti-linéaire. Si Ω est un d oma ine de P 1 stable par conjugaison ( i.e. symétrique par rapp ort à l’axe réel), alors p o ur toute fonction f méromorph e dans Ω , on a τ ( f ) = f ⇔ f (Ω ∩ R ) ⊂ R τ ( f ) = − f ⇔ f (Ω ∩ R ) ⊂ i R . La fonction holomorphe τ ( Y 0 ) = ( τ ( G ) , τ ( H )) : C − → C 2 constitue égalemen t les données d e W eierstrass d’une immersion conforme min ima le X − : C − → R 3 . Un calc ul rapide mon tre que cette immersion repr é sent e la surface minimale symétrique de X ( C + ) par r app ort au second axe de co ordonnées ( O , e 2 ) . Comme la matrice J = 0 − 1 1 0 ! est u n relev é du demi-to ur par rapp ort au second axe de co ordonnées, on obtien t : Lemme 3.6. Soit u ne fonction holomorphe Y : C + → C 2 r { (0 , 0) } . A lors, les deux fonctions Y : C + → C 2 et τ ( Y ) · J : C − → C 2 sont les donné es de W eierstr ass de la même surfac e minimale. On obtien t ainsi le princip e de réﬂexion de Sch warz. En eﬀet, de même que les cœf- ﬁcien ts p ( x ) et q ( x ) , p our tout i = 1 , . . . , n + 3 , le sys tème fondamen tal ( G i ( x ) , H i ( x )) in tro duit à la d émo nstration d e la prop osition 3.5 se prolonge analytiquemen t au demi- plan inférieur C − à trav ers l’int erv alle ] t i , t i +1 [ en p osan t p our tout x ∈ C − ( G i , H i ) ( x ) = τ (( G i , H i )) ( x ) . Le système ( G i , H i ) est alors h o lomorphe dans l’ouv ert s imp le ment connexe U i U i = C + ∪ C − ∪ ] t i , t i +1 [ . L’immersion de données de W eierstrass ( G i , H i ) se prolonge donc égalemen t en une immer- sion déﬁnie dans l’ouv ert U i , et le lemme 3.6 n ous dit qu’elle déﬁnie une surface minimale symétrique par rapp ort au second axe de coordonnées ( O, e 2 ) . Comme on a  G H  =  G i H i  S − 1 i , on obtien t ainsi n + 3 prolongemen ts Y i ( x ) du système Y 0 ( x ) à tra v ers c hacun des interv alles ] t i , t i +1 [ : Y i : U i → C 2 , Y i   C + = Y 0 . (3.4) Chacun de ces prolongemen ts indu it u n prolongemen t X i : U i → R 3 de l’immersion X , qui représen te dans C − la surface minimale symétrique de X ( C + ) par rapp ort au i -ième côté du p olygone P . De plus, les p oin ts symétriques su r la surface min imale on t des an técéden ts par l’immersion X i qui s ont conjugués. C eci nous p ermet de déterminer la m o no dromie de l’équation ( E ). 3.2. Mo nodr omie et propriétés de réal i té 41 x 0 γ n +3 t 1 t 2 t n +2 . . . γ 1 γ 2 Figure 3.1 – L e s lac ets γ i 3.2.2 Monodromie L’étude précéden te des p r opriét és de r éalité d e l’immersion X et d e l’équation ( E ) nous p ermet d e déterminer comment le sys tème fondamen tal Y 0 ( x ) est transformé autour de chaque singularité x = t i , c’est-à-dire de déterminer un système de générateurs de la mono dromie de l’équation ( E ). On ﬁxe un p oin t x 0 dans le demi-plan sup érieur C + . Le group e f ond amen tal π 1  P 1 r S ( t ) , x 0  est engendré p a r les classes de lacets γ 1 , . . . , γ n +3 basés en x 0 , qui sont représent és à la ﬁgure 3.1. On note M 1 , . . . , M n +3 les m a trices de mono dromie du système fondamen tal de solutions Y 0 ( x ) le long des classes de lace ts γ i : M i := M γ i ( Y 0 ) . (3.5) Ces matrices constit uent un système de générateurs d e la mono dromie de l’équati on ( E ). Prop osition 3.7. L es matric es de mono dr omie M i ( i = 1 , . . . , n + 3 ) du système fonda- mental de solutions Y 0 ( x ) le long des lac ets γ i s’é crivent M i = D i D − 1 i − 1 , (3.6) où p our tout i = 1 , . . . , n + 3 , la matric e D i est un r elevé dans S U (2) du demi-tour ve ctoriel d’axe u i . P ar cette prop osition, on obtien t que la mono dromie d e l’équation ( E ) est déterminée par les d irec tions des côtés du p olyg one P . L’expression des matrice s M i sous la forme de p r oduit d e d emi- tours successifs n ’e st donnée n i par Darb o ux, ni par Garnier. Cette expression sera p ourtan t essen tielle p our établir que les d é formations isomono dromiques que l’on v a construire déﬁnissent bien des solutions du pr oblème de Plateau (par la p r o- p ositio n 4.7), fait qui n’est j a mais justiﬁé par Garnier. Démonstr ation. On note γ i ∗ Y 0 ( x ) le prolongemen t du système fondamental Y 0 ( x ) le long du lacet γ i . Ce prolongemen t est égale ment holomorphe dans C + , et c’est encore un système 42 Chapitre 3. L’équa tion associée à un disque minimal à bord pol ygonal fondamen tal d e solutions d e l’équation ( E ), étant d onné que les fon ctions p ( x ) et q ( x ) s o nt uniformes dans P 1 r S ( t ) . La matrice M i est l’un iqu e matrice in v ersible qui satisfait γ i ∗ Y 0 ( x ) = Y 0 ( x ) M i . Le système fondamen tal γ i ∗ Y 0 ( x ) constitue les données de W eierstrass d’un e immersion conforme min ima le. Pour déterminer la matrice d e mono dromie M i , on compare cette immersion à l’immersion X . Lorsqu’on suit le lacet γ i , on croise d’ab ord l’axe réel en tre t i − 1 et t i et l’i mmersion X se prolonge donc en déﬁnissant la surface minimale symétrique de X ( C + ) par rapp ort au ( i − 1) -ième côté de P ; puis on croise l’axe réel en tre t i et t i +1 et on fait un nouvea u d e mi-tour par rapp ort au i -ième côté de la su rface obten ue à l’étape précédente . L’immersion de donn ée s de W eierstrass γ i ∗ Y 0 ( x ) est d o nc l’image d e l’immersion X par le pro duit de ces deux d emi-tours, c’est -à-dire par la rotati on d’axe v i et d’angle 2 πθ i . On en déduit q u e la matrice M i est un des deux rele v és d e cette rotation. Ceci constitue le résultat qu’obtiennen t Darb oux et Garnier. On veut p ouv oir comparer les relev és des demi-tours in terv enan t dans des matrices de monod r omie successiv es M i et M i +1 , c’est-à-dire, en fait, associer un u nique relev é au demi-tour autour du i -ième côté de P . On vien t de voir que l’immersion X i : C − → R 3 , de données de W eierstrass Y i : C − → C 2 déﬁnies par (3.4), représente la surface minimale symétrique de la surface initiale par rapp ort au i -ième cô té de P . D’ après le le mme 3.6, il existe d onc un relev é D i ∈ S U (2) du demi-tour auto ur de ce côté tel que p our tout x ∈ C + on ait Y 0 ( x ) · D i = τ ( Y i ) ( x ) · J, ce qui s’écrit Y 0 ( x ) = − τ  Y i · J · D i  ( x ) , vu que les matrices A ∈ S U (2) qu i son t des relev és de demi-tours son t caractérisée s par l’équation A 2 = − I 2 . En écriv an t la relation pr éc éden te p our les systèmes Y i − 1 ( x ) et Y i ( x ) , on trouve que p our tout x ∈ C − on a Y i − 1 ( x ) · J · D i − 1 = Y i ( x ) · J · D i , ce qui, par l’iden tité (1.6), donn e Y i − 1 ( x ) = Y i ( x ) · D i · D − 1 i − 1 . Or la matrice M i est l’un iqu e matrice qui v ériﬁe Y i − 1 ( x ) = Y i ( x ) · M i , ce qui donne le résultat annoncé. 3.2.3 Exp osan ts en les sommets du p olygone P our l’instan t, la mono d romie d e l’équation ( E ) n’est pas en tièremen t déterminée à partir du b ord p olygo nal d e l’immersion X , p uisqu’elle dép end du c hoix des relev és de c haque demi-tour D i . L’étude lo cale d e l’immersion X au v oisinage des singularités x = t i v a nous p ermettre de leve r cette indétermination. C ec i nous perm e t ég alemen t de calc uler précisémen t les exp osa nts de l’é quation ( E ), qui ne sont donnés p ar la mon o dromie qu’à un enti er près. Rapp elons que l’immersion X fait au sommet a i ( i = 1 , . . . , n +2 ) un angle de (1 − ε i θ i ) π , où ε i = ± 1 , et au sommet a n +3 , un an gle de (1 − θ n +3 ) π , que la surf ace ait un b out en a n +3 ou qu’elle soit b ornée. 3.2. Mo nodr omie et propriétés de réal i té 43 Prop osition 3.8. L es p oints x = t 1 , . . . , t n +3 sont des singularités fuchsiennes et non lo garithmiques de l’é quation ( E ) . Pour tout i = 1 , . . . , n + 2 , les exp osants e n x = t i sont de la forme − ε i θ i 2 , r i + ε i θ i 2 ( r i ∈ N ) . De plus, si ε i = − 1 , alors r i ≥ 1 . L es exp osants au p oint x = ∞ sont de la forme 1 − θ n +3 2 , r n +3 − 1 + θ n +3 2 ( r n +3 ∈ N ∗ ) . De plus, la surfac e a un b out hélic oïdal en x = ∞ si et seulement si r n +3 = 1 . Démonstr ation. Mon trons tout d ’a b ord que la singularité x = t i est fuc hsienne. Comme on s’in téresse à p résen t à des propriétés lo cale s de l’équation ( E ) , on p eut c hoisir la p ositio n d u rep ère orthonormal de R 3 tel que le v ecteur normal v i coïncide a v ec le troisième vec teur d e base e 3 = (0 , 0 , 1) . On n ot e toujours Y 0 = ( G, H ) les données de W eierstrass corresp ondant à cette p osition, et X l’ immersion asso ci ée. La matrice de m ono dromie M i du système Y 0 ( x ) est alors un relev é de la rotation d’axe ( O , e 3 ) et d’angle 2 π θ i et elle s’écrit donc M i = δ i e iθ i π 0 0 e − iθ i π ! , a v ec δ i = +1 ou − 1 . (3.7 ) Les fonctions G ( x ) et H ( x ) son t donc de la forme G ( x ) = ( x − t i ) 1 − δ i 4 + θ i 2 ϕ ( x ) H ( x ) = ( x − t i ) − 1 − δ i 4 − θ i 2 ψ ( x ) où le s fonctions ϕ ( x ) et ψ ( x ) sont uniformes au v oisinage de x = t i . Comme les primitiv es Z x x 0 G ( ξ ) 2 dξ , Z x x 0 H ( ξ ) 2 dξ , Z x x 0 G ( ξ ) H ( ξ ) dξ qui inte rviennent dans l’expression de l’immersion X prenn en t des v aleurs ﬁ nies en x = t i , les fonctions ϕ ( x ) et ψ ( x ) n’on t pas de singularité essen tiell e en x = t i , et son t donc méromorphes en ce p oin t. On en conclut donc que la singularité x = t i est fuc hsienne. Comme la matrice M i est d iagonalisable, cette singularité n’est p as loga rithmique. Chacun des deu x exposants est déterminé à u n en tier p rès, et leur somme est u n en tier r el atif. P our être plus précis sur la v aleur des exp osan ts, il faut étudier le comp ortemen t du système fondamenta l Y 0 ( x ) en utilisan t l’expression de l’immersion X aux sommets du p olygone. Soien t s i 1 et s i 2 les exp osan ts en x = t i , s i 1 < s i 2 . Leur somme r i := s i 1 + s i 2 est un en tier relatif. Supp osons tout d’ab ord i 6 = n + 3 . On a vu que le fait de supp oser v i = e 3 implique que le système fondamental Y 0 ( x ) est canonique en x = t i . Comme la p rojection stéréographique nord de N ( x ) est − G ( x ) /H ( x ) , on v oit que si le ve cteur de Gauss N ( t i ) est égal à e 3 , alors la f o nction H ( x ) est canonique p our l’exp osa nt le plus grand s i 2 , et si N ( t i ) est égal à − e 3 , alors G ( x ) est canonique p our s i 2 . Su pp o sons par exemple que N ( t i ) = e 3 . O n a alors en x = t i les équiv alen ts G ( x ) ∼ a ( x − t i ) s i 1 , H ( x ) ∼ b ( x − t i ) r i − s i 1 , où les constan tes a et b sont n on nulles. À une rotation d’axe ( O , e 3 ) près, on p eut sup p oser ces constant es réelles. On en déduit, si r i 6 = − 1 , X ( x ) − X ( t i ) ∼ ℜ     ia 2 2 α i +1 ( x − t i ) 2 s i 1 +1 a 2 2 α i +1 ( x − t i ) 2 s i 1 +1 2 iab r i +1 ( x − t i ) r i +1     . (3.8) 44 Chapitre 3. L’équa tion associée à un disque minimal à bord pol ygonal Mais on ne p eut pas a v oir r i = − 1 , car alors l’immersion X serait asymptote à une hélicoïde en x = t i ; on ne p eut p as non plus av oir r i < − 1 , vu que l’immersion X est à v aleurs ﬁn ie s en x = t i . Lorsque, dans l’équiv alen t précéden t, la quan tité x − t i prend des v ale urs réelles inﬁniment p etites, p ositiv es puis négativ es, on v oit que la quant ité (2 s i 1 + 1) π est l’angle que fait la surface minimale au s o mmet a i , c’est -à-dire 2 s i 1 + 1 = 1 − ε i θ i . O n obtien t donc s i 1 = − ε i θ i 2 , s i 2 = r i + ε i θ i 2 , et lorsque ε i = − 1 , l’i négalité s i 1 < s i 2 donne la minoration r i ≥ 1 . P our d ét erminer les exp osan ts au p oin t x = ∞ , on fait le c hangemen t d e v ariables w = 1 / x dans l’immersion X X  1 w  = −ℜ Z      i  G 2  1 w  − H 2  1 w  G 2  1 w  + H 2  1 w  2 iG  1 w  H  1 w       dw w 2 . On pro cède comme précédemmen t en supp osan t qu’en w = 0 on a les équiv alent s G  1 w  ∼ aw s n +3 1 , H  1 w  ∼ bw r n +3 − s n +3 1 , a v ec a, b ∈ R ∗ . Si l’en tier r n +3 est négatif ou n ul, alors la su rface n’est pas b ornée au v oisinage de w = 0 , et elle n’a p as de b out h élicoïdal : ce cas est exclu. S i r n +3 = 1 , la surface a un b out hélicoïdal. Si r n +3 ≥ 2 , la situation est la même que précédemmen t. On obtien t donc r n +3 ≥ 1 et 2 s n +3 1 − 1 = 1 − θ n +3 et on conclut de même. On représen te aux ﬁ gures 3.2, 3.3, 3.4 et 3.5 les diﬀérent es conﬁgurations lo cales p os- sibles p our une su rface m inimal e en un sommet d’un p olygone. On a c h oi si u n angle in térieur de π / 3 au sommet considéré, i.e. θ = 2 / 3 . La s u rface fait d o nc un angle sail lan t de π / 3 ( ε = 1 ) ou un angle rentran t de 5 π / 3 ( ε = − 1 ). Lorsque ε = 1 , les exp osan ts de l’équation sont − 1 3 , r + 1 3 ( r ≥ 0) . Lorsque ε = − 1 , les exp osan ts sont 1 3 , r − 1 3 ( r ≥ 1) . Les ﬁgures 3.2 et 3.3 corresp onden t aux v aleurs « minimales » de l’en tier r ( r = 0 lorsque ε = 1 , et r = 1 lorsque ε = − 1 ). Comme on le voi t sur les ﬁgures 3.4 et 3.5, lorsque l’enti er r est sup érieur à ces v aleurs, on p eut considérer que le sommet est, en un sens, égalemen t un ombili c. On dira que la situation en un sommet a i ∈ R 3 est gé né riqu e lorsque ε i = 1 et r i = 0 , c’est-à- dire lorsque les exp osan ts son t opp osés : − θ i 2 et θ i 2 (ﬁgure 3.2). On p eut alors en déduire les autres conﬁgurations p ossibles en a joutan t un ent ier naturel à l’un des exp o- san ts : c’est eﬀectiv emen t ce qu i se pr oduira au cours d e la d éformation iso mono dromique. A u sommet a n +3 , on d ira que la situation est générique lorsque r n +3 = 1 . En particulier, ceci signiﬁe que génériquemen t, on a un b out hélicoïdal en a n +3 . 3.2. Mo nodr omie et propriétés de réal i té 45 Figure 3.2 – Situation générique : angle saillan t sans om bilic ( θ = 2 / 3 , ε = 1 , r = 0 ) Figure 3.3 – Angle rentran t sans om bilic ( θ = 2 / 3 , ε = − 1 , r = 1 ) Figure 3.4 – Angle saillan t a v ec un om- bilic ( θ = 2 / 3 , ε = 1 , r = 1 ) Figure 3.5 – Angle r en trant a v ec un om- bilic ( θ = 2 / 3 , ε = − 1 , r = 2 ) Remarque 3.9. Un p oint de br anchement au b or d d e l’immersion X est u n p oint x 0 ∈ R tel qu e la norme de ∂ X/∂ x tende vers 0 lorsque x ∈ C + tend v ers x 0 . P ar d éﬁnitio n de l’ensem ble X n D , les seuls p oin ts de branc hemen t au b ord p ossibles son t les sommets de P . D’après (3.8), comme le plus p etit des exposants en x = t i est s i 1 = ε i θ i / 2 , on a en x = t i     ∂ X ∂ x     ∼ a | x − t i | ε i θ i ( a > 0) . 46 Chapitre 3. L’équa tion associée à un disque minimal à bord pol ygonal Le p oin t x = t i est donc un p oi nt d e b ranc h ement si et seulemen t si ε i = − 1 . Les un iques p oin ts de br anchemen t d e l’immersion X sont donc les sommets en lesquels elle a un angle ren tran t, et l’ordre de ces p oint s de branc hemen t est 1 (car θ i < 1 ). Remarque 3.10. La v aleur des exp osan ts donnée à la prop osition 3.8 implique qu e les v aleurs propr es de la matrice M i son t exp( ± iπ θ i ) , c’est -à-dire qu e le signe δ i in terv enan t dans sa diagonalisée (3.7) est + 1 (sauf lorsque θ i = 1 / 2 , les ca s δ i = +1 et − 1 étan t alors équiv alen ts). On détermine ainsi entiè rement la matrice M i à p artir du p olygone P , puisqu’on a lev é la d e rnière indétermination, à sa v oir le c hoix du relev é d e la rotatio n d’axe v i = ( v 1 i , v 2 i , v 3 i ) et d’angle 2 θ i π : par (1.5), les matrices M i v alen t donc M i = cos( θ i π ) I 2 − i sin( θ i π ) − v 3 i v 1 i − iv 2 i v 1 i + iv 2 i v 3 i ! . Cette information supplémen taire provie nt du fait qu’on a exprimé quelles son t les orie n- tations des cô tés du p olygone, et n on pas seulemen t leurs directions. En eﬀet , en étudian t le comp ortemen t de l’immersion X au v oisinage du p oint x = t i , on a distingué le cas où les côt és adjacen ts au sommet a i son t dirigés p a r les vect eurs u i − 1 et u i , du cas où ils son t dirigés par les v ecteurs − u i − 1 et u i . Dans le second cas, la normale au sommet a i est − v i et l’a ngle extérieur est (1 − θ i ) π . Ces deux cas déﬁnissen t au sommet a i la même rotation, mais le c hoix du relev é p ermet de les distinguer. On en déduit donc égalemen t que les c hoix des relev és D i des demi-tours sont d ét erminés par les orientat ions des côtés du p olygone (à une in d ét ermination globale près, puisqu e si on remplace toutes les m a trices D i par leurs opp osées, on ne c h a nge pas les matrices de mono dromie M i ). À un jeu de directions orien tées D = ( D 1 , . . . , D n +3 ) corresp ond donc un ( n + 3) -uplet de relev és d e demi-tours autour de ces directions, que l’on n ot e éga lemen t D . Les s in g ularités t i ( i = 1 , . . . , n + 3 ) sont fu c hsienn e s. Les autres singularités de l’équa- tion ( E ) sont les om bilics de l’immersion X et leurs conjugués, c’est-à-dire des p oin ts où le système fondamenta l d e solutions Y 0 ( x ) est holomorphe. Ces autres singularités son t donc aussi fuc hsiennes. On en dédu it donc la p roposition suiv ante. Prop osition 3.11. L’é quation ( E ) est une é quation fuchsienne r é el le sur la sp hèr e de R iemann P 1 . On d it que l’équation ( E ) est réelle pour signiﬁer que ses cœﬃcien ts p ( x ) and q ( x ) son t réels sur l’axe réel (prop o sition 3.5). 3.3 Singularités apparen tes Les singu larités qui nous reste à étudier son t les p oin ts où les fonctions G et H sont holomorphes, mais où leur W ronsk ien GH ′ − H G ′ s’ann ule : ce son t les ombilic s d e l’im- mersion X , et leurs conjugués dans le demi-plan inférieur C − (on p eut remarquer que, p our une surface minimale, les courb ures principales son t nulles en un om bilic). Ces sin- gularités sont fu c hsienn e s et apparentes (déﬁnition 2.8) e t leurs exposant s son t d es en tiers naturels. Les deux lemmes suiv an ts p réc isen t la v aleur d e leur s exp osan ts, et le nom bre des singularités apparen tes. Lemme 3.12. L es singularités ap p ar entes de l’é quation ( E ) sont r é el les ou c onjugué es deux à deux. Deux singu la rités app ar e ntes qui sont c onjugué es ont les mêmes exp osants. L es singularités app ar entes de l’é quation ( E ) qui sont r é el les ou dans C + sont les ombilics 3.3. S i ngularités app ar entes 47 de l’immersion c onforme minimale X : C + → R 3 . L es exp osants en une de c es singularités x = λ sont 0 et un entier natur el m ≥ 2 , tel que m − 1 soit l’or dr e du zér o de la diﬀér e ntiel le de Hopf Q en x = λ . Démonstr ation. Considérons tout d’ab ord u n p oin t r ég ulier quelconque x = λ de l’im- mersion X , λ ∈ C + r S ( t ) . Comme précédemmen t, on c hoisit une p ositio n du repère orthonormal d e R 3 tel que le vect eur de Ga uss N ( λ ) de l’immersion X en x = λ coïncide a v ec le troisième vect eur de base e 3 . Dans cette p osition, on a X ( x ) − X ( λ ) = ℜ    ( x − λ ) ϕ 1 ( x ) ( x − λ ) ϕ 2 ( x ) ( x − λ ) m +1 ϕ 3 ( x )    , où l’en tier m est sup érieur ou égal à 1 , et où les fonctions ϕ i ( x ) son t holomorphes au v oisinage du p oin t x = λ . La fonction ϕ 3 ( x ) ne s’ann ule pas en x = λ , ni l’une ou l’autre des fonctions ϕ 1 ( x ) et ϕ 2 ( x ) . Par déﬁnition de la d iﬀé rent ielle de Hopf, l’e nt ier m − 1 est l’ordre du zéro de Q ( x ) en x = λ . S i m = 1 , le p oin t x = λ est un p oint ordin a ire de l’immersion X , et si m ≥ 2 , c’e st un ombilic . Supp osons m ≥ 2 . De l’expression de l’immersion X au vo isinage de x = λ , on d éd u it que les fonctions G ( x ) et H ( x ) satisfon t – l’un e des primitiv es Z x λ G ( ξ ) 2 dξ ou Z x λ H ( ξ ) 2 dξ est de la forme ( x − λ ) ϕ ( x ) , – la primitiv e Z x λ G ( ξ ) H ( ξ ) dξ est de la forme ( x − λ ) m +1 ϕ ( x ) , où ϕ ( x ) désigne toute fonction holo morphe et n on nulle a u p oin t x = λ . Si on a par exemple Z x λ G ( ξ ) 2 dξ = ( x − λ ) ϕ ( x ) , alors G ( λ ) 6 = 0 et G est donc d’exp osan t 0 . De la deuxième asserti on on déduit alors H ( x ) = ( x − λ ) m ϕ ( x ) . Dans le demi-plan inférieur C − , les singularités son t les co njugués des singularités con ten ues dans C + (elles corresp ondent à d es p oin ts symétriques sur la surface min ima le). Comme les exp osan ts en une singularité apparente son t réels, les exp osan ts en deux sin- gularités conjuguées son t les mêmes. L’équation ( E ) a u n n o mbre ﬁni de singularités. Le lemme suiv an t donne une ma jora- tion d u nom bre N ∈ N de singularités apparen tes. Lemme 3.13. L’é quation ( E ) a au plus n singularités app ar entes. Démonstr ation. Il suﬃt d’appliquer la relation de F u c hs (2.3) à l’équation ( E ). On note λ 1 , . . . , λ N les sin gu larités apparen tes, et m 1 , . . . , m N leurs exp osan ts non nuls resp ectifs. P ar la p r oposition 3.8 et le lemme 3.12, et comme l’équatio n ( E ) a n + 3 + N singularités, la relation de F uc hs s’écrit n +3 X i =1 r i + N X k =1 m k = n + 1 + N . (3.9) V u les minorations sur les entie rs r i et m k , on obtien t N ≤ n . Si le nombre de singularités apparen tes est maximal : N = n , la v aleur des entie rs r i et m k est déterminée par la relat ion de F uchs (3.9), et ils v alen t alo rs r i = 0 ( i = 1 , . . . , n + 2) , r n +3 = 1 , m k = 2 ( k = 1 , . . . , n ) . 48 Chapitre 3. L’équa tion associée à un disque minimal à bord pol ygonal T outes le s s in g ularités de l’équation ( E ) son t donc génériques, et on dit alors que l’immer- sion X et l’équation ( E ) qui lui est asso ciée son t elles-mêmes génériques. En p articulier, la su rface minimale fait alors en c haque sommet a i un angle saillan t, et elle n’a p as de p oin t de b ranc h e ment au b ord. On p eut v oir le cas N < n comme pr ov enant de cette situation générique par la fusion de certaines singularité s apparen tes av ec d’autres singu- larités apparen tes ou a v ec des sommets t i : c’est eﬀec tiv emen t ce qui se prod uira au cours de la d éfo rmation isomono dromique. La fusion d’une singularité apparen te d ’e xp osan ts 0 et 2 av ec une autre sin g ularité augmente l’un des exp osan ts de cette autre sin g ularité d’une u nité . En fait, le sens d e ce processus de fusion n’est pas éviden t du p oi nt de vue de l’équation ( E ) ; l’utilisation des sys t èmes fuc hsiens au chapitre suiv an t rendra ce pro cessus plus clair et plus simple. Remarque 3.14. Comme on l’a vu à la section p r éc éden te, la conﬁ gu artion générique en le sommet a n +3 est d’a v oir un b out hélicoïdal. S i le b ord p olygonal de l’immersion X est un e courb e fermée, ce la signiﬁe d onc qu’une singularité apparen te coïncide a v ec la singularité x = ∞ : ce ci t ransforme les exp osan ts en l’inﬁn i de  1 − θ i 2 , θ i 2  à  1 − θ i 2 , 1 + θ i 2  . Le nom bre maximal de singularités apparen tes est alors n − 1 . C ec i explique p ourquoi on considère des d isques minimaux a y an t pour b ord une ligne brisée p ouvant êtr e inﬁnie . En eﬀet , au c hapitre suiv ant, on sera en particulier amené à résoudre le problème de Riemann–Hilb ert p our la mono dromie donnée à la p roposition 3.7. D’après le théorème 2.9, on obtiendr a alors des équations fuc hsiennes ay ant au plus n singularités apparan tes, et non p as n − 1 . P our construire d es déformations isomono dromiques, que ce soit par le système de Garnier ou le système de Sc hlesinger, on a égalemen t b esoin génériquemen t de n sin gu larités apparen tes. 3.4 Les équations fuc hsiennes asso ciées à un jeu de direc- tions orien tées P our tout jeu de directions orienté es D = ( D 1 , . . . , D n +3 ) ∈ D n , on a montré que p our toute immersion X ∈ X n D , l’unique équation d iﬀé renti elle linéaire d u second ord re ( E ) don t ses données de W eierstrass G et H soien t solutions satisfait les trois conditions suiv an tes — où on note toujour s θ i π l’angle exté rieur entre le s directions D i − 1 et D i , et où on identi ﬁe directions orienté es et r elevé s de d e mi-tours (remarqu e 3.10). (i) L’équation ( E ) est fuchsienne su r la sphère de Riemann P 1 . Elle a n + 3 singularité s non apparen tes distinctes t 1 , . . . , t n , t n +1 = 0 , t n +2 = 1 , t n +3 = ∞ , et au plus n singularités apparentes λ 1 , . . . , λ N ( N ≤ n ). Son sc héma de Riemann est donné par    x = t i x = ∞ x = λ k − ε i θ i 2 1 − θ ∞ 2 0 r i + ε i θ i 2 r ∞ − 1 + θ ∞ 2 m k    i = 1 , . . . , n + 2 , k = 1 , . . . , N , (3.10) où ε i = ± 1 , les constant es r i et m k son t des en tiers naturels, qui v ériﬁen t de plus : r ∞ ≥ 1 , m k ≥ 2 et la relation (3.9). (ii) Un système M i ( i = 1 , . . . , n + 3 ) de générateurs de la monodr omi e de l’équation ( E ) le long des lacets γ i déﬁnis à la ﬁgur e 3.1 s’écrit M i = D i D − 1 i − 1 , où D i ∈ S U (2) , D 2 i = − I 2 . 3.4. Les é qua tions f uchsiennes associées à un jeu de directions orientées 49 (iii) L’équation ( E ) est r éelle, et le n -uplet de singularités t = ( t 1 , . . . , t n ) appartien t au simplexe π n = { t ∈ R n | t 1 < · · · < t n < 0 } . (3.11) Remarquons que la cond it ion (iii), qu e l’on app ellera c ondition de r é alité , assur e que les singularités apparente s sont r é elles ou conju g uées deux à deux. Le fait que les direc- tions D i ne soient pas toute s coplanaires assur e que la mono dromie de l’équat ion ( E ) est irréductible. Déﬁnition 3.15. Pour tout jeu de directions orient ées D ∈ D n , on déﬁnit l’ensem ble E n D des équations fuc hsiennes satisfaisan t les conditions (i), (ii) et (iii) ci-dessus. D’après la prop ositio n 2.4, et la v aleur d e s exp osan ts, les cœﬃcien ts p ( x ) et q ( x ) d ’une équation ( E ) satisfaisan t la condition (i) son t de la forme p ( x ) = n +2 X i =1 1 − r i x − t i + N X k =1 1 − m k x − λ k , q ( x ) = − 1 4 n +2 X i =1 θ i (2 ε i r i + θ i ) ( x − t i ) 2 + κ x ( x − 1) − n X i =1 t i ( t i − 1) K i x ( x − 1)( x − t i ) + N X k =1 λ k ( λ k − 1) µ k x ( x − 1)( x − λ k ) , où κ =  r ∞ − 1 + θ ∞ 2   1 − θ ∞ 2  + 1 4 P n +2 i =1 θ i (2 ε i r i + θ i ) . Si l’on imp ose que les λ k soien t des sin gu larités apparente s, alors on obtient que les K i s’exprimen t rationnellemen t en fonction des autres paramètres t , λ et µ (voi r la prop ositio n A.1). La s tr atégie que su it Garnier consiste à mon trer que l’on p eut c hoisir les paramètres t , λ et µ d e telle sorte que l’équation ainsi obten ue satisfasse égale ment la conditions (ii) et (iii). On ne déta ille pas plus ce p oin t de vu e, p uisque con trairement à Garnier, on v a dès le chapitre suiv an t utiliser exclusiv emen t des sys t èmes fuc hsiens. On p eut déduire de l’expression de p ( x ) que, lorsque N = n , c’est-à-dire lorsqu e la surface et l’équati on son t génériques, la diﬀérentie lle de Hopf d’u n e immersion X ∈ X n D s’écrit Q = i Λ( x ) T ( x ) dx 2 , où les p olynômes Λ( x ) et T ( x ) son t donnés par (2.17). L’expression générale de la diﬀé- ren tielle d e Hopf, lorsque N < n , est obtenue en autorisan t les λ k à être éga ux en tre eux, et à des t i . D’après la condition (ii), les ensembles E n D son t des ensembles isomono dromiques d’équations fuchsiennes. On n ot e ρ D : π 1  P 1 r S ( t ) , x 0  → GL (2 , C ) (3.12) la repr ése nt ation de mono dromie engendrée par les matrices M i = D i D − 1 i − 1 . La p roposition suiv an te nous dit que les trois conditions ci-dessus caractérisen t les équations diﬀéren tielles linéaires du second ordre qui p ro viennent d’une surface minimale à b ord p ol ygonal, et donc qu’il est p ertinen t d’utiliser l’espace E n D p our décrire les immersions de X n D . 50 Chapitre 3. L’équa tion associée à un disque minimal à bord pol ygonal Prop osition 3.16. Soit D ∈ D n un jeu de dir e ctions orienté es. L a c orr esp ondanc e établie p ar la r epr ésentation de W eierstr ass entr e les esp ac es X n D et E n D est bije ctive. En p articulier, toute é quation de E n D admet u n système fondamental de solutions ( G, H ) qui c onstitue les donné es de W eierstr ass d’une immersion c onfor me minimale X ∈ X n D . Il n’y a aucune traduction naturelle de la longueur des côtés du p o lygone P en terme de propr ié tés de l’équation fuc hsienne ( E ). Étan t donné un jeu de directions orien tées D ∈ D n , on v a donc pro cé der ainsi p our résoudre le prob lème de Plateau : à c haque équation ( E ) de l’ensem ble E n D est asso cié par la prop ositio n pr éc éden te u n p olyg one P E ∈ P n D p our lequel on sait que le p roblème de Plateau admet au moins une solution dans X n D . Il s’agit donc de m o nt rer que la famille de p olyg ones ( P E , ( E ) ∈ E n D ) ainsi obten ue décrit entiè rement l’ensem ble P n D . O n pro cède en deu x étap es : on commence au c hapitre 4 par décrire explicitemen t, en utilisan t des déformations isomono dromiques, cette famille de p olygones. Puis, on u tilise au c hapitre 5 la description obt en ue p our étudier leurs rapp orts de longueur. Énonçons d’ab ord un lemme utile à la démonstration de la prop osition 3.16 et qui est une conséquence immédiate de la métho de de F röb enius en une singularité fuchsienne. Lemme 3.17. Soient u ne é quation fuchsienne r é el le, et x = x 0 une singularité r é el le et non lo garithm ique de c ette é quation, d’exp osants θ − et θ + (qui sont donc r é els ou c onju- gués). A lors, l’é quation admet en x = x 0 un système c anon ique de solutions : g ( x ) = ( x − x 0 ) θ − ϕ ( x ) , h ( x ) = ( x − x 0 ) θ + ψ ( x ) tel que les fonctions ϕ ( x ) et ψ ( x ) sont analytiques r é el les au voisinage de x = x 0 . Démonstr ation de la pr op osition 3.16. Montrons tout d’ab ord la sur jec tivité de la corres- p ondance. S oit ( E ) une équation de l’ensem ble E n D . Remarquons tout d’ab ord que tout système fondament al de solutions Y 0 = ( G, H ) de ( E ) , restrein t au demi-plan sup érieur C + , constitue les d onnées de W eierstrass d ’une immersion conforme minimale X : C + → R 3 , déﬁnie à translation p rès. En eﬀet, les fonctions G et H son t alors holomorphes d a ns C + , puisqu’il n ’y a pas de singulartiés non apparen tes dans C + , et elles n’on t pas de zéro com- m un — sinon, un tel zéro s e rait u ne singularité apparente de l’équation ( E ) a yan t p our exp osan ts deux en tiers natur els non n uls, ce qui est exclu par la condition (i). De plus, cette immersion s’étend cont in ûment à R r S ( t ) . On choisi t le système fondamenta l Y 0 ( x ) tel que ses m atrices de mono dromie le long des lacets γ i son t les matrices M i de la condition (ii). Un tel système n ’e st pas unique, l’ensem ble d es s ystè mes fon d amen taux a yan t les mêmes matrices d e monodr o mie sont les systèmes λ · Y 0 ( x ) ( λ ∈ C ∗ ). Ceci est un e conséquence directe de la relation (2.5) et du fait que le s matrices M i ne son t pas sim ultanémen t diago nalisables (car alors le s directions D i seraien t to utes coplanaires). Les système s λ · Y 0 ( x ) déﬁnissen t la famille d’immersions X λ . On v a mon trer que p our un choix con v enable λ 0 du s c alaire λ , l’immersion X λ 0 est limités par des s egments de droite, de directions orie nt ées D = ( D 1 , . . . , D n +3 ) . On v oit qu’un tel scalaire λ 0 n’est pas un iqu e, on p eut considérer que λ ∈ S 2 , et que les immersions X λ son t déﬁnies à homothétie s de r apport p ositif près, i.e. son t d es élémen ts de X n D . P ar le lemme 1.8, l’immersion X λ est limitée p ar des segmen ts d e droite si et seulement si, p our tout i = 1 , . . . , n + 3 , il existe une matrice S i ∈ S U (2) telle que le système fondamen tal λ · Y 0 ( x ) · S i soit réel ou purement imaginaire sur l’inte rv alle ] t i , t i +1 [ . O n commence p ar montrer l’existence d’un scalai re λ tel que la condition précéden te soit v ériﬁée p our i = n + 3 . Soit une matrice S ′ ∞ ∈ S U (2) telle que M ∞ = S ′ ∞ e iθ ∞ π 0 0 e − iθ ∞ π ! S ′ ∞ t . 3.4. Les é qua tions f uchsiennes associées à un jeu de directions orientées 51 La matrice S ′ ∞ est un relev é d’une rotat ion en v o y an t le v ecteur n ormal v n +3 sur le vect eur de base e 3 . Alors le système Y 0 ( x ) · S ′ ∞ est canonique en x = ∞ , et il s’écrit donc Y 0 ( x ) · S ′ ∞ = ( a g ∞ ( x ) , b h ∞ ( x )) où a, b ∈ C ∗ , et où le système canonique ( g ∞ ( x ) , h ∞ ( x )) est donné par le lemme 3.17. On écrit a = r e i ( ϕ + ψ ) et b = ρe i ( ϕ − ψ ) , et on choi sit λ 0 := e − iϕ et S ∞ := S ′ ∞ e − iψ 0 0 e iψ ! . Alors la matrice S ∞ est d a ns S U (2) et on obtien t λ 0 · Y 0 ( x ) · S ∞ = ( r g ∞ ( x ) , ρ h ∞ ( x )) . Le système λ 0 · Y 0 ( x ) · S ∞ est donc réel sur l’in terv alle ] − ∞ , t 1 [ . Mon trons à présen t qu’il existe une matrice S 1 ∈ S U (2) telle que le système λ 0 · Y 0 ( x ) · S 1 soit réel ou puremen t imaginaire sur ] t 1 , t 2 [ . P ar itération, on en déduira le résultat v oulu sur chaque int erv alle ] t i , t i +1 [ . L e pro cessus d’itération rep ose sur le fait que d’après le lemme 3.17, il existe p our tout i = 1 , . . . , n + 3 un système f o ndamenta l canonique au p oin t x = t i G i ( x ) = ( g i ( x ) , h i ( x )) déﬁni et holomorphe dans C + , qui soit r ée l sur l’in terv alle ] t i , t i +1 [ et tel qu e le sys tème ( e − i θ i 2 π g i ( x ) , e i θ i 2 π h i ( x )) soit réel s u r l’int erv alle ] t i − 1 , t i [ . On en d éduit donc qu e p our tout i , il existe une matrice A i ∈ GL (2 , R ) tell e que G i − 1 ( x ) = G i ( x )   e − i θ i 2 π 0 0 e i θ i 2 π   A i . Comparons le système λ 0 · Y 0 ( x ) au système G 1 ( x ) qui est réel sur ] t 1 , t 2 [ . P ar construction, on a λ 0 · Y 0 ( x ) = G ∞ ( x ) r 0 0 ρ ! S ∞ t , et donc λ 0 · Y 0 ( x ) = G 1 ( x )   e − i θ 1 2 π 0 0 e i θ 1 2 π   A 1 r 0 0 ρ ! S ∞ t . Il s’agit de montrer l’exi stence d’une matrice B 1 ∈ GL (2 , R ) et d’une matrice S 1 ∈ S U (2) telles que   e − i θ 1 2 π 0 0 e i θ 1 2 π   A 1 r 0 0 ρ ! S ∞ t = B 1 S 1 t . On obtien t ceci en in tro duisan t une matric e S ′ 1 ∈ S U (2) vériﬁan t M 1 = S ′ 1 e iθ 1 π 0 0 e − iθ 1 π ! S ′ 1 t , en comparan t, comme à l’étap e précéden te, les systèmes λ 0 · Y 0 ( x ) · S ′ 1 et G 1 ( x ) , et enﬁn en exprimant que le déterminan t du pro duit suiv ant   e − i θ 1 2 π 0 0 e i θ 1 2 π   A 1 r 0 0 ρ ! S ∞ t S ′ 1 52 Chapitre 3. L’équa tion associée à un disque minimal à bord pol ygonal est réel. On a donc mont ré que l’immersion X λ 0 : C + → R 3 , d e données de W eierstrass λ 0 · Y 0 ( x ) , représen te un disque minimal don t le b ord est constitué de segmen ts de droite, de lon- gueur éve nt uellemen t inﬁnie. V u l’expression des matrices M i donnée par la condition (ii), ces segmen ts d e droites son t nécessairemen t dirigés et orientés par les D i . Le schéma de Riemann (3.10) d onne le co mp ortemen t lo cal de X λ 0 au vo isinage des p oin ts x = t i : l’immersion X λ 0 est b ornée en les t i ( i 6 = n + 3 ), et le b ord du d isque minimal est donc bien u n élémen t de P n D . Discutons à p résen t le comp ortemen t de X λ 0 au v oisinage de x = ∞ . Si r n +3 ≥ 2 , alors l’immersion X λ 0 se comp orte comme en les autres sommets, et le b ord du disque minimal représent é par X λ 0 est un p olygone de R 3 . Si r n +3 = 1 , l’immersion n ’e st pas b ornée au v oisinage de x = ∞ , elle est asymptote à une hélicoïde d’axe v n +3 con tenan t les droites p assa nt par les sommets a 1 et a n +2 et dir ig ées r espectiv emen t par D n +3 et D n +2 . V u l’étude lo cale réalisée à la d émo nstration de la p roposition 3.8, cette hélicoïde n e p eut pas être « dégénérée » , i.e. elle ne p eut pas être plane, et les demi-droites ( a 1 , − D n +3 ) et ( a n +2 , D n +2 ) n e p euv ent pas se coup er : le sommet a n +3 est en l’inﬁni. Il n’y a pas d’autres comp ortemen ts p ossibles en x = ∞ . L’immersion X λ 0 v ériﬁe donc bien les conditions de la d éﬁ n iti on 3.4 et appartient à l’ensemble X n D . Enﬁn, le caractère injectif de la corresp ondance en tre E n D et X n D pro vien t du fait qu e d’une part, les immersions de X n D son t déﬁn ies à translations et homothéties de r a pp ort p o- sitif près, et d’autre p art, que dans un e famille asso ciée d ’i mmersions conformes minimales, au plus une immersion représen te une surface minimale à b ord p olygonal. Remarque 3.18. On observe que dans la d émonstrat ion de la p r oposition 3.16, p our mon trer qu’une équat ion satisfaisan t les conditio ns (i), (ii) et (ii i) déﬁnit une s urface mi- nimale limitée p a r des segmen ts de d roit e, on a utilisé le fait qu ’un système d e générateurs de la mono dromie soit dans S U (2) , mais n ulle part l’écriture en pro duit de demi-tours successifs de la condition (ii). Cette éc riture est donc une conséquence d e la condition de réalité (iii) et de l’existence d’une représentio n unitaire de la mono dromie (la condi- tion (i) n ’intervien t pas dans cette implica tion). La r éc ipro que d e cette assertio n nous sera utile dans la résolution du problème d e Plateau et sera discutée au c hapitre suiv an t (prop osition 4.5). E n fait, on a vu que la co ndition (iii) p ro vien t du fait que la surface est b ordée par un p olygone, et que la condition (ii) est l’expression du p r incipe de réﬂexion de Sch warz : ces deux co nditions ne sont donc pas indép endant es. Chapitre 4 Déformations is omono dromiques Le b ut d e ce c hapitre est d’obtenir, au mo y en de déformations isomonodr omiques, une description explicite de l’ensemble X n D des immersions conformes minimales à b ord p oly- gonal de direct ions ﬁ xé es (déﬁn it ion 3.4 ). On v a montrer qu e l’ensem ble X n D est paramétré par le n -uplet t = ( t 1 , . . . , t n ) des an técé dents des sommets, et que la dép endance en t des immersions est d o nnée par le système de S c hlesinger. Cette description nous s era ensuite utile au c h apitre suiv ant p our résoudr e le problème de Plateau. La d émarc he suivie par Ga rnier consiste à décrire directemen t l’ensem ble d’équations E n D in tro duit au chapitre précéden t (déﬁn iti on 3.15). L e s déformat ions isomono dromiques des équations satisfaisan t la condition (i) de la section 3.4 son t en eﬀet données par le système de Garnier (A.4). Ce p oin t de vu e est très tec h nique et co mplexe, principalemen t parce que le système de Garnier n’a pas la prop r ié té de P ainlev é (déﬁnition 2.18). On c hoisit donc plutôt de tra v ailler à présen t exclusiv emen t a v ec des systèmes fuchsiens, au lieu d’équations fuc hsiennes. On v a, en se b a san t su r les résu ltats d e la section 2.3, déﬁ n ir à la section 4.1 l’e nsemble analogue A n D des systèmes fuc hsiens asso ciés à un jeu d e directions orien tées D . La pr o- p ositio n 2.22 nous p ermet de caract ériser les systèmes qui appartiennent à cet ensemble, en traduisan t les conditions (i), (ii) et (iii), en des conditio ns corresp ondante s (a), (b) et (c) p ortan t su r les systèmes. La condition (a) concerne les singularités et les exp osan ts, la conditio n (b) concerne la monodr omie et elle est d onc iden tique à la condition (ii). La condition (c) est toujours un e condition de réalité. L’ensem ble A n D n’est pas en bijection a v ec l’ensemble X n D , puisqu e des systèmes fuc h sie ns diﬀérents p euven t déﬁnir la même équation. P our d éc rire l’ensem ble A n D , on commence, à la section 4.2, par lever une diﬃculté ignorée p ar Garnier, qu’est la condition de réalié (c). O n mon tre que la « réalité » d’un système fu chsien (ou d’un e équation fuchsienne) p eut être caractérisée par sa mono dromie : on éta blit u ne condition nécessaire et s uﬃsan te, qu’on app elle c ondition C1 , p ortan t sur la monodr o mie d’un système fuc hsien p our qu’il v ériﬁ e la condition (c). En particulier, on mon tre que la mono dromie ρ D déﬁnie p a r un jeu D vériﬁe la condition C1 : les systèmes satisfaisan t les conditions (a) et (b) v ériﬁen t donc automa tiquemen t la condition (c). Enﬁn, à la section 4.3, on p eut utiliser des déformations isomonod romiques p our décrire les sys tèmes satisfaisan t les conditions (a ) et (b). O n obtien t que l’ensem ble A n D con tien t une famille isomonod romique d e systèmes fu c hsiens ( A D ( t ) , t ∈ π n ) p a ramétrée p a r le s singularités t = ( t 1 , . . . , t n ) , décrite par le système de Sc h le singer (2.11) et qui est en bijection a v ec l’ensem ble X n D . On ob tient de p lus qu e la solution ( A 1 ( t ) , . . . , A n +2 ( t )) du système de Sc h le singer correspond an t à cette famille est holomorphe en tout p oin t d u 54 Chapitre 4. Déforma tions isomo nodr omiques simplexe π n (prop osition 4.10) : ce résultat, qui simp liﬁera l’étude de la f o nction « rapp orts des longueurs » au c h apitre suiv ant, est à la fois plus fort et plu s simp le à éta blir que celui obten u par Garnier p our les équations. Le cont en u d e ce c hapitre est totalemen t nouvea u par r a pp ort à l’article de Garnier, et égalemen t b ea ucoup plus simple que son étud e des équations fuc hsiennes de E n D . 4.1 Les systèmes fuc hsiens asso ciés à un jeu de directions orien tées On souhaite « transformer » les équations de l’ensem b le E n D en systèmes f uc hsiens. On a vu à la section 2.3 qu ’é tan t donn é un système fuc hsien, l’équation dont sont solutions les premières co mp osan tes y 1 de toute solution Y = ( y 1 , y 2 ) t de ce sys t ème est fuc hsienne (lemme 2.20). À l’inv erse, on a décrit l’ensem b le des sys tèmes fuc hsiens normalisés en l’inﬁni déﬁnissant, en ce sens, un e équ ation fuc hsienne donnée (prop osition 2.22). On a donc u ne corresp ondance explici te ent re équations fuc hsiennes e t systèmes fuc hsiens normalisés en l’inﬁni — du moins dans le cas générique , c’est-à-dire lorsque l’équation a un n om br e maximal N = n de singularités apparen tes. Ceci v a nous p ermettre à la fois de déﬁnir l’espac e analogue A n D des systèmes fuc hsiens asso c iés à un disque minimal à b ord p olygonal , et égalemen t de caracté riser les élémen ts de cet ensem ble par des conditions analogues aux conditions (i), (ii) et (iii) . La pr op osition 2.22 nous dit en particulier qu’un sysème fu c hsien non résonnant et normalisé en l’inﬁ n i est déterminé par l’équat ion qu ’i l déﬁnit, par un paramètre complexe supplémenta ire ξ , et par le c hoix d ’une normalisation en l’inﬁni parmi deux p ossibles. Dans la déﬁnition de A n D , on imp ose la normalisation suiv an te, on verra ensuite p ourquoi elle est plus appropriée. P ar con tre, on a b esoin que le paramètre ξ ne soit pas ﬁxé pou r p ouv oir construire d es déformations isomono dromiques. Déﬁnition 4.1. Pour tout jeu d e directions orien tées D ∈ D n , on déﬁnit l’e nsemble A n D des systèmes fu c hsiens qu i déﬁnissen t, au sen s du lemme 2.20 , une équation qui appartienne à l’ensem ble E n D , et qui soien t normalisés en l’inﬁni par A ∞ =  1 − θ ∞ 2  1 0 0 − 1 ! . (4.1) P ar co nstruction, on obtien t donc le résultat suiv an t. Prop osition 4.2. T out système fuchsien ap p artenant à A n D admet une matric e fonda- mentale de solutions Y 0 = G H e G e H ! dont la pr emièr e lig ne ( G, H ) c onstitue les donné e s de W eierstr ass d’une immersion ap- p artenant à X n D . R é cipr o quement, toute immer sion de X n D pr ovient en c e sens d’un système de A n D . Remarquons cepend an t que l’applicat ion A n D → X n D de la pr oposition p récé dent e, si elle est toujours bien déﬁnie et su rjecti v e, n’est plus injectiv e comme c’était le cas p our l’applicatio n anal ogue E n D → X n D : comme o n n’a pas imp osé d e v aleur au p aramè tre ξ ∈ C ∗ , on a b eaucoup plus d e systèmes que d’équations. P our d éc rire l’ensem ble X n D , il 4.1. Les s ystèmes fuchsiens as sociés à un jeu d e d ire c tions orientées 55 ne sera donc pas nécessaire de décrire tout l’ensem b le A n D , mais s eu lement une partie qui soit en b ije ction av ec X n D . En f ait, la corresp ondance ent re systèmes fuc hsiens et disques minimaux est moins n a turelle et immédiate que celle entre équations f u c hsienn e s et disques minimaux, pu isque il y a b eaucoup plus de lib erté dans le c hoix d’un sys t ème asso cié à une immersion. P ar exemple, des systèmes diﬀérentie ls qu i ne son t p as fuchsiens déﬁn issen t des équations qui, elles, son t fuchsiennes, comme le système Y ′ = 0 1 − q ( x ) − p ( x ) ! Y , où p ( x ) et q ( x ) son t les cœﬃcien ts d’une équation fuc hsienne. La prop osition 2.22 nous p ermet d ’établir la caractérisatio n su iv ante. Théorème 4.3. Pour tout jeu de dir e ctions orienté es D ∈ D n , l’ensemble A n D est l’en- semble des systèmes ( A ) qui vériﬁent les tr ois c onditions suivantes. (a) L e système ( A ) est fuchsien, il a n + 3 singularités distinctes t 1 , . . . , t n , t n +1 = 0 , t n +2 = 1 , t n +3 = ∞ , et s’é crit donc : D Y = A ( x ) Y , A ( x ) = n +2 X i =1 A i x − t i . ( A ) Pour tout i = 1 , . . . , n + 2 , les valeurs pr opr es de la matric e A i sont − θ i 2 et θ i 2 , et ( A ) est normalisé en l’inﬁni p ar (4.1) . (b) U n système M i ( i = 1 , . . . , n + 3 ) de génér ateurs de la mono dr omie du système ( A ) le long des lac ets γ i déﬁnis à la ﬁgur e 3.1 s’é crit M i = D i D − 1 i − 1 , où D i ∈ S U (2) , D i 2 = − I 2 . (c) L es singularités sont r é el les, t = ( t 1 , . . . , t n ) ∈ π n , et il existe un nombr e r é el η tel que p our tout i = 1 , . . . , n + 2 la matric e A i s’é crive A i = a i b i e iη c i e − iη d i ! où a i , d i ∈ R et b i , c i ∈ [0 , + ∞ [ . (4.2) Remarquons que la condition (a) est plus simple que la condition analogue (i). Les systèmes v ériﬁant cette conditio n son t n on résonnan ts car θ i / ∈ Z . Démonstr ation. On établit séparemmen t chac une des conditions (a), (b) et (c) en tradui- san t les conditions (i), (ii) et (ii i) . La co ndition (a). Mon trons qu’u n sys tème fuchsien n ormali sé en l’inﬁni p ar (4.1) déﬁnit une équati on satisfaisan t la condition (i) si et seulemen t s’il satisfait la condition (a). L’étude de la sectio n 2.3 concerne les équations génériques , c’est-à-dire a y an t un nombre maximal N = n de singu larités apparen tes, et il faut donc la généralise r. Rapp elons que le cœﬃcien t (1 , 2) d ’u n système fu c hsien ( A ) normalisé en l’inﬁni s’écrit A 12 ( x ) = ξ Λ( x ) T ( x ) , où Λ( x ) = n Y k =1 ( x − λ k ) , T ( x ) = n +2 Y i =1 ( x − t i ) , 56 Chapitre 4. Déforma tions isomo nodr omiques et ξ ∈ C ∗ . E n toute gé néralité, les zéros λ 1 , . . . , λ n de A 12 ( x ) p euv ent non seulemen t être égaux en tre eux, mais égalemen t être confond us a vec des p ôles x = t i . Dans ce cas, la fonction A 12 ( x ) est régulière en x = t i . L’équation ( E ) déﬁn ie par un tel sys t ème est bien déﬁnie, mais s e s exp osan ts ne sont pas toujours exactemen t les v aleurs p ropres des matrices A i . L e s zé ros de A 12 ( x ) sont les singularités apparent es de l’équation ( E ) . On commence par supp oser que les v aleurs propres des matrices A i son t − θ i 2 et θ i 2 , c’est-à- dire qu e le système ( A ) satisfait la cond ition (a), et on mont re que l’équation ( E ) v ériﬁe alors la condition (i). Su pp oso ns tout d’ab ord que les λ k son t diﬀéren ts des t i , et écriv ons le p olynôme Λ( x ) sous la forme Λ( x ) = N Y k =1 ( x − λ k ) m k − 1 , où N ≤ n , m k ≥ 2 , P N k =1 m k = n − N , et les λ k son t à présen t sup posés distincts. Alors, d’après le lemme 2.21, le sc héma de Riemann de l’équation ( E ) est    x = t i x = ∞ x = λ k − θ i 2 1 − θ ∞ 2 0 θ i 2 θ ∞ 2 m k    i = 1 , . . . , n + 2 , k = 1 , . . . , N , ses singularités son t deux à d e ux distinctes, et les singularités x = λ k son t apparen tes. L’équation ( E ) v ériﬁe alo rs bien (i). Considérons à présen t que l’un des zé ros d e A 12 ( x ) coïncide a v ec un p ôle x = t i , c’est - à-dire que A 12 ( x ) soit régulier en x = t i ( i 6 = n + 3 ). V ériﬁons que l’un des exp osan ts en t i de l’équation ( E ) est augmenté de 1 , i .e. que s es exp osa nt s sont d e la f orm e − ε i θ i 2 et 1 + ε i θ i 2 , où ε i = ± 1 . En eﬀet, on a alors A i 12 = 0 et on c hoisit ε i tel que la matrice A i s’écriv e A i = − ε i θ i 2 0 A i 21 ε i θ i 2 ! . On v oit facilemen t grâce à la prop osit ion 2.10 qu’il existe donc u ne matrice fondamen tale de solutions du système ( A ) canonique en x = t i Y i ( x ) = R i ( x )( x − t i ) L i , où L i = ε i θ i 2 − 1 0 0 1 ! , telle que la matrice holomorphe R i ( x ) soit égalemen t triangulaire inférieur e au p oin t x = t i . Ainsi, la première ligne de la solutio n Y i ( x ) a p our exp osan ts − ε i θ i 2 et 1 + ε i θ i 2 , b ien que Y i ( x ) ait toujours p our exp osan ts les v aleurs propr es d e la matrice A i : − ε i θ i 2 et ε i θ i 2 . On p eut généraliser cette situation au cas où un nom bre arbitraire r i ∈ N ∗ de singularités apparen tes coïnciden t a v ec t i . Alors, la fonction A 12 ( x ) a un zéro d ’o rdr e r i − 1 en x = t i , et il en est de même p our le cœﬃcien t (1 , 2) de la fonction R i ( x ) : l’équation ( E ) a alors p our exp osan ts − ε i θ i 2 et r i + ε i θ i 2 au p oin t x = t i . L e nombre de ses singularités app arentes a été dimin ué de r i , et son schéma de Riemann est donn é par (3.10) : l’équation ( E ) satisfait la condition (i). Dans le calcul précéden t, on a vu que seul un des exposants de l’équati on ( E ) en x = t i p eut être augmenté , et non pas les deux sim ultanémen t. En l’inﬁni, on a le même comp ortemen t si des λ k coïnciden t a v ec le p oin t x = ∞ , exc epté que seul l’exp osan t − 1 + θ ∞ 2 p eut être augmenté , puisqu e la matrice A ∞ est ﬁ xée par (4.1) (alors qu’il y a deux p ossibilités p our la diagonalisée de A i ). 4.1. Les s ystèmes fuchsiens as sociés à un jeu d e d ire c tions orientées 57 On remarque que l’on a en fait établi une équiv alence : p our que l’équation ( E ) satis- fasse la conditio n (i), il faut que les v aleurs propres des matrices A i soien t − θ i 2 et θ i 2 . La condition (b). Il est immédiat que les cond itions (ii) et (b) soien t iden tiques, puisque un système et une équation qui sont associés on t la même mon o dromie (vu la dernière partie d u lemme 2.20). La condition (c). T raduisons à présent la condition de réalité (iii) p our les systèmes. Considérons u n système fuc hsien ( A ) normalisé en l’inﬁni don t les singularités t i son t réelles. Il déﬁn it u ne équation fu c hsienn e r ée lle si et seulement s’il déﬁnit la même équation que son système conjugué : D Y = τ ( A )( x ) Y , τ ( A )( x ) = n +2 X i =1 A i x − t i , ( τ A ) où l’application τ est d éﬁnie par (3 .3). Le s ys tème conjugué est égalemen t fuc hsien et normalisé en l’inﬁni. Son résidu en l’inﬁn i est A ∞ . S’il déﬁnit la même équation que le système ( A ), alors les matrices A i et A i , i = 1 , . . . , n + 2 , ont les mêmes v aleurs propres (puisque elles son t les exp osan ts de l’équation), qui son t donc réelles ou conjuguées en tre elles. Par con tre, les s ys t èmes ( A ) et ( τ A ) n’ont pas nécessairemen t la même normalisation en l’inﬁn i, si on supp ose seulement que les v aleurs pr o pres du résidu A ∞ son t réelles ou conjuguées en tre elles. Si on su pp o se que les v aleurs p ropres de A ∞ son t réelles (et c’est bien le cas ici), alors les systèmes ( A ) et ( τ A ) on t la même normalisation en l’i nﬁn i. Alors, par la prop osition 2.22, p our qu’ils déﬁnissent la même équation, il f a ut et il suﬃ t qu’il existe un nom bre complexe non nul ξ tel que p ou r tout i = 1 , . . . , n + 2 , on ait A i = A i 11 ξ A i 12 1 ξ A i 21 A i 22 ! . Alors | ξ | = 1 , et la condition pr écédente est équiv alen te à (4.2). La d émo nstration de la condition (a) nous p ermet de justiﬁer le c hoix de la normalisa- tion en l’inﬁni (4.1) : p our qu e le b ord p olyg onal de l’immersion asso cié e à un e équation de E n D soit une courb e fermée, il faut que les exp osan ts de l’équation soien t de la forme : 1 − θ ∞ 2 et r ∞ − 1 + θ ∞ 2 , a v ec r ∞ ≥ 2 . C’est d o nc ce deuxième exp osan t que l’on ve ut p ouv oir augmen ter. L’in tro duction de l’ensemble des systèmes fuc hsiens asso ciés à un jeu de d irec tions orien tées app orte un p oin t d e vue nouve au à la métho de d e Garnier. L’appro c he suivie p ar Garnier est la suiv ante : il d éc rit l’ensem ble des équations satisfaisan t les conditions (i) et (ii) au mo y en d u système de Garnier (en oublian t la co ndition de réalité (iii)), et il obtien t ainsi un e famille d ’é quations ( E D ( t ) , t ∈ π n ) paramétrée p a r t . Cep endan t, le système de Garnier n’a yan t p as la propriété de P ainlev é, il est obligé à p lusieurs reprises d’utiliser le système de S c hlesinger p our étudier cette famille d’équations : Garnier ne v oit les systèmes fuchsiens que comme un outil p onctuel p ermettan t de lever certaines diﬃcultés rencon trées a v ec les équations fuc hsiennes, principalement p our étudier la régularité de la fonction « rapp orts des longueurs » . À c haque fois, Garnier fait une sorte d’aller-retour en tre équations et systèmes. Ce tra v ail est long et complexe, il rep ose sur l’étude de la transformation du système de Garnier en le système de Sc hlesinger, qui a depuis été exp osé en détail dans [IKSY91] (c hapitre 3, secti on 6). On a c hoisi au con traire d’adapter les résultat s du c hap itre 3 de manière à obtenir di- rectemen t une corresp ondance en tre les disques min ima ux à b ord p olygonal et les systèmes 58 Chapitre 4. Déforma tions isomo nodr omiques fuc hsiens, p uis de tra v ailler exclusiv emen t av ec ce s d erniers. Cette u ti lisation systématique des sys tèmes fu c hsiens présent e de nom breux a v an tages : d’un e p art, comme on l’a dit, elle p ermet d’éviter d’étudier la transform ation du système d e Garnier en le système de Sc hlesinger. D’autre part, comme les systèmes on t u ne stru ctur e plus canonique que les équations, cette appro c he p ermet de multiples s imp liﬁca tions : notamment grâce à la pro- priété de P ainlev é, mais pas uniqu e ment , comme la pr op osition 4.10. Un autre point que l’on v a dével opp er dans ce c hapitre et qui est complètemen t absent de l’article de Garnier est l’é tude d e la condition de réalité (c). Il semble qu e Garnier considère que la famille isomono dromique ( E D ( t ) , t ∈ π n ) qu’il a construite vériﬁe auto- matiquemen t la condition (iii) , et il lui donn e un sens géométrique en terme de surfaces minimales — b ie n qu’il n’ait p as non plus établi de résultat analogue à la prop osit ion 2.4. Cette interprétat ion est malgré tout exacte, p uisque on v a montrer à la s ection suiv an te que la condition de réalit é (c) est une conséquence des conditions (a) et (b). 4.2 La condition de réali té Cette section ne concerne pas uniquement l’ensem b le A n D , on v a établir des résultats généraux sur les systèmes fu chsiens non résonnants et n o rmalisés en l’inﬁni. On a vu à la remarque 3.18 que la condition (ii) et la condition réal ité (iii) ne son t pas in dépend an tes. On v a mon trer que p our les sytèmes fuc hsiens, la condition de r éa lité (c) est équiv ale nte à une condition, que l’on app ellera c ondition C1 , p ortan t uniquement sur la mono dromie, et que cette condition est vé riﬁée en particulier par un e mono dromie satisfaisan t la condi- tion (b ) . Po ur cela, on établit d’ab ord un résultat d ’unicit é classique p our les systèmes fuc hsiens non résonnan ts. 4.2.1 Un résultat d’unicité Lemme 4.4. Soient deux systèmes fuchsiens non r ésonnants D Y = A ( x ) Y ( A ) D Z = B ( x ) Z ( B ) L es systèmes ( A ) et ( B ) ont les mêmes singu la rités, les mêmes exp osants et la même mono dr omie si et seulement s’il existe une matric e inversible C tel le que B ( x ) = C A ( x ) C − 1 . Si, de plus, les systèmes ( A ) et ( B ) sont normalisés en l’inﬁni, alors il existe un nombr e c omplexe non nul ξ tel que la matric e C soit é gale à C = 1 0 0 ξ ! ou 0 1 ξ 0 ! . Démonstr ation. La condition suﬃ san te est éviden te. Su pp oso ns que les systèmes ( A ) et ( B ) ont les mêmes singularités t 1 , . . . , t n , t n +1 = 0 , t n +2 = 1 , t n +3 = ∞ , les mêmes exp osan ts et la même mono dromie. Alors ils s’écriv en t A ( x ) = n +2 X i =1 A i x − t i , B ( x ) = n +2 X i =1 B i x − t i , 4.2. La con diti on de réalité 59 et les matrices A i et B i on t les mêmes v aleurs pr o pres. On note L i = θ + i 0 0 θ − i ! la diagonalisée des matrices A i et B i . Il existe deux matrices fondamen tales Y ( x ) et Z ( x ) de solutions, resp ectiv ement, du sys tème ( A ) et d u s y s tème ( B ), qui ont les mêmes matrices de mono dromie. On p ose alors p our tout x dans le rev êtemen t un iv ersel de l’ensem ble P 1 r S ( t ) C ( x ) := Z ( x ) · Y ( x ) − 1 . La matrice C ( x ) est donc méromorp he dans le rev êtemen t u niv ersel de P 1 r S ( t ) ; on v a mon trer qu’elle est holomorphe dans P 1 , c’est-à- dire constan te. Remarquons tout d’ab ord que C ( x ) est u niforme d ans P 1 r S ( t ) : en eﬀet, p our tout γ ∈ π 1 ( P 1 r S ( t ) , x 0 ) , vu que M γ ( Y ) = M γ ( Z ) , on a γ ∗ C ( x ) = ( Z ( x ) · M γ ( Z )) · ( Y ( x ) · M γ ( Y )) − 1 = C ( x ) . De plus , la matrice C ( x ) n’est singulière qu ’a ux points où det Y ( x ) s’ann ule. Ceci est imp ossible, car la fonction det Y ( x ) vériﬁe D (d e t Y ( x )) = det Y ( x ) T r  D Y ( x ) · Y ( x ) − 1  = det Y ( x ) T r A ( x ) = det Y ( x ) n +2 X i =1 T r L i x − t i , ce qui donne det Y ( x ) = K n +2 Y i =1 ( x − t i ) T r L i ( K ∈ C ∗ ). La matrice C ( x ) est donc holomo rph e dans P 1 r S ( t ) . Étudions à présent le comp orte ment de C ( x ) au voi sinage d ’une singularité x = t i ( i = 1 , . . . , n + 2 ). Soit M i la matrice de monod romie des matrices fondamenta les Y ( x ) et Z ( x ) autour de la singularité x = t i : M i = C i e 2 iπ θ + i 0 0 e 2 iπ θ − i ! C − 1 i où C i ∈ GL (2 , C ) . Alors les matrices fondamen tales de solutio ns Y ( x ) · C i et Z ( x ) · C i son t canoniques au p oin t x = t i : Y ( x ) · C i = R i ( x )( x − t i ) L i Z ( x ) · C i = S i ( x )( x − t i ) L i où les matrices R i ( x ) et S i ( x ) sont holomorphes et inv ersibles au p oin t x = t i . On en déduit C ( x ) = S i ( x ) R i ( x ) − 1 , et C ( x ) est holomorphe en x = t i . On mont rerait de même que la matrice C ( x ) est holomorphe en x = ∞ . Elle est donc holomorphe su r la sp hère de Riemann P 1 : elle est indép endan te de x . 60 Chapitre 4. Déforma tions isomo nodr omiques Si on supp ose de plus que les matrices A ∞ et B ∞ son t d ia gonales, alo rs on note A ∞ = θ + ∞ 0 0 θ − ∞ ! et donc B ∞ = A ∞ ou θ − ∞ 0 0 θ + ∞ ! , i.e. B ∞ = A ∞ ou B ∞ = J A ∞ J − 1 a v ec J = 0 − 1 1 0 ! . Comme par ailleurs B ∞ = C A ∞ C − 1 et comme θ + ∞ 6 = θ − ∞ , on en déd u it dans le p remier cas qu e la matrice C est diagonale , et dans le second, qu’elle est an ti-diag onale. 4.2.2 Systèmes fuc hsiens « réels » On vient de v oir qu’un s ys t ème fuc h sie n non résonnant et n o rmalisé en l’inﬁni est en tièremen t déterminé par s es singularités t 1 , . . . , t n , par les v aleurs p r opres des matrices A i , par sa mono dromie et par u n paramètre supplémenta ire ξ ∈ C ∗ . On v a déterminer à présen t à quelle condition sur ces données le système ( A 0 ) vé riﬁe la condition d e réalité (c). P our les singularités et les v aleurs pr opres, la rép onse est immédiate : les singularit és doiv en t être r ée lles ou conjuguées d eux à d eu x ; les v aleurs propr es en une singularité réelle doiv en t être réelles ou conjuguées ent re elle s, et les v aleurs propres en d eux singularités conjuguées doiv en t être conju g uées. On ne s’intéresse ici qu’au cas où les singularités t 1 , . . . , t n son t réelles (o n obtiendrait le même résultat dans le cas où ell es son t seulement réelles ou conjuguées deux à deux, mais la démonstration est u n p eu plus tec h nique). P ar souci de simp lic ité, on sup p ose qu e t = ( t 1 , . . . , t n ) est dans le simp lexe π n déﬁni p ar (3.11). On reprend les notatio ns de la sec tion 2.2. On considère un système fuc hsien non résonnan t et normalisé en l’inﬁni D Y = A ( x ) Y , A ( x ) = n +2 X i =1 A i x − t i , ( A 0 ) et on note θ + i et θ − i les v aleurs propr e s des matrices de résidu A i ( i = 1 , . . . , n + 3 ). Prop osition 4.5. On supp ose que le n -uplet de singularités ( t 1 , . . . , t n ) du système fuch- sien ( A 0 ) e st dans le simplexe π n , que les valeurs pr opr es θ + i et θ − i ( i = 1 , . . . , n + 2 ) sont r é e l les ou c onjugué es entr e e l les, et que les valeurs pr opr es θ + ∞ et θ − ∞ sont r é el les. Alo rs les tr ois assertions suivantes sont é quiv a lentes : – l’é quation fuchsienne asso cié e au sens du lemme 2.20 au système ( A 0 ) est r é e l le ; – les matric es A i sont de la forme (4.2 ) ; – p our tout système de génér ateurs ( M 1 , . . . , M n +3 ) de la mono dr omie le long des lac ets γ 1 , . . . , γ n +3 , il existe une matric e C ∈ GL 2 ( C ) tel le que p our tout j = 1 , . . . , n + 3 on ait C − 1 M j C = ( M j . . . M 1 ) − 1 M − 1 j ( M j . . . M 1 ) . (4.3) On app e l le la dernièr e de c es assertions la condition C 1 . On remarque qu’il existe un système de générateurs ( M 1 , . . . , M n +3 ) p our lequel la matrice C est la matrice identit é I 2 . 4.2. La con diti on de réalité 61 Démonstr ation. On a déjà vu que les deux premières assertio ns son t équiv alen tes. On considère le système conjugué ( τ A 0 ) au système ( A 0 ) : D Y = τ ( A )( x ) Y , τ ( A )( x ) = n +2 X i =1 A i x − t i . ( τ A 0 ) Le système ( A 0 ) déﬁnit une équati on fuchsienne réelle s’il déﬁnit la même équation que le système conjugué ( τ A 0 ). On a vu égal emen t que ceci équiv aut à l’existence d’un nom bre ξ ∈ C ∗ tel que p our tout i = 1 , . . . , n + 2 , on ait A i = 1 0 0 ξ ! A i 1 0 0 ξ ! − 1 . P ar h yp othèse, les sys tèmes ( A 0 ) et ( τ A 0 ) ont les mêmes singularités, les mêmes exp osan ts et la même normalisation en l’inﬁni. D’après le lemme 4.4, ils déﬁnissent donc la même équation si et seulemen t s’ils on t la même monod romie. Soit Y ( x ) une matrice fondamen tale de solutions du système ( A 0 ) déﬁnie et holomorphe dans le demi-plan sup érieur C + . On note ses matrice s de mono dromie M i : M γ i ( Y ) = M i . On note Y i ( x ) le prolongemen t à C − de la matrice fondamenta le Y ( x ) à trav ers l’int erv alle ] t i , t i +1 [ (c’est-à -dire le long de tout c hemin joignan t un p oint de C + à un p oin t de C − et croisan t l’axe réel une seule fois ent re t i et t i +1 ) ; la matrice fondamen tale Y i ( x ) est déﬁnie et holomorphe sur l’ouv ert simplement connexe U i := C + ∪ C − ∪ ] t i , t i +1 [ . La m a trice τ ( Y i )( x ) , elle aussi h o lomorphe et inv ersible sur U i , est une matrice fondamen- tale de solutions du système ( τ A 0 ). Po ur que les systèmes ( A 0 ) et ( τ A 0 ) aien t la même mono dromie, il faut et il suﬃt que p our une v aleur de i , les matrices de m o no dromie des solutions fond amen tales Y i ( x ) et τ ( Y i )( x ) soie nt conjuguées, c’est-à-dire qu’il existe un e matrice inv ersible C telle que p our tout j = 1 , . . . , n + 3 on ait M γ j ( τ ( Y i )) = C M j C − 1 . On c hoisit le pr o longemen t Y n +3 ( x ) ( i.e. i = n + 3 ). Il faut exprimer en fonction des matrice s M j les matrices : M γ j ( τ ( Y n +3 )) = M γ j ( Y n +3 ) . Le lacet γ j a p our p oint de base ¯ x 0 et tourn e en sens inv erse du sens trigonométrique autour d e t j . P our calculer M γ j ( Y n +3 ) , la diﬃculté vient de ce qu’on sait comment est transformée, en général, la matrice fondamenta le Y i ( x ) le long des lacets γ i et γ i +1 (comme on le v oit sur la ﬁgur e 4.2), mais pas le long d’un lacet γ j quelconque. On v a donc pro céder par itération. On décomp ose γ j en le pro duit de deux lacet s. Soien t α, β ∈ π 1 ( P 1 r S ( t ) , ¯ x 0 ) les d e ux classes de lacet s orien tés n ég ativ emen t et qui encerclen t resp e ctiv emen t les singularités t 1 , . . . , t j et t 1 , . . . , t j − 1 (là en core, les indices s’entenden t mo dulo n + 3 : si j = 1 , le lacet β est homotop e à un p oin t). Les lacets α et β sont représen tés à la ﬁgur e 4.1. Alors γ j = αβ − 1 , 62 Chapitre 4. Déforma tions isomo nodr omiques 00 00 11 11 00 00 11 11 00 00 11 11 00 00 11 11 ¯ x 0 γ j t 1 t j − 1 t j t j +1 . . . α β Figure 4.1 – L e s lac ets γ j , α et β et donc M γ j ( Y n +3 ) = M α ( Y n +3 ) M β ( Y n +3 ) − 1 . Mon trons que M α ( Y n +3 ) = M − 1 1 . . . M − 1 j . On remarque que, vu la déﬁnition des matrices fondamen tale s Y i ( x ) , on a p our to ut i = 1 , . . . , n + 3 γ i ∗ Y i − 1 ( x ) = Y i ( x ) . Donc, comme α = γ j · · · γ 1 , on obtien t par itération α ∗ Y n +3 ( x ) = Y j ( x ) . ¯ x 0 γ i t i − 1 t i t i +1 Figure 4.2 – On décomp ose le lacet γ j P ar ailleurs, comme on a aussi γ i ∗ Y i − 1 ( x ) = Y i − 1 ( x ) M − 1 i (v oir la d éc omp osition du lacet γ j à ﬁgure 4.2), alors p o ur tout i = 1 , . . . , n + 3 Y i ( x ) = Y i − 1 ( x ) M − 1 i , 4.2. La con diti on de réalité 63 donc Y j ( x ) = Y j − 1 ( x ) M − 1 j = · · · = Y n +3 ( x )( M − 1 1 . . . M − 1 j ) , ce qui donn e la form ule annoncée p our M α ( Y n +3 ) . De même, on a M β ( Y n +3 ) = M − 1 1 . . . M − 1 j − 1 . Finalemen t, on obtien t M γ j ( τ ( Y n +3 )) = ( M j . . . M 1 ) − 1 M − 1 j ( M j . . . M 1 ) , ce qui donne bien l’équiv alence annoncée. Remarque 4.6. On a un résultat analo gue à la p roposition 4.5 p our les équat ions fuc h- siennes : une é quation fuchsienne sans singularité lo garithm ique, dont les singularités et les exp osants sont r é els, est r é el le si et seulement si sa mono dr omie vériﬁe la c ondition C1 . Dans [Des09], on en a déduit que la condition C1 est égalemen t une condition né- cessaire et suﬃsan te p our qu’une solution ( λ ( t ) , µ ( t )) = ( λ 1 ( t ) , . . . , λ n ( t ) , µ 1 ( t ) , . . . , µ n ( t )) du système de Garnier (A.4) (v oir l’app endice A) soit réelle ou conjuguée deux à deux, c’est-à- dire que λ ( ¯ t ) et µ ( ¯ t ) soien t obten u s à p artir resp ectiv emen t de λ ( t ) et µ ( t ) par un e même p erm utation de leurs ind ic es (corollaire 3.17. de [Des09]). 4.2.3 Cas où la monodromie est unitarisable Dans le cas où il existe un système de générateurs ( M 1 , . . . , M n +3 ) de la mono dromie du système ( A 0 ) qui soit con ten u dans le group e des matrices un it aires U (2) , ou dans le group e U (1 , 1) , on p eut simp liﬁer l’écriture de la condition C1 . Prop osition 4.7. Sous les mêmes hyp othèses qu’ à la pr op osition 4.5, si un système de génér ateurs ( M 1 , . . . , M n +3 ) de la mono dr omie du système ( A 0 ) est c ontenu dans U (2) ou dans U (1 , 1) , alors le système ( A 0 ) vériﬁe l’une des tr ois assertions é quivalentes de la pr op osition 4.5 si et seulement s’il existe n + 3 matric es inversibles D 1 , . . . , D n +3 tel les que    M j = D j D − 1 j − 1 ( j = 1 , . . . , n + 3) 1 δ 1 D 1 2 = · · · = 1 δ n +3 D n +3 2 où on a noté δ j = det D j p our tout j = 1 , . . . , n + 3 . On app el le c ette c ondition la condition C2 . Rapp elons que le group e U (1 , 1) est le group e des matrices M ∈ M (2 , C ) telles qu e M 1 0 0 − 1 ! M t = 1 0 0 − 1 ! . Démonstr ation. P our toute matrice M ∈ U (2) , on a J − 1 M J = det( M ) M (ce qui redonne la relation (1.6) lorsque M ∈ S U (2) ). Si les matrices M 1 , . . . , M n +3 son t dans le group e u nita ire U (2) , alo rs la condition C1 est équiv alen te à l’existence d ’une matrice inv ersible C telle que p our tout j = 1 , . . . , n + 3 , on ait ( J C ) − 1 M j ( J C ) = det( M j )( M j . . . M 1 ) − 1 M − 1 j ( M j . . . M 1 ) . (4.4) 64 Chapitre 4. Déforma tions isomo nodr omiques ( c ondition C1’ ). On a la m ême exp r essio n lorsque les matrices M 1 , . . . , M n +3 son t dans le group e U (1 , 1) , en remplaçan t la matrice J par la matrice 0 i i 0 ! . P our la démonstration, on se limitera donc au cas où le système d e gé nérateurs est d ans le group e U (2) . Mon trons que les deux co nditions C1’ et C2 son t équiv alen tes. P our tout c hoix de la matrice inv ersible D n +3 , p ar la relation M n +3 · · · M 1 = I 2 , il existe des matrices inv ersib les D 1 , . . . , D n +2 , d ét erminées de manière unique, telles que p our tout j = 1 , . . . , n + 3 , on ait M j = D j D − 1 j − 1 (où les indices sont considérés mo dulo n + 3 ). Alors on a det( M j ) = δ j δ j − 1 où δ j = det D j . L a relati on (4.4) j se r éc rit alors de la façon s u iv ante ( J C ) − 1 D j D − 1 j − 1 ( J C ) = δ j δ j − 1 D n +3 D − 1 j D j − 1 D − 1 n +3 . Si les matrices D n +3 et C v ériﬁen t D − 1 n +3 = J C, alors la relation (4.4) j est équiv alent e à 1 δ j − 1 D j − 1 2 = 1 δ j D j 2 , et on obtien t ainsi l’é quiv ale nce annoncée. On en déduit donc qu e p our tout jeu de directions orien tées D ∈ D n , les systèmes fuc hsiens dont la mono dromie soit la classe de la représenta tion ρ D : π 1  P 1 r S ( t ) , x 0  → GL (2 , C ) d éﬁnie par D , et dont les singularités et les exp osan ts sont réels v ériﬁent automa- tiquemen t la condition de réalité (c). L’ensem ble A n D est ainsi simplement l’ensemble des systèmes v ériﬁant les conditions (a) et (b) et dont les s in g ularités son t réelles et ordonnées. 4.3 Description par le système de Sc hlesinger On v a main tenan t utiliser des déformations isomono dromiques p a r le système de Sc hle- singer (2.11) p our d éc rire une partie de l’ensemble A n D . On vériﬁera ensu it e que cette partie con vien t, i.e. qu’elle est en b ije ction a vec l’ensem b le X n D des disques minimaux à b ord p o- lygonal. En ﬁn, on mont rera un résultat de régularité p our ce tte description. 4.3. Des cription p ar le système d e Schles i nger 65 4.3.1 Le c hoix d’une fami lle isomono dromique Soit un j eu de dir e ctions orien tées D ∈ D n . On ﬁ xe arbitrairemen t un p oin t t 0 ∈ π n , et on considère un système fuc hsien ( A 0 ) d on t la mono dromie est la classe d e ρ D et don t la position des singularités est donnée p ar t 0 . Un tel système existe toujours, puisque p our les sytèmes de taille 2 × 2 , le problème de Riemann–Hilb ert admet toujours une solution (o n p eut se rep orter au livre d’An osov et Bolibruc h [AB 94], ou à l’article de Beauville [Bea93] p our un e p résen tation syn thétique des résultats co nnus sur le p roblème de Riemann–Hilb ert). O n p eut toujours supp oser que le système est n o rmalisé en l’inﬁn i, et qu’il vériﬁe la condition (a). S o it U ⊂ B n un voisinag e simplemen t connexe du simplexe π n , où l’ensemble B n est déﬁni par (2.10). Les résidus  A 0 1 , . . . , A 0 n +2  du système ( A 0 ) son t une condition initiale du Schle singer (2.11), qui est complètemen t in tégrable (théorème 2.16). On obtie nt d onc ainsi une famille isomono dromique de systèmes fuc hsiens ( A D ( t ) , t ∈ U ) décrite par le système de Schlesinge r, te lle que ( A D ( t 0 )) = ( A 0 ) . Les conditions (a) et (b) son t satisfaites par le sys t ème ( A 0 ), et sont conservée s au cours de la d é formation. D’après la p r oposition 4.7, on en déduit ( A D ( t ) , t ∈ π n ) ⊂ A n D . (4.5) T ous les choix p ossibles p our la solution ( A 0 ) du pr oblème de Riemann –Hilb ert ind u it d e cette manière une famille isomono dromique de systèmes fuchsiens con tenue dans l’ensem ble A n D (lorsque t ∈ π n ), et b ie n sûr tous le s élément s de A n D appartiennen t à u ne telle f a mille. Considérons à présent deux de ces familles  A 1 D ( t ) , t ∈ U  et  A 2 D ( t ) , t ∈ U  . P our c haque v aleur t ∈ U , les systèmes fuc hsiens  A 1 D ( t )  et  A 2 D ( t )  on t les mêmes sin g ulari- tés, les mêmes exp osa nt s et la même mono dromie, et leurs normalisations en l’inﬁni son t iden tiques (données p ar (4.1)). D’a prés le lemme 4.4 et la prop ositio n 2.2 2 , ces deux sys- tèmes déﬁnissent la même équation, que l’on note ( E D ( t )) : ils corresp onden t à des v ale urs diﬀéren tes d u paramètre ξ . Étan t donné que to ute équatio n de E n D pro vien t d ’un système de A n D , qui appartien t lui-même à une famille isomono dromique (4.5), la famil le isomono- dromique d’équations fuc hsiennes ( E D ( t ) , t ∈ π n ) décrit ainsi entièremen t l’ensemble E n D , qui est donc paramétré par t : E n D = ( E D ( t ) , t ∈ π n ) . En fait, cette d épendance en t est ég alemen t donnée par le s ystè me de Garnier (A.4) , mais on n’utilisera pas ce p oi nt de vue. Finalemen t, on choisi t arbitrairemen t une famille isomo no dromique ( A D ( t ) , t ∈ π n ) , donnée par une sous-v ariété d’une v ariété int égrale du système de Sc hlesinger, et on note D Y = A D ( x, t ) Y , A D ( x, t ) = n +2 X i =1 A D ,i ( t ) x − t i . ( A D ( t ) ) Cette famille est en bijection a ve c l’ensemble X n D , et p ermet de le décrire ainsi : d’après la prop osition 4.2, p our tout t ∈ π n , il existe une solution fondamen tale Y 0 ( x, t ) d u système ( A D ( t )) dont la pr emiè re ligne ( G ( x, t ) , H ( x, t )) constit ue les d on n ée s d e W eierstrass d’une immersion de X n D , que l’on note X D ( t ) , et on a X n D = ( X D ( t ) , t ∈ π n ) . On note égalemen t P D ( t ) ∈ P n D le b ord p olygonal d u disque représen té par X D ( t ) . La famille ( P D ( t ) , t ∈ π n ) est exactemen t la famille des p olygones d e direction D qu i son t le 66 Chapitre 4. Déforma tions isomo nodr omiques b ord d’au moins un d isque minimal. L’ob jet du c hapitre s u iv ant est d’u ti liser cette des- cription p ar le système de Sc hlesinger p our montrer qu’elle décrit entièremen t l’ensemble P n D . Remarquons que la solution f ond amen tale Y 0 ( x, t ) est M -in v ariante , i.e. qu e sa re- présen tation de mono dromie est in dépend an te de t , pu isqu’il s’agit de la représen tation ρ D . Remarque 4.8. On a vu que deux solutions diﬀéren tes du p roblème de Riemann–Hi lb ert appartenan t à l’ensem b le A n D se distinguent par leur v aleur du paramètre ξ ξ = n +2 X i =1 t i A i 12 . On p eut montrer que s i les matrices ( A 1 ( t ) , . . . A n +2 ( t )) son t solutions du système de Sc hlesinger, alors le p aramètre ξ ( t ) satisfait le système de Pfaﬀ ∂ ξ ∂ t i = ( θ ∞ − 1) A i 12 ( t ) , ( i = 1 , . . . , n ) qui p ermet d e décrire les relat ions en tr e le système de S c hlesinger et le système de Garnier (v oir [IKS Y9 1]). Remarque 4.9. La preuve au chapitre suiv ant que la famille d e p olygones ( P D ( t ) , t ∈ π n ) décrit l’ensemble P n D tout en tier r e -mon trera a p osteriori que l’on a bien c hoisi la f amille ( A D ( t ) , t ∈ π n ) , ainsi que les l’ ensem bles E n D et A n D . O n p eut remarquer que p our résoud re le problème de Pla teau, on aurait pû ne pas utiliser d’équatio ns fuchsiennes, et in trod uire directemen t l’ensem ble A n D comme l’ensem ble des systèmes fuc hsiens satisfaisan t les cond i- tions (a), (b) et (c). On aurait pû alors seulemen t montrer qu’un tel système déﬁnit b ie n une immersion X qui app artient à X n D ( i.e. un résultat analogue à la p roposition 3.16), sans vériﬁer qu ’o n le s obtien t toutes ainsi, puisque c’est un e conséquence du théorème 5.1. Il y a plusieur s raisons p our lesquelles on n ’a pas pro cédé ainsi. T out d ’ab ord, il n’est pas clair commen t on p eut déﬁnir directemen t u n système diﬀérentie l à partir seulement des données de W eierstrass ( G, H ) : il y a b eaucoup trop de c hoix p ossibles. On a c hoisi d’utiliser des systèmes fuc hsiens, ce qui réduit considérablemen t le nombre d e systèmes diﬀéren tiels co ncernés, uniquement parce qu’on a démon tré qu e l’uniqu e équation d e solu- tion fondamenta le ( G, H ) est fuc hsienne. P ar ailleurs, commen t obtenir les conditions (a) et (c) sans utiliser d’équations ? En p articulier, le comp orteme nt locale d’un e immersion X ∈ X n D est d onnée par les exp osan ts d e l’équation asso ciée, et non pas par les v aleurs propres des matrices A i (ceci est l’ob jet d e la p remière partie de la démonstration du théorème 4.3). L’utilisati on d’équations fuc hsiennes sem ble être un déto ur nécessaire. 4.3.2 Singularités mobiles des solutions r éel les du système de Sc hlesin- ger P ar le théorème 2.19, toute solution du système de Schlesinge r est méromorphe dan s le rev êtemen t u niv ersel de l’ensem ble B n . O n établit à présent un résultat plus fort de régula- rité p our les solutions du système de Sc hlesinger prov enant d’une mono dromie satisfaisan t la condition C1 , ou de manière équiv alen te, déﬁnissant une famille isomonod romique de systèmes fuc hsiens v ériﬁ a nt la condition de réalit é (c). Ce résultat s’appliquera donc à la famille ( A D ( t ) , t ∈ π n ) . En se restreignant aux systèmes v ériﬁan t (c), on obtien t un résul- tat plus fort qu e celui d e Garnier (puisqu ’il ne parvien t pas à exclure l’existence de p ôles doubles en t ∈ π n ), et b eaucoup plus simp le à établir. 4.3. Des cription p ar le système d e Schles i nger 67 Prop osition 4.10. Soit une solution ( A 1 ( t ) , . . . , A n +2 ( t )) du système de Schlesinger (2.11) déﬁnie dans un ouvert simplement c onnexe U ⊂ B n c ontenant le simplexe π n , et soit ( A t ) le systèm e fuchsien asso cié. On supp ose que les valeurs pr opr es θ ± i ( i = 1 , . . . , n + 2 ) sont r é e l les ou c onjugué es, et que les valeurs pr opr es θ ± ∞ sont r é el les. S’il existe une valeur t 0 ∈ π n tel le que la mono dr omie du système fuchsien ( A t 0 ) vériﬁe la c onditio n C1 , alors p our tout t ∈ π n les matric es A 1 ( t ) , . . . , A n +2 ( t ) s’é crivent sous la forme (4.2) , et el les sont holom orphes en tout p oint de π n . Démonstr ation. La pr emiè re partie d e la prop osition est éviden te. On p eut supp oser que les matrices A i ( t ) sont à trace nulle. En eﬀet, p our to utes constan tes k 1 , . . . , k n +2 ∈ R les matrices B i ( t ) := A i ( t ) + k i I 2 ( i = 1 , . . . , n + 2) constituen t ég alemen t une solutio n du système de Sc hlesinger, et son t encore sous la forme (4.2) . Quitte à transformer ainsi les matrices A i ( t ) , on p eut d o nc supp oser qu e p our les v ale urs réelles d e t , elles s’écriv ent A i ( t ) = a i ( t ) b i ( t ) e iη ( t ) c i ( t ) e − iη ( t ) − a i ( t ) ! , où la fonction a i ( t ) est à v aleurs réelles et où les fonctions b i ( t ) et c i ( t ) sont à v aleurs p ositiv es dans π n . La m a trice A i ( t ) est méromorphe dans le rev êtement universel de l’en- sem ble B n . On note θ i 2 et − θ i 2 ses v aleurs pr op r es ; elles sont indép endantes de t et p our tout t réel, on a θ 2 i 4 = a i ( t ) 2 + b i ( t ) c i ( t ) . On en dédu it qu e a i ( t ) et le pro duit b i ( t ) c i ( t ) son t b ornés dans π n . Les fonctions A i 11 ( t ) = a i ( t ) et A i 12 ( t ) A i 21 ( t ) = b i ( t ) c i ( t ) sont donc holomo rph e s en tout p oint de π n . Mon trons que les fonctions A i 12 ( t ) sont holomorphes dans π n . Soit un p oint t 0 ∈ π n . On étudie le comp ortemen t en la v ariable t j au p oin t t 0 j , les autres t k , k 6 = j , étan t ﬁ xés en t 0 k . On raisonne par l’absurde, et on c hoisit i 6 = j tel que A i 12 ( t ) ait un p ôle d ’o rdre p i ≥ 1 m aximal en t j = t 0 j (par rapp ort aux autres A l 12 ( t ) , l 6 = j ). D’après le s ystè me de Sc hlesinger, on a ∂ A i 12 ∂ t j = 2 A j 11 t j − t i A i 12 − 2 A i 11 t j − t i A j 12 . Comme les fonctions A j 11 ( t ) t j − t i et A i 11 ( t ) t j − t i son t holomorphes en tout p oin t de π n , on v oit que A j 12 ( t ) a en t j = t 0 j un p ô le d’ordr e au minimum p i + 1 . O r cec i con tredit l’équat ion ∂ A j 12 ∂ t j = − n +2 X l =1 l 6 = j ∂ A l 12 ∂ t j . Les fonctions A l 12 ( t ) , l 6 = j , son t donc holomo rphes en t j = t 0 j , et vu l’équation précéden te, A j 12 ( t ) l’est alors égalemen t. On pro céderait de même, et on ab outirait au même résultat p our les fonctions A i 21 ( t ) . On p eut donc d éduire d e cette pr o p osition que la sol ution ( A D , 1 ( t ) , . . . , A D ,n +2 ( t )) du système de Sc hlesinger asso ciée à un jeu d e directions orien tées D ∈ D n est holomorphe dans u n v oisinage simp leme nt connexe U ⊂ B n du simplexe π n . C ec i v a s imp liﬁer l’étude de la régularit é à l’in térieur de π n de la f o nction « rapp orts d es longueurs » F D ( t ) , comme on le v erra au c hapitre 5. Chapitre 5 Rapp orts de longueurs des côtés On supp ose toujours ﬁxé u n jeu de dir e ctions orien tées D ∈ D n . On a obten u au c hapitre précédent que l’ensem b le X n D des immersions conformes repr ésentan t des disques minimaux à b ord p olygonal de direction D est une famille ( X D ( t ) , t ∈ π n ) , paramétrée par le n -up le t de singularités t = ( t 1 , . . . , t n ) , qui sont éga lemen t les an técéden ts par l’immersion X D ( t ) : C + → R 3 des s ommets de leur b ord p olygonal. La d épend an ce en t des immersions X D ( t ) est d onnée par le système de Sc h lesinger (2.11). Po ur c haqu e v aleur de t ∈ π n , les d o nnées de W eierstrass ( G ( x, t ) , H ( x, t )) de l’immersion X D ( t ) constituen t la première li gne d’une matrice fondamen tale d e solutions Y 0 ( x, t ) , qui est M -in v arian te, du système fuc hsien ( A D ( t )) . Comme ce tte solution fondamen tal e est déﬁnie à mult iplication scalaire réelle pr ès, les immersions de X n D son t déﬁnies n o n seulement à translation près, mais égale ment à homothéties de rapp ort p ositif pr ès. On a noté P D ( t ) ∈ P n D le b ord p olygonal du disque rep r ése nt é par X D ( t ) , et le but de ce chapitre est de mon trer l’égalité suiv ante P n D = ( P D ( t ) , t ∈ π n ) . Un s ystè me d e coord onnées sur P n D est donné par n r apports de longueurs d e côtés. V u l’expression (1.4) de la métrique in d uite des immersions X D ( t ) , les rapp orts de longueurs des côtés de tout représen tan t du p olyg one P D ( t ) s’écrive nt r i ( t ) = Z t i +1 t i  | G ( x, t ) | 2 + | H ( x, t ) | 2  dx Z 1 0  | G ( x, t ) | 2 + | H ( x, t ) | 2  dx ( i = 1 , . . . , n ). On déﬁnit la fonction « rapp orts des longueurs » F D ( t ) associée au jeu de directions orienté es D ainsi F D : π n → ]0 , + ∞ [ n , F D ( t ) = ( r 1 ( t ) , . . . , r n ( t )) . Le but d e ce c hapitre est donc d’établir le théorème suiv an t, qui conclut la démonstration du théorème 0.1, et qui en est la p a rtie la plus d iﬃcile. Théorème 5.1. Étant donné un jeu de dir e ctions orienté es D ∈ D n , la fonction « r app orts des longueurs » F D : π n → ]0 , + ∞ [ n est surje ctive . En qu el que sorte, on v eut mon trer qu e les d irec tions orien tées d es côtés son t paramé- trées par la mono dromie des systèmes fuchsiens, tandis que la p ositio n t de leurs s ingu- larités co de les longueurs des côtés. Mais la d ét ermination d es longueurs par t est moins explicite. 70 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s À la sectio n 5.1, on commence p ar préciser le c hoix d e la solution fondament ale M - in v ariant e Y 0 ( x, t ) de manière à p ouv oir étudier sa dép endance en t — de nouv eau, l’uti- lisation de systèmes au lieu d’équatio ns simpliﬁera cette détermination. On en déduit ensuite, grâce à la prop osition 4.10, que la fonction F D ( t ) est analytique r é elle d ans le simplexe π n (prop osition 5.4). On exp ose à la section 5.2 la méthod e que l’on v a su ivre p our démon trer le théorème 5.1. Elle rep ose sur l’étude de la fonction F D ( t ) au b ord du simplexe π n et sur une r écur r ence p ortan t sur le n o mbre n + 3 de côtés des p olygo nes. En ident iﬁant les simplexes π n et ]0 , + ∞ [ n , on déﬁnit u n e fonction e F D : ]0 , + ∞ [ n → ]0 , + ∞ [ n . P our mon trer que la fonction F D est surjectiv e, on v a montrer qu e la fonction e F D est de degré 1 , c’est-à-dire homotop e à l’ident ité. O n établit un résultat d e topologie (prop osi- tion 5.5) qui nous p ermet de n ous ramener à montrer que la fonctio n e F D est con tin ue et de degré 1 au b ord d e ]0 , + ∞ [ n . P our obtenir cela, il faut in terpréter la fonction F D   ∂ π n en terme de nouv elles fonctions « rapp orts des longueurs » de dimension inférieure. Le b ord du simplexe π n est constitué de simplexes de dimension in férie ure. Regardons p ar exemple ce qui se passe lorsque la singularité t n tend v ers 0 , i.e. en un p oint de la face F du b ord de π n F = { ( t 1 , . . . , t n ) ∈ R n | t 1 < · · · < t n − 1 < t n = 0 } ≃ π n − 1 . Il paraît naturel de s’attendre à ce que le n -ième côté a n ( t ) a n +1 ( t ) d u p olygo ne P D ( t ) «disparaisse» , c’est-à-dire que le rapp ort de longueur r n ( t ) tende v ers 0 . O n mon tre de plus que lorsque t n = 0 et que t ′ = ( t 1 , . . . , t n − 1 ) décrit le simplexe π n − 1 , on obtien t la famille de p ol ygones P D ′ ( t ′ ) d éﬁnie par les directi ons orien tées D ′ = ( D 1 , . . . , D n − 1 , D n +1 , D n +2 , D n +3 ) ∈ D n − 1 . Ceci signiﬁe que la fonction F D ( t ) s’étend co nt inûmen t à la f a ce F du b ord de π n et que p our tout t ′ ∈ π n − 1 , on a F D ( t ′ , 0) =  F D ′ ( t ′ ) , 0  . On généralise cette assertion à toutes les faces d u simplexe π n : c’est la prop osition 5.6, don t la d émonstrat ion constitue la ma jeure partie de ce c hapitre. On p rocède ensuite p ar récurrence, en faisan t l’h yp othèse qu’au rang n − 1 , p our tout en tier k ≤ n − 1 et tout jeu de directions orien tées D ′ ∈ D k , la fonction e F D ′ : ]0 , + ∞ [ k → ]0 , + ∞ [ k est de degré 1 . Les prop ositions 5.5 et 5.6 assu r en t l’hérédité de l’hypothèse de récurrence. L’initialisation au rang n = 1 (cas d’un b ord quad r ila téral) est immédiate une fois que l’on a obten u la prop osition 5.6. Les sections 5.3 et 5.4 s ont consacrées à la démonstration de la prop osition 5.6. La partie la plus diﬃcile e st d’obtenir la co nt in uité de la foncti on F D ( t ) au b ord, et non pas son in terprétatio n géométrique. À la sectio n 5.3, on reprend des résultats généraux sur les singularité s ﬁxes du système de S c hlesinger, que Garnier app elle les pseudo-c ho cs, c’est-à- dire en les p oin ts tels que t i = t j , i 6 = j . Ces résultats son t une partie plus conn ue du tra v ail de Garnier [G ar26], et on t été dév elopp és et généralisés par Sato, Miw a et Jim b o [SMJ79]. On reprend ces r é sultats en en appr ofond issa nt des asp ects qui nous seron t utiles p our étudier l’holomorphie de la fonction F D ( t ) en les pseudo-c ho cs. À la section 5.4, on applique cette étude générale aux solutions particulières du système de Sc hlesinger qui nous intéresse , c’est-à-dire au cas réel. En rassemblan t et en adaptan t les résultats d e la section précéden te, on établit la p roposition 5.6. 5.1. La fonction « ra p por ts d es longueur s » F D ( t ) 71 La démonstration pr o p osée d a ns ce chapitre est très diﬀérente d e cel le d e Garnier, même s’il utilise aussi le comp ortemen t de la famille de systèmes ( A D ( t ) , t ∈ π n ) au b o rd du simp le xe π n et une récurren ce sur le nom bre de côtés des p olygones. Mais son hyp o- thèse d e récurrence n’est pas la même, car il n e s’appuie pas sur un r ésulta t de topologie global tel qu e la prop osition 5.5. C’est p ourquoi son étude est p lus complexe. De plu s, Garnier n’in tro duit pas la fonction « rapp orts des longueurs » , il c herc he d’ab ord à re- fermer les p olygones P D ( t ) en faisan t disparaître une singularité apparen te « de trop » (remarque 3.14), puis à aj u ster n − 1 rapp orts de longueurs. Il écrit ces conditions sous la forme d’un système S n à n équations. Il montre que le système S n tend v ers un système analogue de dimension inférieure S n − 1 lorsque t n → 0 , et ceci passe en particulier par l’étude compliquée du s ystè me de Garnier (A.4) lorsque t n → 0 . Il p rocède ensuite par récurrence : il prolonge une solution du système S n − 1 en une solution du système S n . Il utilise p our cela le théorème d’in v ersion lo ca le, et d oi t mon trer que le jacobien d ’une fonction (qui est quasiment F D ( t ) ) n’est pas nul au b ord et à l’in térieur d u simplexe π n . La démonstration d e ce dernier p o int est obscure, voi re p eu co nv aincant e. De plus, l’initiali - sation de la récurrence p our le cas d u quadrilatère est très elliptique, comme l’attesten t les propres trav aux ultérieurs de Garnier : il étudie dans les années 1950 et 1960 le cas du qua- drilatère dans les articles [Gar51], [Gar62a] et [Gar62b], et y soulève plusieurs diﬃcu ltés qu’il ne men tionne pas dans [Gar28]. 5.1 La fonction « rapp orts des longueurs » F D ( t ) 5.1.1 Déﬁnition Considérons la famille isomono dromique de systèmes f uc hsiens ( A D ( t ) , t ∈ π n ) asso ciée à un jeu de directions orien tées D ∈ D n , que l’ on a in tro duite au c hapitre précéden t (section 4.3.1). P our étudier la dép endance en t de la solution fondamen tale Y 0 ( x, t ) , on v a la co mparer à une s o lution que l’on connaît mieux, la soluti on fondamenta le canonique en l’inﬁn i Y ∞ ( x, t ) . P our tout t ∈ π n , comme le système ( A D ( t )) est normalisé en l’inﬁni, il admet une unique matrice fondamen tale de solutio ns canonique en l’inﬁni de la forme Y ∞ ( x, t ) = R ∞  1 x , t  x − L ∞ , a v ec L ∞ = A ∞ =  1 − θ ∞ 2  1 0 0 − 1 ! , où la matrice R ∞ ( w, t ) est h ol omorphe en w = 0 e t v ériﬁe R ∞ (0 , t ) = I 2 . D’après le théorème 2.16, cette solution est M -inv arian te. De plus, comme la partie principale en x = ∞ est indép endan te de t : Y ∞ ( x, t ) ∼ x − L ∞ , la dép endance en t de la solution fondament ale Y ∞ ( x, t ) est enti èremen t d ét erminée par la d ép endance en t de la matrice A D ( x, t ) = n +2 X i =1 A D ,i ( t ) x − t i . On a vu au c hapitre précéden t que les matrices A D ,i ( t ) sont h olomorphes en tout p oint t ∈ π n (prop osition 4.10). Il existe donc un ouvert simplement connexe U de l’ensem b le B n qui cont ien t le simplexe π n tel que les matrices A D ,i ( t ) son t holomorphes dans U . On obtien t donc le lemme suiv an t. 72 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s Lemme 5.2. L a solution fondamentale Y ∞ ( x, t ) est holomorphe dans tout ouvert simp le- ment c onnexe de l’ensemble  P 1 × U  r S . Pour tout i = 1 , . . . , n + 2 , il existe une matric e C i ∈ GL (2 , C ) indép endante de t tel le que Y ∞ ( x, t ) = R i ( x, t )( x − t i ) L i · C i , où la matric e R i ( x, t ) est ho lomorph e et inversible da ns un voisinage de l’hyp ersurfac e x = t i de P 1 × U . L a matric e R i ( x, t ) se pr olonge analyt iquement le long de toute c ourb e de P 1 × U ne c oup ant aucune des hyp ersurfac es x = t j ( j 6 = i ). On rapp elle que l’ensem ble S ⊂ P 1 × U est l’ensem ble d es singularité s d e la famille de systèmes ( A D ( t ) , t ∈ U ) S = [ t ∈ U S ( t ) × { t } a v ec S ( t ) = { t 1 , . . . , t n +3 } . Démonstr ation. La pr emiè re partie du lemme en évidente . P our tout i = 1 , . . . , n + 2 , au v oisinage de la singularité x = t i , il existe par la prop osition 2.10 des m a trices fondamen- tales de solutions de la forme R i ( x, t )( x − t i ) L i , où la matrice R i ( x, t ) est holomorphe en x au p oin t x = t i et R 0 i ( t ) := R i ( x, t )   x = t i est in v ersible et v ériﬁe A D ,i ( t ) = R 0 i ( t ) L i R 0 i ( t ) − 1 . Comme la matrice A D ,i ( t ) est holomorphe dans U , il existe des matrices R 0 i ( t ) ∈ GL (2 , C ) qui diago nalisen t A D ,i ( t ) et qu i soien t holomorphes dans U . On en déduit que la matrice R i ( x, t ) , déﬁn ie p ar un e condition initiale R 0 i ( t ) holomorphe, est holomorphe au vo isinage de l’hypersu rface x = t i de P 1 × U . A p riori, la matrice de connexion en tre les matrices fondament ales R i ( x, t )( x − t i ) L i et Y ∞ ( x, t ) dép end de t . Comme la matrice de mono dromie M i ( Y ∞ ) de la solution fonda- men tale Y ∞ ( x, t ) est indép endante de t , il existe u ne matrice C i ∈ GL (2 , C ) tell e que M i ( Y ∞ ) = C − 1 i e 2 iπ L i C i . Alors, les solutions fond a ment ales R i ( x, t )( x − t i ) L i et Y ∞ ( x, t ) · C − 1 i on t la m ê me matrice de mono dromie e 2 iπ L i au p oin t x = t i , qui est diagonale et non scalaire. On m ontre facilemen t que ceci implique qu’il existe u n e matrice diagonale ∆ i ( t ) inv ersible et h ol omorphe dans U telle qu e Y ∞ ( x, t ) = R i ( x, t )( x − t i ) L i · ∆ i ( t ) · C i = R i ( x, t )∆ i ( t )( x − t i ) L i · C i , et la matrice R i ( x, t )∆ i ( t ) convie nt . La solution fondamen tale Y 0 ( x, t ) don t la p r emiè re ligne constitue les donn ées de W eierstrass d ’u n disque minimal à b ord polygonal est M -in v arian te, puisque sa rep r ése n- tation de mono dromie est engendrée par les matrices M i de la condition (b). La p ropo- sition 2.15 p ermet de caracté riser l’ensem ble des matrices fondament ales de solutions qui son t M -in v ariant es, sous réserve que la mono dromie des systèmes ( A D ( t )) soit irréductible — et c’est bien le cas, car les dir e ctions D i ne sont pas toutes coplanaires. On a donc Y 0 ( x, t ) = µ ( t ) Y ∞ ( x, t ) · C , (5.1) 5.1. La fonction « ra p por ts d es longueur s » F D ( t ) 73 où la matrice in v ersible C , qui est indép endan te de t , est une matrice d e conjugaison entre les matrices de mono dromie d e la solution Y ∞ ( x, t ) et les matrices M i , et où la fonction µ : U → C ∗ est holomorphe. Comme la s o lution Y 0 ( x, t ) est déﬁnie à m ultiplicatio n près par u ne fonctio n réelle d e t jamais n ulle, on p e ut la c hoisir co mme suit. Lemme 5.3. Il existe une mat ric e C 0 ∈ GL (2 , R ) indép endant e de t tel le que la pr e- mièr e ligne de la solution fondamentale Y 0 ( x, t ) = Y ∞ ( x, t ) · C 0 c onstitue les donné es de W eie rstr ass d’une immersion app artenant à X n D . Démonstr ation. P ar les pr opriét és de réalité du système ( A D ( t )) , p our tout t ∈ π n , la solution fondamenta le Y ∞ ( x, t ) est à v aleurs réelles dès que x ∈ ] − ∞ , t 1 [ . S i, p a r souci de simplicité, on choi sit d éﬁ n iti v emen t une p o sition du rep ère de R 3 telle que la direction D n +3 est dirigée par le second v ecteur de base e 2 , alors o n a vu au c hapitre 3 que la première ligne d e la solution fondamen tale Y 0 ( x, t ) est réelle ou purement imagi naire dès que x ∈ ] − ∞ , t 1 [ . Quitte à inv erser l’orien tati on de D n +3 , on p eut supp oser qu ’elle est réelle, et on en concl ut donc que ∀ t ∈ π n µ ( t ) C ∈ GL (2 , R ) . En particulier, le s élémen ts de la mat rice C ont tous le même argumen t ; il existe donc un nom bre réel ϕ tel que la matrice C 0 := e iϕ C soit dans GL (2 , R ) . Alors µ 0 ( t ) := e − iϕ µ ( t ) est à v aleurs réelles d ans π n , et les solutions fondamental es Y 0 ( x, t ) = µ 0 ( t ) Y ∞ ( x, t ) · C 0 et Y ∞ ( x, t ) · C 0 déﬁnissent des surfaces m in ima les homothétiques. On p eut donc supp oser que Y 0 ( x, t ) = Y ∞ ( x, t ) · C 0 . Remarquons que l’expression obten ue d a ns le lemme précéden t p our les données de W eierstrass est b eaucoup plus simple que celle obten ue par Garnier à partir de solutions d’équations fuchsiennes. Notons, p our un e matrice Y ∈ M (2 , C ) , L 1 ( Y ) := q | y 1 | 2 + | z 1 | 2 où Y = y 1 z 1 y 2 z 2 ! (bien que ce n e soit pas une norme). Alors les longueurs des côtés du disque minimal déﬁni par la solution fondament ale Y 0 ( x, t ) son t donn é es, p our tout t ∈ π n , par ℓ i ( t ) = Z t i +1 t i L 1 ( Y ∞ ( x, t ) · C 0 ) 2 dx ∈ ]0 , + ∞ [ ( i = 1 , . . . , n + 1) . Elles sont bien déﬁn ie s de par leur in terprétation géométrique, mais aussi parce que les exp osan ts en x = t i du s ystè me fuc h sien ( A D ( t )) sont strictemen t sup érieurs à − 1 / 2 . De plus, les fonctions ℓ i ( t ) ne p euv en t s’ann uler dans π n , car alors la première ligne de la solution Y 0 ( x, t ) serait nulle p our tout x dans l’in terv alle ] t i , t i +1 [ , ce qui est imp ossible. Les rapp orts de longueurs s’écriv en t donc, p our tout i = 1 , . . . , n , r i ( t ) = Z t i +1 t i L 1 ( Y 0 ( x, t )) 2 dx Z 1 0 L 1 ( Y 0 ( x, t )) 2 dx = Z t i +1 t i L 1 ( Y ∞ ( x, t ) · C 0 ) 2 dx Z 1 0 L 1 ( Y ∞ ( x, t ) · C 0 ) 2 dx . (5.2) 74 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s 5.1.2 Holomorphie On veut étendre la fonction F D ( t ) en une fonction holomorphe dans un v oisinage du simplexe π n . Pour cela, il faut obte nir le s rapp orts r i ( t ) par l’in tégratio n de fonct ions holomorphes en t , c’est-à-dire, en particulier, ne comp ortan t pas de mo dule. La solution fondamen tale Y 0 ( x, t ) a d es propr ié tés de réalité qui p ermetten t de se d ébarrasser des mo dules dans l’expression (5.2). Grâce au lemme 5.3, on a choisi des données d e W eierstrass qui hériten t à la fois des p ropriétés de réalité de la solution Y 0 ( x, t ) , et de la r ég ularité de la solutio n Y ∞ ( x, t ) , puisqu’on a pû éliminer la dép en d ance en t due à la fonctio n µ ( t ) dans l’expression (5.1 ) de Y 0 ( x, t ) . On obtien t ainsi une expression de la fonction F D ( t ) qui sera aussi utile p our l’étude en les pseud o-c ho cs. Prop osition 5.4. Soit un jeu de dir e ctions orienté es D ∈ D n . Il existe un ouvert simple- ment c onnexe de l’ensemble B n c ontenant π n et c ontenu dans U , que l’on note enc or e U , et une fonction F D : U → C n holomo rphe dans U qui pr olonge la fonction « r app orts des longueurs » F D : π n → ]0 , + ∞ [ n : F D   π n = F D . Démonstr ation. On ﬁxe i ∈ { 1 , . . . , n + 1 } . Considérons une matrice S i ∈ S U (2) qui soit u n relev é d’une r o tation env o y an t la d ir e ction D i sur le second axe de co ordonnées. Alors la première ligne de la solution fondamenta le Y 0 ( x, t ) · S i constitue les d onnées d e W eierstrass d ’u ne surface minimale b ordée p ar un p olygone don t le i -ème côté est parallèle au second axe d e co ordonnées. On a vu qu’alors cette p remiè re ligne est r éelle ou p uremen t imaginaire lorsque x ∈ ] t i , t i +1 [ . On p eut c hoisir S i telle qu’elle soit réelle. Considérons la solution fond ame nt ale Y i ( x, t ) := Y 0 ( x, t ) · S i = Y ∞ ( x, t ) · C 0 · S i . (5.3) La première ligne ( g i ( x, t ) , h i ( x, t )) de la solution Y i ( x, t ) est donc égalemen t réelle lorsque x ∈ ] t i , t i +1 [ . Comme S i ∈ S U (2) , on a p our tout t ∈ π n et tout x ∈ ] t i , t i +1 [ L 1 ( Y 0 ( x, t )) 2 = L 1 ( Y 0 ( x, t ) · S i ) 2 = g i ( x, t ) 2 + h i ( x, t ) 2 . On a donc ℓ i ( t ) = Z t i +1 t i  g i ( x, t ) 2 + h i ( x, t ) 2  dx, (5.4) et r i ( t ) = ℓ i ( t ) /ℓ n +1 ( t ) . On p eut donc étendre la fonction F D ( t ) à l’ouvert U . En eﬀet, quitte à diminuer l’ouv ert U , on supp oser que p our tout t dans U , pou r tout i = 1 , . . . , n , les p o int s t j ( j 6 = i, i + 1 ) n’appartiennen t p as au segmen t de droite limité p ar t i et t i +1 . On p eut donc toujours calculer les intég rales pr écédente s le long des segment s joignant t i et t i +1 . Alors p our tout t ∈ U on a ℓ i ( t ) = ( t i +1 − t i ) Z 1 0  g i ( t i + ξ ( t i +1 − t i ) , t ) 2 + h i ( t i + ξ ( t i +1 − t i ) , t ) 2  dξ . P our tout t ∈ U , la fonction ℓ n +1 ( t ) n’est jamai s nulle , vu qu e ceci forcerait les f o nctions g n +1 ( · , t ) et h n +1 ( · , t ) à être iden tiquemen t nulles sur l’in terv alle ]0 , 1[ . 5.2. La dé m o nstra tion p ar réc urrence 75 Mon trons qu e les fonctions ℓ i ( t ) ( i = 1 , . . . , n +1 ) son t holomorphes en u n p oin t t 0 ∈ π n . D’après le lemme 5.2, comme la m a trice C i C 0 S i est ind épend ante de t , la fonction G i ( ξ , t ) := g i ( t i + ξ ( t i +1 − t i ) , t ) 2 + h i ( t i + ξ ( t i +1 − t i ) , t ) 2 est h ol omorphe en t au p oin t t = t 0 p our tout ξ ﬁxé, 0 < ξ < 1 , et donc il suﬃt de la dominer p a r une fonction intégra ble ind ép endante de t , p our to ut t dans un vo isinage de t 0 . Soit ε > 0 tel qu e la b oule B ε  t 0  = n t ∈ C n | ∀ i = 1 , . . . , n | t i − t 0 i | < ε o soit cont en ue dans l’ouve rt U . O n scinde l’int erv alle d’intég ration ℓ i ( t ) = ℓ − i ( t ) + ℓ + i ( t ) , a v ec ℓ − i ( t ) = ( t i +1 − t i ) Z 1 2 0 G i ( ξ , t ) dξ et ℓ + i ( t ) = ( t i +1 − t i ) Z 1 1 2 G i ( ξ , t ) dξ . Considérons la fonction ℓ − i ( t ) . Il faut c hoisir ε tel que p our tout ξ ∈ [0 , 1 2 ] et p our tout t ∈ B ε  t 0  , la quant ité ξ ( t i +1 − t i ) soit con ten ue dans un disque cen tré en 0 de ray on η i indép endan t de ξ et de t et qu i ne con tienne aucun e des v aleurs singulières t j − t i , j 6 = i . On n’en tre pas dans les détails d e calculs ; si on s upp ose que ε < ( t 0 i +1 − t 0 i ) / 6 ( i = 1 , . . . , n ), alors η i = 2 3    t 0 i +1 − t 0 i    con vien t. T oujours par le lemme 5.2 et parce que la matrice C 0 S i C − 1 i est indép endan te de t , les fonctions g i ( x, t ) et h i ( x, t ) sont au v oisinage de x = t i des com bin a isons linéaires à cœﬃcien ts ind épendants de t d e fonctions de la forme ( x − t i ) − θ i 2 ϕ i ( x − t i , t ) et ( x − t i ) θ i 2 ψ i ( x − t i , t ) où les fonctions ϕ i ( y , t ) et ψ i ( y , t ) son t holomorphes en t ∈ U et en y tant que y 6 = t j − t i ( j 6 = i ). Ces fonctions ϕ i ( y , t ) et ψ i ( y , t ) son t donc b ornées p our tout y tel que | y | < η i et p our tout t ∈ B ε  t 0  . Il existe donc des constan tes K 0 , K 1 , K − 1 > 0 telles que p our tout ξ ∈ [0 , 1 2 ] et tout t ∈ B ε ( t 0 ) , on ait |G i ( ξ , t ) | ≤ K 0 + K − 1 | t i +1 − t i | − θ i ξ − θ i + K 1 | t i +1 − t i | θ i ξ θ i ≤ K 0 + K − 1 (2 η i ) − θ i ξ − θ i + K 1 (2 η i ) θ i ξ θ i . On obtien t donc que la fonction ℓ − i ( t ) est holomorphe au p oint t 0 . On pro cèderait d e même p our ℓ + i ( t ) . La fonction F D ( t ) est d onc holomorphe en tout p oin t du simp le xe π n . Elle est d onc holomorphe dans un ouve rt simplement connexe U de B n con tenan t π n , et on app elle toujours U l’in tersection U ∩ U . 5.2 La démonstration par récurrence 5.2.1 La proposition fondamen tale D’après la prop ositio n 5.4, la fonction F D : π n → ]0 , + ∞ [ n est con tinue dans π n . P ar iden tiﬁcation naturelle des simplexes π n et ]0 , + ∞ [ n (iden tiﬁcatio n que l’on v a préciser dans la suite), on obtien t une f o nction con tinue e F D : ]0 , + ∞ [ n → ]0 , + ∞ [ n . 76 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s P our mon trer que la foncti on F D est surjectiv e, on v a mon trer que la f o nction e F D est homotop e à l’iden tité, c’est-à-dire de degré 1 . Le p oin t essentie l p our établir ce résultat est l’étude du comp ortemen t de F D au b ord du simplexe π n . On commence par ét ablir la prop osition su iv ante , qu i, une f ois obten u ce comp ortemen t au b ord, nous p ermettra de conclure grâce à un raisonnemen t par récurrence. Prop osition 5.5. Soient un ensemble c onvexe et c omp act K de R n , et une fonctio n c ontinue f : K → K tel le q ue f ( ∂ K ) ⊂ ∂ K . Si la fonction f   ∂ K : ∂ K → ∂ K est de de gr é 1 , alors la fonction f : K → K est de de gr é 1 dans K . La notion standard de degré concerne les applications diﬀéren tiables (ou seulemen t con tin ues) entre v ariété s sans b ord. On p eut néanmoins l’étendre aux v ariétés a y an t un b ord, à la condition que les applicati ons pr ése rve nt le b ord. Cep endan t, la notion imp or- tan te ici est le fait que p our un e application con tinue, être de degré 1 est équiv alent à être homotop e à l’identit é : on veut mon trer que la fonction F D préserv e la s tr u ct ure simpliciale du b ord des domaines π n et ]0 , + ∞ [ n (après identi ﬁcation naturelle). Démonstr ation. On commence par m o nt rer cette prop osit ion lorsque le con v exe compact K coïncide a v ec la b oule un ité fermée ¯ B := ¯ B 1 (0) de R n p our la norme euclidienne k · k . On pro cède par d éfo rmations homotopiques. Pa r hypothèse, il existe une fonction con tin ue h : [0 , 1] × ∂ B → ∂ B telle que h (0 , · ) = f   ∂ B h (1 , · ) = id ∂ B . On v a construire une fonction co nt inue H : [0 , 1] × ¯ B → ¯ B telle que H (0 , · ) = id B H (1 , · ) = f . (5.5) On p rocède en d eux étap es, suiv an t la v aleur de t (v oir ﬁgure 5.1). On déﬁn it tout d’ab ord la fon ction H ( t, · ) : ¯ B → ¯ B p our t ﬁxé, 0 < t ≤ 1 2 , en faisan t une r ét ractation de f de ¯ B t (0) dans ¯ B t (0) , p uis en la transformant au b ord p ar la fonction h p our obtenir l’iden tité. Plus précisémen t, on p ose ∀ x ∈ B t (0) H ( t, x ) = tf  x t  ∀ x ∈ B 2 t (0) r B t (0) H ( t, x ) = k x k h  k x k t − 1 , x k x k  ∀ x ∈ ¯ B r B 2 t (0) H ( t, x ) = x. De même, p our 1 2 ≤ t ≤ 1 , on se con tent e de grossir et d e tronquer le cas précédent : ∀ x ∈ B t (0) H ( t, x ) = tf  x t  ∀ x ∈ ¯ B r B t (0) H ( t, x ) = k x k h  k x k t − 1 , x k x k  . La f o nction H v ériﬁe la condition (5 .5) et est cont in ue en tout p oin t de [0 , 1] × ¯ B r { (0 , 0) } . P our v ériﬁer qu ’e lle est con tin ue au p oin t (0 , 0) et que H (0 , 0) = 0 , il suﬃt de remarquer que p our tout 0 < t ≤ 1 2 , on a ∀ x ∈ B t (0) k H ( t, x ) k ≤ t ∀ x ∈ B 2 t (0) r B t (0) k H ( t, x ) k ≤ k x k . 5.2. La dé m o nstra tion p ar réc urrence 77 B 0 < t ≤ 1 2 f id h B t (0) B 2 t (0) 1 2 ≤ t ≤ 1 f h B t (0) Figure 5.1 – La fonction H ( t, · ) su iv ant la v aleur de t . Dans le ca s général, lorsque le con vexe compact K est quelconque, il existe u n homéo- morphisme ϕ : K → ¯ B qui env oie le b ord d e K sur la sphère ∂ B . Alors en appliquan t le résultat qu’on vien t d’établir à la fonction g := ϕ ◦ f ◦ ϕ − 1 : ¯ B → ¯ B , on obtien t que la fonction f est de degré 1 . On v a montrer que la fonction e F D s’étend con tinûmen t au b ord de ]0 , + ∞ [ n et qu e e F D ( ∂ ( ]0 , + ∞ [ n )) ⊂ ∂ ( ]0 , + ∞ [ n ) . On pro cè dera par récurrence p our obtenir que la fonc- tion e F D   ∂ ( ]0 , + ∞ [ n ) : ∂ ( ]0 , + ∞ [ n ) → ∂ ( ]0 , + ∞ [ n ) est de degré 1 . Commençons par compactiﬁer les simplexes π n et ]0 , + ∞ [ n dans R n = ( R ∪ {−∞ , + ∞} ) n et par expliciter leur b ord et la manière de les iden tiﬁer. On écrit ]0 , + ∞ [ n = { ( x 1 , . . . , x n ) ∈ R n | 0 < x n < x n − 1 + x n < · · · < x 1 + · · · + x n < + ∞} = { ( x 1 , . . . , x n ) ∈ R n | 0 < s n ( x ) < · · · < s 1 ( x ) < + ∞} où on a p osé p our i = 1 , . . . , n s i ( x ) = x i + · · · + x n et s 0 ( x ) = + ∞ , s n +1 ( x ) = 0 . Les adhérences son t d onnées par π n = n t ∈ R n | − ∞ ≤ t 1 ≤ · · · ≤ t n ≤ 0 o ]0 , + ∞ [ n = [0 , + ∞ ] n = n x ∈ R n | 0 ≤ s n ( x ) ≤ · · · ≤ s 1 ( x ) ≤ + ∞ o . Les b ords ∂ π n et ∂ ( ]0 , + ∞ [ n ) son t constitués de simp le xes de dimensions 0 à n − 1 . O n paramètre ces simp lexe s d e la façon su iv ante. S oi t ∆ := { 0 , 1 } n +1 r { (0 , . . . , 0) , (1 , . . . , 1) } . On note δ = ( δ 0 , . . . , δ n ) les élémen ts de ∆ . On a la réunion disjoin te de simplexes ∂ π n = G δ ∈ ∆ P δ , 78 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s a v ec P δ = { ( t 1 , . . . , t n ) ∈ π n | ∀ i = 0 , . . . , n t i = t i +1 ⇔ δ i = 0 } où on note t n +1 = 0 et t 0 = t n +3 = −∞ . Pour tout δ ∈ ∆ , on a un isomorph isme naturel ϕ δ : P δ → π | δ | où la dimension du simplexe est donnée par | δ | = n X i =0 δ i − 1 . Cet isomorph isme est obten u en « enle v ant» les co mp osan tes t i telles que δ i = 0 ( i = 1 , . . . , n ) et celles qu i v alen t −∞ . De même ∂ ( ]0 , + ∞ [ n ) = G δ ∈ ∆ R δ , a v ec R δ = { ( x 1 , . . . , x n ) ∈ [0 , + ∞ ] n | ∀ i = 0 , . . . , n s i +1 ( x ) = s i ( x ) ⇔ δ i = 0 } . On a égal emen t les isomorphismes ψ δ : R δ → ]0 , + ∞ [ | δ | . De même, on note D δ ∈ D | δ | le jeu de directio ns orien tées obten u à partir de D ∈ D n en «enlev ant » les d irec tions orien tées D i telles qu e δ i = 0 ( i = 0 , . . . , n ). Les deux directions orien tées D n +1 et D n +2 ne p euv en t d onc jamais disparaître. Grâce à la déﬁnition 3.2 de l’ensem ble D n , on v oit que le jeu d e directions orientée s D δ appartien t b ie n à D | δ | . Alors F D δ : π | δ | → ]0 , + ∞ [ | δ | . Le but des sections suiv an tes v a être d’établir la prop ositio n fondamen tale : Prop osition 5.6. Pour tout δ ∈ ∆ , la fonction « r app orts des longueurs » F D ( t ) asso cié e à un jeu de dir e ction D ∈ D n s’étend c ontinûment à la fac e P δ de π n et F D   P δ = ψ − 1 δ ◦ F D δ ◦ ϕ δ . (5.6) P our tout n ∈ N ∗ , on considère un homéomorphisme Φ n : ]0 , + ∞ [ n → π n tel que p our tout δ ∈ ∆ on ait Φ n  R δ  = P δ . On p ose alors e F D := F D ◦ Φ n , e F D : ]0 , + ∞ [ n → ]0 , + ∞ [ n . Étan t donné les p ropositions 5.5 et 5.6, p our mon trer que la fonction e F D est de degré 1 , on v a faire u ne récurrence forte, et la b onne h yp othèse est : 5.2. La dé m o nstra tion p ar réc urrence 79 Hyp othèse de récurrence a u rang n : p our tout k = 1 , . . . , n , p our tout jeu d e directions orienté es D ∈ D k la fonction e F D = F D ◦ Φ k , e F D : ]0 , + ∞ [ k → ]0 , + ∞ [ k est d e degré 1 . P our tout δ ∈ ∆ , comme | δ | < n , on obtient ainsi, grâce à l’h yp othèse d e récurrence au rang n − 1 , que e F D   R δ : R δ → R δ est d e degré 1 , et on a donc e F D   ∂ ( ]0 , + ∞ [ n ) : ∂ ( ]0 , + ∞ [ n ) → ∂ ( ]0 , + ∞ [ n ) est de d egré 1 . P ar la prop o sition 5.5, on p eut alors en co nclure qu e la foncti on e F D : ]0 , + ∞ [ n → ]0 , + ∞ [ n est d e degré 1 , et l’hérédité de la récurrence est ét ablie. 5.2.2 Le cas du quadrilatère ( n = 1 ) L’initialisat ion de la récurrence au r ang n = 1 est immédiate à partir de la prop osi- tion 5.6. Dans ce cas, p our tout D = ( D t , D 0 , D 1 , D ∞ ) ∈ D 1 , la fonction « rapp orts d e s longueurs » F D : ] − ∞ , 0[ → ]0 , + ∞ [ est le rapp ort d e la longueur du premier côté (de d irec tion D t ) sur la longueur du deuxième (de direction D 0 ). Ici, ∆ = { δ 1 , δ 2 } a v ec δ 1 = { 0 , 1 } et δ 2 = { 1 , 0 } , et P δ 1 = {−∞} , R δ 1 = { + ∞} , P δ 2 = { 0 } et R δ 2 = { 0 } . La prop osition 5.6 nous donne donc ce à quoi on p ouv ait raisonnablement s’attendre : lim t → 0 F D ( t ) = 0 et lim t →−∞ F D ( t ) = + ∞ . On p eut choisir Φ 1 : ]0 , + ∞ [ → ] − ∞ , 0[ , Φ 1 ( t ) = − t c’est-à- dire e F D : ]0 , + ∞ [ → ]0 , + ∞ [ , e F D ( t ) = F D ( − t ) . On en d éduit donc qu e la fonction e F D est de degré 1 (cas particulier éviden t de la dimension 1 de la pr o p osition 5.5). On représent e à la ﬁgure 5.2 les v ariations lorsqu e t → −∞ et t → 0 du quadrilatère P D ( t ) d éﬁni p ar le jeu de directions orienté es D , et p our lequel le problème de Plate au admet une soluti on. On note a t = X ( t ) , a 0 = X (0) , a 1 = X (1) et a ∞ = X ( ∞ ) les sommets de ce qu a drilatère. Les sommets a 0 et a 1 ne p euv en t pas disp a raître au cours de la déformatio n. Comme les quadrilatères ( P D ( t ) , t ∈ ] − ∞ , 0[) son t déﬁnis à translation et homothétie de rapp ort p ositif p rès, et comme la direction D 0 est ﬁxée, on p eut supp oser que la p ositi on des sommets a 0 et a 1 est ﬁ xe . A ux cas limites, lorsqu e t = −∞ ou t = 0 , les données de W eierstrass d’une sur fac e minimale limitée par un triangle a y an t u n sommet en l’inﬁni so nt des solutions d ’une équation hyp ergé ométrique. Remarque 5.7. Si les d ir ections orienté es D ∞ , D t et D 0 son t dans un même plan, et si la direction D 1 n’appartien t pas ce plan, alors ces directions ne son t pas les d irect ions d’un quadrilatère de R 3 , et il n’existe aucune v aleur de t p our laquelle le quadrilatère P D ( t ) « se referme » . Pa r con tre, suiv an t l’orien tatio n des directions D ∞ , D t et D 0 , il p eut exister une v aleur de t telle que la demi-droite ( a t ( t ) , − D ∞ ) passe par le sommet a 1 ( t ) (qui devien t donc aussi le sommet a ∞ ( t ) ) : on obtien t un triangle de R 3 . 80 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s −∞ < t < 0 a t a 0 a 1 a ∞ D t D 0 D 1 D ∞ t = 0 a 0 a 1 a ∞ D 0 D 1 D ∞ t = −∞ a 0 a 1 a ∞ D t D 0 D 1 Figure 5.2 – Déformation du quadrilatère déﬁni par un jeu d e directi ons orien tées 5.2.3 Le c hangemen t de v ariables On v a détailler uniqu eme nt le cas des faces P δ où δ = (1 , . . . , 1 , 0 , . . . , 0) : on ﬁxe un en tier p , 1 ≤ p ≤ n , et on étudie la fonction F D ( t ) lorsque t p , t p +1 , . . . , t n tenden t vers t n +1 = 0 , les autres v ariables t 1 , . . . , t p − 1 demeuran t à distance mutuelle sup érieure à un réel strictement p ositif. De manière générale, on v a noter par α les ind ic es p renan t les v aleurs 1 , . . . , p − 1 , n + 2 , et par β ceux v ariant en tre p et n + 1 . Pour to ut t ∈ B n , on fai t le changeme nt de v ariables su iv ant τ := t p , ν β := t β τ ( p ≤ β ≤ n + 1) , (5.7) et on note t ′ = ( t 1 , . . . , t p − 1 ) et ν = (1 , ν p +1 , . . . , ν n ) . P ar abus de notation, on identi ﬁera ν et ( ν p +1 , . . . , ν n ) . En particulier, on dira que ν ∈ B n − p p our signiﬁer que ( ν p +1 , . . . , ν n ) ∈ B n − p . Alors t =  t ′ , τ · ν  . À t ′ ∈ B p − 1 et ν ∈ B n − p ﬁxés, le n -uplet ( t ′ , τ · ν ) est dans B n dès que | τ | est s u ﬃsammen t p etit. On déﬁn it l’imag e V de l’ouv ert U par le c hangemen t de v ariables V :=  t ′ , ν, τ  ∈ C n |  t ′ , τ · ν  ∈ U  . (5.8) Dans le ca s réel, c’est-à-dire lorsque la v ariable t est d ans le simp lexe π n , la v ariable t ′ est dans π p − 1 et la v ariable ν est dans le simplexe e π n − p déﬁni par e π k := n ( ν 1 , . . . , ν k ) ∈ R k | 0 < ν k < · · · < ν 1 < 1 o . 5.2. La dé m o nstra tion p ar réc urrence 81 On considère un voisinag e simplemen t connexe U ′ du s imp lexe π p − 1 con ten u dans B p − 1 , et un v oisinage simplemen t co nnexe e U du simplexe e π n − p con ten u dans B n − p tels que p our tout ( t ′ , ν ) ∈ U ′ × e U , il existe τ ∈ C ∗ tel qu e le n -uplet ( t ′ , ν, τ ) soit d ans l’ensem ble V . On supp ose de plus que l’ouv ert e U est b orné : ceci est p ossible puisque le simp le xe e π n − p l’est. La p roposition suiv an te rassemble les résultats que l’on v a établir dans les d e ux sections suiv ante s. Elle donn e le comp ortemen t d e la fonction F D en les v ariables ( t ′ , ν, τ ) aux p oin ts  t ′ 0 , ν 0 , 0  , a v ec  t ′ 0 , ν 0  ∈ U ′ × e U . Comme on v a étudier le comp ortemen t d e la fonction F D en c hacune des v ariables t ′ , ν et τ sép aremment, on utilisera p our conclure le théorème de l’analytic ité séparée d’Hartogs. C’est p ourquoi on a eu b esoin d’étendre la fonction F D ( t ) à l’ouv ert U . On verra ensuite que cette prop osition nous p ermet de d é duire la con tin uité de F D en la v ariable t en les p oin ts du b ord d u simplexe π n . Prop osition 5.8. Soient un jeu de dir e ctions orienté es D ∈ D n et u n entier p , 1 ≤ p ≤ n . On déﬁnit le jeu de dir e ctions orienté es D ′ ∈ D p − 1 p ar D ′ = ( D 1 , . . . , D p − 1 , D n +1 , D n +2 , D n +3 ) , et on note σ π la mesur e de l’angle e xtérieur entr e les dir e ctions orienté es D p − 1 et D n +1 tel le que 0 < σ < 1 . Soit un ouvert Ω ′ de U ′ tel que p our tout α = 1 , . . . , p − 1 , sa pr oje ction Ω ′ α sur la α -ième c o or donné e vériﬁe dist (Ω ′ α , 0) > 0 . A lors il existe ε > 0 tel que p our tout se cteur S ε,ϕ = { τ ∈ C | 0 < | τ | < ε, | arg τ | < ϕ } , le pr o duit c artésien Ω ′ × e U × S ε,ϕ soit c ontenu dans V et que dans c e pr o duit la fonction F D ( t ′ , τ · ν ) vériﬁe F D  t ′ , τ · ν  = H  t ′ , ν, τ σ , τ 1 − σ  , où H ( t ′ , ν, u, v ) est une fon ction holo morphe e n ( t ′ , ν, u, v ) au voisinage de chacun des p oints  t ′ 0 , ν 0 , 0 , 0  , ave c t ′ 0 ∈ Ω ′ et ν 0 ∈ e U . De plus, p our tout ( t ′ , ν ) ∈ U ′ × e U , on a lim τ → 0 F D  t ′ , τ · ν  =  F D ′  t ′  , 0 . . . , 0  . Remarque 5.9. On pro cèderait de même p our les autres faces du simplexe π n , et on obtiendrait des résultats analogues, en faisant d es c hangemen ts de v ariables adaptés, par exemple : t = ( t 1 , . . . , t p − 1 , τ + t q , . . . , τ ν q − 1 + t q , t q , . . . , t n ) , τ → 0 t = ( t 1 , . . . , t p − 1 , τ + t p +1 , t p +1 , . . . , t q − 1 , τ ν + t q +1 , t q +1 , . . . , t n ) , τ → 0 t =  ν 1 τ , . . . , 1 τ , t p , . . . , t n  , τ → 0 . La prop osition 5.8 p ermet d’établir la prop osition fondamen tale 5.6. 82 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s Démonstr ation de la pr op osition 5.6. P our éte ndr e de manière con tin ue la fonctio n F D ( t ) en c h ac une des face s P δ du b ord de π n , on v a pr océder par récurrence sur la cod imension n − | δ | de P δ . Soit une « hyp e r-face » P δ de π n , c’est -à-dire telle qu’il existe u n en tier p ∈ { 0 , . . . , n } v ériﬁan t δ p = 0 et δ i = 1 p our tout i 6 = p . Soit t 0 un p oin t de P δ . Alors t 0 p = t 0 p +1 . Dans ce cas, le c hangemen t de v ariables adapté est τ := t p − t 0 p +1 , t ′ := ( t i ) 1 ≤ i ≤ n, i 6 = p . Alors un e v arian te adaptée au p oin t t 0 de la p roposition 5.8 nous assure qu e la fonction F D ( t ′ , τ + t 0 p +1 ) est holomorphe en  t ′ , τ σ , τ 1 − σ  au p oin t t ′ = t ′ 0 , τ = 0 , et on obti en t donc que la fonction F D ( t ) est con tin ue en t 0 . Supp osons que la fonction F D ( t ) se pr ol onge con tin ûmen t à toutes les faces de co dimen- sion inférieure ou égale à q − 1 . Soit t 0 un p oin t d’une face P δ de codimen s ion n − | δ | = q . P our simpliﬁer l’écriture de la démonstration, on v a s u pp os er encore δ = (1 , . . . , 1 , 0 , . . . , 0) , c’est-à- dire t 0 = ( t ′ 0 , 0 , . . . , 0) , a v ec t ′ 0 ∈ π p − 1 et p = | δ | + 1 = n − q + 1 . S oit K ′ un compact de π p − 1 tel qu e t ′ 0 soit à l’in térieur de K ′ . Alors, par la prop osit ion 5.8, on sait qu’il existe ε > 0 tel qu e p our tous t ′ ∈ K ′ , ν ∈ e π n − p , − ε < τ < 0 , on ait F D  t ′ , τ · ν  = H  t ′ , ν, τ σ , τ 1 − σ  =  F D ′  t ′  , 0 . . . , 0  + τ σ H 1  t ′ , ν, τ σ , τ 1 − σ  + τ 1 − σ H 2  t ′ , ν, τ σ , τ 1 − σ  où les fonctions H i ( t ′ , ν, u, v ) ont les mêmes propriétés que la fonction H . Par l’h yp othèse de récurr e nce, étan t donné que la codimension des faces de e π n − p est inf érieur e ou égale à n − p = q − 1 , la f onction F D ( t ′ , τ · ν ) se p rolo nge con tin ûmen t en tous les p oin ts t = ( t ′ , τ · ν ) tels que t ′ ∈ K ′ , ν ∈ ∂ e π n − p , − ε < τ < 0 . La fonction H ( t ′ , ν, τ σ , τ 1 − σ ) est donc cont inue dans le compact K ′ × e π n − p × [ − ε, 0] . On en conclut donc qu’il existe deux constan tes C 1 , C 2 > 0 telles que p our tout ( t ′ , ν, τ ) dans ce compact , on ait    H i  t ′ , ν, τ σ , τ 1 − σ     ≤ C i ( i = 1 , 2 ). Et donc   F D  t ′ , τ · ν  −  F D ′  t ′  , 0 . . . , 0    ≤ C 1 | τ | σ + C 2 | τ | 1 − σ . L’ensem ble { t = ( t ′ , t p , . . . , t n ) ∈ π n | t ′ ∈ K ′ , − ε < t p < 0 } est b ie n un v oisinage d e t 0 dans π n , et p our tout t dans cet ens emble, on a    F D ( t ) −  F D ′  t ′ 0  , 0 . . . , 0     ≤   F D ( t ) −  F D ′  t ′  , 0 . . . , 0    +     F D ′  t ′  , 0 . . . , 0  −  F D ′  t ′ 0  , 0 . . . , 0     ≤ C 1 | t p | σ + C 2 | t p | 1 − σ + C 0    t ′ − t ′ 0    , où la d ernière inéga lité provien t d u f a it que la fonction F D ′ ( t ′ ) est lipsc hitzienne dans le compact K ′ . L a fonction F D ( t ) est donc bien con tin u e au p oin t t 0 . 5.3. Les p seudo-chocs 83 5.3 Les pseudo-c ho cs Dans cette section, on rapp elle des résultats conn us sur le comp ortemen t du système de Sc h le singer au voisinag e des singularités que Garnier app elle «pseudo-c ho cs » , c’est-à- dire lorsque plus ieur s t i viennen t se confond re. On ne se limite pas ici au cas réel, n i aux systèmes fuc hsiens don t la mono dromie vériﬁe u ne condition du t yp e (b) . Ces résultats son t u ne p a rtie co nnue du tra v ail d e Garnier. Ils on t été mod e rnisés et approfondis par M. Sato, T. Miw a et M. Jimbo dans [SMJ79]. O n les adapte à la situation qu i n ous in téresse : le but de cette secti on est d’obtenir la dépend ance en τ de la fonctio n F D ( t ′ , τ · ν ) au p o int τ = 0 . O n donn e à l’app endice B les démonstrations des pr incipaux résultats de [SMJ79] et [Jim82] que l’on v a utiliser, et on établit d ans ce chapitre uniquemen t les propr ié tés nouv elles d ont on a b esoin. On considère une famille isomono dromique de systèmes fuchsiens non résonn a nts et normalisés en l’inﬁni d Y dx = A ( x, t ) Y , où A ( x, t ) = n +2 X i =1 A i ( t ) x − t i où les matrices ( A 1 ( t ) , . . . , A n +2 ( t )) son t s olutions d u système d e Sc hlesinger (2.11). O n supp ose que les matrices A i ( t ) ( i = 1 , . . . , n + 2 ) sont à trace n ulle. On note − θ i 2 , θ i 2 les v aleurs propres d e la matrice A i ( t ) , qui son t constant es, ainsi qu e A ∞ = − n +2 X i =1 A i ( t ) =  1 − θ ∞ 2  1 0 0 − 1 ! . On ﬁxe un en tier p , 1 ≤ p ≤ n , et on étudie le comp ortemen t d e s matrices A i ( t ) lorsque t p , . . . , t n tenden t v ers 0 , les autres v ariables t 1 , . . . , t p − 1 demeuran t à distance m utuelle sup érieure à un n o mbre stricteme nt p ositif. On fait le c hangemen t de v ariables (5.7). Le système p réc éden t s’écrit alors d Y dx =   X α A α ( t ′ , τ · ν ) x − t α + X β A β ( t ′ , τ · ν ) x − τ ν β   Y . (5.9) Dans cet te section (à l’exce ption de la prop ositio n 5.13), o n v a sup poser les v ariables ( t ′ , ν ) ∈ B p − 1 × B n − p ﬁxées. O n p ose r = min {| t α | , α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 } > 0 , R = max {| ν β | , β = p, . . . , n } ≥ 1 . (5.10) Dès que | τ | < r /R , le n -uplet ( t ′ , τ · ν ) est dans B n . En ﬁxan t ( t ′ , ν ) , on v a donc p our c haque v aleur t ′ 0 de t ′ , limiter l’étude le long de toute droite passan t par le p oin t ( t ′ 0 , 0 , . . . , 0) et co nt en ue d ans le sous-espace t ′ = t ′ 0 . Ces d roite s sont paramétrées par la v ariable ν . Quand il n ’y a pas d’am biguïté, on ne note plus la dép endance en t ′ et en ν . Les transformations isomono dromiques de paramètre τ du système (5.9) sont données par le système d e Sc hlesinger restreint : dA α dτ = X β ν β τ ν β − t α [ A β ( τ ) , A α ( τ )] dA β dτ = X α ν β τ ν β − t α [ A α ( τ ) , A β ( τ )] + 1 τ X β ′ ( 6 = β ) [ A β ′ ( τ ) , A β ( τ )] . (5.11) 84 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s 5.3.1 Les solutions du système de Schlesin ger On étudie le comp orteme nt des solutions du système de Sc hlesinger restrein t (5.11) lorsque τ tend v ers 0 . Ceci nous p ermettra ensu it e d’en déduire celui des solutions du système fuchsien (5.9). Le théorème suiv ant est établi p ar Garnier dans [Gar26] qu and p = n , et dans [Gar28 ] dans le ca s réel p our p quelconque. Il est r e pris et généralisé dans [SMJ79], en particulier aux autres c hangemen ts de v ariables de la remarque 5.9 et aux systèmes de dimension quelconque. Théorème 5.10 ([SMJ79]) . Soient A 0 α ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ) et A 0 β ( β = p , . . . , n + 1 ) des matric es c onstantes dont les valeurs pr opr es sont r e sp e ctivement  − θ α 2 , θ α 2  et  − θ β 2 , θ β 2  . On supp ose de plus q ue X α A 0 α + X β A 0 β = − A ∞ et que les valeurs pr opr es µ et − µ de la matric e Λ := X β A 0 β vériﬁent : 0 < 2 ℜ ( µ ) < 1 . On note σ = 2 ℜ ( µ ) . Soient σ 1 et K deux c onstantes tel les que σ < σ 1 < 1 et | A 0 α | < K, | A 0 β | < K. A lors il existe ε > 0 tel que dans tout se cteur S ε,ϕ = { τ ∈ C | 0 < | τ | < ε, | arg τ | < ϕ } , il existe une unique solution A α ( τ ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ), A β ( τ ) ( β = p, . . . , n + 1 ) du système (5.11) vériﬁant : | A α ( τ ) − A 0 α | ≤ K | τ | 1 − σ 1 , | τ − Λ A β ( τ ) τ Λ − A 0 β | ≤ K | τ | 1 − σ 1 . (5.12) On donn e la démonstration du théorème (5.10) à l’app endice B. La prop ositio n sui- v ant e, qui n’est pas dans [SMJ79], se d éduit aisémen t de cett e démonstration. On p ose e A α ( τ ) = τ − Λ A α ( τ ) τ Λ e A β ( τ ) = τ − Λ A β ( τ ) τ Λ . Prop osition 5.11. L es matric es A α ( τ ) et A β ( τ ) du thé or ème 5.10, ainsi que les matric es e A α ( τ ) et e A β ( τ ) vériﬁent dans tout se cteur S ε,ϕ , où ε > 0 est donné au thé or ème 5.10, les pr opriétés suivantes A α ( τ ) − A 0 α = τ 1 − σ H ( τ σ , τ 1 − σ ) (5.13) τ − Λ  A α ( τ ) − A 0 α  τ Λ = τ 1 − σ H ( τ σ , τ 1 − σ ) (5.14) τ − Λ A β ( τ ) τ Λ − A 0 β = τ 1 − σ H ( τ σ , τ 1 − σ ) (5.15) A β ( τ ) = τ − σ H ( τ σ , τ 1 − σ ) (5.16) où H ( u, v ) désigne toute fonction holom orphe en ( u, v ) dans un voisinage du p oint (0 , 0) c ontenu dans C 2 . 5.3. Les p seudo-chocs 85 Démonstr ation. Remarquons tout d’ab ord que la p ropriété (5.16) est une conséquence immédiate de (5.15), puisque si une matrice A ( τ ) est h o lomorphe en τ σ , τ 1 − σ , alors on a τ − Λ A ( τ ) τ Λ = τ − σ H ( τ σ , τ 1 − σ ) . À la démonstration du théorème 5.10, qui se trouve à l’app endice B, on construit la solution A α ( τ ) et A β ( τ ) du système (5.11) par intég rations successiv es. On rapp ell e cette construction. Il faut récrire le système de S c hlesinger restreint (5.11) av ec les m atrices A α ( τ ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ), e A β ( τ ) ( β = p, . . . , n + 1 ) comme inconnues : dA α dτ = X β ν β τ ν β − t α h τ Λ e A β ( τ ) τ − Λ , A α ( τ ) i d e A β dτ = X α ν β τ ν β − t α h τ − Λ A α ( τ ) τ Λ , e A β ( τ ) i + 1 τ X β ′ h e A β ′ ( τ ) − A 0 β ′  , e A β ( τ ) i . On construit la solution rec h erc hée en p rocédant par itération. O n p ose A (0) α ( τ ) = A 0 α , e A (0) β ( τ ) = A 0 β , et p our tout en tier naturel k , on déﬁnit les matrices A ( k ) α ( τ ) et e A ( k ) β ( τ ) à partir de A ( k − 1) α ( τ ) et e A ( k − 1) β ( τ ) par : A ( k ) α ( τ ) = A 0 α + X β Z τ 0 ν β sν β − t α h s Λ e A ( k − 1) β ( s ) s − Λ , A ( k − 1) α ( s ) i ds e A ( k ) β ( τ ) = A 0 β + X α Z τ 0 ν β sν β − t α h s − Λ A ( k − 1) α ( s ) s Λ , e A ( k − 1) β ( s ) i ds + X β ′ Z τ 0 1 s h e A ( k − 1) β ′ ( s ) − A 0 β ′  , e A ( k − 1) β ( s ) i ds. Les inté grales son t calculées le long du segmen t joignan t 0 et τ : { s = r e iψ | 0 < r < | τ | , ψ = arg τ } . On a mon tré ensuite par récurrence que les matrices A ( k ) α ( τ ) et e A ( k ) β ( τ ) son t bien déﬁnies et qu ’e lles con v ergen t uniformémen t d a ns tout secteur S ε,ϕ , où ε est b ie n c hoisi. Leurs limites constituen t la solution rec herc hée. P our mon trer la prop osition 5.11, il su ﬃt donc de mon trer que les matrices A ( k ) α ( τ ) et A ( k ) β ( τ ) v ériﬁen t p our tout k les p ropriété s (5.13), (5.14) et (5.15). On pro cède égalemen t par récurrence. L’initialisatio n est immédiate. Si les matrices A ( k − 1) α ( τ ) et A ( k − 1) β ( τ ) vériﬁen t les propriétés (5.13) et (5.15), alors on voit que les matrices A ( k ) α ( τ ) et e A ( k ) β ( τ ) son t obtenues par l’in tégration de fonctions de la forme τ − σ H ( τ σ , τ 1 − σ ) . Elles sont donc ell es-mêmes de la forme τ 1 − σ H ( τ σ , τ 1 − σ ) , 86 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s i.e. les matrices A ( k ) α ( τ ) et A ( k ) β ( τ ) vé riﬁent les p ropriété s (5.13) et (5.15). Elles vériﬁen t égaleme nt la propriété (5.14), étan t donn é qu’on a τ − Λ  A α ( τ ) − A 0 α  τ Λ = X β Z τ 0 ν β sν β − t α "  s τ  Λ e A ( k − 1) β ( s )  s τ  − Λ , τ − Λ A ( k − 1) α ( s ) τ Λ # ds. La propr ié té (5 .14) est donc une conséquence d e (5.1 3 ) et (5.15). Garnier [Gar26] établit le résultat suiv an t, qui ne ﬁgure pas sous une forme aussi générale dans [SMJ79]. Prop osition 5.12. T oute solution A α ( τ ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ), A β ( τ ) ( β = p, . . . , n, n + 1 ) du système de Schlesinger r e str eint (5.11) admet une limite quand τ → 0 au sens de (5.12) . Je ne donn e p a s la démonstratio n (compliquée) de Garn ier. Comme on se limite au cas des systèmes de tail le 2 × 2 , cas où le problème de Riemann–Hilbert adm et toujours un e solution, on déduira aisément cette p roposition de la p roposition 5.15, c’est- à-dire de la mono dromie des systèmes f uc hs iens asso ciés à c haque solution du système de S c hlesinger restrein t (5.11). On n’utilisera la prop osition 5.12 qu’à la sect ion suiv an te. On donn e à p résen t la d é p endance en t ′ et en ν au v oisinage d e τ = 0 d e s matrices A α ( t ′ , τ · ν ) et A β ( t ′ , τ · ν ) . On sait déjà que lo rsque τ 6 = 0 , ces matrice s sont méromorphes en t ′ et en ν tan t que la v ariable t = ( t ′ , τ · ν ) r e ste dans B n (par la propriété de Pa inlev é). La prop osition suiv an te p ermet d’étendre ce résu lt at aux matrices A 0 α = A 0 α ( t ′ , ν ) A 0 β = A 0 β ( t ′ , ν ) Λ = Λ( t ′ , ν ) . Sa démonstration est donn ée à l’app endice B. Prop osition 5.13. L es mat ric es A 0 α ( t ′ , ν ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ) et Λ( t ′ , ν ) sont solutions du système de Schlesinger suivant      d ′ A ′ α = X α ′ 6 = α  A ′ α ′ , A ′ α  d ′ log( t α − t α ′ ) d ν A ′ α = 0 où on a p osé A 0 n +1 ( t ′ , ν ) := Λ( t ′ , ν ) , et où d ′ désigne la diﬀér entiation p ar r app ort à t ′ = ( t 1 , . . . , t p − 1 ) et d ν la diﬀér entiation p ar r app ort à ν = ( ν p +1 , . . . , ν n ) . L es matric es A 0 α ( t ′ , ν ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ) et A 0 β ( t ′ , ν ) ( β = p , . . . , n + 1 ) sont solutions du système            d ′ A 0 β = − p − 1 X α =1 h A 0 β , A 0 α i d ′ log( t α ) d ν A 0 β = X β ′ 6 = β h A 0 β ′ , A 0 β i d ν log( ν β − ν β ′ ) . En particulier, les matrices A 0 α ( t ′ , ν ) et Λ( t ′ , ν ) sont indép endan tes de ν et son t solutions du système de Schle singer (2.1 1 ) de d ime nsion p − 1 . 5.3. Les p seudo-chocs 87 5.3.2 Les solutions du système fuc hsien P our toute matice fond amental e de solutions Y ( x, τ ) du système (5.9), la matric e e Y ( y , τ ) = τ − Λ Y ( τ y , τ ) est u ne matrice fondamen tale d e solutions du système fuchsien non résonnant d Y dy = e A ( y , τ ) Y , (5.17) où la matrice e A ( y , τ ) est d éﬁnie par e A ( y , τ ) = X α e A α ( τ ) y − t α τ + X β e A β ( τ ) y − ν β = τ  τ − Λ A ( τ y , τ ) τ Λ  . Le système (5.1 7 ) n’est pas normalisé en l’inﬁni. Prop osition 5.14. (i) L a solution fondamentale Y ∞ ( x, τ ) normalisé e en l’inﬁni du système (5.9) est holomorphe en τ σ , τ 1 − σ au p oint τ = 0 p our tout x 6 = 0 ﬁxé. Sa limite lim τ → 0 Y ∞ ( x, τ ) e xist e donc et est solution du système fuchsien d Y dx = X α A 0 α x − t α + Λ x ! Y . (5.18) (ii) L a solution fondamentale e Y ( y , τ ) := τ − Λ Y ∞ ( τ y , τ ) du système (5.17) est holo- morphe en τ σ , τ 1 − σ au p oint τ = 0 p our to ut y ∈ C ﬁx é. Sa limite lim τ → 0 e Y ( y , τ ) existe donc et est solution du système fu chs ien d Y dy = X β A 0 β y − ν β Y . (5.19) Démonstr ation. On n e m ontre que l’assertion (2) ; l’assertio n (1) se mon tre de la même manière. On calcule la d ériv ée d e la matrice e Y ( y , τ ) p ar r apport à τ , p our y ﬁxé. On supp ose que | τ | < r / | y | . Sac han t que ∂ ∂ t i Y ∞ ( x, t ) = − A i ( t ) x − t i Y ∞ ( x, t ) , (lemme 2.17), on trouve d dτ Y ∞ ( τ y , τ ) =   y A ( τ y , τ ) − X β ν β A β ( τ ) τ y − τ ν β   Y ∞ ( τ y , τ ) =   y X α A α ( τ ) τ y − t α + 1 τ X β A β ( τ )   Y ∞ ( τ y , τ ) . Et comme A ∞ = − X α A α ( τ ) − X β A β ( τ ) = − X α A 0 α − Λ , on obtien t d dτ e Y ( y , τ ) = − 1 τ X α τ − Λ  A α ( τ ) − A 0 α  τ Λ + y X α τ − Λ A α ( τ ) τ Λ τ y − t α ! e Y ( y , τ ) , 88 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s c’est-à- dire, vu (5.14) d dτ e Y ( y , τ ) = τ − σ H  y , τ σ , τ 1 − σ  e Y ( y , τ ) , où H ( y , u, v ) désigne une foncti on holomo rphe au vo isinage d e ( y 0 , 0 , 0) p our tout y 0 ∈ C . On en conclut donc qu’il existe une matrice Q ( y , τ ) = I 2 + τ 1 − σ H 1  y , τ σ , τ 1 − σ  , où la fonction H 1 a les mêmes propriétés que H , et une matrice e Y 0 ( y ) indép endan te de τ telles que e Y ( y , τ ) = Q ( y , τ ) e Y 0 ( y ) . Il ne reste d onc qu’à prouve r que la matrice e Y 0 ( y ) est solution du système fuc h- sien (5. 19). P our cela, il suﬃ t d e v ériﬁer qu e la matrice e A ( y , τ ) = X α e A α ( τ ) y − t α τ + X β e A β ( τ ) y − ν β tend en τ = 0 v ers la matrice X β A 0 β y − ν β . Ceci est éviden t, étan t donné qu e la matrice X α e A α ( τ ) y − t α τ = τ 1 − σ X α τ σ e A α ( τ ) τ y − t α tend v ers la matrice nulle par l’assertion (5.14) de la prop osition 5.11 . P our la deuxième partie d e l’asserti on (1), on aurait mont ré de même que la matric e A ( x, τ ) = X α A α ( τ ) x − t α + X β A β ( τ ) x − τ ν β tend en τ = 0 v ers la matrice X α A 0 α x − t α + Λ x en remarquant que X β A β ( τ ) x − τ ν β = 1 x X β A β ( τ ) + τ X β ν β A β ( τ ) x ( x − τ ν β ) = − 1 x A ∞ + X α A α ( τ ) ! + τ 1 − σ X β ν β τ σ A β ( τ ) x ( x − τ ν β ) . Le système fuc hsien (5.18) est non résonnan t et n o rmalisé en l’inﬁni, étant donn é qu e − X α A 0 α − Λ = − X α A 0 α − X β A 0 β = A ∞ . 5.3. Les p seudo-chocs 89 Soit Y 0 ∞ ( x ) sa matrice fond a ment ale de solutions n ormali sée en l’inﬁn i. Comme 0 < σ < 1 , le comp ortemen t local de Y 0 ∞ ( x ) au voi sinage d es singularités du système (5.18) est donné par Y 0 ∞ ( x ) =  S 0 α + O ( x − t α )  ( x − t α ) L α · C 0 α x → t α = (I 2 + O ( x )) x Λ · C 0 x → 0 (5.20) =  I 2 + O  x − 1  x − L ∞ x → ∞ où le s matrices S 0 α , C 0 α et C 0 son t in v ersibles, les matrices L α désignen t comme pr écédem- men t les diagonalisées d e A α ( τ ) (et donc aussi d e A 0 α ) et L ∞ = A ∞ . Le système (5.19) n’est pas n ormal isé en l’inﬁni, puisque la matric e Λ n’est pas diago nale, mais il existe de même une unique matrice fondamenta le de solutions e Y 0 ∞ ( y ) dont le comp ortemen t lo cal est d o nné par e Y 0 ∞ ( y ) =  e S 0 β + O ( y − ν β )  ( y − ν β ) L β · e C 0 β y → ν β (5.21) =  I 2 + O  y − 1  y − Λ y → ∞ a v ec e S 0 β , e C 0 β ∈ GL (2 , C ) . La prop ositio n suiv ante se trouve dans [Jim82]. On n e donne pas sa démonstration, qui pro cède des même métho des que ce lle du théorème 5.10. Prop osition 5.15 ([Jim82]) . O n a lim τ → 0 Y ∞ ( x, τ ) = Y 0 ∞ ( x ) , li m τ → 0 τ − Λ Y ∞ ( τ y , τ ) = e Y 0 ∞ ( y ) · C 0 . De plus, p our τ 6 = 0 , le c omp ortement lo c al de la matric e fond amentale Y ∞ ( x, τ ) est donné p ar Y ∞ ( x, τ ) = ( S α ( τ ) + O ( x − t α )) ( x − t α ) L α · C 0 α x → t α =  e S β ( τ ) + O ( x − τ ν β )  ( x − τ ν β ) L β · e C 0 β · C 0 x → τ ν β (5.22) =  I 2 + O  x − 1  x − L ∞ x → ∞ où les ma tric es S α ( τ ) et e S β ( τ ) sont inversibles, et les matric es C 0 , C 0 α et e C 0 β sont déﬁnies ci-dessus. La prop osition 5.15 nous p ermet d ’établir simplemen t la prop ositio n 5.1 2. Démonstr ation de la pr op osition 5.12. S o it une solution qu el conque A α ( τ ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ), A β ( τ ) ( β = p, . . . , n , n + 1 ) d u système de Sc hlesinger restrein t (5.11) telle que la somme P α A α ( τ ) + P β A β ( τ ) soit constan te et diagonale. Soit Y ∞ ( x, τ ) l’unique solution fondamen tale normalisée en l’i nﬁn i du système f u c hsien (5. 9 ) déﬁni par les matrices A α ( τ ) et A β ( τ ) . C e tte solution est M -inv ariante . Il existe donc d es matrices inv ersibles C 0 , C 0 α et e C 0 β indép endan tes de τ telles qu e le comp ortemen t lo ca l de la solution Y ∞ ( x, τ ) soit donné par (5 .22). On déﬁnit la matrice Λ de manière à ce qu e les problèmes de Riemann– Hilb ert (5.20) et (5.21) v ériﬁent bien M ∞  Y 0 ∞  · ( C 0 ) − 1 e 2 iπ Λ C 0 · M p − 1  Y 0 ∞  · · · M 1  Y 0 ∞  = I 2 , et e 2 iπ Λ · f M n +1  e Y 0 ∞  · · · f M p  e Y 0 ∞  = I 2 , 90 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s et que les v aleurs propres de Λ soit opp osée s : µ et − µ et v ériﬁen t 0 < 2 ℜ ( µ ) < 1 . Les deux conditions précéden tes sont équiv alen tes par la relati on M n +3 ( Y ∞ ) · · · M 1 ( Y ∞ ) = I 2 . Alors, co mme on considère des systèmes de taille 2 × 2 , on sait que les problèmes de Riemann–Hilb ert (5.20) et (5.21) admetten t resp ectiv ement d’uniques solutions Y 0 ∞ ( x ) et e Y 0 ∞ ( y ) . On déﬁnit les m a trices constan tes A 0 α ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ), A 0 β ( β = p, . . . , n, n + 1 ) resp ectiv emen t asso ci ées aux solutions Y 0 ∞ ( x ) et e Y 0 ∞ ( y ) . P ar le théo- rème 5.10 , ces matrices A 0 α , A 0 β son t les conditio ns initiales au sens de (5 .12) d’une unique solution du système de Sc hlesinger restrein t (5.11). Cette solution est n écessairemen t la solution A α ( τ ) , A β ( τ ) par unicité de la matrice Y ∞ ( x, τ ) satisfaisan t le problème de Riemann–Hilb ert (5.22). 5.4 Le cas réel On considère à présen t la limite d’une famille isomo dromique de systèmes f uc hs iens ( A D ( t ) , t ∈ U ) , associée à un jeu de directions orien tées D ∈ D n et décrite par le système de Schlesinge r, que l’ on a introdu ite à la s e ction 4.3. 1 . L’ouv ert simplemen t connexe U est un vo isinage con tenu dans B n du simplexe π n π n = { ( t 1 , . . . , t n ) ∈ R n | t 1 < · · · < t n < 0 } , tel qu e la solution du système de Sc hlesinger ( A D , 1 ( t ) , . . . , A D ,n +2 ( t )) c orresp ondant à cette famille est holomorphe d ans U . D’après la prop osition 5.12, cette solution admet une limite A 0 D ,α ( t ′ ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2) , A 0 D ,β ( t ′ , ν ) ( β = p, . . . , n + 1) au sens de (5.12) lorsque τ tend v ers 0 . D’après la p roposition 5.13 , les matrices A 0 D ,α ( t ′ ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ) et Λ( t ′ ) ( t ′ ∈ U ′ ) son t solutions du s y s tème d e Sc hlesinger de dimension p − 1 . D’après la prop ositio n 5.14 , p our c haque v aleur d e ( t ′ , ν ) ∈ U ′ × e U , le système fuchsien ( A D ( t ′ , τ · ν )) tend lorsqu e τ tend vers 0 v ers le système fu c hsien limite in dépend an t de ν suiv ant d Y dx = X α A 0 α ( t ′ ) x − t α + Λ( t ′ ) x ! Y . ( A 0 D ( t ′ ) ) La famille d e systèmes f u c hsiens limite s  A 0 D ( t ′ ) , t ′ ∈ U ′  est donc isomonodromique et décrite par le système d e Sc hlesinger. Les s ys tèmes A 0 D ( t ′ ) sont non résonnant s. P our to ut α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 , les v aleurs propres de la matrice A 0 D ,α ( t ′ ) son t indép endan tes de t ′ et v alen t − θ α 2 , θ α 2 et les v aleurs p ropres de la matrice Λ( t ′ ) son t − µ et µ , a v ec σ = 2 ℜ ( µ ) . Les systèmes  A 0 D ( t ′ )  son t n ormali sés en l’inﬁni et ils ont la m ême normalisation que les systèmes ( A D ( t )) . Lemme 5.16. Soient u n jeu de dir e ctions orienté es D ∈ D n et un entier p , 1 ≤ p ≤ n . L a famil le i so mono dr omique  A 0 D ( t ′ ) , t ′ ∈ π p − 1  5.4. Le ca s r éel 91 est c ontenue dans l’ensemble A p − 1 D ′ des systèmes fuchsiens asso c iés au jeu de dir e ctions orienté es D ′ ∈ D p − 1 déﬁni p ar D ′ = ( D 1 , . . . , D p − 1 , D n +1 , D n +2 , D n +3 ) . (5.23) On note donc le système  A 0 D ( t ′ )  p ar ( A D ′ ( t ′ )) . De plus, la fonction « r app orts des longueurs » F D ′ ( t ′ ) = ( r ′ 1 ( t ′ ) , . . . , r ′ p − 1 ( t ′ )) asso cié e au jeu de dir e c tions orienté es D ′ ∈ D p − 1 est donné e p ar r ′ α ( t ′ ) = Z t α +1 t α L 1  Y 0 ∞ ( x, t ′ ) · C 0  2 dx Z 1 0 L 1  Y 0 ∞ ( x, t ′ ) · C 0  2 dx (5.24) ( α = 1 , . . . , p − 1 ), où la solution f o ndamentale Y 0 ∞ ( x, t ′ ) est la solution normalisé e en l’inﬁni du système A D ′ ( t ′ ) et la matric e C 0 est déﬁnie au lemme 5.3. Démonstr ation. P our la première partie du lemme, il su ﬃ t d e vé riﬁer que la monod romie du système  A 0 D ( t ′ )  est engendr ée par les matrice s M 0 α déﬁnies p ar M 0 α := M α = D α D − 1 α − 1 ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 , n + 3) et M 0 n +1 := D n +1 D − 1 p − 1 . P ar la prop osition 5.15 , p our tout α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 , les mono dromies des solutions fondamen tales Y ∞ ( x, τ ) et Y 0 ∞ ( x ) autour de la singularité t α son t les mêmes : M α  Y 0 ∞  = C 0 α − 1 e 2 iπ L α C 0 α = M α ( Y ∞ ) et donc, vu la conditio n (b) et le lemme 5.3, M α  Y 0 ∞  = C 0 M α C − 1 0 = C 0 D α D − 1 α − 1 C − 1 0 . De même, en t n +3 = ∞ : M ∞  Y 0 ∞  = e 2 iπ L ∞ = C 0 D n +3 D − 1 n +2 C − 1 0 . Il ne reste plus qu’à déterminer la mono dromie autour d e la singularité t n +1 = 0 : M n +1  Y 0 ∞  =  M p − 1  Y 0 ∞  · · · M 1  Y 0 ∞  M n +3  Y 0 ∞  M n +2  Y 0 ∞  − 1 =  C 0 D p − 1 D − 1 p − 2 D p − 2 · · · D − 1 n +1 C − 1 0  − 1 = C 0 D n +1 D − 1 p − 1 C − 1 0 . On a donc mont ré que p our tout α = 1 , . . . , p − 1 , n + 1 , n + 2 , n + 3 , on a M α  Y 0 ∞  = C 0 M 0 α C − 1 0 où la matrice de conjugaison C 0 est la même qu’entre les matrices M i ( Y ∞ ) et les matrices M i . Grâce à cela , en pro cédan t exact emen t comme à la démonstration du lemme 5.3, on obtien t l’expression (5.24) d es rapp orts r ′ α ( t ′ ) . 92 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s On déduit en particulier de ce lemme qu e les v aleurs pr o pres de la matrice Λ( t ′ ) son t réelles et v alen t − σ 2 , σ 2 où σ π est la m e sure de l’angle extérieur entre les d irec tions orien tées D p − 1 et D n +1 telle que 0 < σ < 1 . Quitte à dimin uer l’ouvert simp leme nt connexe U ′ , on p eut supp oser grâce à la pro- p ositio n 4.10 que les matrices A 0 D ,α ( t ′ ) et Λ( t ′ ) sont holomorphes dans U ′ . Lemme 5.17. Soient u n jeu de dir e ctions orienté es D ∈ D n et un entier p , 1 ≤ p ≤ n . Pour tout ( t ′ , ν ) ∈ U ′ × e U ﬁxé, il existe ε > 0 tel que le pr olon gement de la fonction « r app orts des longueurs » F D ( t ′ , τ · ν ) soit holomorph e en τ σ , τ 1 − σ au p oint τ = 0 dans tout se cteur S ε,ϕ . De plus, on a lim τ → 0 F D  t ′ , τ , τ ν p +1 , . . . , τ ν n  =  F D ′  t ′  , 0 , . . . , 0  où le jeu de dir e ctions orienté es D ′ ∈ D p − 1 est donné p ar (5.2 3 ) . Démonstr ation. On c hoisit ε > 0 tel que pour tout α on ait | t α | > ε . Cons id é rons l’expres- sion (5.4) de la fonction F D ( t ) à partir des solutions fondamen tales Y i ( x, t ′ , τ · ν ) d éﬁ n ies par (5.3) : p our tout i = 1 , . . . , n r i ( t ′ , τ · ν ) = ℓ i ( t ′ , τ · ν ) ℓ n +1 ( t ′ , τ · ν ) où p our α = 1 , . . . , p − 2 , n + 1 ℓ α ( t ′ , τ · ν ) = Z t α +1 t α  g α ( x, t ′ , τ · ν ) 2 + h α ( x, t ′ , τ · ν ) 2  dx, et ℓ p − 1 ( t ′ , τ · ν ) = Z τ t p − 1  g p − 1 ( x, t ′ , τ · ν ) 2 + h p − 1 ( x, t ′ , τ · ν ) 2  dx, et p our β = p, . . . , n ℓ β ( t ′ , τ · ν ) = Z τ ν β +1 τ ν β  g β ( x, t ′ , τ · ν ) 2 + h β ( x, t ′ , τ · ν ) 2  dx où les fonctions ( g i ( x, t ′ , τ · ν ) , h i ( x, t ′ , τ · ν )) constituen t la p remière ligne de la solution fondamen tale Y i ( x, t ′ , τ · ν ) . Les intég rales sont calculé es le long des segments joignan t resp ectiv ement t i et t i +1 . On n e détaille pas le cas de la fonction ℓ p − 1 ( t ′ , τ · ν ) ; il faudr ai t, comme à la démonstration de la p roposition 5.4, la décomp oser en ℓ p − 1 = ℓ − p − 1 + ℓ + p − 1 a v ec ℓ − p − 1 = Z r ε τ t p − 1 et ℓ + p − 1 = Z τ r ε τ , puis étudier la f o nction ℓ − p − 1 comme les fonctions ℓ α et la fonction ℓ + p − 1 comme les fonctions ℓ β . P our tout α = 1 , . . . , p − 2 , n + 1 , d’après l’assertion (1) de la pr oposition 5.14 , les solutions fondamen tales Y α ( x, t ′ , τ · ν ) sont holomo rphes en τ σ , τ 1 − σ au p oin t τ = 0 dès que x 6 = 0 , et on en déduit donc que les fonctions ℓ α ( t ′ , τ · ν ) son t égalemen t holomorphes en τ σ , τ 1 − σ (la situation est plus simple ici qu ’à la démonstration de la pr op osition 5.4, étan t donné que les b ornes d’in tégration et le facteur ( x − t α ) L α son t indép endants de τ ). 5.4. Le ca s r éel 93 On obtien t d e même que la fonction ℓ n +1 ( t ′ , τ · ν ) n e s’ann ule jamais p our | τ | < ε . De plus, par les pr op ositions 5.4 et 5.15, les solutions Y α ( x, t ′ , τ · ν ) ont un e limite ind ép endante de ν quand τ → 0 qui est solution d u système ( A D ′ ( t ′ )) et qui vé riﬁe : Y 0 α ( x, t ′ ) := lim τ → 0 Y α ( x, t ′ , τ · ν ) = lim τ → 0  Y ∞ ( x, t ′ , τ · ν ) · C 0 · S α  = Y 0 ∞ ( x, t ′ ) · C 0 · S α . On note par ( g 0 α ( x, t ′ ) , h 0 α ( x, t ′ )) la première ligne de la solution fondamenta le Y 0 α ( x, t ′ ) , et on obtien t donc lim τ → 0 ℓ α ( t ′ , τ · ν ) = Z t α +1 t α  g 0 α ( x, t ′ ) 2 + h 0 α ( x, t ′ ) 2  dx. D’après l’expression (5.24) des r ap p orts r ′ α ( t ′ ) , co mme la matric e S α est dans S U (2) , on a r ′ α ( t ′ ) = Z t α +1 t α  g 0 α ( x, t ′ ) 2 + h 0 α ( x, t ′ ) 2  dx Z 1 0  g 0 n +1 ( x, t ′ ) 2 + h 0 n +1 ( x, t ′ ) 2  dx , ce qui donne lim τ → 0 r α ( t ′ , τ · ν ) = r ′ α ( t ′ ) . P our tout β = p, . . . , n , on exprime les fonctions ℓ β ( t ′ , τ · ν ) à partir d es solutions fondamen tales e Y β ( y , t ′ , τ · ν ) := τ − Λ Y β ( τ y , t ′ , τ · ν ) du système fuc h sien  e A D ( t )  , qui est le système (5.17) asso cié au système ( A D ( t )) . P our alléger les n ot ations, on ne note plus la d ép endance en t ′ et en ν . En faisan t le c hangemen t de v ariables y = x τ , on obtien t ℓ β ( τ ) = τ Z ν β +1 ν β  g β ( τ y , τ ) 2 + h β ( τ y , τ ) 2  dy . On note τ Λ = a ( τ ) b ( τ ) c ( τ ) d ( τ ) ! et e Y β ( y , τ ) = ˜ y 1 ( y , τ ) ˜ z 1 ( y , τ ) ˜ y 2 ( y , τ ) ˜ z 2 ( y , τ ) ! . Alors g β ( τ y , τ ) 2 + h β ( τ y , τ ) 2 = a ( τ ) 2  ˜ y 1 ( y , τ ) 2 + ˜ z 1 ( y , τ ) 2  + b ( τ ) 2  ˜ y 2 ( y , τ ) 2 + ˜ z 2 ( y , τ ) 2  + 2 a ( τ ) b ( τ ) ( ˜ y 1 ( y , τ ) ˜ y 2 ( y , τ ) + ˜ z 1 ( y , τ ) ˜ z 2 ( y , τ )) . Comme les élé ment s de la matrice τ Λ son t de la forme c 1 τ σ 2 + c − 1 τ − σ 2 ( c h ∈ C ), les quan tités su iv ante s τ a ( τ ) 2 , τ b ( τ ) 2 , τ a ( τ ) b ( τ ) 94 Chapitre 5. Rappor ts d e l ongueurs des côté s son t p olynomiales en τ σ et τ 1 − σ et s ’annulen t en τ = 0 . P ar l’assertion (2) de la prop o- sition 5.14, la solution fond amental e e Y β ( y , τ ) = e Y ( y , τ ) · C 0 · S β est holomorphe en τ σ , τ 1 − σ lorsque | y | < r / ε , et donc en particulier quand y appartient à l’in terv alle ] ν β , ν β +1 [ . Les inté grales Z ν β +1 ν β  ˜ y k ( y , τ ) 2 + ˜ z k ( y , τ ) 2  dy ( k = 1 , 2 ) et Z ν β +1 ν β ( ˜ y 1 ( y , τ ) ˜ y 2 ( y , τ ) + ˜ z 1 ( y , τ ) ˜ z 2 ( y , τ )) dy son t d onc holomorphes en τ σ , τ 1 − σ (là encore, par les mêmes arguments qu’à la démons- tration de la prop osition 5. 4). O n p eut donc en conclure que les fonctions ℓ β ( t ′ , τ · ν ) son t holomorphes en τ σ , τ 1 − σ et qu’elles v ériﬁen t : lim τ → 0 ℓ β ( t ′ , τ · ν ) = 0 . On p eut enﬁ n éta blir la pr oposition 5.8 Démonstr ation de la pr op osition 5.8. A u vu des r é sultats pr éc éden ts, il s’agit simplemen t d’appliquer le théorème de l’analyticité séparée d’Hartogs. Le lemme 5.17 n ous donne le comp ortemen t en τ de la fonction F D ( t ′ , τ · ν ) à ( t ′ , ν ) ∈ U ′ × e U ﬁxé. Il n e r est e p lu s qu’à v ériﬁer qu’en τ = 0 , cette fonctio n est holomorphe en ( t ′ , ν ) . Comme en τ = 0 , la foncti on F D ( t ′ , τ · ν ) v aut  F D ′  t ′  , 0 . . . , 0  , elle est donc indép endan te d e ν et holomophe en t ′ ∈ U ′ par la prop osition 5.4 appliquée à la dimension p − 1 , et par le c hoix de l’ouv ert simplemen t connexe U ′ tel que la solution du système de Schle singer  A D ′ , 1 , . . . , A D ′ ,p +1  soit holomorphe dans U ′ . Annexe A Le sy stème de Garnier P our être complet, on introd uit le système de Garnier, qui décrit les déformations isomono dromiques d e s équations fuc hsiennes qu i n’ont pas de singularité logarithmique. Même si la résolution d u pr o blème de Plateau prop osé e dans ce mémoi re n ’utli se pas, con trairemen t à celle de Garnier, le sys t ème de Garnier, on est malgré tout amené à le men tionner à plusieurs repr ise s, n e serait-c e que p o ur comparer les deux p oin ts de vue. On considère une équation fuc hsienne sur la sphère de Riemann P 1 D 2 y + p ( x ) D y + q ( x ) y = 0 (A.1 ) de singularités d eu x à deux distinctes t 1 , . . . , t n , t n +1 = 0 , t n +2 = 1 , t n +3 = ∞ et λ 1 , . . . , λ n et de sc héma de Riemann    x = t i x = ∞ x = λ k 0 α 0 θ i α + θ ∞ 2    i = 1 , . . . , n + 2 , k = 1 , . . . , n. On supp ose que les singularités x = λ k son t apparente s (déﬁnition 2.8) et que les exp osan ts v ériﬁen t θ i / ∈ Z , i = 1 , . . . , n + 3 (o n note parfois θ n +3 p our θ ∞ ). L’équation (A.1) n’a donc aucune singularité loga rithmique. La relation de F uchs (2.3) imp ose α = 1 2 1 − n +3 X i =1 θ i ! . Le théorème 2.9 nous assure que p our toute mono dromie irr é ductible, il existe u ne équation de ce type a yan t cette monod r omie . Le but de cette section est de d écrire les transforma- tions isomono dromiques de l’équation (A.1). On commence par p r éc iser l’expression de ses cœﬁcient s p ( x ) et q ( x ) . D’après la prop osition 2.4, les cœﬃcien ts p ( x ) et q ( x ) de l’équat ion (A.1) s’écriv ent p ( x ) = n +2 X i =1 a i x − t i + n X k =1 c k x − λ k , q ( x ) = n +2 X i =1 b i ( x − t i ) 2 + n X k =1 d k ( x − λ k ) 2 − n +2 X i =1 K i x − t i + n X k =1 µ k x − λ k , 96 Annexe A . Le sy stème de Garnier a v ec − n +2 X i =1 K i + n X k =1 µ k = 0 . (A.2) Les exp osan ts de l’équation n ous p ermetten t de calculer certaines d es constan tes interv e- nan t dans l’expression d e p ( x ) et q ( x ) . L’équatio n caracté ristique en x = t i est s 2 + ( a i − 1) s + b i = 0 , et ses racines s ont 0 and θ i . O n en déd u it que a i = 1 − θ i et b i = 0 . De même, on obtien t c k = − 1 et d k = 0 . De l’équation caractéristique en l’inﬁni, on déduit α ( α + θ ∞ ) = − n +2 X i =1 t i K i + n X k =1 λ k µ k . De cette relation et de (A.2), on déduit K n +1 et K n +2 en fonction des autres constant es et on obtien t l’expression suiv an te d e s cœﬃcie nt s p ( x ) et q ( x ) :                      p ( x ) = n +2 X i =1 1 − θ i x − t i − n X k =1 1 x − λ k q ( x ) = α ( α + θ ∞ ) x ( x − 1) − n X i =1 t i ( t i − 1) K i x ( x − 1)( x − t i ) + n X k =1 λ k ( λ k − 1) µ k x ( x − 1)( x − λ k ) (A.3) où les K i , µ k son t d es constan tes inconnues K i = − Res ( q ( x ) , x = t i ) µ k = Res ( q ( x ) , x = λ k ) . P our c haque v aleur ﬁxée d e θ = ( θ 1 , . . . , θ n +3 ) , l’équatio n (A.1) de cœﬃ c ien ts (A.3) dép end donc d’au plus 4 n paramètres t 1 , . . . , t n , λ 1 , . . . , λ n , µ 1 , . . . , µ n , K 1 , . . . , K n . Cep endan t, toutes les v aleurs de ces paramètres ne déﬁn issen t pas nécessairemen t u ne équation a y an t des singularités apparentes en les λ k (vu les exposants en ces singu larités, elles p euv en t être logarithmiques). La prop ositio n suiv an te, obten ue en appliquan t la mé- tho de de F r öbenius aux p oin ts x = λ k , donne une condition nécessaire et suﬃsant e p our que l’équation (A.1) n ’a it aucun e singularité logarithmique. Sa démonstration s e trouv e dans [IKSY91]. Prop osition A.1. L es p oints λ 1 , . . . , λ n sont des singularités non lo garithmiques de l’é qua- tion (A.1) de c œﬃcie nts p ( x ) et q ( x ) déﬁnis p ar (A.3) si et seulement si les r ésidus K i sont donnés p ar K i = M i n X k =1 M k ,i   µ 2 k − n +2 X j =1 θ j − δ ij λ k − t j µ k + α ( α + θ ∞ ) λ k ( λ k − 1)   , où M i et M k ,i sont déﬁnis p ar M i = − Λ( t i ) T ′ ( t i ) et M k ,i = T ( λ k ) ( λ k − t i )Λ ′ ( λ k ) , où les p olynômes Λ( x ) et T ( x ) sont donnés p ar (2. 17) . 97 Les résidus K i son t donc des fractions rationnelles de ( θ , λ, µ, t ) . Les équations (A.1) v ériﬁan t les h yp othèses souhaitées dép enden t u niquemen t des paramètres ( θ , λ, µ , t ) , on les note donc E θ ( λ, µ, t ) . On cherc he à quelle condition d e s v ariatio ns d e ces p aramè tres préserv en t la mono dromie d ’une telle équation. Les exp osan ts θ = ( θ 1 , . . . , θ n +3 ) son t nécessairemen t constants p endan t u n e déformatio n isomonod romique con tin ue. On p ose B n = { ( t 1 , . . . , t n ) ∈ ( C ∗ r { 1 } ) n | ∀ i 6 = j t i 6 = t j } , et on c herc he à caractériser les sous -v ariétés M de C n × C n × B n telles que la famille d ’é qua- tions E θ ( λ, µ, t ) , (( λ, µ , t ) ∈ M ) soit isomono dromique. Dans [Gar12], Garnier d on n e le système d’équations aux dérivé es p artielles qui décrit les déformations isomono dromiques des équat ions E θ ( λ, µ, t ) . Le paramètre de la déformation est le paramètre t , et le système décrit les v ariat ions d es paramètres λ k ( t ) en fonction d e t , tandis que les résidus µ k ( t ) , vus égaleme nt comme des fonctions de t , s’expr iment rationnellemen t à partir des λ k ( t ) et de leurs dériv ées premières. Okamoto [Oka86] a mis en évidence la structure hamiltonienne de ce système, et lui a donné le nom de système de Garnier . C’est sous cette forme qu’il est connu aujourd’hui. Déﬁnition A.2. Le système de Garnier ( G n ) d e dimension n est le système hamiltonien        ∂ λ i ∂ t j = ∂ K j ∂ µ i ∂ µ i ∂ t j = − ∂ K j ∂ λ i (A.4) ( i, j = 1 , . . . , n ), où les Hamiltoniens K i = K i ( θ , λ, µ, t ) son t donnés à la prop osition A.1. On a alors Théorème A.3. Soit θ = ( θ 1 , . . . , θ n +3 ) ∈ ( C r Z ) n +3 . (i) L e système ( G n ) est c omp lètement inté gr able. (ii) So it M une sous-variété de C n × C n × B n . Al ors la famil le d’é quations E θ ( λ, µ, t ) , (( λ, µ, t ) ∈ M ) est isomono dr omique si et seulement si M est une sous-variété d’une variété inté gr ale du système de Garnier ( G n ) . Une solution ( λ ( t ) , µ ( t )) du sys t ème de Garnier ( G n ) est déterminée par la donnée d’une mono dromie p our l’équation E θ ( λ, µ, t ) . Remarque A.4. Dans le cas où n = 1 , en notan t ( λ, µ, t, K ) les quantit és ( λ 1 , µ 1 , t 1 , K 1 ) , on obtien t que l’Hamiltonien K ( λ, µ, t ) est d o nné par K ( λ, µ, t ) = 1 t ( t − 1) h λ ( λ − 1)( λ − t ) µ 2 −  θ 2 ( λ − 1)( λ − t ) + θ 3 λ ( λ − t ) + ( θ 1 − 1) λ ( λ − 1)  µ + κ ( λ − t ) i où κ = 1 4  ( θ 1 + θ 2 + θ 3 − 1) 2 − θ 2 4  . En éliminan t la v ariable conjuguée µ , on trouve qu e le système de Garnier ( G 1 ) est équi- v alen t à la sixième équation de P ainlev é ( P VI ) : d 2 λ dt 2 = 1 2  1 λ + 1 λ − 1 + 1 λ − t   dλ dt  2 −  1 t + 1 t − 1 + 1 λ − t  dλ dt + λ ( λ − 1)( λ − t ) t 2 ( t − 1) 2  α + β t λ 2 + γ t − 1 ( λ − 1) 2 + δ t ( t − 1) ( λ − t ) 2  ( P VI ) 98 Annexe A . Le sy stème de Garnier a v ec α = 1 2 θ 2 4 , β = − 1 2 θ 2 2 , δ = 1 2 θ 2 3 , γ = 1 2  1 − θ 2 1  . En ce sen s , le système ( G n ) constitue u n e généralisation de l’équation ( P VI ) en u n système aux dérivée s partielles complètemen t in tégrable. Annexe B Démonstrations de résultats utilisés au c hapi tre 5 On v a donner les démonstrations des résultats dus à Sato, Miw a et Jim b o [SMJ79], ainsi qu’à Jimbo [Jim82] don t on a eu besoin au chapitre 5 p our étudier la fonction « rap- p orts des longueurs » F D ( t ) . On ne démontre que le théorème 5.10 et la prop osition 5.13. La d émonstrat ion de la p roposition 5.15 p rocède des mêmes métho des que cell e du théo- rème 5.10. Démonstration du théorème 5.10 On rapp elle l’énoncé du théorème 5.10. Théorème. Soient A 0 α ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ) et A 0 β ( β = p, . . . , n + 1 ) des matric es c onstantes dont les valeurs pr opr es sont r e sp e ctivement ( − θ α / 2 , θ α / 2) et ( − θ β / 2 , θ β / 2) . On supp ose de plus q ue X α A 0 α + X β A 0 β = − A ∞ et que les valeurs pr opr es µ et − µ de la matric e Λ := X β A 0 β vériﬁent : 0 < 2 ℜ ( µ ) < 1 . On note σ = 2 ℜ ( µ ) . Soient σ 1 et K deux c onstantes tel les que σ < σ 1 < 1 et | A 0 α | < K, | A 0 β | < K. A lors il existe ε > 0 tel que dans tout se cteur S ε,ϕ = { τ ∈ C | 0 < | τ | < ε, | arg τ | < ϕ } , il existe une unique solution A α ( τ ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ), A β ( τ ) ( β = p, . . . , n + 1 ) du système (5.11) vériﬁant : | A α ( τ ) − A 0 α | ≤ K | τ | 1 − σ 1 , | τ − Λ A β ( τ ) τ Λ − A 0 β | ≤ K | τ | 1 − σ 1 . (B.1) Démonstr ation. On p ose, p our tout β = p, . . . , n + 1 , e A β ( τ ) = τ − Λ A β ( τ ) τ Λ . 100 Annex e B. Démon s tra tions d e résul t a ts utilisés au c hapitre 5 On r éc rit le système d e Sc hlesinger r est reint (5.11) av ec les matrices A α ( τ ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ), e A β ( τ ) ( β = p, . . . , n + 1 ) comme inconnues : dA α dτ = X β ν β τ ν β − t α h τ Λ e A β ( τ ) τ − Λ , A α ( τ ) i d e A β dτ = X α ν β τ ν β − t α h τ − Λ A α ( τ ) τ Λ , e A β ( τ ) i + 1 τ X β ′ h e A β ′ ( τ ) − A 0 β ′  , e A β ( τ ) i . (B.2) On construit la solution rec h erc hée en p rocédant par itération. O n p ose A (0) α ( τ ) = A 0 α , e A (0) β ( τ ) = A 0 β , et p our tout en tier naturel k , on déﬁnit les matrices A ( k ) α ( τ ) et e A ( k ) β ( τ ) à partir de A ( k − 1) α ( τ ) et e A ( k − 1) β ( τ ) par : A ( k ) α ( τ ) = A 0 α + X β Z τ 0 ν β sν β − t α h s Λ e A ( k − 1) β ( s ) s − Λ , A ( k − 1) α ( s ) i ds e A ( k ) β ( τ ) = A 0 β + X α Z τ 0 ν β sν β − t α h s − Λ A ( k − 1) α ( s ) s Λ , e A ( k − 1) β ( s ) i ds + X β ′ Z τ 0 1 s h e A ( k − 1) β ′ ( s ) − A 0 β ′  , e A ( k − 1) β ( s ) i ds. Les inté grales son t calculées le long du segmen t joignan t 0 et τ : { s = r e iψ | 0 < r < | τ | , ψ = arg τ } . Soit une constan te δ telle que 0 < δ < 1 . On v a mon trer par récurrence qu e les matrice s les A ( k ) α ( τ ) et e A ( k ) β ( τ ) son t bien déﬁnies et qu’elles con v ergen t uniformément dans tout v oisinage compact de τ = 0 . P our cela , on v a mon trer qu’il existe un nom bre ε > 0 ne dép endan t qu e de σ , σ 1 , δ , K , r et R tel que les matrices A ( k ) α ( τ ) et e A ( k ) β ( τ ) v ériﬁen t p our tout τ d ans le secteur S ε,ϕ les conditions asymptotiques suiv antes :    A ( k ) α ( τ ) − A 0 α    ≤ K | τ | 1 − σ 1 (B.3)    e A ( k ) β ( τ ) − A 0 β    ≤ K | τ | 1 − σ 1 (B.4) et    A ( k ) α ( τ ) − A ( k − 1) α ( τ )    ≤ K δ k − 1 | τ | 1 − σ 1 (B.5)    e A ( k ) β ( τ ) − A ( k − 1) β ( τ )    ≤ K δ k − 1 | τ | 1 − σ 1 (B.6) L’initialisat ion est éviden te. Supp osons que les matrices A ( k ) α ( τ ) et e A ( k ) β ( τ ) sont bien déﬁnies et qu’elle s v ériﬁen t les ma jorations (B.3) k ,. . . , (B.6) k . O n doit a v oir ε < r R 101 où les constan tes r et R son t déﬁnies par (5.10). On choisit de plus ε < 1 . On a alors par les ma jorations (B.3) k et (B.4 ) k et par déﬁnition de la constan te K    A ( k ) α ( τ )    < 2 K,    e A ( k ) β ( τ )    < 2 K. (B.7) Or p our toute m atrice C ∈ M (2 , C ) , les élémen ts des matrices τ − Λ C τ Λ et τ Λ C τ − Λ son t des p olynômes d u premier degré en τ σ et τ − σ , et donc    τ − Λ C τ Λ    ≤ | C || τ | − σ ,    τ Λ C τ − Λ    ≤ | C || τ | − σ . On p eut d on c déduire de (B.7) k    τ − Λ A ( k ) α ( τ ) τ Λ    ≤ 2 K | τ | − σ ,    τ Λ e A ( k ) β ( τ ) τ − Λ    ≤ 2 K | τ | − σ . On p eut déduire des ces ma jorat ions et des ma joratio ns (B.3) k et (B.4) k que les matric es A ( k +1) α ( τ ) et e A ( k +1) β ( τ ) son t bien déﬁnies. Établissons les ma jorati ons (B.3) k +1 et (B.4) k +1 . On remarque tout d’ab ord que l’on a p our tout τ dans le secteur S ε,ϕ      ν β τ ν β − t α      ≤  r R − ε  − 1 <  r R − 1  − 1 Alors    A ( k +1) α ( τ ) − A 0 α    ≤ 2 X β Z | τ | 0      ν β sν β − t α         s Λ e A ( k ) β ( s ) s − Λ       A ( k ) α ( s )    ds ≤ 8( n − p + 2)  r R − 1  − 1 K 2 Z | τ | 0 ds s σ ≤ K | τ | 1 − σ 1 " 8 K ( n − p + 2) (1 − σ )  r R − 1  # ε σ 1 − σ . De même    e A ( k +1) β ( τ ) − A 0 β    ≤ 2 X α Z | τ | 0      ν β sν β − t α         s − Λ A ( k ) α ( s ) s Λ       e A ( k ) β ( s )    ds + 2 X β ′ Z | τ | 0 1 s    e A ( k ) β ′ ( s ) − A 0 β ′       e A ( k ) β ( s )    ds ≤ K | τ | 1 − σ 1 " 4 K (1 − σ ) 2 p  r R − 1  + ( n − p + 2) !# ε σ 1 − σ . Il suﬃt donc de c hoisir ε tel que ε σ 1 − σ soit inférieur à la plus grande des deux quan tités suiv ante s (1 − σ )  r R − 1  8 K ( n − p + 2) , (1 − σ ) 4 K " 2 p  r R − 1  + ( n − p + 2) # − 1 . 102 Annex e B. Démon s tra tions d e résul t a ts utilisés au c hapitre 5 On obtie nt de même les m ajorations (B. 5) k +1 et (B.6) k +1 . On en déduit donc que les suites A ( k ) α ( τ ) et e A ( k ) β ( τ ) conv ergent uniformément d a ns tout v oisinage compact de τ = 0 . On note A α ( τ ) := lim k → + ∞ A ( k ) α ( τ ) e A β ( τ ) := lim k → + ∞ e A ( k ) β ( τ ) . Alors les matrice s A α ( τ ) et A β ( τ ) = τ Λ e A β ( τ ) τ − Λ constitue une solution du sys t ème de Sc hlesinger restrein t (5.11). Cette solution v ériﬁe les conditions asymptotiques (5.12). L’unicité de cett e solution se mon trerait d e même par récurrence. Démonstration de la prop osition 5.13 On rapp elle l’énoncé de la prop ositi on 5. 13. Prop osition. L e s matric es A 0 α ( t ′ , ν ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ) et Λ( t ′ , ν ) sont solutions du système de Schlesinger suivant      d ′ A ′ α = X α ′ 6 = α  A ′ α ′ , A ′ α  d ′ log( t α − t α ′ ) d ν A ′ α = 0 (B.8) où on a p osé A 0 n +1 ( t ′ , ν ) := Λ( t ′ , ν ) , et où d ′ désigne la diﬀér entiation p ar r app ort à t ′ = ( t 1 , . . . , t p − 1 ) et d ν la diﬀér entiation p ar r app ort à ν = ( ν p +1 , . . . , ν n ) . L es matric es A 0 α ( t ′ , ν ) ( α = 1 , . . . , p − 1 , n + 2 ) et A 0 β ( t ′ , ν ) ( β = p , . . . , n + 1 ) sont solutions du système            d ′ A 0 β = − p − 1 X α =1 h A 0 β , A 0 α i d ′ log( t α ) d ν A 0 β = X β ′ 6 = β h A 0 β ′ , A 0 β i d ν log( ν β − ν β ′ ) . (B.9) Démonstr ation. On établit uniquement le système (B.9). Le sys t ème (B.8 ) se montre de la même manière, et il est plus simple à établir. D’après le système de Sc hlesinger (2 .11) , on a d ′ A β = X α [ A α , A β ] d ′ log( t α − τ ν β ) , et d ν A β = − τ X α [ A α , A β ] d ν log( t α − τ ν β ) + X β ′ 6 = β [ A β ′ , A β ] d ν log( ν β ′ − ν β ) . On v a en déduire les équations v ériﬁées par les matrices e A β ( τ ) = τ − Λ A β ( τ ) τ Λ . P our cela, il faut v ériﬁer que p our tout α = 1 , . . . , p − 1 d ′ Λ = − X α h Λ , A 0 α i d ′ log t α . (B.10) Comme A ∞ = − X α A 0 α − X β A 0 β = − X α A α ( τ ) − X β A β ( τ ) , 103 on a Λ = lim τ → 0 X β A β ( τ ) . Or   X β A β , A α   = X β ( τ ν β − t α ) ∂ A β ∂ t α = τ 1 − σ X β ν β ∂ ( τ σ A β ) ∂ t α − t α ∂ ∂ t α X β A β . Grâce à l’assertion (5.16) de la prop osition 5.1 1 , lorsque τ tend ve rs 0 , on obtien t (B. 10) . On en déduit d ′ τ Λ = − X α h τ Λ , A 0 α i d ′ log t α , d ′ τ − Λ = − X α h τ − Λ , A 0 α i d ′ log t α , (B.11) vu que ∂ τ Λ ∂ t α = log( τ ) Z 1 0 τ (1 − u )Λ ∂ Λ ∂ t α τ u Λ du = − 1 t α Z 1 0 τ (1 − u )Λ h log( τ )Λ , A 0 α i τ u Λ du = − 1 t α h τ (1 − u )Λ A 0 α τ u Λ i u =1 u =0 . On obtien t donc, d’un e part, d ν e A β = − τ 1 − σ X α h τ σ e A α , e A β i d ν log( t α − τ ν β ) + X β ′ 6 = β h e A β ′ , e A β i d ν log( ν β ′ − ν β ) , et donc, vu l’assertion (5.14) de la prop osition 5.11, quand τ tend v ers 0 , on obtien t d ν A 0 β = X β ′ 6 = β h A 0 β ′ , A 0 β i d ν log( ν β ′ − ν β ) . D’autre part, d ′ e A β = X α   h e A α , e A β i 1 − τ ν β t α − h τ − Λ , A 0 α i A β τ Λ + τ − Λ A β h τ Λ A 0 α i   d ′ log t α , = X α   h e A α , e A β i 1 − τ ν β t α − h e A β , A 0 α − τ − Λ A 0 α τ Λ i   d ′ log t α = − X α h e A β , A 0 α i + h e A β , τ − Λ  A α − A 0 α  τ Λ i + ε ( τ ) h e A β , τ σ e A α i d ′ log t α , où ε ( τ ) est un e fonction qui tend v ers 0 av ec τ . O n a ﬁn al emen t à la limite, de nouvea u par la prop osition 5.11, d ′ A 0 β = − p − 1 X α =1 h A 0 β , A 0 α i d ′ log( t α ) . Bibliographie [AB94] D. V. Anosov et A. A. Bolibruch : The Riemann-Hilb ert pr oblem . Asp ects of Mathematics, E22. F riedr. View eg & Sohn, Braun sc hw eig, 1994. [Bea93 ] Arn aud Beauville : Monodr o mie des systèmes d iﬀé rent iels linéaires à p ôles simples sur la sph è re de Riemann (d’après A. Bolibruc h). A stérisque , (216):Exp. No. 765, 4, 103–119, 1993 . Séminaire Bourbaki, V ol. 1992/9 3. [Bir13] George Birkhoff : The generalized Hilb ert problem for linear diﬀerent ial equa- tions and the allied problems for linear diﬀerence and q -diﬀerence equations. Pr o c. A mer. A c ad. , 49:521–5 68, 1913. [Bol90 a] A. A. Bolibruch : Constru ction of a fuc hsian equation from a mono drom y represen tation. Math. Notes of A c. of Sci. of USSR , 48( 5):1090 –1099, 1990. [Bol90 b] A. A. Bolibruch : Th e Riemann–Hilb ert pr o blem. R ussian Math. Surveys , 45:1–4 7, 1990. [Bol92 ] A. A. Bolibruch : F u c hsian systems with reducible monodr om y and the Riemann-Hilb ert problem. In Glob al analysis—studies and applic ations, V , v o- lume 1520 de L e ctur e Notes in Math. , pages 139–15 5. S pringer, Berlin, 1992. [Dar89] Ga ston D arboux : L e ç ons su r la thé orie génér ale des surfac es , v olume 1, Livre 3. Gauthier-Villars, Paris, 1887-89 . [Des09] L. Desideri : Pr oblème de Plate au, é quations fuchsiennes et pr oblème de Riemann–Hilb ert . Th èse de do ctorat , Univ ersité Paris Diderot - P aris VI I, Dé- cem bre 20 09. [Des10] L. Desideri : The Plateau pr oble m f o r p olyg onal b oundary curv es in Mink o wski 3 -space. ht tp://arxiv.org /abs/1012.3582 . Submitte d to public ation , 2010 . [Dou31] Jesse Douglas : Solution of the problem of Pla teau. T r ans. A mer. Math. So c. , 33, 1931. [Gar12] René Garnier : Sur des équatio ns d iﬀé renti elles du troisième ordr e dont l’in- tégrale g énérale est uniforme et sur une classe d’équations nouv elles d’ordre sup èrieur d o nt l’in tégrale générale a ses p oi nt s critiques ﬁxes. A nnales scienti- ﬁques de l’É.N.S. , 3(29):1–1 26, 1912. [Gar26] René Garn ier : Solutions du problème de R iemann p our les s ystè mes diﬀéren- tiels du seco nd ordre. A nnales scientiﬁques de l’É.N.S. , 3(43):177 –307, 1926. [Gar28] René Garnier : Le p roblème de Plateau. A nnales scientiﬁques de l’É .N.S. , 3(45): 53–144 , 1928. [Gar51] René Garnier : Sur un théorème de Sc h w arz. Comment. Math. Helv. , 25:140– 172, 1951. [Gar62a] René Garnier : Sur le p roblème de Plateau p our les quadrilatères gauc hes a y an t un sommet à l’inﬁni. J. Math. Pur es A ppl. (9) , 41:241–27 1, 1962. 106 Bibliographie [Gar62b] René Garnier : Sur le problème d e Plateau p our u n quadrilatère v ariable qui p eut acquérir u n p oin t double. A nn. Mat. P u r a Appl . (4) , 58:1 –34, 1962. [GOR73] R. Gulliver , R. Osserman et H. L. Ro yden : A theory of b ranc hed immer- sions of surfaces. A mer. J. M at h. , 95 :750–81 2, 1973. [Gul73] R. Gulliver : Regularit y of minimizing surfaces of prescrib ed mean curv ature. A nn. of Math. (2) , 97:275– 305, 1973. [Har64] Philip Har tman : Or dinary diﬀer ential e quations . John Wiley & S ons Inc., New Y ork, 1964. [IKSY91] Katsun ori Iw asaki , Hiro nobu Kimura , S h u n Shimomura et Masaa ki Yo- shida : F r om Gauss to Painlevé . Asp ects of Mathemati cs, E16. F riedr. View eg & S ohn , Braunsc hw eig, 1991. A mo dern theory of sp ecia l functions. [Jim82] Mic hio Jimbo : Mono drom y problem and the b oundary condition for some Painlev é equat ions. Pub l. R es. Inst. Math. Sci. , 18(3):1137 –1161, 1982. [KS96] Rob Kusn e r et Nic k Schmitt : The spinor represent ation of surfaces in space. arXiv :dg-ga/96100 05v1, 1996. [Mal83 ] B. Malgrange : S ur les déformations isomonodr o miques. I. Singularités ré- gulières. In Mathematics and physics (Paris, 1979/1 982) , vo lume 37 de Pr o gr. Math. , pages 401– 426. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1983. [Miw81] T etsuji Miw a : Pai nlev é prop ert y of mono drom y preserving deformation equa- tions and the analytici t y of τ functions. Publ. R es. Inst. Math. Sci. , 17(2):703 – 721, 1981. [Oh t82] Mako to Ohtsuki : O n the n umber of apparen t singularities of a linear diﬀe- ren tial equation. T okyo J. Math. , 5(1):23–29 , 1982. [Oka86] K azuo O k amoto : Isomonod romic deformatio ns an d Painlev é equations, and the Garnier system. J. F ac. Sci. Univ. T okyo Se ct. IA Math , 33:5 75–618 , 1986. [Oss70] R. Osser m a n : A p roof of the regularit y ev erywhere of the classical solution to Plateau’s problem. A nn. of M ath. (2) , 91:5 50–569, 1970. [Ple08] Josip Plemelj : Riemannsc he F unktionensc haren mit gegebener Mono dromie- grupp e. Monatsh. M a th. Phys. , 19( 1):211– 245, 1908. [P oi84] Henri Poincaré : Sur les group es des équations linéaires. A cta Math. , 5:201 – 312, 1884. [Rad30] Tibor Radó : On Plateau’s problem. A nn. of Math. , 2( 31):457 –469, 1930. [Rie98] Bernhard R i emann : O euvr e s mathématiques . Ga uthier-Villars, P aris, 1898. [Sc h72] Hans-Rudolf S chw arz : F ortgesetzte Untersuc h ungen üb er sp e cielle Minimal- ﬂäc hen. Monatsb erichte der K önigl. A kad. der Wiss. zu Berlin , pages 3–27 , Jan uary 1872. [SMJ79] Mikio Sa to , T etsuji Miw a et Mic hio Jimbo : Holo nomic quantum ﬁelds. I I. The Riemann-Hilb ert problem. Publ. R es. Inst. Math. Sci. , 15(1):2 01–278, 1979. [W ei66] Karl Weierstrass : üb er die Fläc hen deren mittlere Krümmung üb erall gleic h n ull ist. Monatsb erichte der K önigl. A kad. der Wiss. zu Berlin , page 855, Dé- cem bre 18 66. [W ei03] Karl Weierstrass : Mathematisch e W e rke , vol ume I I I. Ma yer and Müller, Berlin, 1903.

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