다각형 경계의 최소면을 위한 플라토 문제와 푸센 방정식, 리만‑히르베르트 해법

본 논문은 3차원 유클리드 공간에서 다각형 형태의 경계를 갖는 최소 디스크 존재 문제, 즉 플라토 문제의 특수 경우를 다룬다. 초기 연구는 라디오와 더글라스가 변분법을 통해 일반적인 폐곡선에 대해 최소면 존재를 증명했지만, 그 해는 분기점(브랜치 포인트)을 포함할 가능성이 있었다. 반면, 1928년 르네 가니에르는 스피너 와이어스트라스 표현을 이용해 다각형 경계의 최소 디스크를 직접 구성하는 방법을 제시했으나, 증명이 복잡하고 불완전했다. 저자는 가니에르의 아이디어를 현대적인 관점에서 재구성한다. 먼저, 최소 디스크 \(X:C^+\to\mathbb{R}^3\) 를 두 개의 무영점 없는 홀로모픽 함수 \((G,H)\) 로 표현한다. 이 쌍은 복소 평면 상반부 \(\mathbb{C}^+\) 에서 정의되며, 와이어스트라스 공식을 통해 좌표함수를 얻는다. \((G,H)\) 가 만족하는 2차 선형 미분 방정식 \