Remplissage De LEspace Euclidien Par Des Complexes PolyEdriques DOrientation ImposEe Et De RotonditE Uniforme

Remplissage de l'espae Eulidien par des omplexes p oly édriques d'orien tation imp osée et de rotondité uniforme Vinen t F euvrier 6 septem bre 2021 Résumé Nous donnons une métho de de onstrution de omplexes p oly édriques dans R n p ermettan t de relier en tre elles des grilles dy adiques d'orien ta- tions diéren tes tout en s'assuran t que les p oly èdres utilisés ne soien t pas trop plats, y ompris leurs sous-faes de toutes dimensions. P our ela, après a v oir rapp elé quelques dénitions et propriétés simples des p oly èdres eulidiens ompats et des omplexes, on se dote d'un outil qui p ermet de remplir de p oly èdres n -dimensionnels un ouv ert en forme de tub e don t la fron tière est p ortée par un omplexe n − 1 -dimensionnel. Le théorème prinipal est démon tré par indution sur n en relian t les omplexes dy a- diques ou he par ou he, en remplissan t des tub es disp osés autour des diéren tes ou hes et en utilisan t le théorème en dimension inférieure p our onstruire les moreaux manquan ts de la fron tière des tub es. Une appli- ation p ossible de e résultat est la re her he de solutions à des problèmes de minimisation de la mesure en dimension et o dimension quelonques dans ertaines lasses top ologiques. Abstrat W e build p olyhedral omplexes in R n that oinide with dy adi grids with dieren t orien tations, while k eeping uniform lo w er b ounds (dep end- ing only on n ) on the atness of the added p olyhedrons inluding their subfaes in all dimensions. After the denitions and rst prop erties of ompat Eulidean p olyhedrons and omplexes, w e in tro due a to ol al- lo wing us to ll with n -dimensionnal p olyhedrons a tubular-shap ed op en set, the b oundary of whi h is a giv en n − 1 -dimensionnal omplex. The main result is pro v en indutiv ely o v er n b y ompleting our dy adi grids la y er after la y er, lling the tub e surrounding ea h la y er and using the result in the previous dimension to build the missing parts of the tub e b oundary . A p ossible appliation of this result is a w a y to nd solutions to problems of measure minimization o v er ertain top ologial lasses of sets, in arbitrary dimension and o dimension. 1 Sommaire 1 In tro dution 3 2 P oly èdres et omplexes eulidiens 6 2.1 Sous-faes et susp ensions de p oly èdres . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Complexes p oly édriques et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Susp ension de omplexes par rapp ort à un graphe linéaire . . . . 12 3 Raordemen t de omplexes dy adiques 28 3.1 Sub division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 F usion en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 F usion en dimension quelonque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Preuv e informatique du lemme du lab oureur 56 4.1 Métho de algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.1 D 2 et le 4 × 4 -group emen t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.2 Déoupage en omplexes linéaires . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Implémen tation en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3 Résultats donnés par le programme . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.4 Fin de la démonstration du lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2 Fig. 1  F usion à la main de deux omplexes bidimensionnels et les onstan tes de forme obten ues 1 In tro dution Le résultat prinipal de e papier (le théorème 1, dit  de fusion ) p eut s'énoner simplemen t :  Étan t donnés deux omplexes dy adiques S 1 et S 2 tels qu'un moreau de la fron tière de S 1 forme la fron tière d'un ouv ert b orné O disjoin t de S 1 qui on tien t S 2 , si la distane séparan t S 1 et S 2 est susammen t grande dev an t la taille des ub es dy adiques onsidérés alors on p eut onstruire un omplexe S 3 tel que S 2 ∪ S 3 remplisse O , a v e une b orne inférieure uniforme sur la rotondité des p oly èdres onstruits et leurs sous-faes.  Le leteur qui se risquerait à eetuer un dessin en dimension 2 n'aurait probablemen t auun mal à ompléter deux omplexes dy adiques d'orien tations diéren tes en s'imp osan t une b orne inférieure raisonnable sur les angles des seg- men ts qui s'in terseten t. Il obtiendrait d'ailleurs vraisem blablemen t des b ornes inférieures sur la rotondité et la distane en tre les deux omplexes meilleures que elles du théorème 1. Bien évidemmen t les  hoses se ompliquen t en dimen- sion plus grande, en partiulier faute d'outils desriptifs  morphologiques  eaes. En outre des problèmes supplémen taires surviennen t lorsque n ≥ 4 , rendan t les représen tations b eauoup plus diiles. Nous donnons d'ab ord une dénition simple et in tuitiv e (dénition 1 ) des p oly èdres eulidiens on v exes de R n en tan t qu'in tersetion ompate de demi- espaes anes, équiv alen te à elle des p olytop es (propriété 1) et amenan t natu- rellemen t la dénition des faes et des sous-faes (dénition 2 ). On p ourra lire à e sujet l'artile d'Andrée Bastiani [Bas59 ℄ p our des dénitions plus générales 3 dans des espaes top ologiques. Nous in tro duisons une quan tité (la rotondité, dé- nition 4 ) p ermettan t de on trler la forme d'un p oly èdre donné en onsidéran t le rapp ort ompris en tre 0 et 1 des ra y ons d'une b oule insrite et d'une b oule ironsrite ; plus e rapp ort est pro  he de zéro, plus le p oly èdre est aplati. Enn p our formaliser l'idée in tuitiv e de familles de p oly èdres de même dimension qui se raorden t bien en tre eux nous dénissons la notion de omplexe (dénition 5), en imp osan t que les p oly èdres et leurs sous-faes de dimensions inférieures soien t d'in térieurs disjoin ts deux à deux (hormis eux qui son t onfondus) ; 'est le as par exemple des omplexes dy adiques, ab ordés dans la setion 3 . La notion de rotondité est généralisée aux omplexes en onsidéran t la rotondité minimale parmi les p oly èdres et les sous-faes, de façon à p ouv oir minorer la rotondité de la sous-fae la plus aplatie. A v an t d'énoner le plan de l'artile donnons rapidemen t et sans démons- tration une appliation p ossible de e résultat inspirée de Reifen b erg [Rei60 ℄ p our trouv er des ensem bles de mesure minimale parmi ertaines lasses top o- logiques. P ar exemple, trouv er parmi une lasse F stable par des déformations lips hitziennes un ensem ble E ∈ F tel que H d ( E ) = inf F ∈ F H d ( F ) , (1) la mesure utilisée ii étan t la mesure de Hausdor d -dimensionnelle H d a v e 0 ≤ d < n (on p ourra trouv er plus de détails dans le livre de Mattila [ Mat95 ℄). Notons que la te hnique utilisée reste v alable p our la minimisation de fontion- nelles ensem blistes plus générales. Considérons un p oly èdre n -dimensionnel δ (on v exe par dénition, de roton- dité R ( δ ) ) et c ∈ ◦ δ . Notons Π δ,c la pro jetion radiale sur ∂ δ qui à x ∈ δ \ { c } asso ie l'unique in tersetion de la demi-droite [ c, x ) a v e ∂ δ . P osons d = n − 1 et soit E ⊂ δ une sous-partie fermée H d -mesurable telle que H d ( E ) < ∞ . En alulan t la v aleur mo y enne de H d (Π δ,c ( E )) lorsque c parourt ◦ δ \ E on p eut mon trer en utilisan t F ubini qu'il existe une onstan te K > 0 ne dép endan t que de d et n telle que ∃ c ∈ ◦ δ : H d (Π δ,c ( E )) ≤ K R ( δ ) − 2 d H d ( E ) . (2) En utilisan t par exemple le théorème d'extension lips hitzienne de Kirzbraun [Kir34 ℄ on p eut mon trer que p our tout omplexe S de rotondité R ( S ) et toute sous-partie fermée E telle que E ⊂ U ( S ) on p eut trouv er une appliation lip- s hitzienne φ telle que φ ( E ) est inlus dans les faes de S et H d ( φ ( E )) ≤ K R ( S ) − 2 d H d ( E ) . (3) En on tin uan t les pro jetions radiales dans les sous-faes de dimension inférieure qui ne son t pas en tièremen t reouv ertes on p eut même eetuer ette onstru- tion en o dimension n − d ≥ 1 quelonque, et imp oser que φ ( E ) soit une union nie de sous-faes de dimension au plus d de S . Supp osons que E ∈ F . Lorsque E est retiable, par un lemme de t yp e Vitali on p eut reouvrir E à une partie de mesure arbitrairemen t p etite près par une union nie de omplexes dy adiques disjoin ts don t les orien tations suiv en t la diretion des plans tangen ts appro ximatifs de E . D'après le théorème 1 il est alors p ossible de relier tous es omplexes dy adiques en un omplexe plus 4 grand S de façon à a v oir à la fois E ⊂ U ( S ) et R ( S ) > C où C ne dép end que de n . En pro jetan t préalablemen t E sur ses plans tangen ts appro ximatifs et en omp osan t a v e les pro jetions radiales men tionnées plus haut on p eut onstruire une appliation lips hitzienne ψ telle que ette fois E ′ = ψ ( E ) soit une union nie de sous-faes de dimension au plus d de S et H d ( E ′ ) ≤ (1 + ǫ ) H d ( E ) . (4) En minimisan t parmi les élémen ts de F qui son t des unions de sous-faes de dimension au plus d de S (il y en a un nom bre ni) on p eut trouv er un ensem ble p oly édrique optimal E ′′ qui v érie en partiulier H d ( E ′′ ) ≤ H d ( E ′ ) ≤ (1 + ǫ ) H d ( E ) . (5) P ar ailleurs p our toute déformation lips hitzienne F de E ′′ à l'in térieur de U ( S ′ ) , d'après (3) et puisque E ′′ est optimal on a H d ( E ′′ ) ≤ K C − 2 d H d ( F ) (6) 'est à dire que E ′′ est M -quasiminimal a v e M = K C − 2 d qui ne dép end que de d et n . P our résumer en onsidéran t une suite minimisan te E k de F , 'est à dire telle que lim k → + ∞ H d ( E k ) = inf F ∈ F H d ( F ) (7) il est don p ossible de onstruire automatiquemen t une suite minimisan te d'en- sem bles quasiminimaux p oly édriques de F . Dans e as un résultat de Guy Da vid dans [Da v03 ℄ établit la semi-on tin uité inférieure de la mesure par passage à la limite, e qui n'est généralemen t pas le as et onstitue une diulté te hnique p our la re her he de minimiseurs. Une v ersion détaillée de e pro essus d'optimisation p oly édrale devrait faire l'ob jet d'un pro  hain artile. Notre métho de p ourrait par ailleurs p ermettre de généraliser en dimension et o dimension quelonques un résultat de Thierry De P au w dans [DP07 ℄ basé sur un théorème d'appro ximation p oly édrale d'en- sem bles retiables de dimension 2 dans R 3 , dans un adre de re her he de minimiseurs de taille p our les ouran ts en tiers. Le plan de l'artile est le suiv an t. La setion 2 est onsarée aux dénitions et propriétés immédiates des p o- ly èdres et omplexes eulidiens. En partiulier nous démon trons le lemme 3 de susp ension tubulaire, un outil qui p ermet de remplir de p oly èdres un ouv ert en forme de tub e don t la fron tière est p ortée par un omplexe n − 1 -dimensionnel en onstruisan t un omplexe n -dimensionnel qui remplit son adhérene en s'ap- puy an t sur le omplexe-fron tière. Ce résultat supp ose de prendre les préautions néessaires p our s'assurer que les p oly èdres onstruits son t d'in térieurs disjoin ts, omme indiqué dans le lemme 1, et p ermet de on trler la rotondité du omplexe obten u en fontion de la forme du tub e. La setion 3 est onsarée aux omplexes dy adiques et à la démonstration du théorème 1 par réurrene sur la dimension n . On ommene par le démon trer en dimension 2 (lemme 5 ). Puis l'indution est prouv ée par le lemme 10 . En supp osan t que les bases des deux omplexes dy adiques à faire fusionner son t l'image l'une de l'autre par une rotation planaire parallèle aux ub es il est 5 p ossible de tra v ailler ou he par ou he. Il est en outre p ossible d'imp oser que l'angle de rotation soit arbitrairemen t pro  he de zéro. Nous obtenons es deux onditions en déomp osan t une isométrie ane de  hangemen t de base en tre les deux omplexes dy adiques en un pro duit de rotations planaires, puis en déomp osan t  haque rotation en un pro duit de rotations d'angle susammen t pro  he de zéro. Il sut alors de remplir des ou hes de transitions en  oignon  p our passer de S 1 à S 2 et supp osan t ρ susammen t grand, le nom bre total de ou hes ne dép endan t que de n et du  hoix de l'angle de rotation maximal. On eetue alors des susp ensions tubulaires autour des diéren tes ou hes en utilisan t le théorème en dimension inférieure p our ompléter les parties man- quan tes de la fron tière des ou hes. L'un des problèmes te hniques est qu'on ne disp ose pas de b ornes uniformes sur le diamètre des tub es utilisés p our les susp ensions. Il fon t don reuser des analisations (dénition 15 ) à la surfae des deux omplexes à fusionner, qui p euv en t s'im briquer de manière omplé- men taire (lemme 9 ). Ces analisations son t obten ues en étudian t des omplexes dy adiques bidimensionnels. Nous prouv ons le lemme 6 dit  du lab oureur  qui p ermet de reuser des sillons dans un omplexe dy adique bidimensionnel de fa- çon à e que le talus de es sillons (le omplémen taire des ub es enlev és) forme lui aussi quasimen t des sillons, a v an t de généraliser en dimension plus grande. La dernière setion est une étude de diéren ts as in terv enan t dans la dé- monstration du lemme du lab oureur. Étan t donné le nom bre élev é de as à onsidérer, nous utilisons un algorithme et son implémen tation en langage C p our terminer la démonstration. Je tiens à remerier Guy Da vid p our son onstan t soutien, ses nom breux onseils et suggestions. 2 P oly èdres et omplexes eulidiens Un demi-espae ane A est la somme direte d'un h yp erplan ane H a v e une demi-droite R + u où u est une diretion non parallèle à − → H , 'est à dire A = { x + r u : x ∈ H et r ≥ 0 } . (8) On dira qu'une in tersetion de demi-espaes anes est un p oly èdre, au sens de la dénition suiv an te. Dénition 1 (P oly èdres) . Un p olyè dr e δ de dimension n est une p artie  om- p ate de R n d'intérieur non vide, obtenue p ar interse tion nie de demi-esp a es anes. En ne gardan t que les demi-espaes anes don t la fron tière in tersete δ sur une sous-partie de dimension de Hausdor égale à n − 1 on v érie failemen t que parmi toutes les familles de demi-espaes anes qui p euv en t on v enir il en existe une minimale p our l'inlusion ; on la notera A ( δ ) . En autorisan t des parties ompates non vides mais d'in térieur vide on gé- néralise aussi la dénition à des p oly èdres de dimension k ≤ n en onsidéran t la dimension k du plus p etit sous-espae ane qui les on tien t, noté Affine( δ ) . Dans e as les diéren ts op érateurs top ologiques usuels (fron tière, adhérene ou in térieur) seron t pris relativ emen t à e sous-espae ane minimal, de même que les demi-sous-espaes anes dans A ( δ ) . P ar on v en tion, on onsidère que 6 les singletons son t des p oly èdres de dimension 0 , égaux à leur in térieur et de fron tière vide. A v e es on v en tions, un argumen t simple de on v exité p ermet d'établir la orresp ondane en tre la dimension de Affine( δ ) et la dimension de Hausdor de δ , qu'on note dim δ . 2.1 Sous-faes et susp ensions de p oly èdres Les p oly èdres tels qu'on les a dénis son t on v exes et p ossèden t des faes et des sous-faes. Dénition 2 (Sous-faes) . Soit δ un p olyè dr e n -dimensionnel tel que A ( δ ) = { A 1 , . . . , A p } et { A ′ 1 , . . . , A ′ p } une famil le de sous-p arties de R n tel le que A ′ i = A i ou A ′ i = ∂ A i p our 1 ≤ i ≤ p . En p osant α = T i A ′ i , si α 6 = ∅ on dir a que α est une sous-fa e de δ , et plus pr é isément :  si dim α < dim δ on dir a que α est une sous-fa e strite ;  si dim α = dim δ − 1 on dir a que α est une fa e ;  si dim α = 0 (autr ement dit si α est un singleton) on dir a que α est un sommet, et on le  onfondr a souvent ave  le p oint qu'il  ontient. On note F ( δ ) l'ensemble des sous-fa es de δ (dont δ lui-même) et p our 0 ≤ k ≤ dim δ l'ensemble des sous-fa es k -dimensionnel les F k ( δ ) = { α ∈ F ( δ ) : dim α = k } . (9) Là enore on généralise naturellemen t ette dénition à des p oly èdres de dimension k ≤ n . On p eut v érier aisémen t que les sous-faes son t elles-mêmes des p oly èdres, et que les sous-faes des sous-faes de δ son t aussi des sous-faes de δ . En outre les faes son t d'in térieur disjoin t, et leur union forme la fron tière du p oly èdre. On p eut même érire que δ = G α ∈F ( δ ) ◦ α (10) où ⊔ désigne une union disjoin te, l'in térieur des sous-faes étan t pris à  haque fois relativ emen t au sous-espae ane engendré orresp ondan t. De façon à rendre plus lisibles ertains des énonés à v enir on v a enore se doter de la dénition suiv an te. Dénition 3 (Susp ension) . Pour une p artie A ⊂ R n et x ∈ R n on dénit la susp ension de A p ar r app ort à x p ar S ( A, x ) = { ty + (1 − t ) x : y ∈ A et t ∈ [0 , 1] } . (11) P our une partie A on note h A i son en v elopp e on v exe, 'est à dire l'in ter- setion de tous les on v exes qui la on tiennen t. Il est faile de v érier que si A est on v exe, p our deux p oin ts quelonques x et y on a S ( A, x ) = h A ∪ { x }i et S ( S ( A, x ) , y ) = S ( S ( A, y ) , x ) P our une partie A ⊂ R on note l'ensem ble de ses p oin ts extrémaux Extrem( A ) = { x ∈ A : x / ∈ h A \ { x }i} . (12) A v e es notations on p eut donner la aratérisation suiv an te, qui établit l'équi- v alene en tre les p oly èdres de la dénition 1 et les p olytop es. Il est p ossible de 7 Fig. 2  Un p oly èdre (ii un ub e) et ses sous-faes visibles en dimension 3 Fig. 3  Susp ension d'un p oly èdre δ par rapp ort à un p oin t x oplanaire ou non 8 la démon trer (e qu'on ne fera pas ii) par réurrene sur le nom bre de p oin ts de Extrem( δ ) p our l'impliation 1 ⇒ 2 , par réurrene sur la dimension de δ p our l'impliation réipro que, et en utilisan t le théorème de Krein-Milman dans les espaes eulidiens [KM40 ℄ p our le dernier p oin t. Propriété 1 (P olytop es) . Pour toute p artie  onvexe  omp ate non vide δ ⊂ R n , les deux énon és suivants sont é quivalents : 1. Extrem( δ ) est nie ; 2. δ est un p olyè dr e. En p artiulier, si δ est un p olyè dr e alors Extrem( δ ) = F 0 ( δ ) . Étan t donné un ompat A ⊂ R n , donnons-nous trois quan tités p ermettan t de on trler sa forme, et en partiulier dans le as d'un p oly èdre de donner une b orne inférieure impliite sur les angles que fon t ses faes en tre elles. Dénition 4 (Rotondité) . L es  onstantes de forme d'un  omp at A ⊂ R n sont :  le supr emum des r ayons des b oules inluses r elativement au sous-esp a e ane engendr é (ave  la  onvention sup ∅ = 0 ) app elé ra y on in térieur R ( A ) = sup { r > 0 : ∃ x ∈ R n , A ⊃ B ( x, r ) ∩ Affine( A ) } ; (13)  l'inmum des r ayons des b oules qui le  ontiennent (ave  la  onvention inf ∅ = 0 ) app elé ra y on extérieur R ( A ) = inf { r > 0 : ∃ x ∈ R n , A ⊂ B ( x, r ) } ; (14)  le r app ort des deux (ave  la  onvention R ( A ) = 1 lorsque R ( A ) = 0 ) app elé rotondité R ( A ) = R ( A ) R ( A ) ∈ [0 , 1] . (15) On dir a que plus R ( A ) est pr o he de 1 , plus A est arr ondi. Dans le as d'une partie on v exe et lorsqu'il est non n ul, le suprem um dans le alul de R ( A ) est attein t par ompaité, on parle alors d'une b oule insrite dans A , en trée sur un ortho en tre. Lors de la susp ension d'un p oly èdre δ par rapp ort à un p oin t x non oplanaire, il est p ossible de donner des b ornes sur les onstan tes de forme du p oly èdre obten u en fontion de la distane de x à un ortho en tre de δ et au sous-espae Affine( δ ) . La propriété suiv an te p ourrait être donnée sous une forme plus préise mais elle sura amplemen t p our la suite. Propriété 2. L orsque δ est un p olyè dr e, les sous-fa es de S ( δ, x ) sont de tr ois sortes :  { x } lui-même (lorsque x / ∈ δ ou x ∈ F 0 ( δ ) ) ;  des sous-fa es de δ ;  des susp ensions de sous-fa es de δ p ar r app ort à x . Pour tout  omp at K ⊂ ]0 , + ∞ [ 2 il existe des  onstantes c 1 et c 1 stritement p ositives tel les que p our tous p olyè dr e δ ave  un ortho  entr e o et x ∈ R n \ Affine( δ ) , si  d ( x, Affine( δ )) d ( x, o ) , d ( x, o ) R ( δ )  ∈ K (16) alors R ( S ( δ, x )) ≤ c 1 R ( δ ) et R ( S ( δ, x )) ≥ c 2 R ( δ ) . (17) 9 Fig. 4  Ra y on in térieur d'une susp ension de p oly èdre Démonstr ation. Le premier p oin t est éviden t si l'on se réfère à la propriété 1 et en partiulier à la minimalité p our la on v exité des sommets de S ( δ, x ) . P our v érier le seond p oin t, notons :  δ ′ = S ( δ, x ) ;  H = Affine( δ ) ;  o un ortho en tre de δ ;  B une b oule insrite dans δ de en tre o ;  B la b oule de en tre o et de ra y on 2 R ( δ ) (dès lors δ ⊂ B ) ;  o ′ un p oin t du segmen t [ x, o ] . Le problème p eut se ramener à trouv er une b oule B ( o ′ , r ) inluse dans S ( B , x ) , et une b oule B ( o, r ) on tenan t S  B , x  . App elons C le ne de sommet x en- gendré par B (par h yp othèse d ( x, H ) > 0 don x / ∈ H ), et B ′ la plus grande b oule de en tre o on ten ue dans C . Son ra y on R ′ v aut R ( δ ) cos α où α est l'angle (non orien té) en tre la normale à H et la droite ( x, o ) . Or cos α = d ( x, H ) d ( x, o ) (18) don R ′ = R ( δ ) d ( x, H ) d ( x, o ) . (19) Les b oules images de B ′ par l'homothétie de en tre x et de rapp ort γ > 0 son t toutes on ten ues dans le ne C , en partiulier la b oule B ′′ de en tre c ′ obten ue a v e γ = 1 2 par exemple. Choisissons o ′ omme le milieu du segmen t [ x, o ] et p osons r 1 = 1 2 · R ′ = 1 2 · d ( x, H ) d ( x, o ) · R ( δ ) r 2 = d ( o ′ , H ) = d ( x, H ) 2 . (20) Puisque par dénition R ( δ ) ≤ R ( δ ) il vien t enore r 2 ≥ 1 2 · d ( x, H ) d ( x, o ) · d ( x, o ) R ( δ ) · R ( δ ) . (21) P ar onstrution B ( o ′ , r 1 ) ⊂ C et B ( o ′ , r 2 ) ⊂ S ( H, x ) , don B ( o ′ , r 1 ) ∩ B ( o ′ , r 2 ) ⊂ C ∩ S ( H, x ) ⊂ δ ′ , et nalemen t r = min( r 1 , r 2 ) on vien t. On ob- 10 tien t don les b ornes suiv an tes en fontion de K : R ( δ ′ ) ≥ 1 2 · d ( x, H ) d ( x, o ) min  1 , d ( x, o ) R ( δ )  R ( δ ) R ( δ ′ ) ≤ max  2 , d ( x, o ) R ( δ )  R ( δ ) . (22) 2.2 Complexes p oly édriques et graphes Dans e qui v a suivre, p our en ensem ble S ni de p oly èdres k -dimensionnels de R n on notera :  l'union des p oly èdres U ( S ) = [ δ ∈ S δ ; (23)  l'ensem ble des sous-faes F ( S ) = [ δ ∈ S F ( δ ); (24)  l'ensem ble des sous-faes k ′ -dimensionnelles (p our 0 ≤ k ′ ≤ k ) F k ′ ( S ) = [ δ ∈ S F k ′ ( δ ); (25)  l'ensem ble des faes de la fron tière F ∂ ( S ) = { α ∈ F k − 1 ( S ) : ∀ ( β , γ ) ∈ S 2 , α 6 = β ∩ γ } . (26) La dénition suiv an te p ermet de formaliser l'idée in tuitiv e de grilles de p oly èdres qui se raorden t bien en tre eux. Dénition 5 (Complexes) . L orsque toutes les sous-fa es de S sont d'intérieurs (r elativement au sous-esp a e ane engendr é  orr esp ondant) disjoints deux à deux, autr ement dit si ∀ ( α, β ) ∈ ( F ( S )) 2 : α 6 = β ⇒ ◦ α ∩ ◦ β = ∅ (27) on dir a que S est un  omplexe k -dimensionnel. L es  onstantes de forme de S sont les extr ema de  el les de ses sous-fa es de toute dimension et ser ont noté es ave  des lettr es r ondes : R ( S ) = max δ ∈ F ( S ) R ( δ ) R ( S ) = min δ ∈ F ( S ) \F 0 ( S ) R ( δ ) R ( S ) = min δ ∈ F ( S ) R ( δ ) . (28) On p eut par exemple v érier que p our tout p oly èdre δ et 0 ≤ k ≤ dim δ l'en- sem ble F k ( δ ) est un omplexe, de même que F k ′ ( S ) lorsque S est un omplexe k -dimensionnel et 0 ≤ k ′ ≤ k . Dans le as d'un omplexe n -dimensionnel S , on a aussi par dénition ∂ U ( S ) = U ( F ∂ ( S )) . P our les b esoins des onstrutions à v enir on devra par ailleurs utiliser des ensem bles nis de p oin ts m unis d'une struture onnetiv e non orien tée. Selon la terminologie usuelle on app ellera de tels ensem bles graphes, au sens de la dé- nition suiv an te. On notera qu'il ne s'agit pas seulemen t ii de graphes abstraits, mais bien du plongemen t des ob jets orresp ondan ts dans R n . 11 Dénition 6 (Graphes) . Un gr aphe G = ( T , A ) est la donné e d'un  ouple formé de deux ensembles :  l'ensemble des sommets, une p artie nie non vide de R n app elé e supp ort de G ;  un ensemble d'ar êtes A ⊂ P 2 ( T ) qui  ontient des doublons de sommets distints formant des se gments ouverts disjoints deux à deux, 'est à dir e que ∀ ( { a, b } , { c, d } ) ∈ A 2 : { a, b } 6 = { c, d } ⇒ ] a, b [ ∩ ] c, d [= ∅ . (29) Puisque les arêtes d'un graphe ainsi déni formen t un omplexe de dimension 1 (ar supp osées d'in térieurs disjoin ts), on se réserv e le droit d'user parfois d'une terminologie iden tique p our les deux t yp es d'ob jets. Lorsqu'une arête { x, y } ∈ A on dira que les sommets x et y son t v oisins, et on onfondra souv en t ette arête a v e le segmen t [ x, y ] . P our tout sommet x ∈ T on app elle ordre de x le nom bre de ses v oisins : O ( x ) = # { y ∈ T : { x, y } ∈ A } . (30) Cette dénition p eut enore s'étendre au graphe tout en tier : O ( G ) = max x ∈ T O ( x ) . (31) Dotons-nous enore de la terminologie qui suit an de dérire la struture des graphes :  p our k > 1 on dira qu'un  hemin de longueur k est un k + 1 -uplet de sommets ( x 1 , . . . , x k +1 ) ∈ T k +1 tel que ∀ i ∈ { 1 , . . . , k } : { x i , x i +1 } ∈ A ;  un k -yle est un  hemin de longueur k don t les deux extrémités son t égales, et les k − 1 autres sommets le omp osan t distints deux à deux. P ar exemple, si { x, y } ∈ A le triplet ( x, y , x ) est un 2 -yle ;  on dira que G est onnexe s'il existe un  hemin qui le parourt en en tier ;  on dira que G est linéaire si O ( G ) ≤ 2 , s'il ne p ossède auun 3 -yle et s'il est onnexe ;  on dira que G est ylique s'il existe un yle qui passe par tous ses som- mets. 2.3 Susp ension de omplexes par rapp ort à un graphe li- néaire On supp ose qu'on disp ose d'un omplexe k -dimensionnel S , d'un graphe linéaire G = ( T , A ) et d'une appliation p de S dans T , app elée  hoix de sus- p ension. P osons S ′ = { α ∩ β : { p ( α ) , p ( β ) } ∈ A } S ∗ = S ∪ S ′ (32) et p our δ ∈ S ∗ on notera p ∗ ( δ ) = ( { p ( δ ) } si δ ∈ S { p ( α ) , p ( β ) } si δ ∈ S ′ . (33) A v e es notations on v a donner une dénition p our la susp ension de S par rapp ort à G . 12 Dénition 7 (Susp ension de omplexe) . L a susp ension S ( S, G, p ) du  omplexe k -dimensionnel S p ar r app ort au gr aphe liné air e G selon le hoix p est l'ensemble des p olyè dr es h δ ∪ p ∗ ( δ ) i de dimension k + 1 obtenus lorsque δ p ar  ourt S ∗ : S ( S, G, p ) = { δ ′ = h δ ∪ p ∗ ( δ ) i : δ ∈ S ∗ et dim δ ′ = k + 1 } . (34) L orsque S ( S, G, p ) est un  omplexe on dir a que p est un hoix adapté à la sus- p ension. Il est lair qu'une susp ension de omplexe n'est en général pas un omplexe, on p eut donner l'exemple simple de deux p oly èdres et d'un graphe à un seul sommet situé sur l'origine d'une demi-droite qui in tersete l'in térieur de  haun des p oly èdres : dans e as les susp ensions resp etiv es des deux p oly èdres ne son t pas d'in térieurs disjoin ts. En fait, il est néessaire que toute demi-droite don t l'origine est l'un des sommets du graphe ne renon tre au maxim um qu'une seule fois l'union des p oly èdres mis en orresp ondane a v e e sommet par le  hoix p . P our formaliser ette idée, p our deux parties A et B de R n on dira que A est en o lusion simple par rapp ort à B si ∀ ( x, y ) ∈ A × B : [ x, y ] ∩ A = { x } . (35) En partiulier lorsque A est la fron tière d'un ouv ert b orné U ette propriété est équiv alen te au fait que U soit étoilé par rapp ort à tout p oin t de A . De manière plus générale on se donne aussi la dénition suiv an te dans le as de la susp ension d'un omplexe k -dimensionnel S par rapp ort à un graphe G = ( T , A ) . Dénition 8 (Olusion simple) . On dir a que S est en o  lusion simple p ar r app ort à G ave  le hoix p si les tr ois  onditions suivantes sont r é alisé es : 1. les p olyè dr es de S ne r en ontr ent p as les ar êtes de G ; 2. p our tout sommet x ∈ T , l'ensemble U ( p − 1 ( x )) = [ δ ∈ S : p ( δ )= x δ (36) est en o  lusion simple p ar r app ort à x ; 3. p our toute ar ête { x, y } ∈ A :  U ( p − 1 ( x )) ∩ U ( p − 1 ( y )) est en o  lusion simple p ar r app ort au se gment [ x, y ] ;  U ( p − 1 ( x )) ∪ S ( U ( p − 1 ( x )) ∩ U ( p − 1 ( y )) , y ) est en o  lusion simple p ar r app ort au p oint x . A v e ette dénition on v a être en mesure de donner des onditions susan tes p our que la susp ension d'un omplexe en o lusion simple par rapp ort à un graphe linéaire soit enore un omplexe. Lemme 1 (Condition susan te de susp ension adaptée) . Soient S un  omplexe k -dimensionnel, G = ( T , A ) un gr aphe liné air e et p un hoix de susp ension vériant les pr opriétés suivantes :  S est en o  lusion simple p ar r app ort à G ave  le hoix p ;  il existe une famil le ( κ x ) x ∈ T d'ouverts deux à deux disjoints de R n tels que : 13 Fig. 5  Exemples de susp ensions de omplexes a v e  hoix adapté ; les exemples du bas et de droite v érien t en plus les h yp othèses du lemme 2 d'o lusion totale, le seond a v e un graphe ylique  ∀ x ∈ T , κ x est étoilé p ar r app ort à x et U ( p − 1 ( x )) ⊂ κ x ;  si x et y sont deux sommets voisins de G alors en notant κ x,y = [ ( u,v ) ∈ κ x × κ y [ u, v ] (37) p our tout z ∈ T \ { x, y } on a κ z ∩ κ x,y = ∅ ;  si { a, b } et { c, d } sont deux ar êtes distintes du gr aphe alors κ a,b ∩ κ c,d = ∅ ( ette  ondition impliquant la pr é  é dente lorsque G est ylique). A lors S ( S, G, p ) est un  omplexe k + 1 -dimensionnel. Démonstr ation. P ar dénition les p oly èdres de S ( S, G, p ) son t de deux esp èes : 1. eux obten us par susp ension d'un p oly èdre de S par rapp ort à un sommet de T ; 2. eux obten us par susp ension suessiv e d'une fae de S par rapp ort à deux sommets v oisins de T . Vérions que l'ensem ble des p oly èdres de es deux esp èes forme bien un om- plexe. Considérons F une sous-fae d'un p oly èdre δ réé après susp ension, elle p eut être obten ue de quatre manières diéren tes : 1. δ est de première ou seonde esp èe et F est une sous-fae de S ; 2. δ est de première ou seonde esp èe et F = h F ′ ∪ { x }i où F ′ est une sous-fae de S et x un sommet de G ; 3. δ est de seonde esp èe et F = h F ′ ∪ { x, y }i où F ′ est une sous-fae de S et x et y deux sommets v oisins de G ; 14 4. δ est de seonde esp èe et F est une arête de G . Notons resp etiv emen t S 1 , S 2 , S 3 et S 4 les ensem bles des sous-faes obten ues après susp ension et orresp ondan t resp etiv emen t à es quatre sortes (les en- sem bles S i son t deux à deux disjoin ts, puisque par onstrution une sous-fae ne p eut être que d'une seule sorte à la fois), ainsi F ( S ( S, G, p )) = S 1 ⊔ S 2 ⊔ S 3 ⊔ S 4 . (38) On v a mon trer que les p oly èdres de F ( S ( S, G, p )) son t d'in térieurs disjoin ts deux à deux. P our ela onsidérons (lorsque ela est p ossible 1 ) p our 1 ≤ i ≤ 4 deux p oly èdres distints F i et G i de S i et démon trons que ∀ ( i, j ) ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } 2 : ◦ F i ∩ ◦ G j = ∅ . (39) Il y a un total de seize as à onsidérer, qu'on p eut ramener à dix à une p erm u- tation des notations près, et qu'on v a traiter un à un en utilisan t es notations :  F 1 est une sous-fae d'un p oly èdre α 1 de S  F 2 = h F ′ 2 ∪ { x } i où F ′ 2 est une sous fae de α 2 ∈ S ;  G 2 = h G ′ 2 ∪ { y }i où G ′ 2 est une sous fae de β 2 ∈ S ;  F 3 = h F ′ 3 ∪ { a, b }i où F ′ 3 est une sous fae de α 3 ∈ S ;  G 3 = h G ′ 3 ∪ { c, d }i où G ′ 3 est une sous fae de β 3 ∈ S ;  G 4 = [ u, v ] . ◦ F 1 ∩ ◦ G 1 F 1 et G 1 son t d'in térieurs disjoin ts par dénition puisque S est un omplexe. ◦ F 1 ∩ ◦ G 2 remarquons d'ab ord que si F 1 est une sous-fae de G ′ 2 elle est aussi une sous-fae de G 2 (ar y est en o lusion simple par rapp ort à G ′ 2 ) et don ◦ F 1 ∩ ◦ G 2 = ∅ . Supp osons alors que F 1 ne soit pas une sous-fae de G ′ 2 , p osons z = p ( α 1 ) et onsidérons les deux as :  si z 6 = y alors par h yp othèse d'ab ord F 1 ⊂ α 1 ⊂ κ z et G ′ 2 ⊂ β 2 ⊂ κ y don G 2 ⊂ κ y ar κ y est étoilé par rapp ort à y . De plus puisque y / ∈ κ z alors G 2 ∩ ∂ κ z ⊂ G ′ 2 . Dès lors puisque κ y et κ z son t disjoin ts il vien t F 1 ∩ G 2 = F 1 ∩ κ z ∩ G 2 ∩ κ y = F 1 ∩ G 2 ∩ ∂ κ y ∩ ∂ κ z ⊂ F 1 ∩ G 2 ∩ ∂ κ y ⊂ F 1 ∩ G ′ 2 ;  si z = y , puisque par h yp othèse y est en o lusion simple par rapp ort à β 2 ∪ F 1 don aussi par rapp ort à G ′ 2 ∪ F 1 alors F 1 ∩ G 2 = F 1 ∩ G ′ 2 . Dans les deux as, G ′ 2 est une sous-fae strite de G 2 et puisque l'on a supp osé que F 1 n'est pas une sous fae de G ′ 2 alors F 1 ∩ G ′ 2 est soit vide, soit une sous-fae strite de F 1 . P our onlure, F 1 ∩ G 2 est don soit vide, soit une sous-fae strite de F 1 et G 2 (don inluse dans leur fron tière) et par onséquen t ◦ F 1 ∩ ◦ G 2 = ∅ . ◦ F 1 ∩ ◦ G 3 remarquons d'ab ord que si F 1 est une sous-fae de G ′ 3 , elle est aussi une sous-fae de G 3 (ar auun p oin t de [ c, d ] n'est dans le sous-espae ane engendré par G ′ 3 par h yp othèse d'o lusion simple) et don ◦ F 1 ∩ ◦ G 3 = ∅ . Supp osons don que F 1 ne soit pas une sous-fae de G ′ 3 et p osons z = p ( α 1 ) . Quitte à p erm uter les notations, il y a deux as à en visager : 1 Il se p eut que l'un des S i soit vide ou réduit à un seul p oly èdre ; dans e as-là enore on obtien t e qu'on  her hait, à sa v oir que les p oly èdres de S i S i son t d'in térieurs disjoin ts deux à deux. 15  si z 6 = c et z 6 = d alors de la même façon que p our le as prééden t on a que G 3 ⊂ κ c,d et puisque [ c, d ] ⊂ κ c,d alors G 3 ∩ ∂ κ c,d ⊂ G ′ 3 . Puisque par h yp othèse κ c,d et κ z son t disjoin ts alors F 1 ∩ G 3 = F 1 ∩ κ z ∩ G 3 ∩ κ c,d = F 1 ∩ G 3 ∩ ∂ κ z ∩ ∂ κ c,d ⊂ F 1 ∩ G 3 ∩ ∂ κ c,d ⊂ F 1 ∩ G ′ 3 ;  si z = c , puisque [ c, d ] est en o lusion simple par rapp ort à β 3 ∪ α 1 don aussi par rapp ort à G ′ 3 ∪ F 1 alors F 1 ∩ G 3 = F 1 ∩ G ′ 3 . Dans les deux as, G ′ 3 est une sous-fae strite de G 3 et puisque l'on a supp osé que F 1 n'est pas une sous-fae de G ′ 3 alors F 1 ∩ G ′ 3 est soit vide, soit une sous-fae strite de F 1 . P our onlure, F 1 ∩ G 3 est don soit vide, soit une sous-fae strite de F 1 et G 3 (don inluse dans leur fron tière) et par onséquen t ◦ F 1 ∩ ◦ G 3 = ∅ . ◦ F 1 ∩ ◦ G 4 par h yp othèse d'o lusion simple les arêtes du graphe ne renontren t pas les p oly èdres du omplexe don a fortiori ◦ F 1 ∩ ◦ G 4 = ∅ . ◦ F 2 ∩ ◦ G 2 onsidérons les deux as p ossibles :  si x 6 = y alors omme vu dans le as ( i, j ) = (1 , 2) , F 2 ∩ ∂ κ x ⊂ F ′ 2 et G 2 ∩ ∂ κ y ⊂ G ′ 2 a v e par h yp othèse κ x ∩ κ y = ∅ . P ar onséquen t, puisque κ x ∩ κ y = ∅ alors F 2 ∩ G 2 = F 2 ∩ κ x ∩ G 2 ∩ κ y = F 2 ∩ ∂ κ x ∩ G 2 ∩ ∂ κ y ⊂ F ′ 2 ∩ G ′ 2 . Or, puisque F ′ 2 et G ′ 2 son t deux sous-faes strites de F 2 et G 2 , alors F 2 ∩ G 2 est soit vide, soit une sous-fae strite de F 2 et G 2 (don inluse dans leurs fron tières) et par onséquen t ◦ F 2 ∩ ◦ G 2 = ∅ ;  si x = y alors F 2 ∩ G 2 = h ( F ′ 2 ∩ G ′ 2 ) ∪ { x }i . Remarquons ensuite que par h yp othèse F ′ 2 6 = G ′ 2 (sinon F 2 = G 2 ), et si F ′ 2 (resp etiv emen t G ′ 2 ) est une sous fae strite de G ′ 2 (resp etiv emen t F ′ 2 ) alors F 2 (resp e- tiv emen t G 2 ) est une sous-fae strite de G 2 (resp etiv emen t F 2 ) et alors ◦ F 2 ∩ ◦ G 2 = ∅ . Supp osons alors que F ′ 2 et G ′ 2 ne soien t pas sous- fae de resp etiv emen t G ′ 2 et F ′ 2 , alors F ′ 2 ∩ G ′ 2 est soit vide, soit une sous-fae strite de F ′ 2 et G ′ 2 . P ar onséquen t, F 2 ∩ G 2 est une sous-fae strite de F 2 et G 2 , don inluse dans leurs fron tières et par onséquen t ◦ F 2 ∩ ◦ G 2 = ∅ . ◦ F 2 ∩ ◦ G 3 quitte à p erm uter les notations, il reste deux as à étudier :  si x 6 = c et x 6 = d alors omme vu dans les as prééden ts, F 2 ∩ ∂ κ x ⊂ F ′ 2 et G 3 ∩ ∂ κ c,d ⊂ G ′ 3 . De plus par h yp othèse κ x ∩ κ c,d = ∅ d'où F 2 ∩ G 3 = F 2 ∩ κ x ∩ G 3 ∩ κ c,d = F 2 ∩ ∂ κ x ∩ G 3 ∩ ∂ κ c,d ⊂ F ′ 2 ∩ G ′ 3 . Or F ′ 2 et G ′ 3 son t des sous-faes strites de resp etiv emen t F 2 et G 3 , par onséquen t F 2 ∩ G 3 est soit vide, soit une sous-fae strite de F 2 et G 3 (don inluse dans leurs fron tières) et nalemen t ◦ F 2 ∩ ◦ G 3 = ∅ ;  si x = c alors d'après la dernière h yp othèse de la dénition de l'o lusion simple d'un omplexe on sait que F ′ 2 ∪ h G ′ 3 ∪ { y }i est en o lusion simple par rapp ort à x . On en tire que F 2 ∩ G 3 = h F ′ 2 ∪ { x }i ∩ h G ′ 3 ∪ { x, y }i = h ( F ′ 2 ∩ h G ′ 3 ∪ { y }i ) ∪ { x }i . P ar ailleurs, on sait aussi que F ′ 2 ⊂ κ x et G ′ 3 ⊂ κ x ∩ κ y , a v e κ x ∩ κ y = ∅ et κ y qui est étoilé par rapp ort à y . Il vien t don F ′ 2 ∩h G ′ 3 ∪ { y }i = F ′ 2 ∩ G ′ 3 , d'où on tire F 2 ∩ G 3 = h ( F ′ 2 ∩ G ′ 3 ) ∪ { x }i . Remarquons enore que si F ′ 2 est une sous-fae de G ′ 3 alors F 2 est une sous-fae de G 3 et don ◦ F 2 ∩ ◦ G 3 = ∅ . Supp osons alors que F ′ 2 ne soit pas une sous-fae de G ′ 3 , dans e as F ′ 2 ∩ G ′ 3 est soit vide, soit une sous-fae strite de F ′ 2 , don h ( F ′ 2 ∩ G ′ 3 ) ∩ { x }i est une sous-fae strite 16 de F 2 . Puisque 'est aussi une sous-fae strite de G 3 alors F 2 ∩ G 3 est inluse dans la fron tière de F 2 et G 3 et par onséquen t ◦ F 2 ∩ ◦ G 3 = ∅ . ◦ F 2 ∩ ◦ G 4 remarquons que si u et v son t tous deux diéren ts de x , puisque F 2 ⊂ κ x et que κ u,v ∩ κ x = ∅ alors F 2 ∩ [ u, v ] = ∅ puisque [ u, v ] ⊂ κ u,v . Supp osons ensuite que u = x par exemple, et raisonnons par l'absurde en supp osan t que F 2 ∩ [ u , v ] 6 = { u } . Dans e as F 2 est la susp ension de F ′ 2 par rapp ort à u a v e F ′ 2 ⊂ κ u . En outre κ u étan t étoilé par rapp ort à u et v / ∈ κ u on trouv e que forémen t [ u, v ] ∩ F ′ 2 6 = ∅ , e qui on tredit l'h yp othèse que les arêtes du graphe ne renon tren t pas les p oly èdres de S . ◦ F 3 ∩ ◦ G 3 puisque F 3 (resp etiv emen t G 3 ) est de seonde esp èe, par dénition de la susp ension d'un omplexe, F ′ 3 (resp etiv emen t G ′ 3 ) est inluse dans l'in tersetion de deux p oly èdres δ 1 et δ 2 de S (resp etiv emen t δ 3 et δ 4 ) tels que p ( δ 1 ) = a et p ( δ 2 ) = b (resp etiv emen t p ( δ 3 ) = c et p ( δ 4 ) = d ). Remarquons alors que si F ′ 3 (resp etiv emen t G ′ 3 ) est une sous-fae de G ′ 3 (resp etiv emen t F ′ 3 ) alors parmi tous les δ i p ouv an t on v enir on p eut  hoisir δ 1 = δ 3 et δ 2 = δ 4 et don { a, b } = { c, d } . Dès lors, F 3 (resp etiv emen t G 3 ) est une sous-fae de G 3 (resp etiv emen t F 3 ) et don par onséquen t ◦ F 3 ∩ ◦ G 3 = ∅ ou F 3 = G 3 . On supp osera don que F ′ 3 ∩ G ′ 3 est soit vide, soit une sous-fae strite de F ′ 3 et de G ′ 3 . Quitte à p erm uter les notations il reste là enore trois as à traiter séparémen t :  si { a, b } ∩ { c, d } = ∅ alors par h yp othèse κ a,b ∩ κ c,d = ∅ , de plus omme vu dans les as prééden ts, puisque F 3 ∩ ∂ κ a,b ⊂ F ′ 3 et G 3 ∩ ∂ κ c,d ⊂ G ′ 3 alors F 3 ∩ G 3 = F 3 ∩ κ a,b ∩ G 3 ∩ κ c,d = F 3 ∩ ∂ κ a,b ∩ G 3 ∩ ∂ κ c,d ⊂ F ′ 3 ∩ G ′ 3 ;  si a = c et b 6 = d , puisque par h yp othèse F ′ 3 ⊂ κ b et G ′ 3 ⊂ κ d a v e κ b ∩ κ d = ∅ , b ∈ κ b et d ∈ κ d alors déjà h F ′ 3 ∪ { b }i ∩ h G ′ 3 ∪ { d }i = F ′ 3 ∩ G ′ 3 . De plus κ a,b ∩ κ d = ∅ et κ a,d ∩ κ b = ∅ a v e F 3 ⊂ κ a,b et G 3 ⊂ κ a,d don F 3 ∩ G 3 = h F ′ 3 ∪ { a, b } i ∩ h G ′ 3 ∪ { a, d }i = h F ′ 3 ∪ { a }i ∩ h G ′ 3 ∪ { a }i = h ( F ′ 3 ∩ G ′ 3 ) ∪ { a }i . Or puisque b / ∈ κ a et d / ∈ κ a alors h ( F ′ 3 ∩ G ′ 3 ) ∪ { a }i est une sous-fae strite de F 3 et G 3 ;  si a = c et b = d alors puisque par h yp othèse [ a, b ] est en o lusion simple par rapp ort à α 3 ∪ β 3 , F 3 ∩ G 3 = h ( F ′ 3 ∩ G ′ 3 ) ∪ [ a, b ] i . Or F ′ 3 ∩ G ′ 3 est soit vide, soit une sous-fae strite de F ′ 3 ou G ′ 3 don F 3 ∩ G 3 est une sous-fae strite de F 3 et G 3 . Dans les trois as, F 3 ∩ G 3 est une sous-fae strite de F 3 et de G 3 et par onséquen t ◦ F 3 ∩ ◦ G 3 = ∅ . ◦ F 3 ∩ ◦ G 4 quitte à é hanger les notations il y a trois as à en visager :  si u = a et v = b alors [ u, v ] est une sous-fae de F 3 et don ◦ F 3 ∩ ◦ G 4 = ∅ ;  si u = a et v 6 = b , puisque F 3 ⊂ κ u,b alors par h yp othèse v / ∈ F 3 . En ériv an t que F 3 = h F ′ 3 ∪ { u, b }i = hh F ′ 3 ∪ { b }i ∪ { u }i , raisonnons par l'absurde et supp osons que ] u, v [ ∩ F 3 6 = ∅ . Puisque F 3 est la susp ension de h F ′ 3 ∪ { b }i par rapp ort à u et que v / ∈ F 3 , le segmen t ] u, v [ in tersete alors h F ′ 3 ∪ { b }i en au moins un p oin t. P ar h yp othèse, κ u,v ∩ κ b = ∅ a v e κ u,v et κ b ouv erts, don on a aussi que κ u,v ∩ κ b = ∅ , en outre h F ′ 3 ∪ { b }i ⊂ κ b ar κ b est étoilé par rapp ort à b . En résumé, en sup- p osan t que ] u, v [ ∩ F 3 6 = ∅ on obtien t quatre omparaisons ensem blistes 17 on traditoires : ] u, v [ ⊂ κ u,v κ u,v ∩ κ b = ∅ h F ′ 3 ∪ { b }i ⊂ κ b ] u, v [ ∩ h F ′ 3 ∪ { b }i 6 = ∅ . (40) P ar onséquen t, ] u, v [ ∩ F 3 est néessairemen t vide ;  si u 6 = a et v 6 = b alors puisque [ u, v ] ∩ κ a,b = ∅ (ar [ u, v ] est inlus dans l'ouv ert κ u,v et κ u,v ∩ κ a,b = ∅ ) et F 3 ⊂ κ a,b (ar κ a et κ b étoilés par rapp ort resp etiv emen t à a et b ) on obtien t que [ u, v ] ∩ F 3 = ∅ . Dans les trois as, on trouv e bien que ◦ F 3 ∩ ◦ G 4 = ∅ . ◦ F 4 ∩ ◦ G 4 par dénition d'un graphe ses arêtes son t d'in térieurs disjoin ts don ◦ F 4 ∩ ◦ G 4 = ∅ . Cei termine la démonstration que l'ensem ble de p oly èdres S ( S, G, p ) est un omplexe k + 1 -dimensionnel, puisqu'on a démon tré que ses sous-faes son t d'in térieurs disjoin ts deux à deux. Dans e qui suit, on v a dev oir susp endre un omplexe qui forme la fron tière d'un ouv ert de façon à remplir de p oly èdres n -dimensionnel tout le v olume de et ouv ert. La notion d'o lusion totale v a p ermettre de aratériser une situation où le remplissage se fait automatiquemen t. Dénition 9 (Olusion totale) . On dir a qu'un gr aphe liné air e G est en o  lu- sion totale p ar r app ort à un  omplexe n − 1 -dimensionnel S ave  le hoix p si p est surje tif et s'il existe un ouvert b orné O et une famil le d'ouverts deux à deux disjoints ( κ x ) x ∈ T vériant les tr ois  onditions suivantes : 1. U ( S ) = ∂ O et O = S x ∈ T κ x ; 2. ∀ x ∈ T : κ x est étoilé p ar r app ort à x et U ( p − 1 ( x )) ⊂ κ x ; 3. ∀ ( x, y ) ∈ T 2 : { x, y } / ∈ A ⇒ x = y ou κ x ∩ κ y = ∅ . Le lemme suiv an t justie qu'en situation d'o lusion totale, la susp ension v a remplir tout l'espae vide à l'in térieur de l'ouv ert O . Lemme 2 (Remplissage en o lusion totale) . Si le gr aphe liné air e G est en o  lusion totale p ar r app ort au  omplexe S ave  le hoix p , et si p est un hoix adapté à la susp ension alors S ′ = S ( S, G, p ) est un  omplexe qui vérie O ⊂ U ( S ′ ) . (41) Si S vérie aussi les hyp othèses du lemme 1 ave  les mêmes ouverts κ x (qui, r app elons-le, établissent une  ondition susante p our un hoix adapté) l'inlusion inverse est el le aussi vérié e : O = U ( S ′ ) . (42) Démonstr ation. D'ab ord on sait que S ′ est un omplexe, si de plus G est réduit à un seul sommet le lemme est éviden t. Supp osons don à présen t que e n'est pas le as. P ar dénition, un graphe linéaire non réduit à un seul sommet est tel que  haque sommet a un ou deux v oisins distints. Dans le seond as, en notan t x un sommet de G et y et z ses deux v oisins, puisque les ( κ u ) u ∈ T son t disjoin ts 18 deux à deux alors ∂ κ x = ( ∂ O ∩ κ x \ ( κ y ∪ κ z )) ∪ ( ∂ κ y ∩ κ x ) ∪ ( ∂ κ z ∩ κ x ) . De plus par h yp othèse on a aussi que κ y ∩ κ z = ∅ ar y et z ne p euv en t être v oisins (sinon ( y , x, z , y ) formerait un 3 -yle) don ∂ κ y ∩ ∂ κ z = ∅ . Cette union est par onséquen t une union d'ensem bles disjoin ts deux à deux : ∂ κ x = ( ∂ O ∩ κ x \ ( κ y ∪ κ z )) ⊔ ( ∂ κ y ∩ κ x ) ⊔ ( ∂ κ z ∩ κ x ) . (43) De même si x a un seul v oisin y alors ∂ κ x = ( ∂ O ∩ κ x \ κ y ) ⊔ ( ∂ κ y ∩ κ x ) . (44) À présen t, si on  hoisit a ∈ O on p eut alors trouv er x ∈ T tel que a ∈ κ x (en eet, O ⊂ S x ∈ T κ x ). Il nous faut onsidérer l'ordre du sommet x : supp osons d'ab ord que O ( x ) = 2 et notons y et z ses deux v oisins distints. Si x = a alors puisque p est surjetif on p eut trouv er δ ∈ S tel que p ( δ ) = x , de plus par dénition h δ ∪ { x } i ∈ S ( S, G, p ) don a ∈ U ( S ′ ) . Si x 6 = a alors puisque x, a ∈ κ x et que κ x est un ouv ert b orné, on p eut don trouv er b ∈ ∂ κ x tel que a ∈ [ b, x [ . Et puisque κ x est étoilé par rapp ort à x alors on a aussi que ] b, x ] ⊂ κ x . D'après (43 ) il nous faut onsidérer trois as p ossibles :  si b ∈ ∂ O ∩ κ x \ ( κ y ∪ κ z ) alors puisque U ( S ) = ∂ O on p eut trouv er δ ∈ S tel que b ∈ δ . Remarquons aussi que puisque b / ∈ κ y ∪ κ z alors néessairemen t p ( δ ) = x (en eet si p ( δ ) = y par exemple alors par h yp othèse on aurait que δ ⊂ κ y e qui est imp ossible ar b ∈ δ ). Don h δ ∪ { x } i ∈ S ( S, G, p ) , or [ b, x ] ⊂ h δ ∪ { x }i par onséquen t a ∈ h δ ∪ { x } i ∈ S ′ ;  si b ∈ ∂ κ y ∩ κ x alors notons c l'in tersetion de la demi-droite d'origine x et de diretion − → y x a v e ∂ κ x . Cette in tersetion existe ar κ x est un ouv ert b orné et x ∈ κ x , et est unique ar κ x est étoilé par rapp ort à x . Puisque κ y est étoilé par rapp ort à y alors néessairemen t c / ∈ ∂ κ y (sinon on devrait a v oir ] c, x [ ⊂ κ y , e qui n'est pas le as ar ] c, x [ ⊂ κ x ). À présen t si on note H un 2 -plan ane on tenan t les trois p oin ts x , y et a , puisque c ∈ H il vien t H ∩ ∂ κ x 6 = H ∩ ∂ κ y ∩ κ x . (45) En faisan t l'in tersetion des mem bres de l'égalité ( 43) a v e le 2 -plan H , on obtien t H ∩ ∂ κ x = O ′ ⊔ F 1 ⊔ F 2 (46) a v e O ′ = H ∩ ∂ O ∩ κ x \ ( κ y ∪ κ z ) F 1 = H ∩ ∂ κ y ∩ κ x F 2 = H ∩ ∂ κ z ∩ κ x . (47) En résumé, en se plaçan t dans H on a mon tré que le fermé H ∩ ∂ κ x est l'union disjoin te de l'ouv ert O ′ et des deux fermés non vides F 1 et F 2 , a v e F 1 6 = H ∩ ∂ κ x . Il est faile de onstater en plus que H ∩ ∂ κ x est onnexe, puisque 'est la fron tière de l'ouv ert H ∩ κ x de H , qui est b orné et étoilé par rapp ort à x . P ar onséquen t l'in tersetion de O ′ et de F 1 n'est pas vide, en d'autres termes : D = H ∩ ∂ κ x ∩ ∂ O ∩ ∂ κ y 6 = ∅ . (48) 19 Notons d un élémen t de D , et démon trons à présen t qu'il est p ossible de trouv er une fae F de S telle que d ∈ F et F ⊂ κ x ∩ κ y . Soien t S x et S y les sous-omplexes de S formés des p oly èdres resp etiv e- men t inlus dans κ x et κ y : S x = { δ ∈ S : δ ⊂ κ x } S y = { δ ∈ S : δ ⊂ κ y } . (49) Puisque par h yp othèse ∂ O = U ( S ) il vien t ∂ O ∩ κ x ∩ κ y = [ δ ∈ S x ,δ ′ ∈ S y δ ∩ δ ′ . (50) En outre, S x ∩ S y = ∅ don par dénition d'un omplexe, δ ∩ δ ′ est soit vide, soit une sous-fae omm une de δ et δ ′ . On remarque aussi que S x et S y ne son t pas vides, ar ils on tiennen t  haun au moins un p oly èdre qui on tien t d (puisque d ∈ ∂ O ∩ κ x ∩ κ y ). Considérons par ailleurs p our ǫ > 0 , la b oule ouv erte B ǫ de en tre d et de ra y on ǫ , et notons U ǫ = B ǫ ∩ ∂ O . (51) P ar h yp othèse O = S t κ t don ∂ O ⊂ S t κ t , en outre d n'appartien t à auun des fermés κ t p our t / ∈ { x, y } , don il existe ǫ 0 > 0 tel que p our tout ǫ < ǫ 0 U ǫ ⊂ κ x ∪ κ y . (52) À présen t onsidérons les deux as p ossibles :  si d n'est sommet d'auun p oly èdre de S alors il existe ǫ 1 > 0 tel que U ǫ ne on tien t auun sommet des p oly èdres de S p our ǫ ≤ ǫ 1 . Dans e as, puisque d ne p eut être que sur la fron tière de tout p oly èdre qui le on tien t (ar il est dans κ x ∩ κ y ), U ǫ est don l'in tersetion de B ǫ et de l'union d'une famille nie A 1 , . . . , A m de demi-h yp erplans anes on tenan t d U ǫ = B ǫ ∩ [ i A i . (53) Chaun des A i ∩ B ǫ est un moreau d'un p oly èdre n − 1 -dimensionnel δ i inlus dans κ x ou κ y , et il est lair que p our tout i , ∂ κ x ∩ ∂ κ y ∩ ∂ O on tien t ∂ A i ∩ B ǫ qui on tien t lui-même d , ∂ A i désignan t ii la fron tière du demi-h yp erplan A i prise relativ emen t à l'h yp erplan en tier. Si on onsidère par exemple le sous-espae ane ∂ A 1 (de dimension n − 2 ), F = δ 1 ∩ ∂ A 1 est une fae de δ 1 , et puisque S est un omplexe alors F est dans ∂ κ x ∩ ∂ κ y ∩ ∂ O (puisqu'on vien t de v oir qu'une b oule n − 2 dimensionnelle inluse dans F y est déjà, si la fae en tière n'y était pas ela impliquerait qu'un sommet d'un autre p oly èdre de S serait dans F priv é de ses propres sommets, e qui on tredirait le fait que S est un omplexe) ;  si d est sommet d'un p oly èdre de S alors il existe ǫ 2 > 0 tel que U ǫ ne on tien t auun autre sommet de S p our ǫ ≤ ǫ 2 . P ar un raisonnemen t analogue sur un p oin t e ∈ ∂ κ x ∩ ∂ κ y ∩ ∂ O ∩ B ǫ distint de d , il est p ossible de trouv er une fae inluse dans ∂ κ x ∩ ∂ κ y ∩ ∂ O qui on tien t d et e . 20 Dans les deux as, on a don trouv é une fae F telle que d ∈ F ⊂ κ x ∩ κ y ∩ ∂ O . (54) Il nous reste enore à v érier que le p oly èdre h F ∪ { x, y }i est de dimension n . Puisque κ x et κ y son t resp etiv emen t étoilés par rapp ort à x et y , et F ⊂ κ x ∩ κ y alors le sous-espae ane minimal H ′ de dimension n − 2 on tenan t F ne on tien t pas x et y , et sa diretion n'est pas parallèle à elle de la droite ( x, y ) , don h F, { x }i est de dimension n − 1 et l'h yp erplan ane le on tenan t ne on tien t pas y . Dès lors h ( δ 1 ∩ δ 2 ) ∪ { x, y }i ∈ S ( S, G, p ) (55) a v e par onstrution, a ∈ h{ x, y , d }i ⊂ h{ x, y } ∪ ( δ 1 ∩ δ 2 ) i , 'est à dire que a ∈ U ( S ′ ) ;  si b ∈ ∂ κ z ∩ κ x alors il sut de refaire le raisonnemen t préédan t en p erm utan t y et z . Si O ( x ) = 1 alors en notan t y le v oisin de x il est p ossible de refaire un raisonnemen t sem blable en remplaçan t κ z par ∅ . P our onlure, dans tous les as on a bien démon tré que a ∈ U ( S ′ ) , 'est à dire que O ⊂ U ( S ′ ) . L'inlusion in v erse est lairemen t v ériée dès que les ( κ x ) x ∈ T v érien t les h yp othèses du lemme 1, puisque dans e as tous les nou- v eaux p oly èdres réés lors de la susp ension resten t inlus dans S x ∈ T κ x :  les p oly èdres de première esp èe obten us par susp ension par rapp ort à un sommet x son t inlus dans κ x ;  eux de seonde esp èe obten us par susp ension par rapp ort à deux som- mets v oisins x et y son t inlus dans κ x ∪ κ y . À présen t donnons une dénition p our dérire la situation où un omplexe om bine les h yp othèses des lemmes 1 et 2 par rapp ort à un ouv ert en forme de  tub e  parouru par un graphe linéaire, en utilisan t des parties ( κ x ) x ∈ T obten ues par déoupage du tub e par des h yp erplans p erp endiulaires aux arêtes du graphe et p ouv an t être plaés à ǫ près. Supp osons que n ≥ 2 , onsidérons un omplexe n − 1 -dimensionnel S , un ouv ert O tel que ∂ O = U ( S ) et un graphe linéaire G = ( T , A ) tel que T ⊂ O . P our deux sommets v oisins x et y de G et r ∈ i − d ( x,y ) 2 , d ( x,y ) 2 h on notera H ( x, y , r ) l'h yp erplan ane p erp endiulaire à et passan t par le seg- men t [ x, y ] à distane r + d ( x,y ) 2 de x , H + ( x, y , r ) le demi-espae ane de fron- tière H ( x, y , r ) qui on tien t x et H − ( x, y , r ) l'autre demi-espae orresp ondan t. Soit f une appliation de T 2 dans R , an tiomm utativ e ('est à dire telle que ∀ ( x, y ) ∈ T 2 : f ( x , y ) = − f ( y , x ) ) et v érian t ∀{ x, y } ∈ A : | f ( x, y ) | < d ( x, y ) 2 . (56) Supp osons que # T > 1 , p our un sommet x ∈ T selon les as :  si O ( x ) = 0 (dans e as G est réduit à un seul sommet par h yp othèse de linéarité) on p osera κ x ( f ) = O ;  si O ( x ) = 1 alors soit y le v oisin de x , on notera κ x ( f ) l'adhérene de la omp osan te onnexe de H + ( x, y , f ( x, y )) ∩ O qui on tien t x ; 21  si O ( x ) = 2 alors soien t y et z les deux v oisins distints de x , on no- tera κ x ( f ) l'adhérene de la omp osan te onnexe de H + ( x, y , f ( x, y )) ∩ H + ( x, z , f ( x , z )) ∩ O qui on tien t x . Et p our nir on dénit enore la famille de p oly èdres n − 1 -dimensionnels S ( f ) par δ ∈ S ( f ) ⇐ ⇒ ∃ ( δ ′ , x ) ∈ S × T : δ = δ ′ ∩ κ x ( f ) et dim δ = n − 1 . (57) Dénition 10 (Susp ension tubulaire) . Soient S un  omplexe n − 1 -dimension- nel, O un ouvert tel que ∂ O = U ( S ) et G = ( T , A ) un gr aphe liné air e tel que T ⊂ O . Pour ǫ > 0 donné, on dir a que S est ǫ -tubulair e p ar r app ort à G et O si G est r é duit à un seul sommet, ou s'il existe deux appli ations f et g : T 2 → R anti ommutatives et vériant : 1. ∀{ x, y } ∈ A : ( f ( x, y ) , g ( x, y )) ∈  − d ( x, y ) 2 , d ( x, y ) 2  2 | f ( x, y ) − g ( x, y ) | ≥ ǫ ; (58) 2. p our toute appli ation anti ommutative h : T 2 → R tel le que min( f , g ) ≤ h ≤ max( f , g ) , S ( h ) est un  omplexe vériant les hyp othèses des lemmes 1 et 2 p ar r app ort au gr aphe G et O en utilisant les ouverts κ x ( h ) et le hoix p de susp ension déni p ar p ( δ ) = x ⇔ δ ⊂ κ x ( h ) . Lorsque les h yp othèses de la dénition son t v ériées, ∂ O admet un h yp er- plan tangen t H n − 1 -presque partout (en tan t qu'union nie de p oly èdres n − 1 - dimensionnels). On notera ∂ ⊥ O le sous-ensem ble de ∂ O où un tel h yp erplan existe, et − → n ( z ) un v eteur unitaire normal à et h yp erplan lorsque z ∈ ∂ ⊥ O . Lorsque le graphe G est réduit à un seul sommet x on notera α − = β − = d ( x, ∂ O ) γ =  H n − 1 ( ∂ O )  1 n − 1 α + = β + = sup t ∈ ∂ O d ( x, t ) η = inf t ∈ ∂ ⊥ O | < − → n ( t ) , t − x > | k t − x k . (59) Lorsque # T > 1 on notera F l'ensem ble des appliations an tiomm utativ es omprises en tre f et g : F = n h ∈ R T 2 : h an tiomm utativ e et min( f , g ) ≤ h ≤ max( f , g ) o (60) 22 et a v e es notations on dénit enore les quan tités suiv an tes : α − = min { x,y }∈ A d ( x, y ) β − = inf h ∈ F { x,y }∈ A z ∈ [ x,y ] d ( z , ∂ O ∩ ( κ x ( h ) ∪ κ y ( h ))) α + = max { x,y }∈ A d ( x, y ) β + = sup h ∈ F { x,y }∈ A z ∈ [ x,y ] sup t ∈ ∂ O ∩ ( κ x ( h ) ∪ κ y ( h )) d ( z , t ) γ =   sup h ∈ F x ∈ T H n − 1 ( ∂ O ∩ κ x ( h ))   1 n − 1 η = inf h ∈ F { x,y }∈ A z ∈ [ x,y ] t ∈ ∂ ⊥ O ∩ ( κ x ( h ) ∪ κ y ( h )) | < − → n ( t ) , t − z > | k t − z k . (61) Le lemme suiv an t p ermet d'év aluer les onstan tes de forme optimales des p oly èdres d'une susp ension de omplexe ǫ -tubulaire. Comme dans le as de la propriété 2 , il serait p ossible de le donner sous une forme plus préise mais elle-i nous sura p our la suite. Lemme 3 (Rotondité d'une susp ension tubulaire) . Pour toute p artie  omp ate K ⊂ ]0 , + ∞ [ 9 il existe des  onstantes c 1 et c 2 stritement p ositives tel les que p our tout  omplexe ǫ -tubulair e S p ar r app ort à un ouvert O et un gr aphe G , si on p eut tr ouver deux  onstantes ρ + et ρ − tel les que ρ + > R ( S ′ ) > R ( S ′ ) > ρ − > 0 (62) et  n, η , ρ + ρ − , ǫ ρ + , α − ρ + , α + ρ + , β − ρ + , β + ρ + , γ ρ −  ∈ K (63) alors on p eut tr ouver h ∈ F tel que S ′ = S ( S ( h ) , G, p ) est un  omplexe n - dimensionnel vériant R ( S ′ ) ≤ c 1 R ( S ) , R ( S ′ ) ≥ c 2 R ( S ) et U ( S ′ ) = O . (64) Démonstr ation. On p eut ommener par remarquer que le lemme est éviden t si # T = 1 . En eet, dans e as il sut de onsidérer δ ∈ F ( S ) , en notan t o un ortho en tre de δ et x ∈ T il vien t η β − ≤ d ( x, Affine( δ )) ≤ β + β − ≤ d ( x, o ) ≤ β + ρ − ≤ R ( δ ) ≤ ρ + (65) d'où on tire η β − β + ≤ d ( x, Affine( δ )) d ( x, o ) ≤ 1 β − ρ + ≤ d ( x, o ) R ( δ ) ≤ β + ρ − . (66) 23 En appliquan t la propriété 2 on obtien t immédiatemen t les onstan tes désirées, on supp osera don p our la suite que # T > 1 . Soit δ ∈ F k ( S ) une sous-fae de dimension k ≤ n − 1 d'un p oly èdre de S , onsidérons les deux as :  si k = 1 alors # F k − 1 ( δ ) = 2 ;  si k > 1 , par h yp othèse δ est on ten u dans une b oule de en tre c δ et de ra y on au plus ρ + . Notons resp etiv emen t U k et V k la surfae de la sphère unité et le v olume de la b oule unité en dimension k . En rapp elan t que δ est on v exe et on ten u dans une b oule de ra y on ρ + il vien t H k − 1 ( ∂ δ ) ≤ U k ρ k − 1 + (67) et puisque les faes de δ son t disjoin tes et formen t sa fron tière on a aussi X α ∈F k − 1 ( δ ) H k − 1 ( α ) = H k − 1 ( ∂ δ ) . (68) De la même façon, les faes de δ on tiennen t une b oule k − 1 -dimensionnelle de ra y on au moins ρ − et don # F k − 1 ( δ ) V k − 1 ρ k − 1 − ≤ H k − 1 ( ∂ δ ) . (69) On p eut alors tirer de ( 67 ) et (69 ) : # F k − 1 ( δ ) ≤ U k V k − 1  ρ + ρ −  k − 1 . (70) P ar onséquen t, on p eut don trouv er M > 0 ne dép endan t que de K tel que p our 0 ≤ k ≤ n − 1 et p our tout sous-omplexe S ′ ⊂ S # F k ( S ′ ) ≤ M # F n − 1 ( S ′ ) . (71) Puisqu'on a supp osé que G n'est pas réduit à un seul sommet alors A 6 = ∅ , on p eut don onsidérer { x, y } ∈ A et p oser u = min( f ( x, y ) , g ( x, y )) et v = max( f ( x, y ) , g ( x, y )) . (72) Fixons k ∈ { 0 , . . . , n − 1 } et onsidérons le sous-omplexe S k ( x, y ) des sous-faes de dimension k de S p our lesquelles il existe w ∈ ] u, v [ tel que l'h yp erplan ane H ( x, y , w ) in tersete leur in térieur sans les on tenir : S k ( x, y ) = { δ ∈ F k ( S ) : ∃ w ∈ ] u, v [ , ◦ δ ∩ H ( x, y , w ) 6 = ∅ et δ 6⊂ H ( x, y , w ) } . (73) P ar ailleurs en prenan t k = n − 1 on sait que U ( S n − 1 ( x, y )) ⊂ ∂ O ∩ [ u ≤ w ≤ v H ( x, y , w ) (74) sinon il y aurait des p oly èdres de S qui p ourraien t être déoup és plusieurs fois par les h yp erplans H ( x, y , w ) p our { x, y } ∈ A , e que les h yp othèses du lemme in terdisen t. On en déduit que les S n − 1 ( x, y ) (p our { x, y } ∈ A ) son t des sous- omplexes disjoin ts deux à deux de S qui v érien t U ( S n − 1 ( x, y )) ⊂ ( κ x ( f ) ∪ κ x ( g )) ∩ ∂ O (75) 24 et on en tire H n − 1 ( U ( S n − 1 ( x, y ))) ≤ H n − 1 (( κ x ( f ) ∪ κ x ( g )) ∩ ∂ O ) ≤ 2 γ n − 1 . (76) En outre, tous les p oly èdres de S n − 1 ( x, y ) on tiennen t une b oule n − 1 -dimen- sionnelle de ra y on au moins R ( S ) > ρ − don V n − 1 # S n − 1 ( x, y ) ρ n − 1 − ≤ H n − 1 ( U ( S n − 1 ( x, y ))) (77) d'où on tire # S n − 1 ( x, y ) ≤ 2 γ n − 1 ρ n − 1 − V n − 1 (78) et d'après ( 71 ) X k ρ − ). Notons enore : u ′ = inf { w ∈ [ u, v ] : H ( x, y , w ) ∩ ◦ δ 6 = ∅} δ + ( w ) = H + ( x, y , w ) ∩ δ (80) v ′ = sup { w ∈ [ u, v ] : H ( x, y , w ) ∩ ◦ δ 6 = ∅} δ − ( w ) = H − ( x, y , w ) ∩ δ (81) S ( δ, w ) = ( { δ + ( w ) , δ − ( w ) } si w ∈ ] u ′ , v ′ [ { δ } si w / ∈ ] u ′ , v ′ [ . (82) P ar onstrution H ( x, y , u ′ ) ∩ ◦ B = H ( x, y , v ′ ) ∩ ◦ B = ∅ (ar B ⊂ δ ), δ + ( w ) et δ − ( w ) son t deux p oly èdres k + 1 -dimensionnels p our u ′ < w < v ′ , S ( δ, w ) est un omplexe k -dimensionnel et il existe w 0 ∈ ] u ′ , v ′ [ tel que c ∈ H ( x, y , w 0 ) . Soien t x ′ ∈ δ ∩ H ( x, y , u ′ ) et y ′ ∈ δ ∩ H ( x, y , v ′ ) et p osons B ′ = S ( B , x ′ ) ∪ S ( B , y ′ ) . Déjà B ′ ⊂ δ par on v exité, en outre B ∩ H + ( x, y , w 0 ) et B ∩ H − ( x, y , w 0 ) on tiennen t  haun une b oule de ra y on R ( δ ) / 2 . En p osan t B + ( w ) = B ′ ∩ H + ( x, y , w ) et B − ( w ) = B ′ ∩ H − ( x, y , w ) (83) et en onsidéran t une homothétie de en tre x ′ il vien t ∀ w ∈ ] u ′ , w 0 ] : R ( B + ( w )) ≥ w − u ′ w 0 − u ′ · R ( δ ) 2 (84) et de manière symétrique ∀ w ∈ [ w 0 , v ′ [ : R ( B − ( w )) ≥ w − v ′ w 0 − v ′ · R ( δ ) 2 . (85) Réipro quemen t, ∀ w ∈ ] w 0 , v ′ [ : R ( B + ( w )) ≥ R ( δ ) 2 (86) et ∀ w ∈ ] u ′ , w 0 [ : R ( B − ( w )) ≥ R ( δ ) 2 . (87) 25 P ar ailleurs puisque par h yp othèse R ( δ ) ≥ ρ − et R ( δ ) ≤ ρ + , alors min( w 0 − u ′ , v ′ − w 0 ) ≥ ρ − 2 ρ + ( v ′ − u ′ ) (88) et en p osan t ψ δ ( w ) =        1 si w ≤ u ′ min( | w − u ′ | , | w − v ′ | ) v ′ − u ′ · ρ − 4 ρ + si u ′ < w < v ′ 1 si w ≥ u ′ (89) il vien t min α ∈ S ( δ,w ) R ( α ) ≥ R ( δ ) . (90) A v e nos notations, on p eut don érire R ( S ( x, y , w )) ≥ min 1 ≤ k ≤ n − 1 δ ∈ S k ( x,y ) ψ δ ( w ) R ( S ) (91) où S ( x, y , w ) désigne le omplexe obten u par déoupage des p oly èdres de S n − 1 ( x, y ) par l'h yp erplan H ( x, y , w ) . P our a ∈ R et b ∈ ]0 , + ∞ ] ériv ons enore φ a,b ( w ) =              1 si w ≤ a w − a b/ 2 si w ∈ ] a, a + b/ 2] a + b − w b/ 2 si w ∈ ] a + b/ 2 , a + b [ 1 si w ≥ a + b (92) et remarquons que p our δ ∈ S k ( x, y ) on a ψ δ ( w ) ≥ ρ − 4 ρ + φ u ′ ,v ′ − u ′ ( w ) (93) a v e v ′ − u ′ ≤ 2 ρ + . P ar ailleurs il est faile de onstater que ∀ ( a, b, σ ) ∈ R × ]0 , 2 ρ + ] × [0 , 1[ : H 1 ( { w ∈ R : φ a,b ( w ) ≤ σ } ) ≤ bσ ≤ 2 ρ + σ . (94) D'après (79 ) il vien t sup w ∈ [ u,v ] min 1 ≤ k ≤ n − 1 δ ∈ S k ( x,y ) ψ δ ( w ) R ( S ) ≥ ρ − 4 ρ + min ( a 1 ,...,a N ) ∈ R N ( b 1 ,...,b N ) ∈ ]0 , 2 ρ + ] N sup w ∈ [0 ,ǫ ] φ a,b ( w ) (95) et en utilisan t (94 ) ∀ σ ∈ [0 , 1 [ , ∀ ( a 1 , . . . , a N ) ∈ R N , ∀ ( b 1 , . . . , b N ) ∈ ]0 , 2 ρ + ] N : H 1 ( { w ∈ R : φ a,b ≤ σ } ) ≤ 2 N ρ + σ . (96) En prenan t σ = ǫ 4 N ρ + dans (96 ) et d'après (91 ) on p eut don trouv er w x,y ∈ [ u, v ] tel que R ( S ( x, y , w x,y )) ≥ ǫρ − 16 N ρ 2 + R ( S ) = A R ( S ) (97) 26 a v e là enore A > 0 qui ne dép end que de K . En p osan t h ( x, y ) = w x,y et en reommençan t a v e tous les ouples de v oisins du graphe, il est don p ossible de trouv er h ∈ F telle que : R ( S ( h )) ≥ A R ( S ) et R ( S ( h )) ≤ R ( S ) . (98) Il nous reste enore à établir des relations uniformes sur les régularités après susp ension. P our ela soit δ ∈ F ( S ′ ) une sous-fae de S ′ et rapp elons que omme vu dans la démonstration du lemme 1 , δ p eut être de quatre sortes :  si δ ∈ F ( S ( h )) alors par dénition R ( δ ) ≤ R ( S ( h )) et R ( δ ) ≥ R ( S ( h )); (99)  si δ = [ u, v ] où u et v son t deux sommets v oisins du graphe, alors R ( δ ) = R ( δ ) ∈ [ α − , α + ] ⊂  α − ρ + R ( S ) , α − ρ − R ( S )  ; (100)  si δ = S ( F, u ) où F ∈ F ( S ( h )) est une sous-fae de S ( h ) et u ∈ T un sommet du graphe, notons c un ortho en tre de F . On a d ( u, Affine( δ )) d ( u, c ) ∈  η β − β + , 1  et d ( u, c ) R ( F ) ∈  β − ρ + , β + ρ −  (101) don la propriété 2 nous donne des onstan tes a et b ne dép endan t que de K telles que R ( δ ) ≤ aR ( F ) ≤ a R ( S ( h )) et R ( δ ) ≥ bR ( F ) ≥ b R ( S ( h )); (102)  si δ = h F ∪ { u, v }i = S ( S ( F , u ) , v ) où F est une sous-fae de S ( h ) et { u, v } ∈ A deux sommets v oisins du graphe, notons F ′ = S ( F, u ) et c ′ un ortho en tre de F ′ . Déjà, omme vu p our le as prééden t on a R ( F ′ ) ≤ a R ( S ( h )) et R ( F ′ ) ≥ b R ( S ( h )) (103) d'où on tire d'après (98 ) R ( F ′ ) ≥ R ( F ′ ) ≥ b R ( S ( h )) ≥ bAρ − et R ( F ′ ) ≤ aρ + . (104) P ar dénition de la susp ension tubulaire F ⊂ H ( u, v , h ( u, v )) , F ′ ⊂ κ u , ◦ F ′ ∩ κ v = ∅ et dim Affine( F ) ≤ n − 2 , don ( d ( v , Affine( F ′ )) , d ( v , c ′ )) ∈ [ d ( v , F ′ ) , β + ] 2 . (105) P ar ailleurs d ( v , F ′ ) ∈  min( α − , β − ) 2 , max( α + , β + )  (106) et don d'après (104 ) d ( v , Affine( F ′ )) d ( v , c ′ ) ∈  min( α − , β − ) 2 max( α + , β + ) , 1  d ( v , c ′ ) R ( F ′ ) ∈  min( α − , β − ) 2 aρ + , max( α + , β + ) bAρ −  (107) d'où on tire de nouv eau d'après la propriété 2 et l'inégalité (103 ) R ( δ ) ≤ a ′ R ( F ′ ) ≤ aa ′ R ( S ( h )) et R ( δ ) ≥ b ′ R ( F ′ ) ≥ bb ′ R ( S ( h )) (108) a v e là enore a ′ et b ′ qui ne dép enden t que de K . 27 En om binan t l'inégalité (98 ) a v e elles obten ues p our  haun des quatre as ((99 ), (100 ), (102 ) et (108 )) on obtien t les onstan tes c 1 et c 2 désirées, e qui termine la démonstration du lemme. 3 Raordemen t de omplexes dy adiques On s'in téresse à présen t à des omplexes omp osés de ub es dy adiques de R n . Un ub e dy adique de pas r > 0 s'érit omme le pa v é [0 , r ] n dans une base orthonormale adaptée. Un famille de tels ub es disp osés sur un pa v age onstitue naturellemen t un omplexe. Dénition 11 (Complexes dy adiques) . On app el ler a  omplexe dyadique n - dimensionnel de p as r > 0 toute famil le S de ub es dyadiques qui p eut s'é rir e S = { r z + [0 , r ] n : z ∈ Z } (109) dans une b ase orthonormale adapté e. On dir a qu'un  omplexe T est dyadique en surfa e s'il existe un  omplexe dyadique S tel que F ∂ ( T ) = F ∂ ( S ) . (110) Comme préédemmen t on généralise la dénition à des omplexes dy adiques de dimension k ≤ n en se plaçan t dans un sous-espae ane. Lorsqu'un omplexe T est dy adique en surfae il est lair qu'il existe un seul omplexe dy adique S a v e les mêmes faes sur la fron tière. On généralise don naturellemen t à T les attributs de S propres aux omplexes dy adiques (par exemple les propriétés de group emen t de la dénition 12 ). Les prinipales dénitions a y an t été données, on p eut à présen t énoner le théorème prinipal. Théorème 1 (F usion) . Il existe tr ois  onstantes stritement p ositives ρ , c 1 et c 2 ne dép endant que de n tel les que p our tout  omp at K ⊂ R n , p our tout ouvert O ⊂ K et p our tous  omplexes n -dimensionnels S 1 et S 2 dyadiques unitair es en surfa e vériant U ( S 1 ) = K \ O U ( S 2 ) ⊂ O min ( x,y ) ∈U ( S 1 ) ×U ( S 2 ) k x − y k > ρ (111) on p eut  onstruir e S 3 tel que S ′ = S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 est un  omplexe n -dimensionnel vériant U ( S ′ ) = K R ( S ′ ) ≤ c 1 R ( S 1 ∪ S 2 ) R ( S ′ ) ≥ c 2 R ( S 1 ∪ S 2 ) . (112) Dans e qui suit on notera φ une isométrie ane qui fait passer d'une base de S 1 à une base de S 2 . La démonstration v a onsister à om bler l'espae ompris en tre S 1 et S 2 par des ou hes suessiv es de p oly èdres de façon à former un seul omplexe plus grand, en raisonnan t par réurrene sur la dimension n . Aupara v an t, on v a donner un lemme préliminaire. 3.1 Sub division Dénissons une propriété aratérisan t les omplexes dy adiques qui son t des sub divisions de omplexes dy adiques plus grands. 28 Dénition 12 (Group emen t) . Soit S un  omplexe dyadique de p as r et p un entier non nul. On dir a que S est p × p · · · × p | {z } k fois -gr oup é s'il existe un  omplexe dyadique T de p as pr tel que U ( S ) = U ( T ) . Dans  e  as on dir a que S est la p × p · · · × p -sub division de T , ou que T est le p × p · · · × p -gr oup ement de S . On se réserv e aussi le droit de parler de p 1 × p 2 . . . × p k -group emen ts par la suite (où les p i son t des en tiers non n uls pas forémen t tous égaux) lorsque le omplexe S s'y prête. P our simplier les notations, on remplaera aussi parfois p × p × . . . × p par p k . Étan t donnés un en tier m > 1 et un omplexe dy adique en surfae, le lemme suiv an t p ermet de onstruire une ou he de p oly èdres sur la fron tière de façon à le rendre m k -group é en surfae, tout en gardan t un on trle sur les onstan tes de forme obten ues. Lemme 4 (Sub division) . Pour tout entier p ≥ 1 il existe deux  onstantes c 1 et c 2 tel les que p our tout  omplexe n -dimensionnel S dyadique en surfa e de p as r il est p ossible de  onstruir e un  omplexe S ′ ⊃ S dyadique en surfa e de p as r/p , p n -gr oup é dans la même b ase et vériant max x ∈U ( S ′ ) d ( x, U ( S )) ≤ r √ n (113) R ( S ′ ) ≤ c 2 R ( S ) R ( S ′ ) ≥ c 1 R ( S ) . (114) Démonstr ation. Considérons la famille T des ub es dy adiques de pas r dans une base adaptée à S qui on t au moins un p oin t omm un a v e ∂ U ( S ) et qui son t d'in térieur disjoin t a v e tous les p oly èdres de S . Il est lair que S ∪ T est un omplexe dy adique en surfae de pas r qui v érie l'inégalité (113 ), a v e en outre ∂ U ( S ∪ T ) ∩ ∂ U ( S ) = ∅ . (115) Soit δ ∈ T et notons c δ son en tre. L'ensem ble F n − 1 ( δ ) ∩ F ∂ ( T ) on tien t des ub es dy adiques n − 1 -dimensionnels de pas r , qu'il est p ossible de sub diviser  haun naturellemen t en p n − 1 ub es de même dimension et de pas r/p . On notera E δ le omplexe obten u après sub division des ub es de F n − 1 ( δ ) ∩ F ∂ ( T ) , et F δ = F n − 1 ( δ ) \ F ∂ ( T ) . (116) P ar onstrution, E δ ∪ F δ est un omplexe n − 1 -dimensionnel v érian t ∂ δ = U ( E δ ∪ F δ ) (117) et en faisan t la susp ension des ub es de E δ ∪ F δ par rapp ort à c δ on se retrouv e dans le as partiulier d'une susp ension tubulaire par rapp ort à un graphe réduit à un seul sommet, a v e des onstan tes β − , β + , γ et η qui ne dép enden t que de p et n . Dès lors en p osan t S δ = {S ( α, c δ ) : α ∈ E δ ∪ F δ } (118) on sait d'après le lemme 3 que S δ est un omplexe n -dimensionnel v érian t U ( S δ ) = δ et R ( S δ ) ≤ c 1 R ( E δ ∪ F δ ) R ( S δ ) ≥ c 2 R ( E δ ∪ F δ ) (119) 29 a v e c 1 et c 2 qui dép enden t uniquemen t de n et p . P osons nalemen t S ′ = S ∪ [ δ ∈ T S δ . (120) P ar onstrution S ′ est un omplexe n -dimensionnel dy adique en surfae de pas r/p , p n -group é, qui v érie l'inégalité (113 ), ainsi que (114 ) d'après (119 ). Dans la démonstration du théorème qui v a suivre, p our p > 1 et ρ ′ > 0 donnés, en supp osan t que ρ > 3 √ n + ρ ′ et en appliquan t le lemme 4 à S 1 et S 2 (quitte à enlev er ensuite les ub es ra joutés à S 2 qui ne son t pas dans O ) on p eut aussi supp oser que tous deux son t p × p -group és (p our alléger les notations on supp osera qu'ils son t toujours unitaires, et on les notera enore S 1 et S 2 ) et les h yp othèses du théorème resteron t v ériées a v e ρ ′ . En partiulier si on prend p > 3 ρ ′ + 3 √ n , en notan t A = n x ∈ O : d ( x, U ( S 1 )) > p 3 o O ′ = O \ A (121) alors U ( S 1 ) ⊂ O ′ ⊂ O et toute omp osan te onnexe de O ′ on tien t une unique omp osan te onnexe de U ( S 1 ) . P ar ailleurs, en a joutan t à S 1 tous les ub es dy adiques unitaires p ossibles dans une même base situés à distane au moins ρ ′ de U ( S 2 ) et inlus dans O on a U ( S 1 ) ⊃ A (ar tout ub e dy adique unitaire qui in tersete ∂ A ∩ O est à distane au moins p/ 3 − √ n > ρ ′ de U ( S 1 ) ). P ar onséquen t, quitte à sub diviser préalablemen t S 1 et S 2 , à a jouter des ub es à S 1 et à tra v ailler séparémen t dans les omp osan tes onnexes de O ′ on v a supp oser en plus que U ( S 2 ) est onnexe, e qui implique en partiulier que ∂ U ( S 2 ) l'est. 3.2 F usion en dimension 2 T raitons d'ab ord le as de la fusion de deux omplexes dy adiques bidimen- sionnels. On v erra que la onstrution qu'on v a expliiter v a être enore réutili- sable dans la suite de la démonstration en dimension plus grande. Lemme 5. L e thé or ème 1 est vr ai lorsque n = 2 . Démonstr ation. Supp osons don que n = 2 , que les h yp othèses du théorème de fusion son t v ériées. Dans es onditions, les p ortions de S 1 et S 2 qui nous in téressen t son t deux graphes au sens de la dénition 6 , les arêtes étan t les faes (ou segmen ts) qui son t resp etiv emen t dans la fron tière de O et de U ( S 1 ) . On v a supp oser qu'on disp ose d'une distane ρ assez grande en tre les deux omplexes p our faire toutes les onstrutions don t on v a a v oir b esoin dans la démonstration qui suit, on v erra à la n que ρ p eut être b orné indép endammen t des omplexes onsidérés. Remarquons qu'une isométrie φ qui fait passer d'une base de S 1 à l'une de S 2 p eut être déomp osée en une rotation linéaire r θ d'angle θ suivie d'une translation τ : φ = τ ◦ r θ . (122) En faisan t év en tuellemen t une p erm utation et/ou des in v ersions des v eteurs de la base de l'un des omplexes, on p eut aussi supp oser que l'angle θ est ompris 30 en tre − π 2 et 0 mo dulo π 2 . P our tout en tier p > 0 , la rotation r θ p eut alors être déomp osée en p rotations d'angle θ ′ = θ p ∈ h − π 2 p , 0 i : r θ =  r θ /p  p = ( r θ ′ ) p . (123) Enn en p osan t θ ′′ = π 4 + θ ′ 2 on onstate que θ ′ = 2 θ ′′ mo dulo π 2 et là enore à des p erm utations/in v ersions près des v eteurs des bases onsidérées, r θ p eut s'érire omme le pro duit de 2 p rotations d'angle θ ′′ ∈ h π 4 − π 4 p , π 4 i . Si l'on onstruit suessiv emen t 2 p − 1 omplexes dy adiques en ouronne autour de S 2 (en supp osan t ρ assez grand) don t une base est l'image de elle du omplexe préédan t par une rotation d'angle θ ′′ , le problème de fusionner S 1 a v e S 2 se ramène à faire fusionner suessiv emen t deux à deux es omplexes. De la même façon en p osan t θ ′′′ = θ ′′ − π 4 p , la omp osée de 2 p rotations d'angle θ ′′′ est une rotation d'angle égal à θ mo dulo π 2 , a v e θ ′′′ ∈  π 4 − π 2 p , π 4 − π 4 p  . (124) On supp osera don à partir de main tenan t p our simplier la démonstration que θ ∈ [ θ min , θ max ] ⊂ i 0 , π 4 h (125) où θ min p eut être  hoisi arbitrairemen t pro  he de π 4 , au prix d'un nom bre de transitions p assez grand qui ne dép end pas des omplexes à faire fusionner. À présen t onsidérons la sub division 4 × 4 -group ée du omplexe S 2 obten ue en utilisan t le lemme 4 a v e p = 4 (on app ellera aussi S 2 le omplexe obten u, et on supp osera enore qu'il est unitaire p our ne pas sur harger les notations). Chaque ouple de faes distintes de F ∂ ( S 2 ) a y an t un p oin t en omm un p euv en t former un angle plat, aigu ou obtus. Dans e qui suit, p our deux p oin ts a = ( a 1 , a 2 ) et b = ( b 1 , b 2 ) de R 2 on notera d max ( a, b ) la distane dite habituellemen t  du maxim um  qui les sépare, dénie par d max ( a, b ) = max ( | a 1 − b 1 | , | a 2 − b 2 | ) . (126) Considérons l'ensem ble des p oin ts de o ordonnées Z 2 +  1 2 , 1 2  dans une base de S 2 (les en tres des ub es de S 2 en fon t par exemple partie), et notons T le sous-ensem ble de es p oin ts qui son t à l'extérieur de U ( S 2 ) et à distane 1 2 p our la distane d max : T =  z ∈ Z 2 +  1 2 , 1 2  : d max ( z , U ( S 2 )) = 1 2  . (127) Cet ensem ble de sommets p eut être m uni naturellemen t d'une struture de graphe, en p osan t que les v oisins d'un p oin t de T son t les p oin ts de T à distane minimale : A = {{ x, y } ⊂ T : x ∈ T , y ∈ T \ { x } et ∀ z ∈ T \ { x } , k z − x k ≥ k y − x k} (128) Notons G le graphe formé du ouple ( T , A ) et v érions rapidemen t que G est linéaire ylique. D'ab ord tout p oin t de T a au moins deux v oisins ar si x ∈ T 31 alors il existe x ′ ∈ F 0 ( S 2 ) tel que x ′ ∈ U ( S 2 ) et d max ( x ′ , x ) = 1 2 . On a vu que x ′ était le sommet d'un angle plat, aigu ou obtus, et on p eut trouv er y ′ et z ′ distints dans F 0 ( S 2 ) ∩ ∂ U ( S 2 ) tels que d ( x ′ , y ′ ) = d ( x ′ , z ′ ) = 1 . puisque l'on a sub divisé quatre fois alors néessairemen t seul l'un des trois sommets ( x ′ , y ′ , z ′ ) de la fron tière du omplexe p eut être le sommet d'un angle non plat. P ar onséquen t on p eut alors trouv er y et z distints et distints de x dans Z 2 +  1 2 , 1 2  tels que d max ( y ′ , y ) = 1 2 , d max ( z ′ , z ) = 1 2 et d ( x, y ) = d ( x, z ) = 1 . P ar onséquen t x a au moins deux v oisins : y et z . Raisonnons à présen t par l'absurde et supp osons que x a au moins trois v oisins distints a , b et c . P ar onstrution a , b et c son t à distane 1 de x don formen t les sommets d'un triangle retangle iso èle don t x est le milieu de l'h yp otén use et par exemple a est l'angle droit. Considérons alors l'union U des b oules fermées de en tres x , a , b et c et de ra y on 1 2 p our la distane d max (il s'agit en fait de quatre ub es dy adiques dans une base de S 2 ). Puisque l'on a sub divisé S 2 quatre fois alors U ( S 2 ) ∩ U est forémen t ompris d'un seul té de la droite ( b, c ) , e qui implique soit que d max ( a, U ( S 2 )) = 3 2 , soit que d max ( a, U ( S 2 )) = 0 . Dans tous les as, on a une on tradition a v e la dénition des p oin ts de T . On vien t don de mon trer que tout sommet du graphe G a exatemen t deux v oisins. On a en outre supp osé que ∂ U ( S 2 ) est onnexe, par onséquen t G est ylique. Et puisque G a au minim um h uit sommets (e serait le as si S 2 n'était omp osé que d'un seul ub e) alors il ne on tien t auun 3 -yle. P ar onséquen t G est bien linéaire ylique. Soien t u et v deux réels tels que 1 < u < v < 3 2 . On dénit une bande en forme de ouronne autour de S 2 à distane omprise en tre u et v : K u,v = { x ∈ R n : u < d ( x, U ( S 2 )) < v } . (129) La fron tière de ette bande a une omp osan te onnexe  extérieure  située à distane v de U ( S 2 ) : K v = { x ∈ R n : d ( x, U ( S 2 )) = v } . (130) Lorsque v est xé, ∀ u < v on p eut trouv er un en tier p tel que √ 2 p < v − u , don en sub divisan t p fois S 1 , si δ ∈ S 1 et δ ∩ K v 6 = ∅ alors d ( δ, U ( S 2 )) > u . On v a alors ompléter S 1 en lui ra joutan t tous les ub es inlus dans O , de pas 1 p dans la même base et qui on tiennen t un p oin t à distane au moins v de U ( S 2 ) : S ′ 1 = S 1 ∪  δ : δ ⊂ O et sup x ∈ δ d ( x, U ( S 2 )) ≥ v  . (131) On remarquera que par onstrution, tous les p oly èdres de S ′ 1 son t à distane au moins u de U ( S 2 ) , don que ∂ U ( S ′ 1 ) a une omp osan te onnexe inluse dans K u,v . Là enore, p our simplier les notations on notera enore S 1 à la plae de S ′ 1 , puisque S 1 v érie aussi les h yp othèses du théorème a v e une autre onstan te ρ . Notons T ′ l'ensem ble des sommets du graphe G qui son t alignés a v e leurs deux v oisins. Remarquons que p our toute arête { x, y } ∈ A du graphe G , x ∈ T ′ ou y ∈ T ′ ar on a v ait sub divisé S 2 quatre fois. P our tout sommet x ∈ T ′ soit ( d ) la droite p erp endiulaire à elle qu'il forme a v e ses deux v oisins, on notera C x 32 le ne de sommet x et don t les p oin ts formen t un angle (non orien té) ompris en tre 0 et θ min a v e la droite ( d ) : C x = n z ∈ R n : \ ( x, y ) , ( d ) ∈ [0 , θ min ] o . (132) Nous allons à présen t disuter des diéren tes ongurations p ossibles des som- mets du graphe. Cas d'un angle plat Soien t x et y deux sommets v oisins du graphe tous deux alignés a v e leurs v oisins ( x, y ∈ T ′ ). Remarquons d'ab ord que puisque l'on a supp osé que θ ∈ [ θ min , θ max ] alors ∂ S 1 ∩ K u,v ∩ C x est en o lusion simple par rapp ort à x (res- p etiv emen t ∂ S 1 ∩ K u,v ∩ C y par rapp ort à y ). En outre, ∂ S 1 ∩ K u,v ∩ C x ∩ C y est en o lusion simple par rapp ort au segmen t [ x, y ] : en eet, remarquons que les faes de S 1 qui son t dans et ensem ble formen t un angle ompris en tre θ min et π 4 a v e la normale à la droite ( x, y ) , don oup en t la droite ( x, y ) en un p oin t extérieur au segmen t [ x, y ] ar u > 1 . En  hoisissan t θ min assez pro  he de π 4 il est p ossible d'obtenir que tan θ min > 1 2 , et en prenan t v > 1 2 + 1 2 tan θ min (133) on obtien t que K v ∩ C x ∩ C y est un segmen t non vide parallèle à [ x, y ] , de longueur ν > 0 qui ne dép end que de v et θ min . On notera H λ une droite p erp endiulaire à e segmen t, à distane λ de l'une de ses extrémité (p our λ ∈ [0 , ν ]) . 33 Cas d'un angle aigu T raitons à présen t le as des angles aigus : soit x le sommet de l'angle, et y et z ses deux v oisins. Si θ min est susammen t pro  he de π 4 , il est p ossible de trouv er une droite ∆ parallèle à l'un des v eteurs de la base anonique de S 1 et telle qu'elle passe par des sommets de la fron tière de S 1 , situés resp etiv emen t dans K u,v ∩ C y et K u,v ∩ C z . Si on supp ose qu'on a assez sub divisé S 1 (il sut que son pas soit inférieur à 1 100 par exemple) on p eut aussi imp oser que la droite ∆ ne oup e pas les segmen ts [ x, y ] et [ x, z ] et même, on p eut trouv er une onstan te C > 0 ne dép endan t que du pas de sub division et de θ min telle qu'on puisse imp oser d ( x, ∆) > C . Notons ∆ + le demi-plan délimité par ∆ qui on tien t x , ∆ − l'autre demi-plan. On ra joute alors à S 1 tous les ub es qui son t dans ∆ − ∩ { t ∈ R n : d ( t, U ( S 2 )) ≤ v } . On prend ette fois-i des droites H λ et H ′ µ qui son t p erp endiulaires à ∆ et à distane resp etiv e λ et µ de x , du té resp etiv emen t de y et de z , a v e par exemple λ, µ ∈ [ 1 3 , 2 3 ] . 34 Cas d'un angle obtus T raitons à présen t le as des angles obtus : soit x le sommet de l'angle, et y et z ses deux v oisins. On v a pro éder quasimen t de la même façon que p our les angles aigus. Notons y ′ le v oisin de y qui n'est pas x , z ′ elui de z qui n'est pas x . Si θ min est susammen t pro  he de π 4 , il est p ossible de trouv er une droite ∆ parallèle à l'un des v eteurs de la base anonique de S 1 et telle qu'elle passe par des sommets de la fron tière de S 1 , situés resp etiv emen t dans K u,v ∩ C y ∩ C y ′ et K u,v ∩ C z ∩ C z ′ . Si on supp ose qu'on a assez sub divisé S 1 (il sut que son pas soit inférieur à 1 100 par exemple) on p eut aussi imp oser que la droite ∆ ne oup e pas les segmen ts [ x, y ] et [ x, z ] et même, on p eut trouv er une onstan te C > 0 ne dép endan t que du pas de sub division et de θ min telle qu'on puisse imp oser d ( x, ∆) > C . Notons ∆ + le demi-plan délimité par ∆ qui on tien t x , ∆ − l'autre demi-plan. On retire alors à S 1 tous les ub es qui son t dans ∆ − ∩ { t ∈ R n : d ( t, U ( S 2 )) ≥ u } (ette op ération est p ossible sans mo diation des omplexes initiaux si on a v ait supp osé ρ > 2 par exemple, puisque dans e as on ne retire que e qu'on a v ait sura jouté). On prend des droites H λ et H ′ µ qui son t p erp endiulaires à ∆ et à distane resp etiv e λ et µ de x , du té resp etiv emen t de y et de z , p our λ, µ ∈ [ 1 3 , 2 3 ] par exemple. 35 Conlusion Notons ǫ = min  ν, 1 3  et Σ le omplexe omp osé des faes de S 1 et S 2 inluses dans leurs fron tières en  vis-à-vis  : Σ =  F ∈ F 1 ( S 1 ∪ S 2 ) : F ⊂ ∂ U ( S 1 ) ou F ⊂ ∂ U ( S 2 ) ∩ O  . (134) Il est lair que Σ est ǫ -tubulaire par rapp ort à G et O en utilisan t les droites H λ et H µ qu'on a onstruites p our le déoupage. Considérons les h yp othèses du lemme 3 , par onstrution on obtien t failemen t les b ornes suiv an tes : α + = α − = 1 β − > u 2 β + < 2 v γ < 1 0 0 η ∈ [cos θ max , cos θ min ] . (135) Puisque omme on l'a vu, θ min , θ max , u et v p euv en t être  hoisis indép endam- men t des omplexes à fusionner il est lair qu'on p eut trouv er des onstan tes ρ + , ρ − et un ompat K qui ne dép enden t pas de S 1 et S 2 tels que (61 ) et (62 ) soien t v ériées, e qui nous donne les onstan tes c 1 et c 2 re her hées. Cette démonstration v a aussi nous servir à prouv er le lemme 7 , utile dans la suite de la démonstration du théorème de fusion en dimension plus grande. Aupara v an t donnons quelques dénitions. Dénition 13 (Graphe anonique) . Soit S un  omplexe dyadique de p as r , p our tout ub e δ ∈ S notons c δ son  entr e. L e gr aphe  anonique G = ( T , A ) asso ié à S est déni natur el lement p ar T = { c δ : δ ∈ S } A = {{ x, y } ⊂ T : k x − y k = r } (136) et on dir a qu'un  omplexe dyadique est  onnexe, ylique ou liné air e si son gr aphe  anonique l'est. Plaçons-nous temp orairemen t dans R 2 , p our ( x, y ) ∈ R 2 et r > 0 on notera ∆( x, y , r ) = [ x, x + r ] × [ y , y + r ] V (∆( x, y , r )) = { ∆( x + u, y + v , r ) : ( u, v ) ∈ {− r, 0 , r } 2 } V ∗ (∆( x, y , r )) = { ∆( x + u, y + v , r ) : ( u, v ) ∈ {− r, 0 , r } 2 et | u + v | = r } . (137) En remarquan t que es dénitions ne dép enden t pas du  hoix de la base de ub e dy adique onsidérée, on les généralise à des omplexes dy adiques bidimension- nels dans R n ( n ≥ 2 ) en se plaçan t dans le 2 -plan ane orresp ondan t. On dira que V ( δ ) est l'ensem ble des ub es v oisins de δ , V ∗ ( δ ) elui des ub es tangen ts à δ . On notera aussi Extrem( S ) = { δ ∈ S : #( V ∗ ( δ ) ∩ S ) = 1 } . (138) Si on onsidère un omplexe bidimensionnel S et son graphe anonique as- so ié G = ( T , A ) on a par dénition les équiv alenes ∀ ( α, β ) ∈ S 2 : { c α , c β } ∈ A ⇔ α ∈ V ∗ ( β ) ⇔ β ∈ V ∗ ( α ) (139) 36 où c α et c β désignen t les en tres de α et β . En remarquan t que le graphe ano- nique d'un omplexe dy adique n'a jamais de 3 -yles on p eut enore érire : S linéaire ⇔ S onnexe et ∀ δ ∈ S : #( V ∗ ( δ ) ∩ S ) ≤ 2 (140) S linéaire ylique ⇔ S onnexe et ∀ δ ∈ S : #( V ∗ ( δ ) ∩ S ) = 2 (141) S linéaire non ylique ⇒ # Extrem( S ) = 2 (142) S linéaire ylique ⇒ Extrem( S ) = ∅ . (143) De façon à simplier les énonés par la suite, in tro duisons une notion p our désigner des omplexes dy adiques bidimensionnels omp osés de sous-omplexes linéaires en forme de sillons qui ne p euv en t se renon trer qu'en leurs extrémités. Dénition 14 (Complexes suliformes) . Soit S un  omplexe dyadique bidimen- sionnel. On dir a que S est un  omplexe quasi-suliforme s'il existe une p artition ( S i ) i ∈ I de S en sous- omplexes liné air es n 'ayant p as de fa es  ommunes sur leur fr ontièr e hors de leurs extr émités : ∀ ( i, j ) ∈ I 2 : i 6 = j ⇒ F ∂ ( S i \ Extrem( S i )) ∩ F ∂ ( S j \ Extrem( S j )) = ∅ (144) et dans  e  as on dir a que les S i sont des sil lons de S . Si de plus les S i n 'ont auune fa e  ommune (extr émités  omprises), autr e- ment dit si ∀ ( i, j ) ∈ I 2 : i 6 = j ⇒ F ∂ ( S i ) ∩ F ∂ ( S j ) = ∅ (145) alors on dir a que S est suliforme. Si en outr e tous les sil lons de S sont yliques, on dir a que S est suliforme en yles. On p ourra remarquer que dans le as d'un omplexe suliforme, les sillons son t dénis de manière unique. Dans le as d'un omplexe 4 × 4 -group é, le lemme suiv an t indique la p ossibilité d'y reuser des sillons (le omplexe app elé T ), de sorte que les ub es qui resten t dans le omplémen taire et formen t leur  talus  (les omplexes app elés U 1 et U 2 ) omp osen t eux aussi des sillons, év en tuellemen t deux fois plus larges, mais qui ne p euv en t se renon trer qu'au niv eau de l'une de leurs extrémités. Lemme 6 (Lab oureur) . Soit S un  omplexe dyadique bidimensionnel 4 × 4 - gr oup é. On p eut  onstruir e une p artition de S p ar tr ois sous- omplexes disjoints T , U 1 et U 2 tels que : 1. S = T ⊔ U 1 ⊔ U 2 ; 2. T est suliforme en yles et F ∂ ( S ) ⊂ F ∂ ( T ) , 'est à dir e que les fa es de la fr ontièr e de S sont des fa es de la fr ontièr e de T ; 3. U 1 est suliforme ; 4. U 2 est la 2 × 2 -sub division d'un  omplexe quasi-suliforme U ′ 2 ; 5. ∀ δ ∈ U ′ 2 \ E x trem ( U ′ 2 ) : U ( U 1 ) ∩ δ = ∅ , 'est à dir e que seules les extr émités des sil lons de U ′ 2 p euvent touher les ub es de U 1 . Démonstr ation. On se plae dans R 2 et on supp ose que l'on disp ose d'un om- plexe dy adique unitaire S 4 × 4 -group é dans la base anonique de R 2 . Notons D 2 l'ensem ble des ub es dy adiques bidimensionnels unitaires dans la même base, les sous-ensem bles nis de D 2 formen t l'ensem ble des omplexes 37 Fig. 6  Lemme 6 du lab oureur appliqué à un omplexe 4 × 4 -group é dy adiques unitaires par rapp ort à ette base. On notera D l'appliation qui enlèv e à un omplexe dy adique les ub es situés sur sa fron tière : D : ( P ( D 2 ) → P ( D 2 ) T 7→ D ( T ) = T \ { δ ∈ T : #( V ( δ ) ∩ T ) < 9 } . (146) On dénit alors la suite ( S n ) n ∈ N de omplexes : ( S 0 = S S n +1 = D ( S n ) (147) P our tout omplexe T , # D ( T ) < # T don il existe un en tier N tel que ∀ n ≥ N : S n = ∅ . On v a  her her dans un premier temps à mon trer que ∀ T ∈ P ( D 2 ) : T est un omplexe 4 × 4 -group é ⇒ D 2 ( T ) est 4 × 4 -group é. (148) Remarquons d'ab ord que puisque D ( T ) est déni à partir du 1 -v oisinage de  haun des ub es de T , si T ∈ P ( D 2 ) , alors p our tous p, q ∈ N , la restrition de D ( T ) au arré [ p, q ] 2 ('est à dire le sous-omplexe D ( T ) | [ p,q ] 2 =  δ ∈ D ( T ) : ◦ δ ∩ [ p , q ] 2 6 = ∅  (149) v oir la dénition 16 ) est onn ue à partir de la restrition de T à [ p − 1 , q + 1 ] 2 : D ( T ) | [ p,q ] 2 = D  T | [ p − 1 ,q + 1] 2  . (150) 38 P ar onséquen t si l'on onnaît T | [0 , 12] 2 alors on p eut aluler D 2 ( T ) | [2 , 10] 2 . Dès lors, si l'on disp ose d'une métho de p our én umérer tous les D 2 ( T | [0 , 12] 2 ) p our tous les omplexes T unitaires 4 × 4 -group és p ossibles (par rapp ort à l'origine (0 , 0) ) tels que U ( T ) ⊂ [0 , 12] 2 , et v érier que les sous-omplexes obten us restrein ts à [2 , 10 ] 2 son t tous eux-mêmes 4 × 4 -group és (par rapp ort à l'origine (2 , 2) ), ei sura à prouv er que D 2 onserv e la propriété de 4 × 4 -group emen t. Dans un seond temps, dénissons p our n ≥ 0 : T n = S n \ S n +1 T = [ n ∈ N T 2 n U = [ n ∈ N T 2 n +1 . (151) Si l'on prouv e que p our tout omplexe S 4 × 4 -group é par rapp ort à l'origine (0 , 0) , les ub es de la diérene ensem bliste S \ D ( S ) on t  haun deux v oisins tangen ts  ei p eut se faire autour du arré en tral [4 , 8] 2 , puisque S est 4 × 4 - group é  autremen t dit si ∀ δ ∈ ( S \ D ( S )) | [4 , 8] 2 : #  V ∗ ( δ ∩ ( S \ D ( S )) | [3 , 9] 2  = 2 (152) alors on aura aussi démon tré que T est suliforme en yles. Il sura p our onlure d'extraire de U deux sous-omplexes U 1 et U 2 qui justien t le lemme. P our ela, on donnera aussi un algorithme qui p ermet de dresser la liste de toutes les ongurations p ossibles de ( D ( S ) \ D 2 ( S )) | [3 , 9] 2 à une isométrie laissan t le arré [3 , 9] 2 in v arian t. On disutera ensuite des diéren ts as trouv és, et de la façon d'extraire des sous-omplexes U 1 et U 2 v érian t les propriétés annonées, e déoupage p ouv an t être déterminé lo alemen t par pa v age. Les algorithmes et le programme en C, ainsi que la n de la preuv e son t donnés en annexe. P our alléger les énonés à v enir, on v a généraliser la notion de sillons à des omplexes non dy adiques en dénissan t la notion de analisation. Dénition 15 (Canalisations) . Soient O un ouvert b orné de R n , S un  omplexe n − 1 -dimensionnel, G une famil le de gr aphes liné air es et ǫ > 0 . On dir a que le  ouple ( S, G ) est une ǫ - analisation de O si ∂ O = U ( S ) et si p our toute  omp osante  onnexe Ω de O on p eut tr ouver un sous- omplexe Σ de S et un gr aphe G = ( T , A ) de G vériant : T ⊂ Ω ∂ Ω = U (Σ) Σ est ǫ -tubulair e p ar r app ort à Ω et G. (153) On p eut par exemple v érier sans problème que les faes de la fron tière d'un omplexe suliforme et les graphes anoniques de ses sillons formen t une analisation. Il nous reste enore à établir un dernier lemme qui v a lore notre étude des omplexes dy adiques bidimensionnels. Il sera utilisé dans le adre de la démonstration du théorème de fusion en dimension n > 2 . P our deux omplexes bidimensionnels dy adiques unitaires S 1 et S 2 de R 2 , on notera θ un angle de rotation pris mo dulo π / 4 qui fait passer d'une base de S 1 à une base de S 2 . Lemme 7 (Canalisations omplémen taires en dimension 2 ) . Il existe quatr e  onstantes θ min , θ max , p , ǫ et un  omp at K ⊂ ]0 , + ∞ [ tels que 0 < θ min < θ max < π 4 p ∈ N \ { 0 } ǫ > 0 (154) 39 et p our tous  omplexes bidimensionnels dyadiques unitair es de R 2 tels que S 2 est 28 × 28 -gr oup é, θ ∈ [ θ min , θ max ] et min ( x,y ) ∈U ( S 1 ) ×U ( S 2 ) k x − y k > 8 (155) alors il est p ossible de  onstruir e  un ouvert O tel que U ( S 2 ) ⊂ O et inf ( x,y ) ∈U ( S 1 ) × O k x − y k > √ 2 , (156)  un  omplexe T 1 dyadique de p as 1 p dans la même b ase que S 1 (on noter a O 1 = ◦ U ( T 1 ) ),  un sous- omplexe T 2 7 × 7 -gr oup é de S 2 (on noter a O 2 = ◦ U ( T 2 ) ) tel que F ∂ ( S 2 ) ⊂ F ∂ ( T 2 ) , (157)  un  omplexe unidimensionnel Σ  pla é à ǫ -pr ès  (voir plus b as),  tr ois famil les G 1 , G 2 et G 3 de gr aphes liné air es vériant les pr opriétés suivantes : 1. O 1 ∩ O 2 = ∅ et O 1 ∪ O 2 ⊂ O ; 2. G 1 et un sous- omplexe de F ∂ ( T 1 ) forment une  analisation de O \ O 1 ; 3. G 2 et un sous- omplexe de Σ ∪ F ∂ ( T 2 ) forment une  analisation de ◦ U ( S 2 ) \ ( O 2 ∪ U (Σ)) ; 4. G 3 et un sous- omplexe de F ∂ ( T 1 ∪ T 2 ) forment une  analisation de O \ ( O 1 ∪ O 2 ) ; 5. on p eut tr ouver des  onstantes ρ + et ρ − tel les que p our toutes les susp en- sions tubulair es des  analisations mentionné es i-dessus, les r elations (61 ) et (62 ) du lemme 3 sont vérié es. P ar  plaé à ǫ près  on en tend que p our tout segmen t [ x, y ] ∈ Σ , l'une de ses extrémités p eut être déplaée à l'in térieur d'une b oule de ra y on ǫ sans que ela  hange quoi que e soit aux inq p oin ts exprimés plus haut. Démonstr ation. Appliquons d'ab ord le lemme 6 au 7 × 7 -group emen t de S 2 (qui est lui-même 4 × 4 -group é ar S 2 est 28 × 28 -group é par h yp othèse) : on obtien t les trois sous-omplexes T , U 1 et U 2 annonés dans e lemme. On notera G la famille des graphes anoniques asso iés aux sillons de T (e son t des graphes linéaires yliques, ar T est suliforme en yles), et on dénit T 2 omme la 7 × 7 -sub division de T ( T 2 est bien un sous-omplexe de S 2 ar T est un sous- omplexe du 7 × 7 -group emen t de S 2 ), et l'ouv ert O 2 par O 2 = U ( T 2 ) . Considérons, p our r ∈ ]0 , 7 / 3[ et p ∈ N \ { 0 } tel que 7 p < 7 6 √ 2 le omplexe T 1 ( r , p ) de ub es dy adiques de pas 7 p dans la même base que S 1 et les ouv erts O et O 1 dénis par : T 1 ( r , p ) = { δ : ∀ x ∈ δ, r < d ( x, U ( T 2 )) < 6 } O = U ( { δ : ∀ x ∈ δ, d ( x, U ( S 2 )) < 6 } ) O 1 = U ( T 1 ( r , p )) . (158) 40 Fig. 7  Canalisations omplémen taires en dimension 2 Soit Ω une omp osan te onnexe de O \ ( O 1 ∪ O 2 ) : d'après les onditions sur r et p , sa fron tière a exatemen t deux omp osan tes onnexes, l'une p ortée par des faes de la fron tière de T 1 ( r , p ) , l'autre par des faes de la fron tière de T (on rapp elle que T est le 7 × 7 -group emen t de T 2 ). Notons resp etiv emen t t 1 et t 2 les omplexes omp osés de es faes : t 1 ⊂ F ∂ ( T 1 ( r , p )) et t 2 ⊂ F ∂ ( T ) . Utilisons à présen t e qu'on a vu dans la démonstration du lemme 5 en dimension 2 : il est p ossible de  hoisir θ min , θ max et v ∈ ]1 , 2[ qui v érien t (133 ) de façon à e que tout omplexe dy adique unitaire situé à distane au moins v de U ( S 2 ) et de même base que S 1 , susammen t sub divisé, puisse être omplété p our former a v e t 2 et les ub es de t 1 en  vis-à-vis  une susp ension tubulaire par rapp ort au graphe utilisé dans la démonstration. On p eut prendre r = 13 6 , e qui nous assure : r > 2 > v r < 7 3 . (159) On  hoisira p susammen t grand (à la fois p our que 7 p < 7 6 √ 2 , et p our p ou- v oir faire la même onstrution que dans la démonstration du lemme 5), et on notera T 1 le omplexe obten u à partir de T 1 ( r , p ) p our les v aleurs orresp on- dan tes, auquel on a év en tuellemen t a jouté les ub es supplémen taires néessaires à la onstrution du tub e. Cei termine don la démonstration du quatrième p oin t, en notan t G 3 la famille des graphes utilisés p our les diéren tes omp o- san tes onnexes Ω p ossibles. Considérons main tenan t les graphes de G et sub divisons-les naturellemen t sept fois (en ra joutan t inq sommets uniformémen t répartis sur  haque arête). Les graphes obten us son t toujours linéaires yliques, notons G 2 la famille qu'ils 41 omp osen t. Soit Ω une omp osan te onnexe de O \ O 1 : par onstrution sa fron tière est p ortée par un sous-omplexe s de F ∂ ( T 1 ) , et il existe un graphe g ∈ G 1 don t les sommets son t dans Ω . En fait, e sous-omplexe est formé par l'union des sous-omplexes qui in terviennen t dans les susp ensions tubulaires des omp osan tes onnexes de O \ ( O 2 ∪ O 1 ( r , p )) (eux qu'on a app elés t 1 dans le as préédan t), et les arêtes du graphe g son t situés à distane 7 d'une arête parallèle des graphes du as préédan t, à l'in térieur de U ( S 1 ) . Il est alors faile de onstater que puisque l'on a pu réaliser une susp ension tubulaire a v e t 1 dans le as préédan t, on p eut enore le faire a v e s . Cei termine alors la démonstration du deuxième p oin t. En outre, par onstrution d'après (155 ) et (158 ) on a min x ∈U ( T 1 ) y ∈U ( S 1 ) k x − y k > min x ∈U ( S 1 ) y ∈U ( S 2 ) k x − y k − min x ∈U ( T 1 ) y ∈U ( S 2 ) k x − y k > 8 − 6 = 2 > √ 2 (160) don (156 ) est v ériée. Rev enons à présen t à la onstrution qui in tervien t dans la démonstration du lemme 6 (qui gure en annexe) : on a déoup é le omplexe T \ S t ∈T 1 t a v e des segmen ts de longueur 2 longean t un 2 × 2 ub e δ de U ′ 2 , extrémal ou isolé ( # V ∗ ( δ ) ≤ 1 ) p our séparer les sillons de U 1 et U 2 . On notera Σ le omplexe de dimension 1 qui on tien t tous es segmen ts : puisque de façon éviden te, le omplexe formé des faes de la fron tière d'un omplexe dy adique linéaire est en situation de susp ension tubulaire par rapp ort à son graphe anonique, le troi- sième p oin t est démon tré en prenan t p our G 2 la famille des graphes anoniques de U 1 et U ′ 2 . Il est de plus tout à fait p ossible de déoup er les segmen ts forman t Σ (par exemple en leur milieu), et il est lair qu'on p eut donner ǫ > 0 ne dép en- dan t pas de S 1 et S 2 tel qu'on puisse déplaer es p oin ts à l'in térieur de b oules de ra y on ǫ sans que ela ne  hange l'existene de es susp ensions tubulaires. T ous les autres p oin ts du lemmes son t v ériés par onstrution (l'existene de ρ − , ρ + et d'un ompat K v érian t (71) et (79) qui ne dép enden t pas de S 1 et S 2 a y an t été démon trée a v e le théorème de fusion en dimension 2 p our Σ xé). De plus, en prenan t ǫ assez p etit, on p eut trouv er K susammen t grand qui ne dép end pas du  hoix de Σ à ǫ près. 3.3 F usion en dimension quelonque Notre ob jetif est de démon trer le théorème de fusion de omplexes dy a- diques par réurrene sur la dimension n dans le as d'une rotation planaire : en déoupan t les deux omplexes à faire fusionner en  tran hes  d'épaisseur 1 et parallèles au plan de la rotation, on fera la fusion sur les p ortions planaires des fron tières de la tran he en utilisan t l'h yp othèse de réurrene p our onstruire des  ouv erles  , puis on v a exhib er des graphes linéaires (en dimension 2 ) à l'in térieur des tran hes p our faire une susp ension tubulaire remplissan t les  b oîtes  ainsi formée, et ainsi remplir tout l'espae en tre les deux omplexes. Le problème est qu'en dimension n > 2 , on trairemen t au as prééden t en dimension 2 , les faes de la fron tière des deux omplexes en vis-à-vis p euv en t être très éloignées les unes des autres (en partiulier si le omplexe en tral a de larges moreaux de fron tière formés de ub es alignés parallèlemen t au plan de la rotation). On n'a alors plus de b orne sur les régularités des susp ensions tubulaires, ar la distane des p oin ts et des arêtes du graphe au tub e n'est plus ma jorée indép endammen t des omplexes à faire fusionner. 42 P our on tourner le problème on se prop ose de généraliser le lemme 7 p our mon trer qu'il est p ossible de reuser des analisations omplémen taires dans les deux omplexes, de façon à e qu'en les  enastran t  l'un dans l'autre, on disp ose d'une b orne sup érieure à la distane séparan t les faes en vis-à-vis et p erp endiulaires au plan de rotation. A v an t de ommener dénissons la notion de restrition d'un omplexe à un sous-ensem ble, qui v a nous être ommo de p our énoner le lemme à v enir. Dénition 16 (Restrition d'un omplexe) . Soient S un  omplexe n -dimen- sionnel et A une sous-p artie de R n , on dénit la r estrition de S à A  omme l'ensemble des interse tions ave  A des p olyè dr es de S dont l'intérieur est non disjoint de A : S | A =  δ ∩ A : δ ∈ S et ◦ δ ∩ A 6 = ∅  . (161) Il est faile de v érier que lorsque A est une in tersetion nie de demi-espaes anes (par exemple si A est un sous-espae ane, omme dans e qui v a suivre) alors S | A est enore un omplexe lorsqu'elle est non vide. Réipro quemen t on v a utiliser des susp ensions tubulaires bidimensionnelles p our onstruire des susp ensions tubulaires n -dimensionnelles par rapp ort à un pro duit artésien du tub e bidimensionnel, anqué de  ouv erles  orthogo- naux. Le lemme suiv an t p ermet d'év aluer les régularités extrêmes obten ues lors de ette op ération. On supp ose que n > 2 , que S est un omplexe de dimension 1 de R 2 , tubulaire par rapp ort à une graphe G = ( T , A ) et un ouv ert O . P our r > 0 on notera S ′ le omplexe obten u par pro duit artésien des ub es de S par [ − r, r ] n − 2 , O ′ le pro duit artésien de O par ] − r , r [ n − 2 , et G ′ = ( T ′ , A ′ ) le plongemen t de G dans R n : S ′ =  δ × [ − r, r ] n − 2 : δ ∈ S  O ′ = O × ] − r, r [ n − 2 T ′ = { ( x, y , 0 , . . . , 0) : ( x, y ) ∈ T } A ′ = {{ ( x, y , 0 , . . . , 0) , ( x ′ , y ′ , 0 , . . . , 0) } : { ( x, y ) , ( x ′ , y ′ ) } ∈ A } . (162) P our k ∈ { 0 , . . . , n − 3 } et r > 0 on notera O 2 k +1 = O × [ − r, r ] k × {− r } × [ − r, r ] n − 3 − k O 2 k +2 = O × [ − r, r ] k × { r } × [ − r, r ] n − 3 − k (163) et on supp osera aussi qu'il existe une famille de 2( n − 2 ) omplexes n − 1 -di- mensionnels S 1 , . . . , S 2( n − 2) de R n tels que ∀ k ∈ { 1 , . . . , 2( n − 2) } : U ( S k ) = O k et F ∂ ( S k ) = S ′ | O k . (164) Lemme 8 (Pro duit artésien d'une susp ension tubulaire) . Pour tout  omp at K ⊂ ]0 , + ∞ [ 9 et p our tout r > 0 il existe un  omp at K ′ ⊂ ]0 , + ∞ [ 9 tel que p our tout  omplexe unidimensionnel ǫ -tubulair e S p ar r app ort à un ouvert O ⊂ R 2 et un gr aphe G , si on p eut tr ouver deux  onstantes ρ + et ρ − tel les que les r elations (62 ) et (63 ) du lemme 3 sont vérié es ave  en plus ∀ k ∈ { 1 , . . . , 2( n − 2) } : ρ + > R ( S k ) > R ( S k ) > ρ − (165) 43 alors la famil le de p olyè dr es n − 1 -dimensionnels S ′′ = S ′ ∪ [ k S k (166) est un  omplexe ǫ -tubulair e p ar r app ort à O ′ et G ′ et il est p ossible de tr ouver ρ ′ − et ρ ′ + qui vérient ( 62 ) et (63 ) ave  le  omp at K ′ . Démonstr ation. Remarquons d'ab ord que les p oly èdres des S k son t tous dans des h yp erplans parallèles aux arêtes du graphe. Dès lors les h yp othèses de sus- p ension tubulaire son t automatiquemen t v ériées p our S ′′ puisque les h yp er- plans du déoupage tubulaire n -dimensionnel son t le pro duit artésien de eux de la susp ension bidimensionnelle par R n − 2 , don p erp endiulaires aux h yp er- plans on tenan t les p oly èdres des S k . En notan t α ′ ± , β ′ ± , γ ′ et η ′ les onstan tes relativ es à O ′ , G ′ et S ′′ qui son t dénies dans (61) on p eut déjà donner immédiatemen t les b ornes suiv an tes par onstrution : α ′ − = α − β ′ − ≥ min( β − , r ) α ′ + = α + β ′ + ≤ β + + r √ n − 2 η ′ ∈  β − β − + r √ n − 2 · η , 1  . (167) En outre la mesure n − 1 -dimensionnelle des p oly èdres de S ′ est obten ue à partir de la mesure unidimensionnelle de eux de S m ultipliée par (2 r ) n − 2 . Si l'on onsidère un sommet x ∈ T et le sommet x ′ orresp ondan t de T ′ , par dénition tous les p oly èdres du déoupage tubulaire des S k qui v on t être mis en orresp on- dane a v e x ′ par le  hoix de susp ension tubulaire son t inlus dans le ylindre C = B ( x, s ) × [ − r, r ] n − 2 où B ( x, s ) désigne une b oule 2 -dimensionnelle en trée en x et de ra y on s = 2 max( α + , β + ) . P ar ailleurs, p our tout k ∈ { 1 , . . . , 2( n − 2) } on a H n − 1 ( O k ∩ C ) ≤ us 2 (2 r ) n − 3 (168) où u désigne le v olume de la b oule unitaire en dimension 2 . On en tire γ ′ ∈ h ((2 r ) n − 2 γ ) 1 n − 1 , ((2 r γ + us 2 )(2 r ) n − 3 ) 1 n − 1 i . (169) Dès lors, en prenan t ρ ′ − = min( ρ − , r ) ρ ′ + = ρ + + r √ n − 2 (170) l'inégalité (62 ) est v ériée p our S ′′ , e qui termine la démonstration du lemme. P oursuiv ons à présen t notre onstrution de omplexes  im briqués  en généralisan t le lemme 7 des analisations omplémen taires en dimension n ≥ 3 . L'idée ii est de onsidérer des omplexes dy adiques dans des bases a y an t subi une rotation planaire l'une par rapp ort à l'autre, parallèlemen t aux deux premiers v eteurs de es bases. Dans e as, le lemme suiv an t indique qu'il est p ossible de onstruire des analisations à  haque  étage  parallèlemen t au 2 - plan de la rotation, tout en restan t susammen t loin du omplexe  extérieur  p our se laisser la plae de onstruire des raords. 44 Fig. 8  Un exemple de omplexe S 1 en dimension 3 Fig. 9  Le omplexe S 2 représen té autour du omplexe de la gure prééden te Fig. 10  T rois  étages  dans lesquels on v a reuser des analisations 45 Fig. 11  Exemples de analisations omplémen taires en dimension 3 , qui p euv en t s'im briquer l'une dans l'autre 46 On v a don supp oser que n > 2 , que S 1 et S 2 son t deux omplexes dy adiques n -dimensionnels unitaires tels qu'une base anonique de S 1 soit l'image de elle de S 2 par une rotation ane d'angle θ ∈  0 , π 4  dans le 2 -plan R 2 × { 0 } n − 2 . P our simplier on supp osera qu'une base anonique de S 2 est elle de R n , et p our z = ( z 3 , . . . , z n ) ∈ Z n − 2 on dénit le 2 -plan ane H z = z + R 2 ×  1 2  n − 2 . (171) Lemme 9 (Canalisations omplémen taires en dimension quelonque) . Il existe quatr e  onstantes θ min , θ max , p , ǫ et un  omp at K ⊂ ]0 , + ∞ [ ne dép endant que de n tels que 0 < θ min < θ max < π 4 p ∈ N \ { 0 } ǫ > 0 (172) et p our tous  omplexes dyadiques n -dimensionnels unitair es de R n tels que S 2 est 28 n -gr oup é, θ ∈ [ θ min , θ max ] et min ( x,y ) ∈U ( S 1 ) ×U ( S 2 ) k x − y k > 8 (173) alors il est p ossible de  onstruir e  un ouvert O tel que U ( S 2 ) ⊂ O et inf x ∈ O d ( x, U ( S 1 )) > √ 2 , (174)  un  omplexe T 1 dyadique de p as 1 p , 1 × 1 × p n − 2 -gr oup é dans la même b ase que S 1 (on noter a O 1 = ◦ U ( T 1 ) ),  un sous- omplexe T 2 de S 2 (on noter a O 2 = ◦ U ( T 2 ) ) tel que max x ∈U ( S 2 ) d ( x, U ( T 2 )) ≤ 2 √ n, (175)  un  omplexe unidimensionnel Σ  pla é à ǫ -pr ès  (voir plus b as),  une famil le G de gr aphes liné air es vériant les pr opriétés suivantes : 1. O 1 ∩ O 2 = ∅ et O 1 ∪ O 2 ⊂ O ; 2. p our tout z ∈ Z n − 2 tel que O ∩ H z 6 = ∅ , il existe un sous- omplexe de ( F ∂ ( T 1 ∪ T 2 ) ∪ Σ) | H z et une sous-famil le de gr aphes de G formant une  analisation de ( O ∩ H z ) \ ( O 1 ∪ O 2 ∪ U (Σ)) (en se plaçant dans le 2 -plan H z ) ; 3. on p eut tr ouver des  onstantes ρ + et ρ − tel les que p our toutes les susp en- sions tubulair es des  analisations mentionné es i-dessus, les r elations (61 ) et (62) du lemme 3 sont vérié es. P ar  plaé à ǫ près  on en tend que p our tout segmen t [ x, y ] ∈ Σ , l'une de ses extrémités p eut être déplaée à l'in térieur d'une b oule 2 -dimensionnelle parallèle à H z et de ra y on ǫ sans que ela  hange quoi que e soit aux trois p oin ts exprimés plus haut. 47 Démonstr ation. Prenons θ min et θ max égales aux onstan tes du lemme 7 et soien t S 1 et S 2 deux omplexes dy adiques v érian t les h yp othèses du lemme 9. On v a onstruire T 1 et T 2 étage par étage, en déoupan t S 1 et S 2 par des tran hes I z (p our z ∈ (28 Z ) n − 2 ) d'épaisseur 28 autour de H z : I z = R 2 × ( z + [0 , 28] n − 2 ) . (176) Fixons z ∈ (28 Z ) n − 2 tel que S 2 | H z 6 = ∅ et notons U 1 , . . . , U 2( n − 2) les moreaux de fron tière plane de I z de la forme (p our k ∈ { 1 , . . . , n − 2 } ) : U 2 k − 1 = R 2 × [0 , 28] k × { 0 } × [0 , 28] n − 3 − k U 2 k = R 2 × [0 , 28] k × { 28 } × [0 , 28] n − 3 − k . (177) App elons aussi U ∗ 1 , . . . , U ∗ 2( n − 2) les  milieux  de es moreaux (il s'agit de deux 2 -plans parallèles an plan de la rotation) : U ∗ 2 k − 1 = R 2 × { 14 } k × { 0 } × { 1 4 } n − 3 − k U ∗ 2 k = R 2 × { 14 } k × { 28 } × { 14 } n − 3 − k . (178) Constatons que p our 1 ≤ j ≤ 2( n − 2) les restritions de F ∂ ( S 1 ) et de F ∂ ( S 2 ) à U ∗ j son t deux omplexes dy adiques bidimensionnels unitaires, et notons-les resp etiv emen t S 1 ( j ) et S 2 ( j ) : S 1 ( j ) = ( F ∂ ( S 1 )) | U ∗ j S 2 ( j ) = ( F ∂ ( S 2 )) | U ∗ j . (179) En observ an t que les U ∗ j son t des 2 -plan anes parallèles, on v a onsidérer les pro jetion resp etiv es S ∗ 1 ( j ) et S ∗ 2 ( j ) de S 1 ( j ) et S 2 ( j ) sur le 2 -plan v etoriel pa- rallèle à U ∗ j , qu'on iden tie à R 2 p our ne pas alourdir les notations. Considérons la famille de omplexes bidimensionnels de R 2 : S 2 = ( t = \ l ∈ K S ∗ 2 ( l ) \ [ l / ∈ K S ∗ 2 ( l ) : K $ { 1 , . . . , 2 n − 4 } et t 6 = ∅ ) . (180) P ar onstrution les omplexes de S 2 son t dy adiques unitaires, bidimensionnels dans la base anonique de R 2 , 28 × 28 -group és, disjoin ts deux à deux et p our tout j ∈ { 1 , . . . , 2( n − 2) } , S ∗ 2 ( j ) est un omplexe formé par une union disjoin te d'un ensem ble S 2 ( j ) de ertains omplexes de S 2 : ∀ j ∈ { 1 , . . . , 2( n − 2) } : ∃ S 2 ( j ) ⊂ S 2 , S ∗ 2 ( j ) = G t ∈ S 2 ( j ) t. (181) P our j xé, soit Σ 2 ∈ S 2 ( j ) et p osons Σ 1 = S ∗ 1 ( j ) ; appliquons alors le lemme 7 des analisations omplémen taires bidimensionnelles à Σ 1 et Σ 2 (res- p etiv emen t notés S 1 et S 2 dans l'énoné du lemme 7) : on obtien t les trois omplexes Θ 1 ( j, Σ 2 ) , Θ 2 ( j, Σ 2 ) et Σ( j, Σ 2 ) (resp etiv emen t notés T 1 , T 2 et Σ dans l'énoné du lemme), et les trois familles de graphes G 1 ( j, Σ 2 ) , G 2 ( j, Σ 2 ) et G ( j, Σ 2 ) . On v a ter de Θ 1 ( j, Σ 2 ) les ub es qui, dans la démonstration du lemme 7 formen t une ouronne autour de Σ 2 , 'est à dire ne garder que eux qui son t inlus dans l'union des ub es du omplexe original Σ 2 (en d'autres termes, on ne garde que eux qui p euv en t  s'insérer  dans les trous qu'on a reusés dans Σ 2 dans la démonstration du lemme) : Θ ′ 1 ( j, Σ 2 ) = { δ ∈ Θ 1 : δ ⊂ U (Σ 2 ) } . (182) 48 Fig. 12  Un exemple en dimension plus grande Fig. 13  Canalisations omplémen taires du as prééden t 49 Fig. 14  Les diéren ts graphes utilisés p our les analisations T oujours d'après le lemme 7 , on sait que Θ 2 ( j, Σ 2 ) est suliforme en yles, et d'après (157 ) que la onstrution eetuée préserv e les ub es qui tou hen t la fron tière de Θ 2 : F ∂ (Σ 2 ) ⊂ F ∂ (Θ 2 ( j, Σ 2 )) . (183) Si l'on onsidère un sillon ylique de Θ 2 ( j, Σ 2 ) alors d'après le quatrième p oin t du lemme, il existe un sous-omplexe de F ∂ (Θ 1 ( j, Σ 2 )) qui est située en vis- à-vis , à l'in térieur de Σ 2 , et don t l'union des p oly èdres (ii de dimension 1 ) forme une ourb e fermée de R 2 qui est la fron tière d'un ouv ert b orné. Si on note Ω( j, Σ 2 ) l'union de tous es ouv erts, alors Θ ′ 1 ( j, Σ 2 ) ⊂ Ω( j, Σ 2 ) ⊂ U (Σ 2 ) . Dans es onditions, nos omplexes v érien t les propriétés suiv an tes : 1. Θ 2 ( j, Σ 2 ) est 7 × 7 -group é (d'après le lemme en dimension 2 ) ; 2. G 1 ( j, Σ 2 ) et un sous-omplexe de F ∂ (Θ 1 ( j, Σ 2 )) formen t une analisation de Ω( j, Σ 2 ) \ U (Θ ′ 1 ( j, Σ 2 )) ; 3. G 2 ( j, Σ 2 ) et un sous-omplexe de Σ( j, Σ 2 ) ∪ F ∂ (Θ 2 ( j, Σ 2 )) formen t une analisation de ◦ U (Σ 2 ) \ U (Θ 2 ( j, Σ 2 ) ∪ Σ( j, Σ 2 )) ; 4. G 3 ( j, Σ 2 ) et un sous-omplexe de F ∂ (Θ ′ 1 ( j, Σ 2 ) ∪ Θ 2 ( j, Σ 2 )) formen t une analisation de ◦ U (Σ 2 ) \ U (Θ ′ 1 ( j, Σ 2 ) ∪ Θ 2 ( j, Σ 2 )) . En se rapp elan t que S 2 est omp osée de omplexes disjoin ts, on p eut alors dénir : Θ 1 ( j ) = G Σ 2 ∈ S 2 ( j ) Θ ′ 1 ( j, Σ 2 ) G 1 ( j ) = [ Σ 2 ∈ S 2 ( j ) G 1 ( j, Σ 2 ) Θ 2 ( j ) = G Σ 2 ∈ S 2 ( j ) Θ 2 ( j, Σ 2 ) G 2 ( j ) = [ Σ 2 ∈ S 2 ( j ) G 2 ( j, Σ 2 ) Σ( j ) = G Σ 2 ∈ S 2 ( j ) Σ( j, Σ 2 ) G 3 ( j ) = [ Σ 2 ∈ S 2 ( j ) G 3 ( j, Σ 2 ) Ω( j ) = [ Σ 2 ∈ S 2 ( j ) Ω( j, Σ 2 ) (184) Les trois familles Θ 1 ( j ) , Θ 2 ( j ) et Σ( j ) formen t bien des omplexes ar  haun des élémen ts qui in tervien t dans les unions qui les dénissen t est inlus dans un unique U (Σ 2 ) ∈ S 2 . Ces ensem bles v érien t en plus les propriétés suiv an tes : 50 1. Θ 2 ( j ) est 7 × 7 -group é, Θ 2 ( j ) ⊂ S ∗ 2 ( j ) , F ∂ ( S ∗ 2 ( j )) ⊂ F ∂ (Θ 2 ( j )) et Ω( j ) ⊂ U ( S ∗ 2 ( j )) ; 2. G 1 ( j ) et un sous-omplexe de F ∂ (Θ 1 ( j )) formen t une analisation de Ω( j ) \ U (Θ 1 ( j )) ; 3. G 2 ( j ) et un sous-omplexe de Σ( j ) ∪ F ∂ (Θ 2 ( j )) formen t une analisation de ◦ U ( S ∗ 2 ( j )) \ U (Θ 2 ( j ) ∪ Σ( j )) ; 4. G 3 ( j ) et un sous-omplexe de F ∂ (Θ 1 ( j ) ∪ Θ 2 ( j )) formen t une analisation de ◦ U ( S ∗ 2 ( j )) \ U (Θ 1 ( j ) ∪ Θ 2 ( j )) . Considérons à présen t l'ensem ble K ( j ) des fron tières omm unes des sillons des Θ 2 ( j, Σ 2 ) , lorsque Σ 2 parourt S 2 ( j ) : K ( j ) = { s = U ( s 1 ) ∩ U ( s 2 ) : Σ 2 ∈ S 2 ( j ) , s 6 = ∅ , s 1 et s 2 sillons de Θ 2 ( j, Σ 2 ) et s 1 6 = s 2 } . (185) K ( j ) est omp osé de ourb es formées de segmen ts parallèles aux v eteurs de la base de S ∗ 2 . Soien t p et r les onstan tes qui in terviennen t dans la démonstration du lemme 7 en dimension 2 , et év en tuellemen t en a joutan t 1 à p on s'assure qu'il est impair ; dénissons alors le omplexe omp osé de ub es dy adiques de pas 1 p dans la même base que S ∗ 1 ( j ) , situés à distane omprise en tre r et 6 de U ( S ∗ 2 ( j )) : Θ ′ 1 ( j ) =  δ : r < min x ∈ δ d ( x, U ( S ∗ 2 ( j )) < 6  . (186) Puisque les ourb es de K ( j ) son t inluses dans U ( S ∗ 2 ( j )) , elles ne renon tren t pas U (Θ ′ 1 ( j )) . Considérons l'ensem ble des extrémités de es ourb es (parmi elles qui ne son t pas fermées) qui ne fon t partie d'auune autre ourb e de K ( j ) , et onstruisons à partir de es p oin ts l'ensem ble des segmen ts don t l'autre extrémité est le sommet le plus pro  he de U ( S ∗ 2 ( j )) : app elons e nouv el ensem ble de segmen ts K ′ ( j ) . Ces segmen ts son t d'in térieurs disjoin ts deux à deux et des ourb es de K ( j ) (ar les extrémités des segmen ts forman t les ourb es de K ( j ) son t au moins à distane 7 les unes des autres, et situées à distane au plus r + 1 < 3 d'un sommet de S ∗ 2 ( j ) ), dès lors l'ensem ble des segmen ts de K ′ ( j ) et eux forman t les ourb es de K ( j ) (év en tuellemen t en les déoupan t aux endroits où ils se renon tren t) forme un omplexe unidimensionnel. Notons O ( j ) l'ouv ert de R 2 don t l'adhérene est l'union des ub es dy adiques de pas 1 p et à distane au plus 6 de U ( S ∗ 2 ( j )) : O ( j ) = U  δ : min x ∈ δ d ( x, U ( S ∗ 2 ( j ))) < 6  . (187) P ar un argumen t similaire à elui utilisé dans la démonstration du lemme 7, quitte à a jouter/enlev er quelques ub es à Θ ′ 1 ( j ) , on p eut trouv er une famille G ( j ) de graphes linéaires forman t a v e le omplexe unidimensionnel K ′ ( j ) ∪ F ∂ (Θ ′ 1 ( j )) ∪ F ∂ ( S ∗ 2 ( j )) une analisation de O ( j ) \ U ( S ∗ 2 ( j )) . De plus, si l'on supp ose que l'on a sub divisé de façon naturelle les segmen ts de K ( j ) en mor- eaux de longueur 1 (on notera K ′′ ( j ) e nouv eau omplexe) alors par le même argumen t, il est aussi p ossible de trouv er une famille G ′ ( j ) de graphes for- man t a v e un sous-omplexe de K ′ ( j ) ∪ K ′′ ( j ) ∪ F ∂ (Θ ′ 1 ( j )) une analisation 51 de O ( j ) \ ( U (Θ ′ 1 ( j )) ∪ U ( K ′ ( j ) ∪ K ′′ ( j ))) . De plus, omme dans la démonstra- tion du lemme 7 il est p ossible de déplaer l'une des extrémités des segmen ts de K ′ ( j ) et K ′′ ( j ) à l'in térieur d'une b oule de ra y on ǫ susammen t p etit p our que les régularités extrêmes des susp ensions tubulaires resten t omparables à elles de S ∗ 1 ( j ) et S ∗ 2 ( j ) , a v e des onstan tes uniformes. Dénissons enore : Θ ′′ 1 ( j ) = Θ 1 ( j ) ∪ Θ ′ 1 ( j ) Σ ′ ( j ) = Σ( j ) ∪ K ′ ( j ) ∪ K ′′ ( j ) G ′ 1 ( j ) = G 1 ( j ) ∪ G ′ ( j ) G ′ 3 ( j ) = G 3 ( j ) ∪ G ( j ) . (188) On disp ose à présen t de deux omplexes qui v érien t les propriétés suiv an tes : 1. G ′ 1 ( j ) et un sous-omplexe de F ∂ (Θ ′′ 1 ( j )) ∪ Σ ′ ( j ) formen t une analisation de O ( j ) \ ( U (Θ 1 ( j )) ∪ U (Σ ′ ( j ))) ; 2. G ′ 3 ( j ) et un sous-omplexe de F ∂ (Θ ′′ 1 ( j ) ∪ Θ 2 ( j )) formen t une analisation de ◦ U ( S ∗ 2 ( j )) \ U (Θ ′′ 1 ( j ) ∪ Θ 2 ( j )) . Il est temps à présen t d'utiliser toutes es analisations bidimensionnelles p our onstruire T 1 et T 2 . On notera ette fois, p our r 1 < r 2 , z ∈ (28 Z ) n − 2 et j ∈ { 1 , . . . , 2( n − 2) } : V ( r 1 , r 2 , z , j ) = ( z + [0 , 28] k × [ r 1 , r 2 ] × [0 , 28] n − 3 − k si j = 2 k − 1 z + [0 , 28] k × [28 − r 2 , 28 − r 1 ] × [0 , 28] n − 3 − k si j = 2 k (189) 'est à dire, les R 2 × V ( r 1 , r 2 , z , j ) son t des  tran hes  de I z à distane omprise en tre r 1 et r 2 des p ortions planaires de sa fron tière. Commençons par ter de S 2 l'ensem ble des ub es de sa fron tière qui ne son t pas dans U (Θ 2 ( j )) × V (0 , 2 , z , j ) (ela revien t à enlev er sur une épaisseur de deux ub es, parallèlemen t à la fron tière de I z , les ub es don t la pro jetion sur R 2 a été enlev ée dans le lemme 7 ) en p osan t : t 2 ( z , j ) =  δ ∈ S 2 | R 2 × V (0 , 2 ,z ,j ) : δ ⊂ U (Θ 2 ( j )) × V (0 , 2 , z , j )  . (190) On dénira aussi l'ouv ert O ( z ) par : O ( z ) = [ j O ( j ) × V (0 , 1 , z , j ) . (191) Soien t z ′ ∈ (28 Z ) n − 2 , et j ′ ∈ { 1 , . . . , 2( n − 2) } et notons S et S ′ les sous- omplexes formés des ub es de S 2 a y an t au moins un sommet omm un a v e eux de F ∂ ( S 2 ) , restrein ts resp etiv emen t à V (0 , 1 , z , j ) et V (0 , 1 , z ′ , j ′ ) . Dans es onditions : S | V (0 , 1 ,z ′ ,j ′ ) = S ′ | V (0 , 1 ,z ,j ) . (192) Considérons alors les restritions resp etiv es de t 2 ( z , j ) à V (0 , 1 , z ′ , j ′ ) , et de t 2 ( z ′ , j ′ ) à V (0 , 1 , z , j ) : puisque d'après (157 ) seules les restritions des ub es a y an t un sommet omm un a v e la fron tière de S 2 qui n'a v aien t pas de sommet omm un a v e la fron tière des S ∗ 2 ( j ) on t été enlev és à S 2 p our former les t 2 ( z , j ) quand on a utilisé le lemme 7 alors il vien t S ⊂ t 2 ( z , j ) S ′ ⊂ t 2 ( z ′ , j ′ ) (193) 52 et don t 2 ( z , j ) | V (0 , 1 ,j ′ ,z ′ ) ∩ V (0 , 1 ,j,z ) = t 2 ( z ′ , j ′ ) | V (0 , 1 ,j ′ ,z ′ ) ∩ V (0 , 1 ,j,z ) . (194) Puisque t 2 ( z , j ) et t 2 ( z ′ , j ′ ) son t 7 × 7 × 2 n − 2 -group és, ette relation est aussi vraie a v e des ou hes d'épaisseur 2 , dès lors t 2 ( z , j ) | V (0 , 2 ,j,z ) = t 2 ( z , j ) et t 2 ( z ′ , j ′ ) | V (0 , 2 ,j ′ ,z ′ ) = t 2 ( z ′ , j ′ ) et on trouv e nalemen t : t 2 ( z , j ) | V (0 , 2 ,j ′ ,z ′ ) = t 2 ( z ′ , j ′ ) | V (0 , 2 ,j,z ) . (195) En p osan t T 2 ( z ) =   [ 1 ≤ j ≤ 2( n − 2) t 2 ( z , j )   ⊔ S 2 | R 2 × [2 , 25] n − 2 (196) d'après (194 ) T 2 ( z ) est don un sous-omplexe de S 2 tel que T 2 ( z ) | U ∗ j est égal à Θ 2 ( j ) si on iden tie U ∗ j a v e R 2 . En outre T 2 ( z ) v érie (175 ) par onstrution, puisqu'on a enlev é des p oly èdres sur une ou he d'épaisseur 2 autour de la fron tière de S 2 . Dénissons par ailleurs t 1 ( z , j ) omme l'ensem ble des ub es dy adiques de pas 1 p dans la même base que S 1 et qui son t inlus dans U (Θ ′′ 1 ( j )) × V ( − 1 , 1 , j, z ) : t 1 ( z , j ) = { δ : δ ⊂ U (Θ ′′ 1 ( j )) × V ( − 1 , 1 , j, z ) } . (197) Soien t z ′ et j ′ tels que V ( − 1 , 1 , j, z ) = V ( − 1 , 1 , j ′ , z ′ ) et I z 6 = I z ′ ('est à dire que I z et I z ′ on t p our fron tière omm une l'un des U ∗ j qui est égal à l'un des U ∗ j ′ ). On remarque déjà que t 1 ( s, j ) est 1 × 1 × p n − 2 -group é et que t 1 ( z , j ) | V ( − 1 , 0 ,j,z ) = t 1 ( z ′ , j ′ ) | V ( − 1 , 0 ,j ′ ,z ′ ) (198) puisque l'on a utilisé p our onstruire es deux omplexes resp etiv emen t les restritions de S 1 et S 2 à U ∗ j et U ∗ j ′ , qui son t égales. Construisons main tenan t t ′ 1 ( z ) omme l'ensem ble des ub es dy adiques de pas 1 p dans la même base que S 1 , inlus dans R 2 × [1 , 27] n − 2 et à distane omprise en tre r et 6 de S 2 : t ′ 1 ( z ) =  δ : r < min x ∈ δ d ( x, U ( S 2 | I z )) < 6  . (199) De même on dénit l'ouv ert O ′ ( z ) don t l'adhérene est omp osée des ub es situés à distane au plus 6 : O ′ ( z ) = U  δ : min x ∈ δ d ( x, U ( S 2 | I z )) < 6  . (200) Là enore, par un argumen t iden tique à elui utilisé dans la démonstration du lemme 7 on p eut mon trer qu'il est p ossible, en a joutan t/suppriman t quelques ub es à t ′ 1 ( z ) , de faire des susp ensions tubulaires 2 a v e les faes en vis-à-vis de t ′ 1 ( z ) | H z ′ et S 2 | H z ′ p our tout z ′ ∈ z + { 1 , . . . , 26 } n − 2 . En outre, il est p ossible de le faire de façon à e que t ′ 1 ( z ) soit 1 × 1 × p n − 2 -group é (en a joutan t/suppriman t 2 Ii in tervien t le fait qu'on ait supp osé p impair, p our que H z oup e les ub es de t ′ 1 ( z ) en passan t par leur en tre, et pas le long de leur fron tière. 53 des paquets de ub es 1 × 1 × p n − 2 -group és). On notera G ( z ) l'ensem ble des graphes utilisés p our réaliser es susp ensions tubulaires. P our nir on p ose : T 1 ( z ) =   G 1 ≤ j ≤ 2( n − 2) t 1 ( z , j )   ∪ t ′ 1 ( z ) . (201) Il ne nous reste plus qu'à mon trer que T 1 ( z ) et T 2 ( z ) v érien t les propriétés annonées dans le lemme à l'in térieur de I z : soit z ′ ∈ [0 , 27] n − 2 , et notons ν =  1 2 , . . . , 1 2  ∈ R n − 2 . Deux as son t p ossibles :  si z ′ + ν ∈ [2 , 26] n − 2 alors T 2 ( z ) | H z + z ′ est égal à S 2 ( z ) | H z ′ , et T 1 ( z ) | H z + z ′ est égal à T ′ 1 ( z ) don on p eut utiliser la famille des graphes de G ( z ) men tionnée plus haut p our faire une analisation de O ′ ( z ) ∩ H z + z ′ \ U ( T 1 ( z ) ∪ T 2 ( z )) ;  si z + z ′ + ν / ∈ [2 , 26] n − 2 alors notons z min et z max resp etiv emen t les o ordonnées minimale et maximale de z ′ . Là enore, onsidérons deux as p ossibles :  si z min > 1 et z max < 26 alors soit j tel que z + z ′ + ν ∈ V (1 , 2 , j, z ) : on a démon tré que G 2 ( j ) et un sous-omplexe de Σ( j ) ∪ F ∂ (Θ 2 ( j )) formen t une analisation de ◦ U ( S ∗ 2 ( j )) \ U (Θ 2 ( j ) ∪ Σ( j )) . Dès lors en onsidéran t que les graphes de G 2 ( j ) son t des graphes du 2 -plan H s + z ′ , et que le omplexe unidimensionnel Σ( j ) est un omplexe du 2 -plan H z + z ′ alors il vien t que G 2 ( j ) et un sous-omplexe de Σ( j ) ∪ F ∂ ( T 2 ( z ) | H z + z ′ ) formen t une analisation de ◦ U ( S 2 ) ∩ H z + z ′ \ U ( T 2 ( z ) ∪ Σ( j )) . De plus, par le même argumen t que dans le as préédan t, G ( z ) et un sous-omplexe de F ∂ (( T 1 ( z ) ∪ S 2 ) | H z + z ′ ) formen t une analisation de O ′ ( z ) ∩ H z + z ′ \ U ( T 1 ( z ) ∪ S 2 ) . Rapp elons que F ∂  S 2 | H z + z ′  ⊂ F ∂  T 2 ( z ) | H z + z ′  (202) don G ( z ) ∪G 2 ( j ) et un sous-omplexe de Σ( j ) ∪F ∂  ( T 1 ( z ) ∪ T 2 ( z )) | H z + z ′  formen t une analisation de O ′ ( z ) ∩ H z + z ′ \ U ( T 1 ( z ) ∪ T 2 ( z )) . On notera resp etiv emen t G ′ ( z ) et Σ( z ) l'ensem ble de tous les graphes et l'ensem ble de tous les omplexes unidimensionnels Σ( j ) utilisés dans e as p our faire les analisations ;  si z min = 0 ou si z max = 26 alors soit j tel que z + z ′ + ν ∈ V (0 , 1 , j, z ) : on p eut refaire une démonstration analogue (ette fois en utilisan t les graphes G ′ 1 ( j ) et G ′ 3 ( j ) ) p our exhib er des analisations de O ( z ) ∩ H z + z ′ \ U ( T 1 ( z ) ∪ T 2 ( z )) . Cette fois-i on notera resp etiv emen t G ′′ ( z ) et Σ ′ ( z ) l'ensem ble de tous les graphes et l'ensem ble de tous les omplexes uni- dimensionnels Σ( j ) utilisés p our faire es analisations. Il est temps de onlure en p osan t : T 1 = [ z ∈ (28 Z ) n − 2 T 1 ( z ) T 2 = [ z ∈ (28 Z ) n − 2 T 2 ( z ) Σ = [ z ∈ (28 Z ) n − 2 Σ( z ) ∪ Σ ′ ( z ) O = [ z ∈ (28 Z ) n − 2 O ( z ) ∪ O ′ ( z ) G = [ z ∈ (28 Z ) n − 2 G ( z ) ∪ G ′ ( z ) ∪ G ′′ ( z ) (203) 54 On vien t de démon trer les p oin ts 1 et 2 du lemme, l'existene des onstan tes ρ + et ρ − ainsi que le ompat K men tionnés dans le p oin t (3) on t quan t à elles été obten ues en appliquan t le lemme 7 . À présen t, on disp ose de tous les lemmes néessaires p our démon trer que le théorème 1 de fusion est une propriété indutiv e sur n p our n ≥ 2 . Lemme 10 (F usion en dimension quelonque) . Soit n ≥ 3 . Si le thé or ème 1 est vr ai en dimension n − 1 , alors il est vr ai en dimension n . Démonstr ation. On supp ose que n > 2 , que le théorème de fusion est vrai en dimension n − 1 et que S 1 et S 2 v érien t les h yp othèses du théorème de fusion en dimension n . L'isométrie ane φ de  hangemen t de base en tre les deux omplexes p eut être déomp osée en N = ( n +1)( n +2) 2 rotations anes suessiv es dans des plans engendrés par des ouples de v eteurs de la base anonique de S 2 par exemple. Il est don p ossible, en a joutan t des ou hes de p oly èdres suessiv es autour de S 2 et en supp osan t ρ susammen t grand, de se ramener au as où φ est une rotation d'angle θ dans le plan engendré par deux v eteurs d'une base de S 2 . Il sura de réaliser la fusion en faisan t N transitions p our démon trer le théorème. Et omme dans le as de la dimension 2 il est même p ossible, en inséran t enore les étap es in termédiaires néessaires, de supp oser que θ ∈ [ θ min , θ max ] (204) a v e θ min < θ max deux onstan tes arbitraires prises dans  0 π 4  . Bien évidem- men t, le nom bre de transitions à eetuer ne dép endra que de n et des onstan tes θ min et θ max  hoisies. P our simplier l'ériture de la démonstration, en notan t ( u 1 , . . . , u n ) une base anonique de S 2 on supp osera aussi, quitte à p erm uter ses v eteurs, que φ est une rotation dans le 2 -plan V ect( u 1 , u 2 ) . À présen t supp osons qu'on ait simplemen t sub divisé S 2 vingt-h uit fois grâe au lemme 4 de sub division, et appliquons le lemme 9 à S 1 et à S 2 : on obtien t les trois omplexes T 1 , T 2 et Σ annonés dans le lemme. D'après (175 ) on sait que seuls les ub es qui étaien t à distane au plus 2 √ n de la fron tière de S 2 n'apparaissen t pas dans T 2 , don si l'on supp ose que ρ est susammen t grand p our qu'on ait ra jouté une ou he d'épaisseur 2 de ub es autour de S 2 après sub division, alors on p eut supp oser que T 2 ⊂ S 2 et que les omplexes T 1 , T 2 et Σ v érien t toujours les propriétés annonées. P our simplier enore, on notera toujours S 2 le omplexe obten u après y a v oir déoup é les analisations du lemme, au lieu de T 2 . Main tenan t onsidérons le omplexe T 1 : il est de pas 1 p don il sut de sub diviser p fois S 1 p our le raorder à T 1 , la ondition (174 ) nous assuran t qu'on disp ose de l'espae néessaire p our le faire. P ar ommo dité là enore on notera toujours S 1 le omplexe obten u après raordemen t. Il est temps d'utiliser notre h yp othèse de réurrene. Considérons la famille des h yp erplans anes (p our 1 ≤ k ≤ 2( n − 2) et z ∈ Z n − 2 ) : H k,z = z + R 2 × R k × { 0 } × R n − 3 − k (205) et les restritions F n − 1 ( S 1 ) | H k,z et F n − 1 ( S 2 ) | H k,z : lorsqu'elles son t non vides, e son t deux omplexes n − 1 -dimensionnels qui v érien t les h yp othèses du théorème de fusion à ei près qu'ils ne son t pas forémen t à distane susan te l'un de l'autre. Cep endan t on p eut tout à fait supp oser que l'on a v ait sub divisé 55 préalablemen t S 1 et S 2 susammen t p our que e soit le as (d'un nom bre de fois q qui ne dép end pas des omplexes onsidérés) et qu'on a jusqu'ii tra v aillé sur des q n -group emen ts, de façon à e que q 2 p > ρ ′ où ρ ′ est ette distane minimale imp osée par le théorème en dimension n − 1 et p la onstan te donnée par le lemme 9 . En appliquan t le théorème de fusion en dimension n − 1 on p eut don remplir toutes les omp osan tes onnexes de O ∩ H k,z \ U ( S 2 ) de omplexes n − 1 -dimensionnels, don t on notera Θ l'union. Considérons main tenan t le omplexe unidimensionnel Σ , et notons Σ ′ l'en- sem ble des pro duits artésiens de ses segmen ts par  − 1 2 , 1 2  n − 2 : par une démons- tration analogue à elle du lemme 3 on p eut mon trer que parmi les p ositions à ǫ près des sommets de Σ qui p euv en t être déplaés, il est p ossible d'en trou- v er telles que les régularités extrêmes des déoupages des faes de Θ par les p oly èdres de Σ ′ dans les ou hes H k,z p euv en t être b ornées par des onstan tes m ultipliativ es ne dép endan t pas de S 1 et S 2 par rapp ort aux régularités de S 1 et S 2 . À présen t il ne reste plus qu'à utiliser les graphes de la famille G fournie par le lemme 9 , puis le lemme 8 p our onlure : on p eut faire des susp ensions tubulaires dans toutes les omp osan tes onnexes de O \ U (Θ ∪ S 1 ∪ S 2 ∪ Σ ′ ) et de e fait, remplir toute l'adhérene de O de p oly èdres, de façon à obtenir un omplexe n -dimensionnel v érian t toutes les onditions v oulues, e qui a hèv e la démonstration du lemme 10 et par là elle du théorème 1 par réurrene. 4 Preuv e informatique du lemme du lab oureur On v a à présen t donner les algorithmes d'én umération annonés dans le début de la démonstration du lemme 6. Il y a en tout 2 9 = 512 as à traiter, qu'on p ourrait ramener à 2 6 = 64 à des  hangemen ts de base près. Ce nom bre enore trop élev é justie le reours à un outil informatique au lieu d'un tra v ail à la main fastidieux et guère in téressan t. Les algorithmes utilisés étan t très simples, on se disp ensera de donner une preuv e détaillée de leur fontionnemen t orret. 4.1 Métho de algorithmique Dans les algorithmes à v enir, p our tout omplexe S dy adique unitaire, on v a représen ter S | [0 , 12] 2 par une matrie d'en tiers M = ( m i,j ) ( i,j ) ∈{ 1 ,..., 12 } 2 de taille 12 × 12 , v érian t l'équiv alene suiv an te : ( m i,j = 1 ⇔ ∆( i − 1 , j − 1 , 1) ∈ S | [0 , 12] 2 m i,j = 0 ⇔ ∆( i − 1 , j − 1 , 1) / ∈ S | [0 , 12] 2 (206) 4.1.1 D 2 et le 4 × 4 -group emen t P our ommener on p eut aluler très simplemen t le nom bre d'élémen ts de V (∆( x − 1 , y − 1 , 1)) ∩ S (p our ( x, y ) ∈ [2 , 11] 2 ) en omptan t le nom bre de ases v oisines de ( x, y ) égales à 1 dans la représen tation de S . On obtien t alors l'algorithme 1. La représen tation de D ( S ) est alors obten ue en ne gardan t que les ases p our lesquelles e nom bre est égal à 9 , 'est l'algorithme 2. 56 Algorithme 1 Calul de #( V (∆( x − 1 , y − 1 , 1)) ∩ S ) En trée: M ∈ M 12 ( { 0 , 1 } ) et ( x, y ) ∈ { 2 , . . . , 11 } 2 Sortie: s = #( V (∆( x − 1 , y − 1 , 1)) ∩ S ) 1. s ⇐ 0 2. p our tout ( u, v ) ∈ {− 1 , 0 , 1 } 2 faire 3. si m x + u,y + v = 1 alors 4. s ⇐ s + 1 Algorithme 2 Calul de la représen tation de D ( S ) En trée: M ∈ M 12 ( { 0 , 1 } ) Sortie: M ′ ∈ M 12 ( { 0 , 1 } ) telle que M ′ représen te D ( S ) | [1 , 11] 2 1. p our tout ( x, y ) ∈ { 1 , . . . , 12 } 2 faire 2. m ′ x,y ⇐ 0 3. p our tout ( x, y ) ∈ { 2 , . . . , 11 } 2 faire 4. si #( V (∆( x − 1 , y − 1 , 1)) ∩ S ) = 9 alors 5. m ′ x,y ⇐ 0 À présen t en p osan t S ′ = ( D ) 2 ( S ) l'algorithme 3 p ermet de v érier si S ′ | [2 , 10] 2 est 4 × 4 -group é (relativ emen t à l'origine (2 , 2) ). Algorithme 3 Détermine si S ′ | [2 , 10] 2 est 4 × 4 -group é par rapp ort à l'origine (2 , 2) En trée: M ′ ∈ M 12 ( { 0 , 1 } ) Sortie: vrai si S ′ | [2 , 10] 2 est 4 × 4 -group é, faux sinon 1. p our tout ( u, v ) ∈ { 2 , 6 } 2 faire 2. p our tout ( x, y ) ∈ { 0 , . . . , 3 } 2 faire 3. si m ′ x + u,y + v 6 = m ′ u,v alors 4. ren v o y er faux 5. ren v o y er vrai Considérons l'ensem ble des restritions p ossibles au arré [0 , 12 ] 2 de om- plexes unitaires 4 × 4 -group és par rapp ort à l'origine (0 , 0) . Il est lair qu'il y en a 2 9 et en les notan t G i p our 0 ≤ i < 2 9 on p eut les paramétrer par : ∀ ( x, y ) ∈ { 0 , . . . , 3 } 2 , ∀ ( u, v ) ∈ { 0 , 1 , 2 } 2 : ∆(3 u + x, 3 v + x ) ∈ G i ⇔ 2 3 u + v ≤ i mo d 2 3 u + v +1 . (207) L'algorithme 4 est utilisé p our générer la représen tation de G i . En utilisan t les quatre algorithmes prééden ts (1, 2 , 3 et 4 ) on p eut don- ner l'algorithme 5 qui p ermet de v érier si D 2 préserv e la propriété de 4 × 4 - group emen t (par rapp ort à l'origine (2 , 2) ) p our tout omplexe 4 × 4 -group é (par rapp ort à l'origine (0 , 0) ). 4.1.2 Déoupage en omplexes linéaires Sur le mo dèle de l'algorithme 1 , l'algorithme 6 p ermet de aluler le nom bre d'élémen ts de V ∗ (∆( x − 1 , y − 1 , 1)) ∩ S . 57 Algorithme 4 Calul de la représen tation de G i En trée: i ∈ { 0 , . . . , 2 9 − 1 } Sortie: M = G i 1. p our tout ( u, v ) ∈ { 0 , 1 , 2 } 2 faire 2. p our tout ( x, y ) ∈ { 0 , . . . , 3 } 2 faire 3. si 2 3 u + v ≤ i mo d 2 3 u + v +1 alors 4. m 3 u + x, 3 v + y ⇐ 1 5. sinon 6. m 3 u + x, 3 v + y ⇐ 0 Algorithme 5 Vérier si D 2 préserv e le 4 × 4 -group emen t Sortie: vrai si D 2 préserv e la propriété de 4 × 4 -group emen t, faux sinon 1. p our tout i ∈ { 0 , . . . , 2 9 } faire 2. M ⇐ G i 3. M ⇐ D ( M ) 4. M ⇐ D ( M ) 5. si M est 4 × 4 -group é par rapp ort à l'origine (2 , 2) alors 6. ren v o y er vrai 7. sinon 8. ren v o y er faux Algorithme 6 Calul de #( V ∗ (∆( x − 1 , y − 1 , 1)) ∩ S ) En trée: M ∈ M 12 ( { 0 , 1 } ) et ( x, y ) ∈ { 4 , . . . , 9 } 2 Sortie: s = #( V ∗ (∆( x − 1 , y − 1 , 1)) ∩ S ) 1. s ⇐ 0 2. p our tout ( u, v ) ∈ {− 1 , 0 , 1 } 2 tel que | u + v | = 1 faire 3. si m x + u,y + v = 1 alors 4. s ⇐ s + 1 58 Il existe en tout h uit isométries laissan t le arré [3 , 9] 2 in v arian t (l'iden tité et la symétrie par rapp ort au en tre, les deux symétries par rapp ort aux diagonales, les deux symétries par rapp ort aux médianes et les deux rotations d'angles π 2 et − π 2 ). On les notera φ i p our 1 ≤ i ≤ 8 . L'algorithme 7 p ermet de v érier si deux omplexes restrein ts à [3 , 9] 2 son t égaux à une isométrie près. Algorithme 7 Déterminer si deux omplexes son t égaux à une isométrie près En trée: M , M ′ ∈ M 12 ( { 0 , 1 } ) Sortie: vrai si les deux grilles restrein tes à [3 , 9] 2 son t égales à une isométrie près, faux sinon 1. p our tout i ∈ { 1 , . . . , 8 } faire 2. s ⇐ vrai 3. p our tout ( x, y ) ∈ { 3 , 9 } 2 faire 4. si m x,y 6 = m φ i ( x,y ) alors 5. s ⇐ faux 6. si s alors 7. ren v o y er vrai 8. ren v o y er faux P our nir, l'algorithme 8 v érie que p our tout omplexe S 4 × 4 -group é, ( S \ D ( S )) | [3 , 9] 2 ne on tien t que des ub es à deux v oisins tangen ts, et dans le même temps se  harge de dresser la liste des ongurations p ossibles de ( D ( S ) \ D 2 ( S )) | [3 , 9] 2 lorsque S parourt l'ensem ble des omplexes dy adiques unitaires 4 × 4 -group és par rapp ort à l'origine (0 , 0) . Algorithme 8 Vériation que ( S \ D ( S )) | [3 , 9] 2 est suliforme en yles et liste des ongurations p ossibles de ( D ( S ) \ D 2 ( S )) | [3 , 9] 2 p our tout omplexe S 4 × 4 - group é Sortie: s = vrai si p our tout omplexe S 4 × 4 -group é : ∀ δ ∈ ( S \ D ( S )) | [4 , 8] 2 : #( V ∗ ( δ ) ∩  S \ D ( S )) | [3 , 9] 2  = 2 (208) faux sinon. L on tien t la liste des ongurations p ossibles à une isométrie près de ( D ( S ) \ D 2 ( S )) | [3 , 9] 2 1. L ⇐ ∅ 2. s ⇐ vrai 3. p our tout i ∈ { 0 , . . . , 2 9 } faire 4. M ⇐ G i 5. M ′ ⇐ M \ D ( M ) 6. si ∃ δ ∈ S ′ | [4 , 8] 2 : #( V ∗ (∆( x − 1 , y − 1 , 1)) ∩ S ′ ) 6 = 2 alors 7. s ⇐ faux 8. M ′′ ⇐ D ( M ) \ D 2 ( M ) 9. si M ′′ / ∈ L à une restrition à [3 , 9] 2 et une isométrie près alors 10. L ⇐ L ∪ { M ′′ } 4.2 Implémen tation en C Ce programme est la tradution en langage C des algorithmes donnés plus haut. 59 1 # i n  l u d e < s t d i o . h > # i n  l u d e < s t d l i b . h > # i n  l u d e < a s s e r t . h > / * T a i l l e d e s g r o u p e m e n t s  o n s i d é r é s ( i  i 4 × 4 ) * / 6 # d e f i n e N 4 / * N o m b r e d e g r o u p e m e n t s d a n s u n e g r i l l e ( i  i 3 × 3 ) * / # d e f i n e M 3 11 / * U n e g r i l l e d e t a i l l e 12 × 12 * / t y p e d e f i n t G R I D [M * N ℄ [ M * N ℄ ; / * U n m a s q u e p o u r r e m p l i r l e s g r i l l e s 4 × 4 − g r o u p é e s * / t y p e d e f i n t M A S K [M * M ℄ ; 16 / * L e t a b l e a u d e s 2 9 m a s q u e s p o s s i b l e s * / M A S K m a s k s [ 1 < < ( M * M ) ℄ ; / * L a l i s t e d e s g r i l l e s t r o u v é e s , e t l e n o m b r e d ' ← ֓ é l é m e n t s q u ' e l l e  o n t i e n t * / 21 # d e f i n e T A B _ G R I D _ M A X 1 0 0 G R I D t a b _ g r i d [ T A B _ G R I D _ M A X℄ ; i n t t a b _ g r i d _  o u n t = 0 ; / * A f f i  h e u n e g r i l l e r e s t r e i n t e à [2 , 10] 2 * / 26 v o i d p r i n t _ b i g _ G R I D ( G R I D g ) { i n t x , y ; f o r ( x = N / 2 ; x < N * (M − 1 ) + N / 2 ; x + + ) { f o r ( y = N / 2 ; y < N * (M − 1 ) + N / 2 ; y + + ) i f ( g [ x ℄ [ y ℄ ) 31 p r i n t f ( " # " ) ; e l s e p r i n t f ( " · " ) ; p r i n t f ( " \ n " ) ; } 36 } / * A f f i  h e u n e g r i l l e r e s t r e i n t e à [3 , 9] 2 * / v o i d p r i n t _ s m a l l _ G R I D ( G R I D g ) { i n t x , y ; 41 f o r ( x = N − 1 ; x < N * (M − 1 ) + 1 ; x + + ) { f o r ( y = N − 1 ; y < N * (M − 1 ) + 1 ; y + + ) i f ( g [ x ℄ [ y ℄ ) p r i n t f ( " # " ) ; e l s e 46 p r i n t f ( " · " ) ; p r i n t f ( " \ n " ) ; } } 51 / * C o p i e l a g r i l l e s r  d a n s d e s t * / v o i d opy_GRID ( G R I D s r  , G R I D d e s t ) { i n t x , y ; 60 f o r ( x = 0 ; x < M * N ; x + + ) f o r ( y = 0 ; y < M * N ; y + + ) 56 d e s t [ x ℄ [ y ℄ = s r  [ x ℄ [ y ℄ ; } / * R e m p l i t l e t a b l e a u d e m a s q u e s * / v o i d f i l l _ m a s k s ( v o i d ) { 61 i n t i , j ; f o r ( i = 0 ; i < 1 < < ( M * M ) ; i + + ) f o r ( j = 0 ; j < M * M; j + + ) m a s k s [ i ℄ [ j ℄ = ( i & (1 < < j ) ) ! = 0 ; } 66 / * R e m p l i t u n e g r i l l e s e l o n u n m a s q u e * / v o i d f i l l _ G R I D ( M A S K m , G R I D g ) { i n t X [ 9 ℄ = { 0 , N , 2 * N , 0 , N , 2 * N , 0 , N , 2 * N } ; i n t Y [ 9 ℄ = { 0 , 0 , 0 , N , N , N , 2 * N , 2 * N , 2 * N } ; 71 i n t i , x , y , u , v ; f o r ( i = 0 ; i < M * M; i + + ) { x = X [ i ℄ ; y = Y [ i ℄ ; f o r ( u = 0 ; u < N ; u + + ) 76 f o r ( v = 0 ; v < N ; v + + ) g [ x + u ℄ [ y + v ℄ = m [ i ℄ ; } } 81 / * C a l  u l d e l ' i m a g e d e ( x, y ) ∈ [0 , 12] 2 p a r l ' h o m o t h é t i e ← ֓ φ index * / v o i d i s o m e t r i  _ t r a n s f o r m ( i n t * x , i n t * y , i n t i n d e x ) { i n t z ; s w i t  h ( i n d e x ) {  a s e ( 1 ) : 86 * x = N * M − 1 − * x ; b r e a k ;  a s e ( 2 ) : * y = N * M − 1 − * y ; b r e a k ; 91  a s e ( 3 ) : * x = N * M − 1 − * x ; * y = N * M − 1 − * y ; b r e a k ;  a s e ( 4 ) : 96 z = * x ; * x= * y ; * y = z ; b r e a k ;  a s e ( 5 ) : 101 z = * x ; * x = N * M − 1 − * y ; * y = z ; b r e a k ;  a s e ( 6 ) : 106 z = * x ; 61 * x = * y ; * y = N * M − 1 − z ; b r e a k ;  a s e ( 7 ) : 111 z = * x ; * x = N * M − 1 − * y ; * y = N * M − 1 − z ; } } 116 / * C o p i e l ' i m a g e d e l a g r i l l e s r  p a r l ' h o m o t h é t i e φ index ← ֓ d a n s d e s t * / v o i d  o p y _ i s o m e t r i  _ t r a n s f o r m _ G R I D ( G R I D s r  , G R I D d e s t , ← ֓ i n t i n d e x ) { i n t x , y , u , v ; f o r ( x = 0 ; x < M * N ; x+ + ) 121 f o r ( y = 0 ; y < M * N ; y+ + ){ u = x ; v = y ; i s o m e t r i  _ t r a n s f o r m ( & u , & v , i n d e x ) ; d e s t [ u ℄ [ v ℄ = s r  [ x ℄ [ y ℄ ; 126 } } / * D é t e r m i n e s i 2 g r i l l e s r e s t r e i n t e s à [2 , 9] 2 s o n t é g a l e s ← ֓ à u n e i s o m é t r i e p r è s * / i n t  o m p a r e _ i s o m e t r i  _ t r a n s f o r m e d _ G R I D ( G R I D g 1 , G R I D g 2 ) { 131 i n t s , i , x , y ; G R I D g ; f o r ( i = 0 ; i < 8 ; i + + ) { s = 1 ;  o p y _ i s o m e t r i  _ t r a n s f o r m _ G R I D ( g 1 , g , i ) ; 136 f o r ( x = N − 1 ; x < N * (M − 1 ) + 1 ; x + + ) f o r ( y = N − 1 ; y < N * (M − 1 ) + 1 ; y + + ) s = s & & ( g [ x ℄ [ y ℄ = = g 2 [ x ℄ [ y ℄ ) ; i f ( s ) r e t u r n 1 ; 141 } r e t u r n 0 ; } / * A j o u t e u n e g r i l l e à l a l i s t e s i e l l e n ' y e s t p a s d é j à ← ֓ à u n e i s o m é t r i e p r è s * / 146 v o i d i n s e r t _ G R I D ( G R I D g ) { i n t i ; f o r ( i = 0 ; i < t a b _ g r i d _  o u n t ; i + + ) i f (  o m p a r e _ i s o m e t r i  _ t r a n s f o r m e d _ G R I D ( g , t a b _ g r i d [ i ← ֓ ℄ ) ) r e t u r n ; 151 a s s e r t ( t a b _ g r i d _  o u n t < T A B _ G R I D _ M A X ) ; opy_GRID ( g , t a b _ g r i d [ t a b _ g r i d _  o u n t ℄ ) ; t a b _ g r i d _  o u n t + + ; } 62 156 / * C a l  u l e #( V ( ∆( x, y, 1)) ∩ T ) * / i n t n e i g h b o r _  o u n t ( i n t x , i n t y , G R I D g ) { i n t r = 0 , u , v ; f o r ( u = − 1 ; u < = 1 ; u + + ) f o r ( v = − 1 ; v < = 1 ; v + + ) 161 i f ( g [ x + u ℄ [ y + v ℄ ) r + + ; r e t u r n r ; } 166 / * C a l  u l e #( V ∗ (∆( x, y , 1)) ∩ T ) * / i n t s t a r _ n e i g h b o r _  o u n t ( i n t x , i n t y , G R I D g ) { i n t r = 0 , u , v ; f o r ( u = − 1 ; u < = 1 ; u + + ) f o r ( v = − 1 ; v < = 1 ; v + + ) 171 i f ( ( ( u = = 0 ) ^ ( v = = 0 ) ) & & ( g [ x + u ℄ [ y + v ℄ ) ) r + + ; r e t u r n r ; } 176 / * C a l  u l e D ( T ) * / v o i d dig_GRID ( G R I D g ) { i n t x , y ; G R I D h ; opy_GRID ( g , h ) ; 181 f o r ( x = 1 ; x < M * N − 1 ; x + + ) f o r ( y = 1 ; y < M * N − 1 ; y + + ) i f ( n e i g h b o r _  o u n t ( x , y , g ) ! = 9 ) h [ x ℄ [ y ℄ = 0 ; opy_GRID ( h , g ) ; 186 } / * V é r i f i e s i u n e g r i l l e e s t b i e n 4 × 4 − g r o u p é e p a r ← ֓ r a p p o r t à l ' o r i g i n e (2 , 2) * / v o i d  h e  k _ G R I D _ i s _ 4 _ 4 _ g r o u p ( G R I D g ) { i n t u , v , x , y ; 191 f o r ( x = N ; x < N * (M − 1 ) ; x + + ) f o r ( y = N ; y < N * (M − 1 ) ; y+ + ) f o r ( u = − N / 2 ; u < = N / 2 ; u + = N ) f o r ( v = − N / 2 ; v < = N / 2 ; v + = N ) i f ( g [ x + u ℄ [ y + v ℄ ^ g [ N + u ℄ [ N + v ℄ ) { 196 p r i n t f ( " C e  o m p l e x e n ' e s t p a s 4 x 4 − g r o u p é : \ n " ← ֓ ) ; p r i n t _ b i g _ G R I D ( g ) ; a b o r t ( ) ; } } 201 / * V é r i f i e s i u n e g r i l l e n e  o n t i e n t q u e d e s p o i n t s d ' ← ֓ o r d r e 2 * / v o i d  h e  k _ G R I D _ i s _  y  l i  ( G R I D g ) { i n t k , x , y ; f o r ( x = N ; x < N * (M − 1 ) ; x + + ) 206 f o r ( y = N ; y < N * (M − 1 ) ; y+ + ){ 63 k =s t a r _ n e i g h b o r _  o u n t ( x , y , g ) ; i f ( ( k < 1 ) & & g [ x ℄ [ y ℄ ) { p r i n t f ( " C e  o m p l e x e n ' e s t p a s u n e r e s t r i  t i o n d e ← ֓  o m p l e x e s u l  i f o r m e  y  l i q u e : \ n " ) ; p r i n t _ s m a l l _ G R I D ( g ) ; 211 a b o r t ( ) ; } } } 216 / * D i f f é r e n  e e n s e m b l i s t e e n t r e 2 g r i l l e s * / v o i d s u b s t r a  t _ G R I D ( G R I D g 1 , G R I D g 2 ) { i n t x , y ; f o r ( x = 0 ; x < N * M ; x+ + ) f o r ( y = 0 ; y < N * M ; y+ + ) 221 g 2 [ x ℄ [ y ℄ = g 2 [ x ℄ [ y ℄ & & ! g 1 [ x ℄ [ y ℄ ; } / * F o n  t i o n p r i n  i p a l e * / v o i d m a i n ( ) { 226 G R I D g , h ; i n t i ; f i l l _ m a s k s ( ) ; f o r ( i = 0 ; i < 1 < < ( M * M ) ; i + + ) { f i l l _ G R I D ( m a s k s [ i ℄ , g ) ; 231 opy_GRID ( g , h ) ; dig_GRID ( g ) ; s u b s t r a  t _ G R I D ( g , h ) ;  h e  k _ G R I D _ i s _  y  l i  ( h ) ; 236 opy_GRID ( g , h ) ; dig_GRID ( g ) ;  h e  k _ G R I D _ i s _ 4 _ 4 _ g r o u p ( g ) ; 241 s u b s t r a  t _ G R I D ( g , h ) ; i n s e r t _ G R I D ( h ) ; } p r i n t f ( " L e s d e u x p r o p r i é t é s \ n t e s t é e s s o n t v é r i f i é e s . \ n ← ֓ " ) ; p r i n t f ( " I l y a % i  o m p l e x e s \ n d a n s l a l i s t e . \ n \ n \ n \ n \ n " ← ֓ , t a b _ g r i d _  o u n t ) ; 246 f o r ( i = 0 ; i < t a b _ g r i d _  o u n t ; i + + ) { p r i n t f ( " \ n C o m p l e x e n o % i : \ n " , i + 1 ) ; p r i n t _ s m a l l _ G R I D ( t a b _ g r i d [ i ℄ ) ; } } 4.3 Résultats donnés par le programme Notre programme se ompile sans message d'erreur ni d'a v ertissemen t a v e une v ersion réen te de g . Il s'exéute en moins d'une seonde et imprime les résultats regroup és dans la table 1. 64 Les deux propriétés testées sont vérifiées. Il y a 14 omplexes dans la liste. Complexe no 1: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Complexe no 2: · · · · · · · · · · · · · · # # · · · · # # · · · · · · · · · · · · · · Complexe no 3: · · · · · · · · · · · · # # # # · · # # # # · · · · · · · · · · · · · · Complexe no 4: · · # # · · · · # # · · # # # # · · # # # # · · · · · · · · · · · · · · Complexe no 5: · · · # · · · · · # · · · · · # · · # # # # · · · · · · · · · · · · · · Complexe no 6: · · # # · · · · # # · · · · # # · · · · # # · · · · # # · · · · # # · · Complexe no 7: · · # # · · · · # # · · # # # # · · # # # # · · · · # # · · · · # # · · Complexe no 8: · · · # · · · · · # · · · · · # · · # # # # · · · · # # · · · · # # · · Complexe no 9: · · · # · · · · · # · · · · · # · · · · · # · · · · · # · · · · · # · · Complexe no 10: · · # # · · · · # # · · # # # # # # # # # # # # · · # # · · · · # # · · Complexe no 11: · · · # · · · · · # · · · · · # # # # # # # # # · · # # · · · · # # · · Complexe no 12: · · · # · · · · · # · · · · · # # # · · · # # # · · · # · · · · · # · · Complexe no 13: · · # · · · · · # · · · # # # · · · · · · # # # · · · # · · · · · # · · Complexe no 14: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · # # # · · · # · · · · · # · · T ab. 1  Résultats imprimés par le programme 65 4.4 Fin de la démonstration du lemme On a regroup é dans le tableau suiv an t les quatorze diéren tes ongurations p ossibles à une isométrie près des ub es de U sur un v oisinage de taille 6 × 6 . Les traits en p oin tillés délimiten t un v oisinage de taille 4 × 4 qui onstitue les b ords du motif de pa v age p ermettan t de reouvrir U (puisqu'on a vu que D 2 préserv e le 4 × 4 -group emen t). C'est à dire que quel que soit le omplexe original S 4 × 4 -group é, toute restrition de U à z + [ − 1 , 5] 2 p our z ∈ (4 Z ) 2 est égale  à une isométrie près  à l'un des motifs du tableau, et toute restrition de U à z + [0 , 4] 2 est égale à l'un des motifs du tableau délimité par les traits en p oin tillés. La ou he d'épaisseur 1 autour du arré en p oin tillés v a être utilisée p our aluler le nom bre de v oisins des ub es dy adiques à l'in térieur des p oin tillés. Il nous reste enore à extraire de U les deux omplexes U 1 et U 2 annonés. Considérons le déoupage présen té dans le tableau suiv an t : les ha h ures v erti- ales représen ten t U 1 les ha h ures v ertiales U 2 . Les traits en gras dénissen t une partition de U 2 en sillons, ou les endroits où des ub es de U 2 tou hen t des ub es de U 1 . Si l'on observ e les restritions de U 1 au motif de pa v age de taille 4 × 4 matérialisé par les traits en p oin tillé, on onstate que U 1 est bien suliforme en 66 yles ('est à dire que tout ub e de U 1 a deux v oisins tangen ts, év en tuellemen t à l'extérieur du arré). En outre U 2 est bien 2 × 2 -group é (par rapp ort à une origine plaée au en tre du arré du motif ) et si on observ e les partitions de son 2 × 2 -group emen t U ′ 2 délimitées par les traits en gras, on onstate bien que  haun des ub es des sous-omplexes a au plus deux v oisins tangen ts, don que U ′ 2 est quasi-suliforme. De plus, les seuls ub es de U ′ 2 qui tou hen t des ub es de U 1 son t des extrémités de U ′ 2 ('est à dire qui on t au plus un v oisin tangen t dans U ′ 2 ). Une ériture formelle des expliations qu'on vien t de donner serait vrai- sem blablemen t fastidieuse et guère plus on v ainan te, on en restera là et on onsidèrera que les trois omplexes T , U 1 et U 2 qu'on a extraits de S v érien t bien toutes les propriétés annonées dans le lemme 6. Référenes [Bas59℄ A. Bastiani. P oly èdres on v exes dans les espaes v etoriels top olo- giques. Sémin. de T op ologie et de Géométrie diéren tielle Ch. Ehres- mann 1 (1957/58), No.19, 46 p., 1959. [Da v03℄ G. Da vid. Limits of Almgren quasiminimal sets. In Harmoni A naly- sis at Mount Holyoke : Pr o  e e dings of an A ms-Ims-Siam Joint Sum- mer R ese ar h Confer en e on Harmoni A nalysis, June 25-July 5, 2001, Mount Holyoke Col le ge, South Had ley, Ma , v olume 32. Amerian Ma- thematial So iet y , 2003. [DP07℄ T. De P au w. Appro ximating ompat retiable surfaes in Hausdor measure and in Hausdor distane b y lo ally ayli surfaes ha ving the same b oundary. 2007. [Kir34℄ M.D. Kirszbraun. Ub er die zusammenziehenden und Lips hitzs hen T ransformationen. F und. Math , 22 :77108, 1934. [KM40℄ M. Krein and D. Milman. On extreme p oin ts of regular on v ex sets. Studia Math , 9 :133138, 1940. [Mat95℄ P . Mattila. Ge ometry of Sets and Me asur es in Eulide an Sp a es : F r a- tals and R e tiability . Cam bridge Univ ersit y Press, 1995. [Rei60℄ E.R. Reifen b erg. Solution of the Plateau problem for m-dimensional surfaes of v arying top ologial t yp e. A ta Mathemati a , 104(1) :192, 1960. 67 Remplissage de l'espae Eulidien par des omplexes p oly édriques d'orien tation imp osée et de rotondité uniforme Vinen t F euvrier 6 septem bre 2021 Résumé Nous donnons une métho de de onstrution de omplexes p oly édriques dans R n p ermettan t de relier en tre elles des grilles dy adiques d'orien ta- tions diéren tes tout en s'assuran t que les p oly èdres utilisés ne soien t pas trop plats, y ompris leurs sous-faes de toutes dimensions. P our ela, après a v oir rapp elé quelques dénitions et propriétés simples des p oly èdres eulidiens ompats et des omplexes, on se dote d'un outil qui p ermet de remplir de p oly èdres n -dimensionnels un ouv ert en forme de tub e don t la fron tière est p ortée par un omplexe n − 1 -dimensionnel. Le théorème prinipal est démon tré par indution sur n en relian t les omplexes dy a- diques ou he par ou he, en remplissan t des tub es disp osés autour des diéren tes ou hes et en utilisan t le théorème en dimension inférieure p our onstruire les moreaux manquan ts de la fron tière des tub es. Une appli- ation p ossible de e résultat est la re her he de solutions à des problèmes de minimisation de la mesure en dimension et o dimension quelonques dans ertaines lasses top ologiques. Abstrat W e build p olyhedral omplexes in R n that oinide with dy adi grids with dieren t orien tations, while k eeping uniform lo w er b ounds (dep end- ing only on n ) on the atness of the added p olyhedrons inluding their subfaes in all dimensions. After the denitions and rst prop erties of ompat Eulidean p olyhedrons and omplexes, w e in tro due a to ol al- lo wing us to ll with n -dimensionnal p olyhedrons a tubular-shap ed op en set, the b oundary of whi h is a giv en n − 1 -dimensionnal omplex. The main result is pro v en indutiv ely o v er n b y ompleting our dy adi grids la y er after la y er, lling the tub e surrounding ea h la y er and using the result in the previous dimension to build the missing parts of the tub e b oundary . A p ossible appliation of this result is a w a y to nd solutions to problems of measure minimization o v er ertain top ologial lasses of sets, in arbitrary dimension and o dimension. 1