Un problema da discutere: una rappresentazione geometrica del teorema del coseno

Il testo ci appare assolutamente oscuro nella parte finale; ma c'è una spiegazione con riferimento ad una figura. Dicendo «il quadrato […] è minore dei quadrati […] per il doppio del rettangolo» si intende dire che il doppio del rettangolo è la differenza fra la somma dei quadrati costruiti su due lati (quelli che comprendono l'angolo acuto) e il quadrato costruito sul terzo lato. Euclide rappresenta geometricamente tale differenza. Se AC (figura 1) è il lato opposto all'angolo acuto in B, il rettangolo che rappresenta la metà della differenza citata ha per dimensioni BC e BD (BC è «uno dei lati intorno all'angolo acuto», mentre BD è il segmento «staccato dalla perpendicolare all'angolo acuto»).

Confondendo un segmento con la corrispondente misura, si ha quindi

Per ritrovare l’enunciato usuale è sufficiente osservare che BD = AB cos b.

un Problema da discutere una rappresentazione geometrica del teorema del coseno

Sono note varie dimostrazioni del teorema; qui propongo una recente dimostrazione di Al Cuoco, americano di origini italiane, autorevole studioso di didattica della matematica e direttore del Center for Mathematics Education presso l’Education Development Center nel Massachusetts (USA); la dimostrazione è riportata in [H]. Supponiamo, in un primo tempo, che il triangolo sia acutangolo. Costruiamo i quadrati sui tre lati del triangolo, esternamente al triangolo; quindi tracciamo le tre altezze del triangolo e prolunghiamole in modo che ogni quadrato sia diviso in due rettangoli (fig. 2).

Calcoliamo ora le aree dei due rettangoli R 1 ed R 2 , colorati in figura 1, che hanno per dimensioni un lato del triangolo e la proiezione di un secondo lato sul primo.

Se si conoscono le nozioni base della trigonometria il calcolo delle aree è semplice:

Si conclude così che i due rettangoli sono equivalenti. In modo analogo si trovano altre due coppie di rettangoli equivalenti, come suggerito dalla figura 3.

Abbiamo così scomposto i tre quadrati in sei rettangoli, a due a due equivalenti. Il ragionamento è ora facile:

Se il triangolo è rettangolo le altezze coincidono con i cateti e si ottiene la classica configurazione del I teorema di Euclide, da cui segue immediatamente il teorema di Pitagora.

Se il triangolo è ottusangolo, il ragionamento funziona ancora, a patto di accettare aree negative. Con riferimento alla figura 4, il quadrato costruito sul lato AC geometricamente non è la somma, ma è la differenza dei due rettangoli R 2 = CEFI ed S 1 : in effetti, R 2 è tutto il rettangolo CEFI e, togliendo S 1 da R 2 , rimane appunto il quadrato costruito sul lato. Un discorso analogo vale per il quadrato costruito sul lato AB. Come nel caso precedente, R 2 è equivalente ad R 1 ed S 1 è equivalente ad S 2 .

Ancora un’osservazione. Dati tre numeri L, M, N, il sistema

Se L, M, N sono le aree dei tre quadrati costruiti sui lati di un triangolo, la soluzione è rappresentata geometricamente dalle aree dei rettangoli considerati in figura 3.

Se L, M, N sono invece le lunghezze dei lati di un triangolo, allora x, y, z sono le lunghezze dei segmenti in cui i lati stessi sono divisi dai punti di tangenza con il cerchio inscritto (figura 5). In tal caso, siccome ciascuno dei tre numeri L, M, N è minore della somma degli altri due, si ottengono come soluzione tre numeri positivi (infatti, la soluzione è data dalla terna (L+M-N)/2, (L+N-M)/2, (M+N-L)/2 ). Nel caso dei quadrati la soluzione è formata da tre numeri positivi se e solo se il triangolo è acutangolo.

Un’interpretazione geometrica è facile anche quando L, M, N sono le ampiezze degli angoli di un triangolo. Infatti, ogni angolo del triangolo è diviso in due parti da un raggio del cerchio circoscritto e la soluzione del sistema corrisponde proprio alle ampiezze di queste parti (figura 6), perché i tre triangoli che si ottengono congiungendo i vertici con il centro del cerchio sono ovviamente isosceli. Si osservi che anche in quest’ultimo caso la soluzione è formata da tre numeri positivi se e solo se il triangolo è acutangolo.

This content is AI-processed based on open access ArXiv data.