Gli angoli alla base di un triangolo isoscele

Negli ultimi mesi, anche parlando dell'esame di Stato a conclusione del Liceo Scientifico, si è molto insistito sul fatto che le Indicazioni Nazionali raccomandano di presentare le applicazioni della matematica e, in particolare, il concetto di modello matematico. Non vorrei però che si dimenticasse che le stesse Indicazioni, come pure le Linee Guida per gli Istituti Tecnici e Professionali, sottolineano d'altra parte l'importanza del metodo dimostrativo: «Verrà chiarita l'importanza e il significato dei concetti di postulato, assioma, definizione, teorema, dimostrazione» (per inciso, io non farei differenza fra postulato e assioma).

In questo breve articolo vorrei confrontare varie dimostrazioni di uno dei primi teoremi che si incontrano in geometria euclidea del piano: «gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali», ovvero «se un triangolo ha due lati uguali (congruenti), allora gli angoli opposti a quei lati sono uguali (congruenti)». Di questo teorema si è già parlato su Archimede vari anni fa ( [2] e [3]).

Il teorema compare all’inizio degli Elementi di Euclide (libro I, proposizione 5), dove è immediatamente seguito dal suo inverso (proposizione 6). Forse anche per la sua collocazione all’inizio del curriculum di geometria, il teorema è talvolta indicato con il nome di pons asinorum.

L’enunciato è di immediata verifica: basta ritagliare un triangolo isoscele disegnato su un foglio di carta e ripiegarlo in modo da far combaciare i lati uguali. Una tale verifica, sicuramente adatta all’inizio di una Scuola secondaria di I grado, non è una dimostrazione, ma è comunque didatticamente più ricca di un semplice controllo dell’uguaglianza dei due angoli effettuato con un goniometro: la piegatura della carta fa capire che il triangolo isoscele ammette un asse di simmetria (anche se non si usa esplicitamente questa parola), e che segmenti o angoli che si corrispondono in una simmetria sono uguali.

Chi dimenticasse la collocazione iniziale del nostro teorema potrebbe facilmente proporre dimostrazioni che sembrano rapide e brillanti. Vediamo due esempi.

-Siano a, a’ le lunghezze di due lati di un triangolo e sia b quella del terzo lato; indichiamo con a, a’ le ampiezze degli angoli opposti ad a, a’. L’area del triangolo si può esprimere sia come (1/2)a’b sen a sia come (1/2)ab sen a’. Dall’uguaglianza (1/2)a’b sen a = (1/2)ab sen a’ segue subito che a = a’ se e solo se sen a = sen a’; e, tenendo presente che due angoli di uno stesso triangolo non possono essere supplementari, concludiamo a = a’ se e solo se a = a’, ottenendo così anche l’enunciato inverso.

-Dato un triangolo ABC con AB = AC, tracciamo la circonferenza di centro A e raggio AB, che passa anche per C (fig. 1). Gli angoli del triangolo in B e in C sono angoli alla circonferenza a cui corrispondono archi uguali (una semicirconferenza diminuita dell’arco BC): quindi i due angoli sono uguali.

Tuttavia, dimostrazioni del tipo precedente presentano due grossi difetti. In primo luogo bisogna controllare con cura che tutti i teoremi che si danno per noti si riescano a dimostrare senza presupporre il teorema che stiamo considerando. Per esempio, nelle dimostrazioni classiche dei teoremi relativi agli angoli al centro e alla circonferenza si usa proprio il teorema sugli angoli alla base di un triangolo isoscele.

Inoltre, il teorema di cui stiamo parlando vale anche nelle geometrie ellittica e iperbolica: se applichiamo teoremi specifici di geometria euclidea, troviamo un risultato che dipende dal postulato delle parallele. Così, il ricorso alla trigonometria o all’area di un triangolo (calcolata nel modo usuale), o il fatto di escludere che un triangolo abbia due angoli supplementari, limita il risultato all’ambito della geometria euclidea.

Esaminiamo ora tre dimostrazioni che si possono effettivamente presentare all’inizio della trattazione della geometria. In ogni caso, si presuppone il I criterio di uguaglianza dei triangoli (due lati e l’angolo compreso).

Sia, come prima, ABC un triangolo isoscele con i lati AB e AC uguali.

Prima dimostrazione -Si traccia la bisettrice AH e si considerano i triangoli ABH ed ACH. Questi due triangoli sono uguali per il I criterio; si conclude subito l’uguaglianza degli angoli alla base. La dimostrazione è rapida e convincente, ma presenta due problemi. In primo luogo, a rigore, si deve dimostrare a priori l’esistenza della bisettrice. La costruzione della bisettrice di un angolo si trova nel libro I degli Elementi solo come proposizione 9: Euclide la ottiene applicando il III criterio di uguaglianza, che, a sua volta, dipende proprio dal teorema di cui ci stiamo occupando. Inoltre, sul piano didattico, non credo ci sia un procedimento altrettanto semplice per dimostrare il teorema inverso. Con la stessa costruzione, ma facendo riferimento sia al I sia al II criterio di uguaglianza, si dimostra il teorema inverso. Si considerano prima i triangoli BDC ed ECB, che risultano uguali per il I criterio; da

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