O Algoritmo usado no programa de criptografia PASME

arXiv:1101.0827v1 [cs.CR] 4 Jan 2011 1 O Algoritmo Usado No Programa de Criptografia PASME P´ericles Lopes Machado Abstract— This work will present the main encryption algo- rithm of the PASME tool, PASME allows encrypt and hide information in various types of files. The algorithm uses the fact that factoring large numbers is a difficult issue in terms of computational performing to make the main steps of the encryption. Resumo— Neste trabalho ser´a apresentado o principal algo- ritmo de criptografia da ferramenta PASME, a qual permite encriptac¸˜ao e ocultamento de informac¸˜oes em diversos tipos de arquivos. O algoritmo utiliza o fato da fatorac¸˜ao de n´umeros grandes ser um problema dif´ıcil do ponto de vista computacional, efetuando assim, os principais passos da encriptac¸˜ao. Palavras-chave— Criptografia, Teoria dos n´umeros, Teoria da informac¸˜ao I. INTRODUC¸ ˜AO A ideia fundamental de qualquer algoritmo de criptografia ´e modificar a representac¸˜ao de uma informac¸˜ao para garantir protec¸˜ao contra acesso indevidos. No decorrer dos anos, muitos algoritmos de criptogra- fia foram desenvolvidos. Um dos mais antigos realiza uma permutac¸˜ao no alfabeto que cont´em todos os s´ımbolos da mensagem que ser´a encriptada. Contudo, este algoritmo apre- senta grande vulnerabilidade a uma an´alise da frequˆencia de ocorrˆencia de determinados s´ımbolos, principalmente quando aplicados `a textos escritos. Outro m´etodo cl´assico, usado em mensagens bin´arias, con- siste em inverter certos bits e armazenar a posic¸˜ao dos bits que foram invertidos em outra palavra, a folha-chave, com o mesmo tamanho da mensagem que foi encriptada. Um problema desse m´etodo ´e que o tamanho da folha-chave pode ser muito grande, inviabilizando o processo de encriptac¸˜ao. Muitos algoritmos modernos utilizam estrat´egias envol- vendo teoria dos n´umeros atrav´es da utilizac¸˜ao de problemas que atualmente s˜ao intrat´aveis do ponto de vista computacio- nal. Um exemplo cl´assico desta classe de algoritmo ´e o RSA [2] [3]. A ideia do presente trabalho ´e utilizar a intratabilidade da fatorac¸˜ao de inteiros grandes para realizar os passos-chave de sua encriptac¸˜ao. Nas pr´oximas sec¸˜oes, ser˜ao descritos os passos realizados pelo algoritmo de encriptac¸˜ao PASME, al´em de serem comentados alguns detalhes de sua implementac¸˜ao [1]. II. ALGUMAS FUNC¸ ˜OES FUNDAMENTAIS A. A func¸˜ao ∓(inflar) A ideia fundamental do algoritmo PASME ´e a mudanc¸a na base de representac¸˜ao de um n´umero. Mudar a base de Laborat´orio de An´alises Num´ericas em Eletromagnetismo (LANE), Uni- versidade Federal do Par´a, caixa postal 8619, CEP 66073-900, Brasil; e-mail: pericles.machado@itec.ufpa.br representac¸˜ao de um n´umero inteiro n = a0a1a2...ak para a base b consiste em realizar a operac¸˜ao descrita na equac¸˜ao 1 T (n, b) = a0bk + a1bk−1 + ... + akb0 (1) A func¸˜ao ∓descrita em 2 ´e uma mudanc¸a de base onde a cada digito ´e adicionado um ”lixo”. ∓(n, b, v) = (a0+c0)b1+(a1+c1)b2+...+(ak+ck)bk+1 (2) Onde ci ´e descrito na equac¸˜ao 3. ci =  ⊲(v) , se i = 0 ⊲(ci−1) , se i > 0 (3) Nas equac¸˜oes 2 e 3, ⊲(x) ´e o pr´oximo primo depois de x, v ´e um inteiro qualquer, n ´e a informac¸˜ao representada na forma de um inteiro, ak ´e um digito de n na base original e b ´e a base alvo. B. A func¸˜ao ± (sujar) ± ´e semelhante a func¸˜ao ∓, s´o que o ”lixo”v usado ´e o mesmo em todos d´ıgitos, conforme pode ser visto na equac¸˜ao 4. ± (n, b, v) = (a0 + v)b0 + (a1 + v)b1 + ... + (ak + v)bk (4) III. O ALGORITMO DE ENCRIPTAC¸ ˜AO PASME A seguir, ser˜ao descritos os procedimentos para encriptar ou desencriptar uma mensagem usando o algoritmo PASME. O algoritmo PASME(n, key) encripta uma mensagem n usando a frase-chave key. A. Encriptando uma mensagem O processo de encriptac¸˜ao inicia com a gerac¸˜ao de 7 n´umeros aleat´orios (de preferˆencia, grandes) ri, i = 1...7. Em seguida, s˜ao definidos 4 n´umeros Ki = ⊲(ri), para i = 1...5 e i ̸= 3, K3 = ⊲(K5 + dmax + r3 + 1), dmax ´e o maior digito da base em que a informac¸˜ao originalmente est´a representada. Para continuar o processo de encriptac¸˜ao, uma frase-chave key tem de ser fornecida. Usando-se a frase-chave, s˜ao gerados os n´umeros W = ∓(key, K3, K2) + K1, Q = ⊲(±(n, K3, K5) + r7), P = WQ + K4, e X = ±(n, K3, K5) xor Q. X ´e a mensagem n encriptada. As informac¸˜oes divulgadas s˜ao os n´umeros Ki(i = 1...5), P e X. 2 B. Desencriptando uma mensagem Para desencriptar uma mensagem, ´e preciso que sejam fornecidos os n´umeros Ki(i = 1...5), P e X, al´em da frase- chave key. O primeiro passo da desencriptac¸˜ao ´e a validac¸˜ao da chave, para realizar essa operac¸˜ao, gera-se o n´umero W ′ = ∓(key, K3, K2) + K1 e ´e verificado se P mod W ′ = K4. Efetuada a validac¸˜ao, pode-se recuperar Q = (P −K4)/W ′ . Com Q recuperado, a mensagem n ocultada em X poder´a ser revelada. Para revelar a mensagem n, gera-se o n´umero Y = X xor Q e o procedimento descrito a seguir tem de ser efetuado. 1) X′ = ∅, X′ ´e uma palavra vazia 2)

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