Characterization and definability in modal first-order fragments

Universidad de Buenos Aires Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Computaci´on Caracterizaci´on y Definibilidad en Fragmentos Modales de Primer Orden Characterization and Definability in Modal First-Order Fragments Tesis presentada para optar al t´ıtulo de Licenciado en Ciencias de la Computaci´on Facundo Mat´ıas Carreiro Director: Santiago Daniel Figueira Codirector: Carlos Eduardo Areces Buenos Aires, 5 de Marzo de 2010 arXiv:1011.4718v1 [cs.LO] 22 Nov 2010 2 CONTENTS Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Abstract extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 A bit of history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Basic modal logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Model equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 What this thesis is about . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Known results for BML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Definability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. The generalized framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 General model equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4. Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.1 Adequate pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Definability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1 Memory Logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2 Hybrid Logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6. Conclusions and further work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Appendix A: Auxiliary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Appendix B: Filters and ultraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 i ABSTRACT Model theoretic results such as Characterization and Definability give important information about different logics. It is well known that the proofs of those results for several modal logics have, somehow, the same ‘taste’. A general proof for most modal logics below first order is still too ambitious. In this thesis we plan to isolate sufficient conditions for the characterization and definability theorems to hold in a wide range of logics. Along with these conditions we will prove that, whichever logic that meets them, satisfies both theorems. Therefore, one could give an unifying proof for logics with already known results. Moreover, one will be able to prove characterization and definability results for logics that have not yet been investigated. In both cases, it is only needed to check that a logic meets the requirements to automatically derive the desired results. Keywords: logic, modal, characterization, definability, saturation. iii AGRADECIMIENTOS Una gran cantidad de personas invirti´o tiempo, esfuerzo y buena voluntad para que pudiera llegar a este momento. La siguiente lista de agradecimientos no planea ser extensiva ni mucho menos. Probablemente olvide nombres pero todo el que sienta que haya hecho un aporte puede sentirse incluido. Primero que nada quiero agradecer a Santiago Figueira, por confiar en mi desde el principio y abrirme un mundo de oportunidades y personas nuevas. Gracias por incentivarme a la investigaci´on y poner todo tu empe˜no para crear un ambiente de trabajo genial. Tambi´en por ser una persona abierta, dispuesta a compartir mucho m´as que algunas reuniones por semana. Le debo mucho tambi´en, a Carlos Areces, por orientarme en mi tesis y fuera de ella. Por darme la oportunidad de conocer lugares nuevos y personas muy importantes. Por encar- garse de todos los arreglos necesarios, siempre! Quiero agradecer a ambos, Carlos y Luciana Benotti

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