An efficient computer algorithm is described for the perspective drawing of a wide class of surfaces. The class includes surfaces corresponding lo single-valued, continuous functions which are defined over rectangular domains. The algorithm automatically computes and eliminates hidden lines. The number of computations in the algorithm grows linearly with the number of sample points on the surface to be drawn. An analysis of the algorithm is presented, and extensions lo certain multi-valued functions are indicated. The algorithm is implemented and tested on .Net 2.0 platform that left interactive use. Running times are found lo be exceedingly efficient for visualization, where interaction on-line and view-point control, enables effective and rapid examination of a surfaces from many perspectives.
IBP-Memo 2008-08 2/21 ocultas." El número de operaciones en el algoritmo crece linealmente con el número de puntos (ó muestra de puntos) de la superficie a ser dibujada. Se presentan tanto el algoritmo, así como una extensión a ciertas funciones multi-valuadas. El algoritmo es implantado y probado en plataforma .Net 2.0 que permite su uso interactivo. Se encuentran tiempos de ejecución eficientes que permiten la visualización, donde la interacción y el control del punto de observación, proporcionan una rápida visualización de superficies desde muchas perspectivas.
Términos Clave: Algoritmo de ocultamiento de líneas, Dibujando superficies, Geometría de Computacional, CAD/CAM. Visión por computadora, Gráficos.
El problema general de la eficiencia y significativamente el desplegando de objetos tridimensionales en dos dimensiones es central en la graficación por computadora. En particular, al dibujar objetos en perspectiva el “problema de ocultamiento de líneas” se realiza eliminando segmentos de línea no visibles desde el punto de vista del observador, este es uno de los problemas que siempre ha estado presente. A través del tiempo, varios algoritmos que tratan este problema han aparecido en la literatura. Algunos de estos algoritmos son prohibitivos por la gran cantidad tiempo de calculo (con respecto al número de puntos) o tienen requisitos del memoria muy grandes; algunos tienen ambas características indeseables.
En este artículo se da una descripción detallada de un algoritmo muy eficaz para dibujar en perspectiva una superficie arbitraria que corresponde a una función continua uni-valuada definida sobre un dominio rectangular, con la eliminación de líneas ocultas. El punto de observación desde donde es vista la superficie que pude ser cualquier punto fuera de la superficie. Se mencionan a lgunas generalizaciones del algoritmo a dominios no rectangulares y a funciones multi-valuadas.
Este algoritmo se ha implantado sobre la plataforma .Net 2.0 con tiempo de cómputo considerablemente más corto que algoritmos anteriores para dibujar superficies similares.
Un rasgo muy útil de la aplicación es que el programa funciona interactivamente y permite al usuario cambiar los puntos de observación con el “ratón” e inmediatamente desplegar la vista de la superficie en análisis. ) El P plano, contiene la imagen en perspectiva S’ de S, se elige perpendicular a la línea que une a V y el origen O. Se elige un sistema de coordenadas rectangular con ejes x’-y’ en P que conserve la dirección vertical original de S. Es decir, el eje y’ sobre P debe ser la proyección del eje z original. Esta última elección es necesaria, como lo veremos después.
(Con relación al sistema rectangular sobre P, la imagen en perspectiva sobre P de cada punto de S tiene un par bien definido de coordenadas. La demostración de estas coordenadas se da en el Apéndice.)
J-é simo renglón de la maya I-é sima columna de la maya ( )
La superficie S es primero cuantificada en una maya de puntos rectangular MxN sobre el dominio R. Figura 2 muestras las líneas de la maya en R, dividiendo R en subrectangles. Se muestra la parte de S definida sobre un subrectangle. Será llamado como “el parche de la superficie” de S. Después de la cuantificación, sólo los cuatro puntos del parche definidos sobre los cuatro vértices del subrectangle son conocidos, y es asumida la interpolación lineal de la función entre puntos adyacentes de la maya, es decir, entre los puntos adyacentes en la misma fila y los puntos adyacentes en la misma columna de la maya. (Así, S no necesita ser definida explícitamente por una función matemática; los datos para S pueden ser dados por un arreglo rectangular de puntos que corresponden a una maya rectangular. de puntos sobre el dominio.) El comportamiento de S en el interior de cada subrectangle de la maya e s ignorado. Así, cada parche de la superficie de S será representado por sus cuatro bordes linealmente interpolados en el espacio tridimensional.
La imagen de estos bordes en el plano de proyección es un polígono de cuatro lados (Fig. 3). Para cada , parche de la superficie de S, sólo se dibujarán los segmentos de la línea visibles de estos bordes. Intuitivamente, la superficie debe pensarse de como una membrana elástica opaca estirada sobre un marco rígido que consiste en todos los bordes linealmente interpolados de los parches de la superficie. Entonces el problema es dibujar en perspectiva la superficie eliminando los segmentos de línea ocultos por la membrana opaca desde el punto de vista del observador. (Note que la proyección vertical sobre el plano x-y coincide con las líneas de la maya en R.)
El algoritmo para determinar la visibilidad de cualquier borde o segmento dado esta basado en dos ideas. La primera consiste en escoger un “ordenamiento” en particular de los parches de la superficie S para que ningún parche aparezca antes en el “orden” y que este oculto desde el punto de observación o que el parche aparezca después. La s
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