정수와 서로 다른 배수를 매칭하는 최적 경계
이 논문은 양의 정수 집합 A와 길이 2aₘ(=2·max A)인 열린 구간 I에 대해, A의 원소가 I 안의 서로 다른 정수 b와 a|b 관계로 매칭될 수 있는 최대 쌍의 수 f(m)을 정확히 구한다. 결과는 모든 m에 대해 \(f(m)=\min\{\,m,\;\lceil2\sqrt m\,\rceil\}\) 임을 보이며, 상한과 하한을 각각 Hall‑정리와 구성법으로 증명한다. 증명 과정은 ChatGPT가 제시한 전략을 바탕으로 인간이 다…
저자: Wouter van Doorn, Yanyang Li, Quanyu Tang
이 논문은 Erdős가 제기한 “정수 집합 A와 구간 I(길이 2·max A) 사이에서 서로 다른 배수 매칭을 최소 몇 개 보장할 수 있는가?”라는 문제를 정확히 해결한다. 정의된 함수 \(f(m)\)은 모든 크기 \(m\)인 양의 정수 집합 \(A\)와 모든 실수 \(x\)에 대해 구간 \(I=(x,x+2a_m)\) 안에서 \(A\)의 원소와 서로 다른 배수 \(b\)가 짝지어질 수 있는 최소 매칭 크기의 최댓값이다. 기존 연구에서는 \(\sqrt m\le f(m)\le 2\lceil\sqrt m\rceil\) 정도의 근사만 알려졌으며, 정확한 성장률은 미정이었다.
**주요 결과**
주요 정리는 모든 양의 정수 \(m\)에 대해
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