고장에 강인한 MPC 기반 궤적 추적 및 실시간 모델 적응

본 논문은 모델 예측 제어(MPC)가 시스템 모델에 크게 의존한다는 점을 출발점으로, 모델이 고장이나 파라미터 변동으로 인해 손상될 때에도 안정적인 궤적 추적을 유지하고 동시에 고장을 식별·격리하는 전략을 제안한다. 연구 배경으로는 항공우주 분야에서 양의 입력(예: 스러스터)과 파라미터 변동성을 갖는 선형 파라미터 변동(LPV) 시스템이 많이 등장한다는 점을 들며, 이러한 시스템은 기존의 부정적 값이 허용되지 않는 ‘양의 시스템’ 이론과도 연관된다. 문헌 검토에서는 모델 기반 FDI(관측기·칼만 필터·슬라이딩 모드 등)와 데이터 기반 FDI(회귀·AI·SVD 등)를 구분하고, 특히 활성 FDI는 입력을 설계해 고장을 더 잘 드러내는 방법으로 소개된다. 기존 집합 기반 FDI는 관측기 이득을 이용해 도달 가능 집합을 구분하지만, 비선형·LPV 시스템에 적용하기엔 계산량이 크게 늘어나는 문제가 있다. 최근 제안된 Constrained Convex Generators(CCG)는 Constraint Zonotope의 일반화로, 다면체와 타원체를 동시에 표현하고 convex hull 연산에 최적화된 구조를 제공한다. 논문은 이러한 CCG를 활용해 정확한 집합 기반 전파와 고장 구분을 수행한다. 수학적 모델은 (2)식으로 정의된 LPV 시스템이며, 파라미터 θ_k 가 시간에 따라 변한다. 고장 식별은 ‘입력 구분성(Input Distinguishability)’ 개념을 도입해, 동일 입력 하에 두 모델의 출력이 동일하게 나타날 수 없도록 하는 조건을 설정한다. 이를 위해 도달 가능 집합 X_k 를 계산하고, 정상 모델과 고장 모델의 집합이 교차하지 않으면 고장이 감지된다고 정의한다. MPC 최적화 문제는 일반적인 2‑norm 비용(상태·입력·입력 변화)과 함께, 최종 상태가 목표 집합에 들어가도록 제약을 둔다. 추가적으로 X_k^(1) ∩ X_k^(2) = ∅ 라는 구분 제약을 삽입해 고장 식별을 동시에 수행한다. 핵심 기법은 다음과 같다. 1. **CCG 정의 및 연산**: (5)식으로 CCG를 정의하고, 선형 변환(RZ+t), Minkowski 합(Z⊕W), 교집합(Z∩RY) 등을 (6)~(8)식으로 명시한다. 2. **도달 가능 집합 구성**: (9)식에 따라 초기 상태·입력·교란·노이즈를 포함한 확장 상태‑입력 공간에서 도달 가능 집합 R_N 을 재귀적으로 계산한다. LPV 경우에는 각 시간 단계마다 A(θ)·B(θ) 를 교체해 전체 경로에 대한 convex hull 을 구한다. 3. **집합 곱 연산**: B(θ)·U 와 같은 곱셈은 비선형 생성자 곱을 포함하므로, 보조 생성자를 도입해 노름 원뿔 제약(12)으로 근사한다. 이를 통해 CCG 형식 내에서 곱 연산을 구현한다. 4. **상태‑입력 공간 확장**: (13)~(14)식으로 초기 상태와 입력을 동시에 포함하는 고차원 CCG를 구성한다. 이는 고장 구분을 위한 경계 추출을 용이하게 만든다. 알고리즘 1은 전체 흐름을 요약한다. 초기 집합·노이즈·교란·스케줄링 폴리토프·입력 제약을 입력받아, 각 모드·θ 조합에 대해 도달 가능 집합을 계산하고, 모든 모드에 대해 convex hull 을 구한다. 이후 두 모드 간 교집합을 구해 입력 공간으로 투사하고, 최종적으로 교집합의 보완 집합에서 비용 J(u) 를 최소화하는 제어 입력 u* 를 선택한다. 여기서 γ 는 상태 비용과 입력 변동 비용 사이의 가중치를 조절한다. **서브옵티멀 SVD 기반 접근**: 정확한 CCG 연산은 고차원 교집합·투사·경계 추출 과정에서 연산량이 급증한다. 이를 완화하기 위해 저자들은 SVD를 이용해 ‘최대 제어 권한 방향’을 찾는다. 각 모드별 도달 가능 집합을 근사하는 제네레이터 행렬 Φ_j 를 구하고, Φ_j⁻¹ 로 좌표 변환 후 ‖u‖₂ ≤ 1 제약 하에 ‖x₁ⁿ – x₂ⁿ‖₂ 를 최대화하는 방향을 탐색한다. 이 방법은 선형 대수 연산만으로 구현 가능해 메모리와 시간 소모를 크게 줄인다. 다만, 최대 제어 방향이 불확실성을 동시에 증폭시킬 위험이 있어 최적성은 다소 손실된다. **실험 및 결과**: 두 가지 시뮬레이션 시나리오(정상·고장)에서 CCG 기반 정확한 구분과 SVD 기반 서브옵티멀 구분을 비교하였다. CCG 방식은 고장 식별률 98% 이상, 평균 계산 시간 기존 폴리토프 기반 방법 대비 30% 감소를 보였다. SVD 방식은 계산 시간이 5배 이상 빠르지만 식별률이 약 5% 낮았다. 두 방법 모두 MPC와 결합해 궤적 추적 오차를 10% 이하로 유지하면서 고장을 신속히 격리하였다. **공헌 요약** - 고장 발생 시 모델 변화를 실시간으로 반영하는 MPC‑FDI 통합 프레임워크 제시. - CCG를 이용해 정확하고 효율적인 도달 가능 집합 전파 기법 도입, 기존 CZ/폴리토프 대비 복잡도·정밀도 우위 입증. - SVD 기반 서브옵티멀 구분 알고리즘을 제시해 실시간 제어에 필요한 계산량 크게 절감. - 양의 입력 제약과 LPV 구조를 일반화해 쿼드로터·우주선 등 다양한 항공우주 시스템에 적용 가능성을 확보. **향후 연구**는 비선형 LPV 확장, 다중 고장 동시 발생 상황에서의 다중 모델 은행 관리, 딥러닝 기반 데이터‑드리븐 FDI와의 하이브리드 통합 등을 제시한다.