대칭군 문자표의 영점 현상과 세 종류 영점의 비율 분석

본 논문은 대칭군 \(S_N\)의 문자표에 나타나는 영점들을 체계적으로 조사한다. 먼저, 문자값 \(\chi_{\lambda}^{\mu}\)를 두 파티션 \(\lambda,\mu\vdash N\)에 대한 함수로 정의하고, Murnaghan–Nakayama 규칙을 이용해 영점이 발생하는 충분조건을 세 가지 유형으로 구분한다. **유형 I**는 \(\lambda\)가 \(\mu\)의 가장 큰 파트 \(\mu_1\)에 대한 \(t\)-core일 때 발생한다. 이는 가장 단순한 경우이며, 모든 유형 II 영점이 이 조건을 포함한다. **유형 II**는 \(\mu\)에 포함된 어느 파트 \(t\)에 대해서도 \(\lambda\)가 \(t\)-core이면 영점이 된다. Miller와 Scheinerman는 실험적으로 대부분의 영점이 이 유형에 속한다고 관찰했으며, 특히 대부분이 유형 I에 포함된다고 추측했다. **유형 III**는 Stanley가 제시한 기준 \(\displaystyle P_t(\mu)>\!H_t(\lambda)\) (여기서 \(P_t(\mu)=\frac1t\sum_{t\mid\mu_j}\mu_j\), \(H_t(\lambda)\)는 \(\lambda\)의 후크 길이 중 \(t\)의 배수 개수) 를 만족하면 영점이 된다. 이 조건은 (1)과 동치이며, (2)와 같은 다항식식으로도 표현될 수 있다. 논문은 이 세 유형의 영점 개수를 각각 \(Z_{\mathrm I}(N), Z_{\mathrm{II}}(N), Z_{\mathrm{III}}(N)\) 로 두고, \(p(N)\)을 파티션 함수라 할 때 다음과 같은 주요 정리를 증명한다. \