프라임 밀도와 매키아스 공간의 완전 분류

본 논문은 매키아스 위상을 일반 정수 도메인에 확장한 뒤, 그 위상적 특성을 대수적 구조와 연결시키는 일련의 결과들을 제시한다. 서두에서는 Furstenberg의 위상적 소수 무한성 증명을 언급하며, 매키아스가 제안한 보다 거친 위상이 정수 집합뿐 아니라 임의의 정수 도메인 R에 적용될 수 있음을 소개한다. 매키아스 위상은 각 비영 원소 k에 대해 σ₀ᵏ={s∈R⁰ |⟨k⟩+⟨s⟩=R} 로 정의된 기본 열린 집합들의 모임 B가 기저가 된다. 이때 R⁰=R\{0\}이며, 단위 u에 대해서는 σ₀ᵘ=R⁰가 된다. Section 2에서는 유일인수분해 도메인에서 ‘프라임 서포트’ supp(α) 를 정의하고, Lemma 2.4와 Lemma 2.6을 통해 주 아이디얼 도메인에서는 σ₀ᵏ에 속하는 원소와 k의 프라임 서포트가 서로 교차하지 않는다는 동등성을 보인다. 이는 기본 열린 집합이 오직 프라임 서포트에 의해 완전히 결정된다는 중요한 사실을 제공한다. 또한 Lemma 2.8은 매키아스 공간에서 단위 원소 x가 전체 공간 R⁰의 폐쇄를 갖는다는 사실을 증명한다. 이는 단위군이 위상적으로 특수한 위치에 있음을 보여준다. Section 3에서는 반프리미티브성(야코비슨 라디칼 J(R)=0)과 매키아스 위상에서 단위군이 열려 있지 않음 사이의 정확한 동등성을 다룬다. Theorem 3.3은 “R이 반프리미티브 ⇔ U(R)이 M(R)에서 열려 있지 않다”를 일반 정수 도메인에 대해 증명한다. 증명은 J(R)≠0이면 비영 원소 k∈J(R)를 잡아 σ₀ᵏ⊆U(R)임을 보이고, 반대로 J(R)=0이면 그러한 k가 존재하지 않으므로 U(R)이 열려 있지 않음을 보인다. 이어서 Theorem 3.1은 주 아이디얼 도메인에 한정하여 네 가지 조건—(a) U(R)이 열려 있지 않음, (b) 프라임 원소 집합 P_R이 위상적으로 밀도 있음, (c) P_R이 무한함, (d) R이 반프리미티브—이 서로 동등함을 증명한다. (a)⇒(c)는 Lemma 3.4를 이용해 P_R이 유한하면 U(R)이 열려 있음을 보여 역을 부정한다. (c)⇒(b)는 주 아이디얼 도메인에서 각 비영 원소가 유한개의 프라임 인수를 갖는 점을 이용해, 무한한 프라임 클래스 중 하나를 골라 σ₀ᵏ에 포함시켜 밀도를 확보한다. (d)⇔(a)는 앞서 증명한 Theorem 3.3에 의해 바로 얻어진다. 또한 Remark 3.6에서는 이들 함의가 일반 유일인수분해 도메인에서는 성립하지 않을 수 있음을 구체적인 반례(C