완전 그래프와 경로의 데카르트 곱 두께에 대한 정확한 공식

본 논문은 그래프 이론에서 중요한 파라미터인 두께(θ)를 완전 그래프와 경로의 데카르트 곱에 대해 정확히 구하는 것을 목표로 한다. 두께는 그래프의 모든 간선을 평면 그래프들의 집합으로 분할할 때 필요한 최소 개수를 의미한다. 기존 연구에서는 완전 그래프 Kₙ의 두께가 ⌈(n+7)/6⌉(단, K₉·K₁₀은 3)라는 결과가 알려져 있었으며, 데카르트 곱에 대한 몇몇 추정식이 제시되었지만, Chen·Yin·Yang(2017)과 Yang·Chen(2017)의 정리는 증명 오류로 인해 잘못된 것으로 밝혀졌다. 논문은 먼저 이러한 오류를 지적하고, 올바른 두께 값을 제시한다. 핵심 결과는 두 가지 정리이다. 첫 번째 정리(Theorem 4)는 K_{6p+4}□P₂( p≥0 )의 두께가 정확히 p+2임을 보인다. 여기서 p는 정수이며, n=6p+4 형태의 완전 그래프와 길이 2인 경로의 곱에 해당한다. 증명은 상한과 하한을 각각 구한다. 상한은 K_{6p+5}의 두께와 동일하게 p+2임을 이용한다(θ(K_{6p+5})=p+2). 하한은 평면 분할의 면 수와 Euler 공식에 기반한 정밀한 카운팅을 통해 θ>p+1을 보임으로써 p+2 이상임을 확보한다. 따라서 θ=p+2가 된다. 두 번째 정리(Theorem 5)는 K₈□Pₘ( m≥1 )의 두께가 언제나 2임을 증명한다. 하한은 K₈ 자체의 두께가 2라는 사실에서 바로 얻는다. 상한은 귀납적으로 biplanar(두 평면) 분할을 구성함으로써 증명한다. 기본 경우 m=1,2,3에 대해 기존 문헌의 그림을 이용하고, 짝수·홀수 m에 따라 서로 다른 삽입 방식을 적용해 새로운 평면 그래프 쌍 G_{m,1}, G_{m,2}를 만든다. 각 단계에서 외부 면의 구조를 유지하면서 이전 단계의 분할을 확장하므로 전체 그래프가 두 평면 그래프로 완전히 분할됨을 확인한다. 이 두 정리를 결합하면 Kₙ□P₂와 Kₙ□Pₘ( m≥3 )에 대한 일반적인 두께 공식이 도출된다. Corollary 1에 따르면 n=6p+4인 경우를 제외하고는 Kₙ□P₂의 두께가 ⌈(n+8)/6⌉이며, n=9인 경우만 예외적으로 두께가 3이다. Corollary 2에 따르면 Kₙ□Pₘ( m≥3 )의 두께는 ⌈(n+9)/6⌉가 일반식이며, n=3인 경우는 1, n=8인 경우는 2가 된다. 또한 n=6p+3,6p+4에 대해서는 아직 완전한 결정이 이루어지지 않았으나, 현재까지 알려진 상한·하한이 일치함을 확인한다. 논문은 또한 남은 미해결 문제, 특히 n=6p+3인 경우의 두께가 p+1인지 p+2인지에 대한 논의를 제시한다. 이는 K_{6p+5}−e(완전 그래프에서 한 간선을 제거한 그래프)의 두께와 깊은 연관이 있으며, 해당 문제는 기존 두께 연구보다 훨씬 난이도가 높다. 저자는 이러한 어려움을 강조하며, 향후 연구 방향을 제시한다. 전반적으로 저자는 기존 오류를 정확히 짚어내고, 구체적인 구성 방법과 면 카운팅 기법을 통해 두께 값을 완전하게 규정함으로써 그래프 이론에서 두께 문제의 이해를 크게 진전시켰다.