Koopman 연산자를 이용한 최적성 편차 분석

초록

본 논문은 데이터 기반 Koopman 모델링에서 발생하는 근사오차가 비선형 시스템의 무한시간 최적 제어에 미치는 영향을 정량적으로 분석한다. 근사오차를 상태·입력 노름에 비례하는 상수 c₁, c₂ 로 한정하고, 최적값 함수와 최적 제어기의 편차에 대한 상한을 명시적으로 도출한다. HJB와 HJI 방정식을 활용한 증명과 수치 실험을 통해 제시된 이론적 경계가 실제 성능 저하를 정확히 포착함을 확인한다.

상세 분석

본 연구는 Koopman 연산자를 이용해 비선형 시스템을 고차원 선형(또는 bilinear) 형태로 승격(lift)한 뒤, 데이터 기반 식별 과정에서 발생하는 근사오차가 최적 제어 설계에 미치는 영향을 체계적으로 규명한다. 먼저, 원 시스템 \dot x = f(x)+∑g_i(x)u_i 를 사전 정의된 사전(dictionary) Ψ(x) 에 투사하여 상태 z = Ψ(x) 로 변환하고, 이때 얻어지는 선형/이중선형 모델 \dot z = Az + B₀u + ∑B_i z u_i 에 추가적인 오차항 r(z,u) 을 도입한다. 논문은 이 오차항이 ‖r(z,u)‖ ≤ c₁‖z‖ + c₂‖u‖ 로 제한된다고 가정하고, 이러한 제한이 실제 시스템의 최적값 함수 V(z) 와 명시적 최적 제어 u⁎(z) 에 어떤 형태의 편차를 초래하는지를 수학적으로 분석한다.

핵심은 두 개의 변분 방정식, 즉 무한시간 최적 제어의 HJB 방정식과 최악 상황을 고려한 HJI 방정식을 동시에 활용한 점이다. HJB 방정식으로부터 근사오차를 무시한 경우의 최적값 함수 V⁎₀(z) 와 제어 u⁎₀(z) 를 구하고, HJI 방정식으로는 오차항이 가장 불리하게 작용할 때의 최악 오차 r⁎(z,u⁎₀) 를 도출한다. 이를 통해 얻은 편차 상한은

‖V - V⁎₀‖ ≤ ΔV_max = ½C₁₂²∫₀^∞‖∇V⁎₀‖²dt + ½C₁₂∫₀^∞‖∇V⁎₀‖²dt + ½√(C₁₂²∫₀^∞‖∇V⁎₀‖²dt·4V⁎₀)

형태로 제시되며, 여기서 C₁₂ = max{2c₁L_p/√λ_min(Q), 2c₂/√λ_min(R)} 이다. 이 식은 근사오차 상수 c₁, c₂, 사전 함수의 Lipschitz 상수 L_p, 그리고 비용 행렬 Q, R 의 최소 고유값에 직접 의존함을 보여준다. 즉, 사전 선택이 좋고 데이터 양이 충분할수록 c₁, c₂ 가 작아져 편차가 급격히 감소한다는 실용적 교훈을 제공한다.

또한, 최적 제어 자체의 편차에 대해서도 유사한 상한을 도출한다. 실제 시스템에 u⁎₀ 를 적용했을 때 발생하는 상태 궤적과 비용은 최악 오차 상황을 가정한 HJI 해에 의해 제한되며, 이는 제어 설계 단계에서 보수적인 마진을 미리 할당할 수 있게 한다. 논문은 이러한 이론적 결과가 기존 연구에서 다루어지지 않았던 “근사오차가 최적성에 미치는 정량적 영향”을 최초로 제공한다는 점에서 학술적 기여도가 크다.

마지막으로 수치 실험에서는 2차 비선형 시스템과 로봇 팔 모델을 대상으로 Koopman 기반 EDMD 식별을 수행하고, 식별된 모델에 대해 위에서 도출한 상한과 실제 시뮬레이션 결과를 비교한다. 실험 결과는 제시된 상한이 실제 비용 편차를 과보정 없이 꽤 타이트하게 포착함을 확인한다. 이는 제어 설계자가 데이터 기반 Koopman 모델을 사용할 때, 사전 오류 분석을 통해 안전 마진을 정량적으로 설정할 수 있음을 의미한다.

요약하면, 본 논문은 Koopman 승격 모델의 근사오차가 최적 제어 성능에 미치는 영향을 HJB/HJI 프레임워크를 통해 명시적 상한으로 정량화하고, 이를 수치적으로 검증함으로써 데이터 기반 비선형 최적 제어의 신뢰성을 크게 향상시킨다.