무작위 행렬의 영속도 다이어그램: 모스 이론으로 밝힌 보편성 및 새로운 스펙트럼 진단

본 연구는 대칭 행렬 M의 이차형식 f(x)=xᵀMx를 단위 구면 S^{n‑1}에 제한한 뒤, 모스 이론을 적용해 영속도 다이어그램(Persistence Diagram, PD)의 구조를 정확히 규명한다. 먼저 M의 고유값 λ₁≤…≤λ_n과 정규 직교 고유벡터 e_i를 도입하고, 라그랑주 승수를 이용한 임계점 조건 ∇f=2Mx=2λx를 풀어 ±e_i가 임계점이며 그 값이 λ_i임을 보인다. Hessian을 구면의 접공간에 제한하면 고유값 2(λ_j−λ_i) (j≠i)를 갖고, 부호가 음인 개수는 i‑1이므로 Morse index가 i‑1임을 확인한다. 따라서 f는 Morse 함수이며, 임계값을 지날 때마다 위상이 S^{k‑1}으로 변한다. 손잡이 부착 이론에 따라 영속도 다이어그램은 정확히 n‑1개의 유한 바와 두 개의 무한 바를 갖는다. k번째 유한 바는 차원 k‑1의 호몰로지에 존재하고, 바의 길이는 고유값 간격 s_k=λ_{k+1}−λ_k와 동일하다. 이는 고유값 간격이 RMT에서 보편적인 통계량이라는 사실과 직접 연결된다. 고유값 간격의 보편성을 이용해 영속도 통계량을 정의한다. 총 영속도 TP=∑_{k=1}^{n‑1}s_k=λ_n−λ₁은 스펙트럼 범위와 동일하고, 영속도 엔트로피 PE=−∑_{k}(s_k/TP)log(s_k/TP) 는 정규화된 간격 분포의 셰넌 엔트로피이다. 일반적인 무작위 행렬 군에 대해 고유값 밀도 ρ(λ) 가 알려지면, 대규모 n에서 λ_k≈γ_k (ρ의 k/(n+1) 분위수) 로 근사하고, s_k≈1/(nρ(γ_k)) 로 표현한다. 이를 적분으로 전환하면 PE≈log(n·TP)+(1/TP)∫_{λ_-}^{λ_+}−logρ(λ)dλ 가 된다. GOE(가우시안 정규 직교 군)의 경우 ρ_SC(λ)=√(4−λ²)/(2π) (λ∈