확률적 정점 커버를 위한 최적 알고리즘

본 논문은 확률적 정점 커버(stochastic vertex cover) 문제에 대한 근본적인 해결책을 제시한다. 문제는 다음과 같다. 베이스 그래프 G=(V,E)와 샘플링 확률 p∈(0,1]이 주어지면, 각 간선을 독립적으로 확률 p 로 실현해 만든 무작위 그래프 G★에 대해 최소 정점 커버를 근사적으로 찾는 것이 목표이다. 알고리즘은 G★에 직접 접근할 수 없으며, 오직 개별 간선에 대한 존재 여부를 질의하는 형태만 허용한다. 이때 질의 수를 최소화하면서 (1+ε) 근사 비율을 달성하는 것이 핵심 과제이다. ### 기존 연구와 한계 - **Derakhshan, Durvasula, Haghtalab (2023)**: (3/2+ε) 근사와 Oε(n/p) 질의 복잡도 달성. 하지만 근사 비율이 1.5에 머문다. - **Derakhshan, Saneian, Xun (2025)**: (1+ε) 근사 달성했지만, 질의 복잡도가 Oε((n/p)·RS(n)) 로, RS(n)은 Ruzsa‑Szemerédi 그래프의 매칭 분할 수이며 최소 2^{Ω(log n / log log n)} 로 하한이 크다. 따라서 질의 수가 초선형이 된다. - **Behnezhad, Blum, Derakhshan (2022)**: 정보‑이론적 하한 Ω(n/p) 제시, 즉 어떤 상수‑근사라도 이보다 적게 질의할 수 없음을 증명했다. 이러한 상황에서 “(1+ε) 근사 + Oε(n/p) 질의”라는 최적 목표가 남아 있었다. ### 주요 기여 1. **최적 알고리즘 설계** - **Vertex‑Cover 알고리즘**: 비적응적(질의 집합이 실현에 의존하지 않음) 방식으로, 먼저 정점 집합 P를 선택한다. P에 인접한 모든 간선은 질의하지 않는다. 대신 P 외부 서브그래프 G