t‑구조 텐서 삼각형 ∞‑범주에서의 고차 대수 이론

이 논문은 “t‑구조 텐서 삼각형 ∞‑범주”(ttt‑∞‑범주)라는 새로운 범주론적 환경을 도입하고, 그 안에서 고차 대수의 기본 개념들을 체계적으로 재구성한다. 1. **기본 설정과 정의** 저자는 (A⊗, A≥0)라는 데이터를 ttt‑∞‑범주라 명명한다. 여기서 A⊗는 프레젠터블한 안정적 대칭 모노이달 ∞‑범주이며, A≥0는 접근 가능한 t‑구조를 갖는다. t‑구조는 단위 객체와 텐서 곱이 모두 연결된 부분에 머물도록 요구한다. 이러한 설정은 스펙트라, 필터드 스펙트라, G‑스펙트라, 동기학적 스펙트라, 그리고 QCoh(X)와 같은 다양한 예시를 포괄한다. 2. **프로젝티브 강직성** 핵심 가정인 “프로젝티브 강직성”은 A≥0의 듀얼라이저블 객체가 정확히 컴팩트 프로젝티브 객체와 일치한다는 조건이다. 이는 “연결된 부분이 충분히 많은 프로젝트브를 가지고 있다”는 의미이며, 실제로 많은 중요한 ∞‑범주가 이 조건을 만족한다(예: Sp, Gr(Sp), Fil(Sp), Sp^G, SH(k), DM(k), QCoh(X) 등). 3. **플랫 모듈과 Lazard 정리** 프로젝티브 강직성 하에서, 저자는 플랫 R‑모듈 범주가 컴팩트 프로젝티브 R‑모듈들의 필터드 콜리밋(Ind‑구조)으로 완전히 기술된다는 ∞‑범주적 Lazard 정리를 증명한다(정리 0.2). 이는 전통적인 “플랫 모듈은 자유 모듈의 직접극한”이라는 정리를 고차 범주 수준으로 일반화한 것으로, 모듈 이론을 심장 A♥(t‑구조의 핵심)에서 직접 끌어올릴 수 있게 한다. 4. **이산 알제브라와 모듈 카테고리의 상승** 연결된 ttt‑∞‑범주가 프로젝티브 강직성을 가질 때, 심장 A♥에 있는 이산 알제브라 R에 대해, 그 파생 카테고리 D(LMod_{π₀R}(A♥))가 전체 모듈 ∞‑카테고리 LMod_R(A)와 동형임을 보인다(정리 0.3). 이는 이산 환경에서의 전통적인 모듈 이론이 전체 고차 환경으로 완전하게 승격될 수 있음을 의미한다. 5. **Cohn 국소화** 자유 생성자가 부족한 상황에서도, 저자는 컴팩트 프로젝티브 R‑모듈 사이의 사상 집합 S를 지정하면, 이를 역전시키는 Cohn 국소화 R→R