접두사 자유 코드와 대칭 트리의 약한 구조적 동치

본 논문은 이진 알파벳 \(\{a,b\}\) 위의 유한 코드와 ‘대칭 트리’라 명명한 무라벨 3-ary 트리 사이의 구조적 대응을 구축하고, 이를 통해 기존의 커뮤터티브 등가성(conmutative equivalence) 추측의 약한 형태를 증명한다. 첫 번째 장에서는 기본 개념을 정리한다. 자유 모노이드 \(\{a,b\}^{*}\)와 그 길이, 접두사 연산, 그리고 코드의 정의(유일 디코딩 가능성)를 소개한다. 이어서 Kraft–McMillan 정리를 상기하며, 모든 코드가 길이 다중집합만으로는 접두사 자유 코드와 동등함을 보인다. 그러나 ‘커뮤터티브 등가성’—두 코드가 각 워드에서 a와 b의 등장 횟수를 동일하게 매핑할 수 있는지—는 일반적으로 성립하지 않는다. Shor의 반례와 그 변형이 이를 입증한다. 두 번째 장에서는 새로운 트리 모델을 제시한다. 정의 1.6에 따라 루트가 지정된 유한 연결 무사이클 그래프를 트리라 하고, 각 정점이 최대 세 자식을 가질 수 있는 3-ary 트리를 고려한다. 정의 1.7에 따르면, 어떤 정점이 두 개 이상의 자식을 가질 경우 그 중 적어도 두 자식이 동일한 서브트리 구조를 가져야 ‘대칭’이라고 한다. 이러한 대칭성은 트리의 전반적인 균형을 보장하며, 이후 코드와의 대응에 핵심 역할을 한다. 정리 1.8은 ‘접두사 자유 코드 ↔ 대칭 트리’ 사이의 전단사와 더불어, 깊이 \(k\)에 있는 리프 수 \(|L_k(T)|\)가 \(\sum_{w\in C,|w|=k}2^{