메트릭 오자 깊이: 객체 데이터 중심성 측정의 새로운 도구

초록

본 논문은 이미지·텍스트·그래프 등 비유클리드 객체 데이터를 위한 통계적 깊이 함수인 메트릭 오자 깊이(Metric Oja Depth)를 제안한다. 정의, 이론적 성질(값의 범위, 수렴, 일관성)과 샘플 기반 U‑통계량 구현을 제시하고, 기존 메트릭 깊이(half‑space, lens, spatial)와 비교한다. 최적화는 샘플 내 탐색과 비샘플(out‑of‑sample) 추정을 위한 비선형 유클리드 최적화 두 가지 전략을 사용한다. 시뮬레이션과 실제 데이터 실험에서 메트릭 오자 깊이가 특히 최적화 전략을 결합했을 때 다른 깊이보다 중심 객체를 더 정확히 찾아내는 것으로 나타났다.

상세 분석

본 연구는 객체 데이터가 일반적인 거리 공간 ((\mathcal X,d))에 존재한다는 전제 하에, 기존 유클리드 기반 Oja 깊이의 개념을 거리 기반 형태로 일반화한다. 정의식 (2)에서 제시된 메트릭 오자 깊이 (D_{O3}(x))는 세 개의 독립 표본 (X_1,X_2,X_3)와 후보점 (x) 사이의 거리 삼각형을 이용해, 행렬 (B_3)의 행렬식과 거리 곱의 조합을 루트로 취함으로써 “중간에 위치한다”는 직관을 정량화한다.

이론적 분석은 크게 두 축으로 전개된다. 첫째, 존재와 유계성을 보장하기 위해 평균 거리 (E{d(X,a)}<\infty)라는 약한 1차 모멘트 조건을 가정하고, 두 번째로 2차 모멘트 (E{d^2(X,a)}<\infty)를 추가해 깊이값이 0에 수렴하는 외부 점의 특성을 증명한다(정리 3). 정리 2는 깊이값이 (