안정된 매칭을 위한 최소 교차 거리 기반 FPT 알고리즘

1. **서론 및 배경** - Gale‑Shapley의 SM과 Irving의 SR을 소개하고, SM에서는 항상 안정 매칭이 존재하지만 SR에서는 존재하지 않을 수 있음을 언급한다. - SM에서는 회전(poset) 구조가 distributive lattice와 일대일 대응하며, 이를 이용해 다양한 ‘공정’ 매칭(예: egalitarian, sex‑equal 등)을 다항식 시간에 구할 수 있다. 반면 SR에서는 median graph라는 더 복잡한 구조가 등장하고, 최적 안정 매칭 문제는 NP‑hard이다. 2. **구조적 거리 정의: 최소 교차 거리** - SR 인스턴스 I에 대해 mirror poset R′(I)를 정의한다. 이는 선호 리스트에서 직접 구축 가능한 poset이며, 회전들의 ‘비단일’ 부분을 포함한다. - 임의의 안정 매칭 η에 대해 R′(I)를 η 에 대응하는 폐쇄 집합 S_η 로 방향화한다. 이때 Hasse 다이어그램의 한 에지가 R⁻와 R⁺ 사이에 있으면 ‘교차 에지’라 정의한다. - 교차 에지의 최소 개수를 MCO(R′(I)) 라 두고, 이를 ‘minimum crossing distance’ k 라 명명한다. k=0이면 G(I) 가 distributive lattice의 커버 그래프와 동일해 SM과 구조적으로 동일함을 보인다. 3. **교차 거리와 median semilattice의 관계** - R′(I)를 η 에 대해 방향화하면 median semilattice L(I,η) 가 형성된다. - Theorem 5.3은 교차 에지의 개수가 2k 이면 L(I,η)의 극대 원소 수가 ≤ 3k 임을 증명한다. 극대 원소는 semilattice에서 더 이상 위로 이동할 수 없는 매칭을 의미한다. 4. **지역 최적 매칭을 이용한 전체 최적 매칭** - 각 극대 원소 μ_i 에 대해 구간