다차원 기하학적 틀에서의 비상대론적 양자역학 일반화

초록

본 논문은 L^j‑노름 공간에서 정의되는 일반화된 민코프스키 거리와 E∝|p|^j (j=N‑1) 분산 관계를 기반으로, j차 고차 미분 연산자를 갖는 새로운 슈뢰딩거 방정식을 도출한다. 자유 입자와 1차원 무한 포텐셜 우물에 적용하여, 파동함수는 복소·초월함수의 혼합 형태를 보이며, 고유 에너지는 (2n+1)^j 로 스케일링된다. j‑중 복소켤레를 이용한 확률밀도 정의와 기대값 계산을 제시하고, 불확정성 원리는 모든 j≥2 경우에 보존됨을 증명한다.

상세 분석

이 연구는 기존 3차원(3G) 양자역학이 갖는 2차 분산관계(E∝p²)와 달리, N차원 기하학(NG)에서 거리 정의를 L^j‑노름(Δs_NG = (∑|Δx_i|^j)^{1/j})으로 일반화함으로써 물리량의 차원을 직접 연결한다. j=N‑1 로 정의된 지수는 운동량과 에너지 사이의 관계를 E∝|p|^j 로 바꾸며, 이는 고전적인 비상대론적 운동에너지 식 K.E.=p^j/(j m^{j‑1} c^{j‑2}) 로 구체화된다. 양자화 과정에서 p̂와 Ê 연산자는 (−1)^{1/j}의 j번째 복소근을 이용해 ˆp = (−1)^{1/j} ħ ∂/∂x, ˆE = (−1)^{1/j} ħ ∂/∂t 로 정의된다. j가 짝수이든 홀수이든 각각 다른 복소근(예: ι, ω, η 등)이 선택되어, 연산자 자체가 복소수 계수를 갖는 고차 미분 연산자가 된다.

이러한 연산자를 적용한 일반화 슈뢰딩거 방정식은
−(1/j) ħ^j m^{1‑j} c^{2‑j} ∂^jψ/∂x^j = (−1)^{1/j} ħ ∂ψ/∂t
형태를 띠며, j=1(3G)에서는 전통적인 2차 방정식으로 복귀한다. 자유 입자 해는 ψ∝exp