Fill의 스펙트럼 갭 추측 증명

초록

이 논문은 인접 전이 체인에 대한 전이 행렬의 스펙트럼 갭에 대한 하한을 일반 확률 벡터에 대해 정량적으로 제시한다. 특히 정규 확률 벡터(모든 p_{i,j}가 ½ 이상) 중에서 균등 벡터가 스펙트럼 갭을 최소화한다는 Fill의 오래된 추측을 증명하고, 역스펙트럼 갭에 대한 다항식 상한을 얻는다.

상세 분석

논문은 먼저 n≥2인 대칭군 S_n 위에 정의된 인접 전이 마코프 체인 M을 소개한다. 각 인접 위치 r∈{1,…,n−1}에 대해 두 원소를 교환할 확률을 p_{i,j} (i≠j) 로 두고, p_{j,i}=1−p_{i,j} 로 보완한다. 전이 행렬 K는 K_{x,y}=p_{x_r,x_{r+1}}(y) 등으로 정의되며, 자기반대성(reversibility)과 정규화된 측도 μ_p에 대해 대칭성을 가진다. 저자는 K를 n−1개의 기본 전이 행렬 E_r(각 r에 대해 한 쌍만 교환) 의 평균 K= (1/(n−1))∑_{r}E_r 로 표현한다. 핵심 아이디어는 각 E_r이 가중 내적 ⟨·,·⟩_p에 대해 정규 직교 사영(orthogonal projection)임을 보이는 것이다. 이를 위해 V_r={f: f(x)=f(τ_r x)} 라는 대칭 함수 공간을 정의하고, E_r이 V_r 위에서 항등, 그 외에서는 영인 사영임을 증명한다. 사영들의 자명성으로부터 E_rE_s=E_sE_r (|r−s|>1) 와 같은 교환 관계가 성립한다.

다음 단계에서는 연속된 두 사영 E_r+E_{r+1}의 최소 양의 고유값을 분석한다. 이를 위해 S_n을 G_r=⟨τ_r,τ_{r+1}⟩ 로 생성되는 6원 순환 궤도로 분할하고, 각 궤도마다 6×6 블록 행렬 M_t을 얻는다. 직접 계산을 통해 M_t의 최소 양의 고유값이 1−a_{i,j}a_{j,k}a_{k,i}+a_{k,j}a_{j,i}a_{i,k} (여기서 a_{i,j}=p_{i,j}) 와 같음을 보인다. 정의된 m(p)=max_{i<j<k} a_{i,j}a_{j,k}a_{k,i}+a_{k,j}a_{j,i}a_{i,k} 로부터 모든 블록의 최소 고유값이 ≥1−m(p) 임을 얻는다.

그 후, 두 사영 P=E_r, Q=E_{r+1} 에 대해 일반적인 선형대수적 보조정리(Lemma 2.4)를 적용한다. 이 정리는 P+Q의 최소 양의 고유값이 1−p 라면, ⟨Pf,Qf⟩≥−p‖Pf‖‖Qf‖ 를 보장한다. 여기서 p=m(p) 로 두어, ⟨E_r f, E_{r+1} f⟩에 대한 하한을 얻는다. 이제 K의 이차 형식 ⟨f, K^2 f⟩ 를 전개하면 ⟨f,Kf⟩ 와 ‖E_r f‖^2 의 조합이 등장하고, 앞서 얻은 상호작용 하한을 모두 합산하면

 ⟨f, K^2 f⟩ ≥ (1−2 m(p) cos(π/n)) ⟨f, K f⟩

이 된다. 이는 K의 모든 양의 고유값 λ가 λ ≥ 1−2 m(p) cos(π/n) 을 만족함을 의미한다. 정규 확률 벡터의 경우 (1.1)–(1.3) 로부터 m(p)≤½ 가 성립하고, 따라서 λ ≥ 1−cos(π/n) 가 된다. Wilson