탄생과 소멸 코체인으로 하는 위상 최적화

본 논문은 영속 코호몰로지에서 위상 특징이 나타나는 순간을 나타내는 ‘탄생 단순체’와 ‘소멸 단순체’가 갖는 불안정성과 비유일성 문제를 해결하고자, 이들을 선형 결합 형태인 ‘탄생 코체인(birth cochain)’과 ‘소멸 코체인(death cochain)’으로 일반화한다. 먼저 섹션 2에서 기본적인 코호몰로지, 조화 대표, 영속 코호몰로지, 상대 코호몰로지 개념을 정리하고, ℓ2-내적을 기반으로 한 코체인 공간을 정의한다. 섹션 3에서는 코체인의 정의와 존재·유일성을 정리한다. 탄생 코체인은 K⊆L이라는 단순체 쌍에서 K에 제한했을 때 0이 되는 코체인 중, 주어진 영속 코호몰로지 클래스에 속하면서 ℓ2-노름을 최소화하는 유일한 원소로 정의된다. 소멸 코체인은 K에 존재하던 코호몰로지 클래스가 L에서 연장될 수 없을 때, L에서의 코바운더리 형태를 최소 ℓ2-노름으로 표현한 것으로, 이는 상대 코호몰로지 H^{k+1}(L,K)의 조화 대표와 동등함을 보인다(정리 4.2). 이러한 정의는 선형 제약을 가진 볼록 최적화 문제이므로 해는 항상 존재하고 유일하다(정리 3.4). 다음으로 ε-탄생·ε-소멸 코체인을 도입한다. 영속 바(bar)