클리크 스펙트럼 버전 Zykov 정리의 지역화

본 논문은 그래프 이론에서 중요한 위치를 차지하는 Zykov 정리와 그 스펙트럴 버전을 텐서 차원으로 확장한 최신 연구들을 종합하고, 이를 “지역화”하는 새로운 결과를 제시한다. 서론에서는 기존의 Turán 정리와 그 스펙트럴 버전(Nikiforov 정리), 그리고 Zykov 정리의 일반화인 ex(n,K_t,K_{r+1})에 대한 배경을 정리한다. 특히, Bradač와 Malec‑Tompkins가 제시한 “지역화된 Turán 정리”와 Liu‑et‑al.이 제시한 “지역화된 스펙트럴 Turán 정리”(Theorem 1.4)를 언급하며, 이들 결과가 간선 수준에서 최대 클리크 크기 α(e)를 이용해 상한을 제시한다는 점을 강조한다. 다음으로, 텐서 이론의 기본 개념을 정리한다. k‑차원 n‑차원 복소 텐서 A와 그 고유값·스펙트럴 반경 ρ(A)의 정의, 대칭·비음수 텐서의 특성, 그리고 Lemma 2.1을 통해 비음수 텐서의 스펙트럴 반경이 비음수 실벡터 x에 대한 다항식 형태로 표현될 수 있음을 보인다. 이후, 그래프 G의 t‑클리크 텐서 A(G)와 그 스펙트럴 반경 ρ_t(G)를 정의하고, |C_t(G)| ≤ n^t ρ_t(G)라는 기본 부등식(Lemma 2.2)을 제시한다. 여기서 등호는 모든 정점이 동일한 t‑클리크 수를 가질 때 성립한다는 점을 증명한다. 핵심적인 기술적 도구로는 두 종류의 동차다항식 h_{s,G}(x)와 f_{s,q,G}(x) 를 도입하고, Lemma 2.3·2.4·2.5를 통해 α(I)와 α(v) (각 클리크·정점이 포함하는 최대 클리크 크기)와의 관계를 정량화한다. 특히, Lemma 2.4는 정점 가중치가 균등하게 분포된 경우에만 등호가 성립함을 보이며, 이는 완전 ω‑파트ite 그래프 구조와 동치임을 암시한다. 본 논문의 주요 결과는 세 가지 정리로 구성된다. 1. **Theorem 3.1**은 ρ_t(G)의 상한을 클리크 수준에서 α(I)와 연결한다. 구체적으로 \