폐쇄형 얕은 지열 시스템 최적 설계: 해석 모델과 공간 최적화

초록

본 논문은 수직형 보어홀 열교환기(BHE) 필드의 설계를 위해, 유한선원 모델과 1U 보어홀 유체 열전달 해석을 결합한 분석 모델을 제시한다. FFT 기반의 빠른 컨볼루션과 이중 시간그리드 기법으로 계산 비용을 크게 낮추고, Lloyd 알고리즘을 활용한 Centroidal Voronoi Tessellation(CVT)으로 비정형 부지에서도 최적의 보어홀 배치를 자동으로 찾는다. 최종 목표는 전체 보어홀 길이를 최소화하면서 유체 온도 제한을 만족하는 설계이다.

상세 분석

이 연구는 얕은 지열 시스템 설계 시 가장 큰 난제인 ‘열전달 해석의 정확성 vs. 계산 효율성’ 트레이드오프를 해소하려는 시도로 시작한다. 저자는 토양 온도 변화를 기술하기 위해 고전적인 열확산 방정식에 유한선원(Finite Line Source, FLS) 모델을 적용한다. 여기서 핵심은 수직 보어홀을 길이 L의 유한선원으로 간주하고, 이미지법을 이용해 지표면(z=0)에서의 디리클레 경계조건을 만족시키는 점이다. 결과적으로 얻어지는 수직 응답함수 Z와 수평 응답함수 R은 각각 오류함수와 가우시안 형태를 띠며, 이들을 시간 적분(convolution)함으로써 임의 시점·위치의 토양 온도 u(x,t)를 정확히 계산한다.

유체 측면에서는 1U 형태 보어홀을 가정하고, 흐름의 하향·상향 온도(T_i, T_o)를 열저항 R_s(파이프‑보어홀 벽)와 R_inter(두 파이프 다리 사이)으로 연결한 1차 미분 방정식 시스템을 도입한다. 이 시스템은 밀도·비열·질량유량 등 물성값을 포함한 β_s, β_inter, γ 파라미터를 통해 해석적으로 풀 수 있다. 특히, g₁, g₂, g₃ 함수가 보어홀의 기하·열특성을 압축해 주어, 보어홀 벽 온도 T_b(z,t)와 유입 온도 T_in(t) 사이의 관계를 명시적으로 표현한다.

두 모델을 결합하는 ‘토양‑유체 결합 전략’에서는 각 보어홀의 열원 q(t)를 건물 에너지 수요 E(t)와 연결하고, 평균 출구 온도 ⟨T_out⟩를 에너지 균형식(E = ṁ·c_p·(⟨T_out⟩‑T_in))에 대입한다. 여기서 중요한 점은 자기‑상호작용(Ψ_self)과 보어홀 간 상호작용(Ψ_inter)을 분리해 계산한다는 것이다. Ψ_self는 반경 r_b에서의 즉시 응답을 의미하고, Ψ_inter는 거리 의존적인 R 함수와 시간‑가중치 Ẑ(τ;L)를 통해 정의된다.

계산 복잡도 측면에서, 전체 시뮬레이션이 20년·시간당 1시간 간격(≈1.75×10⁵ 단계)과 25~30개의 보어홀을 포함하면 O(N_t·N_b²)≈10⁸ 연산이 필요해 실용적이지 않다. 저자는 두 가지 혁신을 도입한다. 첫째, Ψ_self는 고주파(시간적 급변) 성분을 보존해야 하므로 원래의 미세 시간그리드(시간당 1시간)에서 직접 FFT 기반 컨볼루션을 수행한다. 둘째, Ψ_inter는 저주파(월간 평균) 성분만 필요하므로 부하 q(t)를 월간 평균으로 집계한 뒤, 동일한 FFT 절차로 빠르게 계산하고 다시 미세 그리드에 보간한다. 이중 그리드와 FFT 적용으로 복잡도는 O(N_t·logN_t) 수준으로 감소한다.

공간 최적화는 기존의 직사각형·규칙 격자 방식이 비정형 부지에 부적합하다는 점을 인식하고, Centroidal Voronoi Tessellation(CVT)을 기반으로 Lloyd 알고리즘을 변형한다. 각 보어홀은 Voronoi 셀의 중심에 배치되며, 셀 면적(즉, 보어홀 간 최소 거리)과 경계와의 거리(보어홀 깊이 제한)를 동시에 고려한다. 알고리즘은 반복적으로 셀 중심을 재계산하면서 전체 필드의 균일 길이(L_total/N_b)를 최소화하고, 동시에 유체 온도 상한·하한(T_max, T_min)을 위배하지 않도록 제약조건을 포함한다.

결과적으로, 제안된 프레임워크는 (1) 물리적으로 타당한 토양‑유체 열전달 해석을 제공하고, (2) FFT와 이중 시간그리드로 실시간 최적화 루프에 적용 가능한 속도를 확보하며, (3) 비정형 부지에서도 자동으로 최적 보어홀 배치를 도출한다는 세 가지 핵심 장점을 갖는다. 다만, 보어홀 간 열전달을 균일 q로 가정하고, 토양을 균질·비투과성으로 모델링한 점은 실제 현장 적용 시 추가적인 보정이 필요할 수 있다.