이진 전개 그룹 교차 네트워크

본 연구는 조건부 독립성이라는 핵심 통계 개념을 이진 확장 통계와 그룹 이론의 관점에서 새롭게 정의한다. 전통적인 조건부 독립성 검정은 분포‑자유 상황에서 추가적인 구조 없이는 불가능하다는 점을 출발점으로 삼아, 저자들은 이진 변수들의 모든 가능한 곱(interaction) 형태를 원소로 하는 멀티플리케이티브 그룹 ⟨·⟩을 도입한다. 각 이진 변수 X∈{±1}^p에 대해, X의 좌표들이 생성하는 그룹 ⟨X⟩의 비상수 원소들(즉, 1을 제외한 원소)들의 공분산 행렬 Σ⟨X⟩\{1}을 고려한다. 정리 2.2는 이 공분산 행렬의 랭크가 변수의 지원 크기(|Supp(X)|) minus 1과 정확히 일치함을 증명함으로써, 비정규(특히 다항변수의 비트 인코딩) 상황에서도 공분산 구조가 충분히 정보를 담고 있음을 보인다. 주요 결과인 정리 2.3(BEGIN)은 네 가지 동등한 조건을 제시한다. (a) 전통적인 정의에 따른 A⊥⊥C|B, (b) B의 이진 상호작용 B⊗만을 이용한 선형 조건부 기대값 표현, (c) 공분산 행렬 Σ이 B, L, R 블록으로 구성된 특정 형태로 분해될 수 있음, (d) Σ에 대한 일반화된 Schur 보완 S가 L과 R 사이에 블록 대각성을 갖는 것. 여기서 B는 ⟨B⟩\{1} (B의 비상수 상호작용), L은 ⟨A,B⟩\⟨B⟩, R은 ⟨B,C⟩\⟨B⟩에 해당한다. 특히 (d)에서 사용되는 일반화 Schur 보완은 Σ가 반정칙(singular)일 때도 의미가 유지되며, 이는 다항변수의 순위 결핍 상황에서도 적용 가능함을 의미한다. 정리 2.3의 (b) 항은 기존 연구에서 제시된 Binary Expansion Linear Effect (BELIEF)와 직접 연결되며, 이 선형성은 공분산 행렬의 블록 구조(c)와 일반화 Schur 보완의 희소성(d)으로 동등함을 보인다. 이는 조건부 독립성이 단순히 원 변수 수준이 아니라, 이진 상호작용을 통한 그룹 교차에 의해 완전히 기술된다는 중요한 통찰을 제공한다. 또한, 저자들은 Schur‑Banachiewicz 역행렬 Ω를 정의한다. Ω는 Σ와 동일한 행공간 관계를 보존하면서, Ω