무한히 큰 차원에서 무작위 커버링의 연결 성분 수에 대한 중심극한정리
본 논문은 기본군이 유한 생성 영군이면서 계단식으로 닐포텐트한 경우, 대칭군으로의 임의 동형사상을 통해 얻어지는 무작위 유한 커버링의 연결 성분 수가 평균·분산을 정확히 추정한 뒤 정규화하면 표준 정규분포로 수렴한다는 중심극한정리를 증명한다. 핵심은 듀 사우티·그루네발의 닐포텐트 군의 부분군 성장 제타함수와 Delange의 Tauberian 정리를 이용한 복소해석적 접근이다.
저자: Abdelmalek Abdesselam
논문은 먼저 고정된 위상공간 \(X\) 의 기본군 \(G=\pi_{1}(X,x_{0})\) 와, 유한 차원 \(n\) 에 대해 동형사상 집합 \(\operatorname{Hom}(G,S_{n})\) 을 고려한다. 카테고리적 관점에서 유한 커버링 \((Y,\pi)\) 은 \(G\) 의 왼쪽 작용 \(L:G\times E\to E\) (여기서 \(E\) 는 \(n\) 개의 점으로 이루어진 집합)과 일대일 대응한다. 연결 성분 수 \(c(Y,\pi)\)는 작용의 궤도 수와 동일하며, 이를 \(c(\varphi)\)라 표기한다.
임의성은 가중치 \(x^{c(\varphi)}\) 를 이용해 확률분포
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