시스템 I와 Top 타입의 Agda 형식화

초록

본 논문은 기존의 단순 타입 λ-계산인 System I에 기본 타입 ⊤(Top)를 추가하고, 이를 Agda로 완전 형식화하였다. 타입 동형성에 기반한 등식 규칙을 명시적 증거(와itness)와 함께 도입해 정규화와 진행성을 보장한다. Agda 구현에는 타입 규칙, 전환 규칙, 진행성 및 강 정규화 증명이 포함된다.

상세 분석

System I는 타입 동형성을 동등성으로 취급하는 단순 타입 λ-계산이며, 쌍(pair)과 함수형을 포함한다. 기존 System I에서는 A → B → C와 B → A → C 같은 함수 타입이 동형이라고 판단하면, 해당 함수에 인자를 전달하는 순서를 자유롭게 바꿀 수 있다. 이러한 자유도는 프로그램의 비결정성을 초래하지만, 타입 보존을 위해 특별히 설계된 전환 규칙(예: 타입 기반 투사 π A)과 β‑축소의 수정으로 해결한다.

본 연구는 이러한 System I에 기본 타입 ⊤를 도입한다. ⊤는 논리에서 True에 해당하며, ⊤ × A ≡ A, ⊤ → A ≡ A, A → ⊤ ≡ ⊤와 같은 새로운 동형성을 제공한다. 동형성 추가는 기존 규칙에 새로운 증거 형태(ρ)를 요구하도록 확장한다. 즉, 타입 A와 B가 동형이면, A ≡ ρ B 형태의 증거 ρ를 명시적으로 제공해야만 A 타입의 항을 B 타입으로 변환할 수 있다. 이는 Agda에서 타입 검증을 정형화할 때, 동형성 전파를 메타레벨이 아닌 객체레벨에 포함시켜 강 정규화 증명을 가능하게 한다.

형식화에서는 두 가지 주요 설계 선택이 눈에 띈다. 첫째, 변수와 컨텍스트를 전통적인 명명 변수 대신 de Bruijn 지수를 사용해 intrinsically typed representation을 채택했다. 이는 Agda의 종속 타입 시스템과 자연스럽게 맞물려, 각 변수는 컨텍스트와 타입에 의해 고정된다. 둘째, 동형성 전환을 단순한 등식 관계가 아니라 재작성 규칙(→)으로 전환하였다. 기존 System I에서는 동형성에 의해 발생하는 비결정적 전환을 등식(⇄)으로 다루었지만, 여기서는