대칭 복잡도와 의사난수성의 새로운 비교

초록

이 논문은 이진 시퀀스의 2‑adic 복잡도와 선형 복잡도에 대해 기존 복잡도와 대칭 복잡도(시퀀스와 그 역전의 최소값)를 비교한다. 주기적 경우 비팰린드롬 소수에서 만든 시퀀스는 대칭 2‑adic 복잡도가 일반 복잡도보다 작을 수 있음을 보이고, 선형 복잡도는 역전해도 변하지 않아 대칭 버전과 동일함을 증명한다. 비주기적(유한) 경우에는 두 복잡도의 대칭 버전이 일반 버전보다 현저히 작아지는 구체적인 시퀀스 군을 제시하고, 기대값 분석을 통해 대칭 복잡도가 일반 복잡도보다 최소 N 정도 작다는 하한을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 2‑adic 복잡도 λ(S)와 선형 복잡도 L(S)의 정의를 복습하고, 대칭 복잡도 λ_sym(S)=min{λ(S),λ(S_rev)} , L_sym(S)=min{L(S),L(S_rev)} 를 도입한다. 주기적 상황에서는 비팰린드롬 소수 p를 이진 확장으로 표현하고, 그 역전 q와 주기 T를 적절히 선택하면 2^T−1이 q를 나누지만 p는 나누지 않는다. 이때 λ(S)=log2(2^T−1) 이고 λ_sym(S)=log2((2^T−1)/q) 로, 대칭 복잡도가 일반 복잡도보다 log2 q 만큼 작아진다. 이는 기존 연구에서 다루지 않았던 구체적인 예시를 제공한다. 선형 복잡도에 대해서는 주기적 시퀀스의 재귀 정의를 이용해 직접 증명함으로써 L(S)=L(S_rev) 를 보이고, 따라서 L_sym(S)=L(S) 가 성립함을 명확히 한다. 이는 대칭 선형 복잡도를 별도로 연구할 필요가 없음을 의미한다.

비주기적(또는 유한) 경우에는 두 가지 구성법을 제시한다. 첫 번째는 앞부분에 0을 k개( k≈N/2) 놓고 그 뒤를 임의의 비트열로 채우는 방식으로, 이때 일반 유리 복잡도 Λ(S_N)=2^k 이지만 역전 시에는 Λ(S_rev_N)≈2^{N−k} 로 훨씬 작아져 λ_sym(S_N)≈N/2 수준으로 감소한다. 두 번째는 앞부분에 1을 k개( k≈N/2) 놓는 경우로, 일반 복잡도는 최소 2^{k} 정도이지만 역전에서는 2^{N−k} 로 다시 감소한다. 이러한 예시들을 통해 대칭 복잡도가 일반 복잡도보다 최소 O(N) 만큼 작아질 수 있음을 구체적으로 보여준다.

기대값 분석에서는 기존 결과 E_rat(N)=2^{N/2}+O(N/ log N) 와 E_2‑adic(N)=N/2+O(log N) 를 이용한다. 대칭 복잡도의 기대값 E_rat^sym(N) 와 E_2‑adic^sym(N) 에 대해 하한을 증명하는데, 임의의 r(N)→∞ 에 대해 E_rat^sym(N)≥2^{N/2}−r(N) , E_2‑adic^sym(N)≥N/2−log N 가 성립한다. 특히 r(N)=log N 를 잡으면 E_2‑adic^sym(N)=N/2+O(log N) 를 얻는다. 따라서 대칭 복잡도의 평균값도 여전히 동일한 차수이지만, 일반 복잡도보다 최소 N 정도 작은 차이가 존재한다는 점을 강조한다. 마지막으로 대칭 유리 복잡도, 대칭 2‑adic 복잡도, 대칭 선형 복잡도, 대칭 지수 선형 복잡도에 대한 기대값 하한을 각각 2^{N/2}−o(1), N/2−o(1), N/2−o(1), N/2−o(1) 형태로 정리한다. 전체적으로 이 논문은 대칭화가 복잡도 측정에 미치는 영향을 체계적으로 분석하고, 특히 비주기적 상황에서 대칭 복잡도가 실질적으로 더 낮은 값을 가질 수 있음을 입증한다.