복제수 1·2인 부분복제 블록 설계의 효율적 구성

초록

본 논문은 각 처리(trt)가 1번 또는 2번만 복제될 수 있는 자원 제한 상황에서, 블록 크기의 고정 조건을 두지 않은 새로운 부분복제 블록 설계 모델을 제시한다. A‑criterion(평균 분산)과 MV‑criterion(최대 분산)에 대한 설계 독립적인 최솟값(Sharp lower bound)을 도출하고, 연결 블록 설계, 온라인 카탈로그(designtheory.org) 설계, 부분균형 불완전 블록 설계(PBIBD) 및 그 듀얼을 활용한 효율적인 설계 구성을 탐색한다. 제시된 하한을 이용해 설계 효율을 정량화하고, 다양한 예시와 실용 지침을 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 “부분복제(p‑rep) 설계”라는 용어를 정의한다. 전체 처리 집합을 두 부분 U(두 번 복제되는 처리)와 W(한 번만 복제되는 처리)로 나누고, 각각을 포함하는 블록 수와 블록 크기를 자유롭게 선택한다. 기존 연구와 달리 두 번 복제되는 처리에 대해 일정한 블록 크기를 가정하지 않음으로써 설계 공간을 크게 확장한다. 이때 전체 블록 설계 d₀는 연결성(connectivity)을 만족해야 하며, 블록 내 플롯 수는 k이며, 각 블록 j는 sⱼ개의 두 번 복제 처리와 (k–sⱼ)개의 한 번 복제 처리를 포함한다.

통계 모델은 고정 효과 τᵤ와 ρⱼₕ을 갖는 선형 혼합 모델을 채택하고, 오차는 동일 분산 σ²를 가진 독립 정규분포로 가정한다. 설계 행렬 N(블록–처리 매트릭스)와 그 전치 행렬을 이용해 정보 행렬 C와 그 듀얼 C~를 정의하고, Moore‑Penrose 역을 통해 BLUE(최소분산 불편 추정량)의 분산을 명시적으로 표현한다.

핵심 결과는 Proposition 1과 Theorem 1이다. Proposition 1은 모든 (v = u + w) 처리 쌍에 대한 BLUE 차이의 분산을 세 가지 경우(a) τᵢ–τᵢ*, (b1) ρⱼₕ–ρⱼₕ*, (b2) ρⱼₕ–ρⱼₕ 및 (c) τᵢ–ρⱼₕ 로 구분하고, 각각 σ², 2σ², σ²·(3/2 + … ) 형태임을 보인다. 이를 바탕으로 전체 A‑criterion, 즉 모든 처리 대비 차이의 평균 분산 A(d₀)를 다음과 같이 전개한다.

A(d₀) = ½ w(3u + 2w – b – 1) + u·tr(C⁺) + w·tr(C~⁺) + (3/2)uw – ½ w(b – 1)

여기서 C⁺와 C~⁺는 각각 C와 C~의 Moore‑Penrose 역이며, tr는 행렬의 대각합이다. 이 식은 블록 크기와 sⱼ의 선택에 따라 달라지는 두 번째 항·세 번째 항을 명시적으로 포함한다.

다음으로 설계 독립적인 Sharp lower bound를 도출한다. C와 C~는 각각 연결 블록 설계와 그 듀얼의 정보 행렬이므로, Moor‑Penrose 역의 대각합은 최소화 문제로 전환된다. 이를 위해 (a) 연결 블록 설계의 최소 트레이스 성질, (b) PBIBD(또는 그 듀얼)의 균형 파라미터 λ₁, λ₂를 활용한다. 결과적으로 A‑criterion의 하한은

A_LB = ½ w(3u + 2w – b – 1) + u·(v–1)/k + w·(v–1)/k

와 같이 간단히 표현된다(단, k는 평균 블록 크기, v는 전체 처리 수). MV‑criterion에 대해서도 유사한 형태의 하한을 제시한다.

실제 설계 구성 단계에서는 (i) 연결 블록 설계(예: 그리드, 원형, 라틴 스퀘어 기반)와 (ii) 온라인 카탈로그에서 제공되는 최적 설계(예: BIBD, Resolvable BIBD)와 (iii) PBIBD 혹은 그 듀얼을 조합한다. 특히 두 번 복제 처리의 블록 배치는 sⱼ 값을 조절함으로써 자유롭게 설계 가능하므로, 기존 연구에서 고정된 블록 크기로 제한되던 경우보다 더 높은 효율을 달성한다. 논문은 구체적인 예시(예: u = 4, w = 12, k = 5인 경우)와 시뮬레이션을 통해 제시된 하한에 근접하는 설계들을 보여준다.

마지막으로 실용적인 가이드라인을 제공한다. (1) u와 w의 비율이 클수록 A‑criterion 하한이 낮아지므로, 가능한 한 많은 처리를 두 번 복제하도록 설계한다. (2) sⱼ는 가능한 한 균등하게 배분해 블록 내 불균형을 최소화한다. (3) 연결 블록 설계가 존재하지 않을 경우, 온라인 카탈로그에서 근사 설계를 선택하고, 필요 시 PBIBD 듀얼을 이용해 블록 크기를 맞춘다. 이러한 절차는 기존의 제한적인 부분복제 설계보다 설계 공간을 크게 확장하고, 실제 농업·생명과학 실험에서 자원 제한 하에 높은 통계적 효율을 확보할 수 있게 한다.